Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

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1 Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26 Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ist eine Menge Ω (Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments: Ergebnismenge versehen mit einer Abbildung P : P(Ω [0, 1] (Wahrscheinlichkeit: Jeder Teilmenge von Ω (Ereignis wird eine Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet (Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt mit folgenden Eigenschaften (KolmogorovAxiome: 1. P(Ω = 1 (sicheres Ereignis, 2. P(A B = P(A + P(B, falls A B = (Additionsregel für unvereinbare Ereignisse. wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 1

2 Beispiel fairer Würfel Ω = {1,..., 6} mit P({i} = P(i = 1 für jede der möglichen 6 Augenzahlen i = 1, 2,..., 6. bzw. allgemeiner P(A = 1 #A für jede Teilmenge A Ω 6 (#A bezeichnet die Anzahl der Elemente von A. Z. B. entspricht das Ereignis Augenzahl ist nicht durch 3 teilbar der Menge A = {1, 2, 4, 5} mit P(A = 4 6 = 2 3. Für die Ereignisse B: Augenzahl durch 3 teilbar und C : Augenzahl durch 5 teilbar gilt B = {3, 6}, C = {5} B C = und B C = {3, 5, 6} und somit P(B C = P(B + P(C = = 1 2 = 50%. wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 2

3 Ereignisse Als Ereignisse werden Teilmengen der Ergebnismenge Ω bezeichnet. Mengenoperationen beschreiben die Verknüpfung von Ereignissen. A B bedeutet sowohl A als auch B tritt ein, A B bedeutet (mindestens eines der Ereignisse A oder B tritt ein, A = Ω \ A bedeutet das Ereignis A tritt nicht ein wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 3

4 Folgerungen aus den KolmogorovAxiomen P(A B = P(A + P(B P(A B für beliebige A, B, P(A P(B, falls A B (Monotonie, P(A = 1 P(A, wobei A = A c = Ω \ A das Komplementärereignis zu A bezeichnet. P( = 0 (unmögliches Ereignis Beispiele P(Augenzahl durch 2 oder 3 teilbar = P({2, 4, 6} + P({3, 6} P({6} = = 2 3. P(Augenzahl nicht durch 3 teilbar = 1 P(Augenzahl durch 3 teilbar = = 2 3 wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 4

5 Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten ist auf unterschiedliche Weise möglich. Die wichtigsten sind: durch ein Symmetrieprinzip: Ein Zufallsexperiment hat endlich viele mögliche Ausgänge, die alle als gleichwahrscheinlich angenommen werden (Beispiel Augenzahl eines Würfels. Man spricht von einem LaplaceExperiment. durch Schätzung anhand von Beobachtungen durch Berechnung ausgehend von bekannten Wahrscheinlichkeiten (Beispiel: Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Würfeln mindestens eine 6 zu erhalten wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 5

6 Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle möglichen Ausgänge gleich wahrscheinlich sind. Ω ist dabei endliche Menge mit n Elementen mit P({x} = 1 n für alle x A (Gleichverteilung. Für eine beliebige Teilmenge A Ω folgt dann P(A = 1 n #A = 1 n mal Zahl der Elemente von A Beispiele = Zahl der günstigen durch Zahl der möglichen Fälle. fairer Würfel Münzwurf: P(Wappen = P(Zahl = 1 2 = 50% Ziehen einer Spielkarte aus 32: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ass gezohen wird, ist 4/32 = 1 8 = 12, 5%. wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 6

7 Kombinatorik Zur Bestimmung der Zahl der möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments sind oft kombinatorische Überlegungen erforderlich. Wir betrachten drei Fälle: Permutationen: Zusammenstellungen von verschiedenen Objekten in unterschiedlicher Reihenfolge Variationen: Auswahl einer Teilmenge von Objekten mit Beachtung der Reihenfolge, entweder mit oder ohne Wiederholung Kombinationen: Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 7

8 Permutationen Zahl der Möglichkeiten, n Elemente anzuordnen, ist gleich P n = n (n = n! (n Fakultät. Beispiel 1: Traveling Salesman Problem Geschäftsreisender besucht nacheinander n Orte n! mögliche Reiserouten. Beispiel 2 Zum Bespiel gibt es P 5 = 5! = 120 fünfstellige Zahlen, in denen jede der Ziern 1, 2, 3, 4 und 5 genau einmal vorkommt. wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 8

9 Variationen (geordnete Auswahl ohne Wiederholung Es gibt Vn k = n! = n (n 1... (n k + 1 (n k! Möglichkeiten, k aus n Elementen auszuwählen, wenn die Reihenfolge der Auswahl eine Rolle spielt. Beispiel 1 In einer Liga mit 18 Mannschaften gibt es V 5 18 = = Möglichkeiten für die Belegung der ersten 5 Tabellenplätze. Beispiel 2 Es gibt V 5 26 = 26! = = aus 21! 5 Kleinbuchstaben bestehende Passwörter, in denen kein Buchstabe mehrfach vorkommt. wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 9

10 Variationen mit Wiederholung Kann jedes Element mehrfach ausgewählt werden, so gibt es bei der Auswahl von k aus n Elementen n k Möglichkeiten. Beispiele Beim viermaligen Werfen eines Würfels sind (bei Berücksichtigung der Reihenfolge 6 4 = 1296 verschiedene Ergebnisse möglich, die Wahrscheinlichkeit für eine Augenkombination (z. B. 3, 6, 6, 5 beträgt 1/1296. Es gibt 5 5 = 3125 fünfstellige Zahlen, die keine anderen Ziern als 1, 2, 3, 4 und 5 enthalten. wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 10

11 Kombinationen Die Zahl der Möglichkeiten, k von n Elementen auszuwählen, ohne Beachtung der Reihenfolge (Kombinationen, ist gleich ( n! n (n k! k! = = Cn k (Binomialkoezient n über k. k ist gleich der Anzahl der kelementigen Teilmengen einer ( n k nelementigen Menge. Dabei setzt man 0! = 1 und ( n k = 0 falls k > n oder k < 0. Beispiel Die Zahl der Möglichkeiten beim Lotto 6 aus 49 ist ( 49 = 49! = = ! 6! Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Zahlenkombination ist damit 1/ < 0, 00001% wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 11

12 Eigenschaften der Binomialkoezienten Für Binomialkoezeineten gibt es eine Reihe von Rechenregeln. Die wichtigsten sind: ( n ( 0 = n n = 1 ( n ( 1 = n n 1 = n ( n 2 = n (n 1 = n 1 2 j=1 j = (n 1 ( n ( k = n n k (Symmetrie: Auswahl von k aus n Objekten ist gleichbedeutend mit der Bestimmung von n k Objekten, die nicht ausgewählt werden n ( n k=0 k = 2 n (Anzahl aller Teilmengen einer nelementigen Menge ( = n ( k + n k 1 (Summationseigenschaft ( n+1 k wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 12

13 Das Pascalsche Dreieck liefert eine rekursive Berechnung der Binomialkoezienten mit Hilfe der Summationseigenschaft: Die n + 1-te Zeile enthält die Binomialkoezienten ( n k für k = 0,..., n. Dabei ist jeder Eintrag die Summe der beiden Einträge darüber, z. B. ist ( 8 ( 3 = 56 = 7 ( = wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 13

14 Kombinationen mit Wiederholung Dürfen bei der Auswahl von k Elementen aus einer nelementigen Menge ohne Beachtung der Reihenfolge Elemente mehrfach vorkommen, so gibt es ( n+k 1 k Möglichkeiten. Beispiel Es gibt Gummibärchen in n = 6 Farben. Für die Auswahl von k = 4 Gummibärchen, die nicht alle verschiedenfarbig sein müssen, gibt es dann ( ( 4 = 9 4 = = 126 verschiedene Möglichkeiten. 4! Warnung! In dieser Situation sind nicht alle Kombinationen gleichwahrscheinlich, d. h. obige Formel kann nicht zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten genutzt werden (siehe Beispiel zu 2 Würfeln. wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 14

15 Zusammenfassung Ein LaplaceExperiment, bei dem alle Ausgänge als gleichwahrscheinlich angenommen werden können, erhält man bei zufälliger Auswahl in folgenden Situationen: Anordnung von n Objekten: n! Möglichkeiten geordneter Auswahl von k aus n Objekten ohne n! Wiederholung: (n k! Möglichkeiten geordneter Auswahl von k aus n Objekten mit Wiederholung: n k Möglichkeiten Auswahl von k aus n Objekten ohne Wiederholung ohne Beachtung der Reihenfolge: ( n k Möglichkeiten Dagegen liegt bei der Auswahl mit Wiederholung ohne Beachtung der Reihenfolge kein LaplaceExperiment vor. wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 15

16 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, Beispiel 1 Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit für 4 Richtige beim Lotto? Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als g n = Zahl der günstigen Fälle durch Zahl der möglichen Fälle Letztere ist n = ( 49 6 = Die Zahl der günstigen Fälle erhält man durch folgende Überlegung: Von den 6 getippten Zahlen müssen genau 4 gezogen werden. Dafür gibt es ( 6 4 = 15 Möglichkeiten. Daneben müssen von den 43 nicht getippten Zahlen 2 gezogen werden, wofür es ( 43 2 = 903 Möglichkeiten gibt Somit ist g = = und die gesuchte Wahrscheinlichkeit P = (6 4 ( 43 2 ( 49 6 = , 1 % wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 16

17 Verallgemeinerung Von N Objekten, von denen K eine besondere Eigenschaft haben, werden n zufällig ausgewählt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Objekten genau k die besondere Eigenschaft haben, gleich ( K ( k N K n k P(k = ( N, falls k 0, k n und k K. n Man spricht von einer hypergeometrischen Verteilung. Weiteres Beispiel Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Skatspieler genau 2 Buben bekommt? Es gibt N = 32 Karten, unter denen K = 4 Buben sind. Der Spieler bekommt n = 10 Karten ausgeteilt. Somit ist P(k = 2 = 2 ( ( = 2 ( ( , 9%. ( 32 4 ( 32 4 wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 17

18 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, Beispiel 2 Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, beim viermaligen Würfeln genau 2 Sechsen zu erhalten? Es gibt n = 6 4 = 1296 Möglichkeiten. Günstige Fälle sind 66XX, 6X6X, 6XX6, X66X, X6X6 und XX66, wobei X jeweils für eine Augenzahl zwischen 1 und 5 steht. Für jede dieser 6 = ( 4 2 Kombinationen gibt es noch einmal 5 2 = 25 Möglichkeiten für die beiden X. Somit ist die Gesamtzahl der günstigen Möglichkeiten g = 6 25 = 150 und die gesuchte Wahrscheinlichkeit P = 150 ( = = ( ( ( , 6 %. Bemerkung: Die benutzte Formel ist ein Spezialfall einer Binomialverteilung, die dann vorliegt, wenn ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ausgängen (Erfolg/Misserfolg, 6/keine 6 n mal wiederholt wird und die Anzahl der Erfolge gezählt wird. wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 18

19 Zwei Würfel Es gibt 36 Möglichkeiten, jede hat Wahrscheinlichkeit 1/36. Ω = {(i, j : 1 i, j 6} mit P(i, j = Mit A = {(2, 1, (2, 2, (2, 3, (2, 4, (2, 5, (2, 6} (erster Würfel 2 und B = {(1, 3, (2, 3, (3, 3, (4, 3, (5, 3, (6, 3} (zweiter Würfel 3 ist P(A = P(B = 1 6 und P(A B = P(2, 3 = 1 = P(A P(B 36 Unabhängigkeit A und B heiÿen unabhängig, wenn P(A B = P(A P(B Interpretation: Das Eintreten von Ereignis A hat keinen Einuss auf die Wahrscheinlichkeit von B und umgekehrt. wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 19

20 Beispiele Mit A = Augenzahl des ersten Würfels gerade und B = Augensumme gerade ist P(A = P(B = 1 2 und P(A B = 1 4, also sind die beiden Ereignisse unabhängig. Mit A = erster Würfel 4 und B = Augensumme 10 ist P(A = 1, P(B = 1 und 6 12 P(A B = P(4, 6 = 1 1 1, also sind A und B nicht unabhängig. Mit A = erste gezogene Spielkarte ist ein Ass und B = zweite Karte ist ein Bube ist P(A = P(B = 1 und 8 P(A B = 1 4 = 1 1 1, d. h. die beiden Ereignisse sind nicht unabhängig. wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 20

21 Bedingte Wahrscheinlichkeit Unabhängigkeit umformuliert: P(A B = P(A P(B P(A = P(A B/P(B. Allgemein deniert man die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B als P(A B P(A B =. P(B Interpretation: Wahrscheinlichkeit für A, wenn bekannt ist, dass B eingetreten ist. Bemerkungen P(A B ist nur deniert, wenn P(B > 0. Falls P(A, P(B > 0, so gilt A und B unabhängig P(A B = P(A P(B A = P(B. wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 21

22 Beispiele bei zwei Würfeln A: Augensumme 10, B: erster Würfel 4, Dann ist P(A = 3 36 = 1 12, P(B = 1 6, P(A B = 1 36 P(A B = 1/36 1/6 = 1 6 P(A = 1 12 sowie P(B A = 1/36 1/12 = 1 3 P(B = 1 6. A: Augensumme 7, B: erster Würfel 6, P(A B = 1/36 = 1 = P(A sowie 1/6 6 P(B A = 1 = P(B, 6 d. h. A und B sind unabhängig. A: 6 Richtige beim Lotto, B: die ersten 5 gezogenen Zahlen stimmen, P(A B = 1 2, 27% > P(A sowie 44 P(B A = 1 P(B. wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 22

23 Beispiel Kartenspiel (mit 32 Karten Es werden zwei Karten (ohne Zurücklegen gezogen. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Asse gezogen werden? Mit A = erste Karte ist ein Ass und B = zweite Karte ist ein Ass ist P(A = 4 32 = 1 8 und P(B A = 3 31 (da unter der Annahme, dass A eingetreten ist, unter den verbleibenden 31 Karten noch 3 Asse sind. Daraus kann jetzt die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet werden: P(A B = P(A P(B A = 1 3 = 3 0, 012 = 1, 2% wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 23

24 Mehrstuge Zufallsexperimente Die Formel P(A B = P(A P(B A eignet sich zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstugen Zufallsexperimenten. Beispiel In einer Kiste benden sich 7 weiÿe und 4 schwarze Socken. Wo groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig herausgegriene Socken die gleiche Farbe haben? Mit den Ereignissen A = erste Socke weiÿ und B = zweite Socke weiÿ beschreibt (A B (A B das Ereignis Beide Socken haben die gleiche Farbe. Es ist P(A B = P(A P(B A = = sowie P(A B = P(A P(B A = = Da A B und A B unvereinbar sind, beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit = 27 49, 1 % wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 24

25 Totale Wahrscheinlichkeit Sind A und B Ereignisse, so gilt B = (A B (A B sowie (A B (A B =. Aus den KolmogorovAxiomen folgt daher P(B = P(A B + P(A B = P(A P(B A + P(A P(B A. Allgemeiner gilt P(B = n k=1 P(A k P(B A k, wenn Ω = A 1... A n mit A i A j = eine Zerlegung des Wahrscheinlichkeitsraumes ist. Im letzten Sockenbeispiel Mit P(B A = 7 10 erhält man P(B = P(A P(B A + P(A P(B A = = wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 25

26 Weiteres Beispiel Es werden s untersucht, die zum Teil Spam sind. Betrachtet werden die Ereignisse S =Mail ist Spam sowie G =Mail enthält das Wort Gewinn Aus Erfahrungswerten seien folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt: P(S = 0, 25, P(G S = 0, 19 und P(G S = 0, 01, d. h. jede 4. Mail ist Spam und 19% aller Spammails sowie 1% aller NichtSpamMails enthalten das Wort Gewinn. Es folgt P(G = P(S P(G S + P(S P(G S = 0, 055, also enthalten 5, 5% aller Mails das Wort Gewinn. wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 26

27 Formel von Bayes Nach Denition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt für Ereignisse A und B P(A B = P(A P(B A sowie P(A B = P(B P(A B Durch Gleichsetzen dieser beiden Ausdrücke erhält man mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit den Satz von Bayes: P(A B = P(A P(B A P(B = P(A P(B A P(A P(B A + P(A P(B A, bzw. bei einer Zerlegung Ω = A 1... A n P(A k B = P(A k P(B A k n i=1 P(A i P(B A i. wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 27

28 Anwendung: Bayes'scher Spamlter Im letzten Beispiel: P(S = 0, 25 (25% SpamMails, P(G S = 0, 19 (19% davon enthalten das Wort Gewinn P(G S = 0, 01 (1% der übrigen Mails enthalten das Wort Gewinn Dann folgt P(S G = = P(S P(G S P(S P(G S + P(S P(G S 0, 25 0, 19 0, 864, 0, 25 0, , 75 0, 01 d. h. eine Mail mit dem Wort Gewinn ist zu 86, 4% Spam. wahrscheinlichkeit.pdf, Seite 28

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