Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente"

Transkript

1 Mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt Mehrstufige Experimente Bedingte Wahrscheinlichkeiten Seite 2

2 6.1 Mehrstufige Experimente Grundvorstellung: Viele Viele Experimente werden der der Reihe nach nach (in (in Stufen) ausgeführt. Dabei können die die Experimente einer einer Stufe von von den den Experimente der der vorigen Stufen abhängen oder oder nicht. Grundmodellierung: Ω = Ω 1 1 Ω 2 2 Ω Ω n, n, dabei ist ist Ω i die i die Ergebnismenge der der i-ten i-ten Stufe. Seite 3 Beispiel In In einer einer Urne Urne seien eine eine rote roteund drei drei blaue Kugeln enthalten. Man Man zieht zieht zufällig eine eine der der Kugeln und und legt legt dann dann diese und und eine eine weitere Kugel der der gezogenen Farbe in in die die Urne Urne zurück. Nun Nun zieht zieht man man ein ein zweites Mal. Mal. Wie Wie groß groß ist ist die die Wahrscheinlichkeit, jetzt jetzt eine eine rote rotekugel zu zu ziehen? Modellierung: Ω = Ω 1 1 Ω 2 mit 2 mit Ω 1 = 1 Ω 2 = 2 {r, {r, b}. b}. Das Das Ereignis beim zweiten Mal Mal eine eine rote rote Kugel ist ist A = {(r {(r,, r), r), (b (b,, r)}. r)}. Seite 4

3 Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten Frage: Was Was ist ist p(ω) p(ω) für für ω = (a (a 1, 1, a 2 ) 2 ) A? A? Stufe: Die Die Wahrscheinlichkeit für für rr ist ist ¼, ¼, die die für für b ist ist ¾. ¾ Stufe: Im Im Fall Fall a 1 = 1 rr enthält die die Urne Urne vor vor dem dem zweiten Ziehen 2 rote roteund 3 blaue Kugeln. Also Also ist ist die die Wahrscheinlichkeit für für rot rot = 2/5. 2/5. Im Im Fall Fall a 1 = 1 b enthält die die Urne Urne vor vor dem dem zweiten Ziehen 1 rote roteund 4 blaue Kugeln. Also Also ist ist die die Wahrscheinlichkeit für für rot rot = 1/5. 1/5. Seite 5 Übergangswahrscheinlichkeiten Daraus ergibt sich sich p(r, p(r, r) r) = 1/4 2/5 = 2/20, 2/20, p(r, p(r, b) b) = 1/4 1/4 3/5 3/5 = 3/20, 3/20, p(b, p(b, r) r) = 3/4 1/5 = 3/20, 3/20, p(b, p(b, b) b) = 3/4 3/4 4/5 4/5 = 12/20. Erster Faktor: Wahrscheinlichkeit für für das das erste erste Experiment Zweiter Faktor: Wahrscheinlichkeit für für den den Ausgang des des zweiten Experiments aufgrund des des Ausgangs des des ersten Experiments Diese zweiten Faktoren heißen Übergangswahrscheinlichkeiten. Es Es ergibt sich: sich: P(A) P(A) = p(r, p(r, r) r) + p(b, p(b, r) r) = 2/20 2/20 + 3/20 3/20 = ¼. ¼. Seite 6

4 Baumdiagramm Start 1/4 3/4 r b 2/5 3/5 1/5 4/5 r b r b 2/20 3/20 3/20 12/20 Seite 7 Pfadregeln An An jeder jeder Verbindung findet man man die die entsprechende Übergangswahrscheinlichkeit Pfadregel (Multiplikationsregel): Um Um die die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ω zu zu erhalten, multipliziert man man die die Wahrscheinlichkeiten auf auf dem dem Pfad Pfad zu zu ω. ω Pfadregel (Additionsregel): Um Um die die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A zu zu erhalten, addiert man man die die Wahrscheinlichkeiten aller aller Ereignisse ω A. A. Seite 8

5 Formalisierung Startverteilung: Es Es gibt gibt Wahrscheinlichkeiten p 1 (a 1 (a i ), i ), a i i Ω 1 mit 1 mit p 1 (a 1 (a 1 ) 1 ) + p 1 (a 1 (a 2 ) 2 ) = Für Für alle alle a i i Ω 1 gibt 1 gibt es es Übergangswahrscheinlichkeiten p 2 (b 2 (b j j a i ), i ), b j j Ω 2 mit 2 mit p 2 (b 2 (b 1 1 a i ) i ) + p 2 (b 2 (b 2 2 a i ) i ) = Für Für alle alle a i i Ω 1, 1, b j j Ω 2 gibt 2 gibt es es Übergangswahrscheinlichkeiten p 3 (c 3 (c k k a i, i, b j ), j ), c k k Ω 3 mit 3 mit p 3 (c 3 (c 1 1 a i, i, b j ) j ) + p 3 (c 3 (c 2 2 a i, i, b j ) j ) = Usw. Usw Pfadregel: Für Für ω = (a (a i, i, b j, j, c k, k,...) gilt gilt p(ω) p(ω) = p 1 (a 1 (a i ) i ) p 2 (b 2 (b j j a i ) i ) p 3 (c 3 (c k k a i, i, b j ) j ) Seite 9 Produktexperimente Idee: Idee: Das Das j-te j-teexperiment wird wird unabhängig von von den den ersten j 1 j 1 Experimenten durchgeführt. Vorstellung: (a) (a) Experimente räumlich und und zeitlich getrennt. (b) (b) Experimente gleichzeitig. Beispiel: Mehrfaches Würfeln Mathematische Beschreibung: Für Für ω = (a (a i, i, b j, j, c k, k,...) gilt gilt p(ω) p(ω) = p 1 (a 1 (a i ) i ) p 2 (b 2 (b j j a i ) i ) p 3 (c 3 (c k k a i, i, b j ) j ) Seite 10

6 6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Idee: Idee: Verwertung von von Teilinformationen, Lernen aus aus Erfahrung In In der der Regel: Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das das feststeht das das wir wir aber aber nicht nicht kennen. Seite 11 Beispiele 1, 1, 2 Beispiel In In einer einer Urne Urne sind sind zwei zwei rote, rote, zwei zwei schwarze und und zwei zwei blaue Kugeln. Eine Eine Person zieht zieht zufällig Kugeln (ohne Zurücklegen). Sie Sie teilt teilt einer einer anderen Person (per (per Telefon) mit, mit, wann sie sie zum zum ersten Mal Mal eine eine blaue Kugel zieht. Angenommen, das das ist ist beim beim dritten Mal. Mal. Wie Wie groß groß ist ist die die Wahrscheinlichkeit, dass dass die die ersten beiden Kugeln rot rotwaren? Beispiel Ziegenproblem : Der Der Kandidat zeigt zeigt auf auf Tür Tür 1, 1, der der Moderator öffnet Tür Tür 3 (Ziegentür). Wie Wie groß groß ist ist die die Wahrscheinlichkeit, dass dass Tür Tür 2 die die Autotür ist? ist? Seite 12

7 Beispiel 3 Beispiel Weit Weit entfernt werden zwei zwei Würfel geworfen. Per Per Telefon erhalten wir wir die die Nachricht Augensumme mindestens Wie Wie groß groß ist ist die die Wahrscheinlichkeit, dass dass mindestens einer einer der der Würfel eine eine Sechs zeigt? Bemerkung: Bei Bei allen allen Experimenten geht geht es es um um die die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das das feststeht aber aber uns uns unbekannt ist. ist. Seite 13 Erste mathematische Modellierung Wir Wir betrachten ein ein Zufallsexperiment ω. ω. Wir Wir wissen nur, nur, dass dass ein ein Ereignis B Ω eingetreten ist, ist, dass dass also also ω B ist. ist. Ziel: Ziel: Bestimmung der der Wahrscheinlichkeit für für das das Eintreten eines Ereignisses A Ω unter unter der der Bedingung B. B. Wir Wir schreiben dafür dafür P(A B). Seite 14

8 Motivation durch relative Häufigkeiten Man Man könnte sich sich vorstellen, den den Wert Wert P(A B) dadurch anzunähren, dass dass man man viele viele Versuche durchführt: rr n (A B) n = (Anzahl der der Versuche, in in denen A und und B eintritt) :: (Anzahl der der Versuche, bei bei denen B eintritt) Anders geschrieben: rr n (A B) n = rr n (A n (A B) B) // rr n (B). n (B). Seite 15 Definition Definition. Sei Sei (Ω, (Ω, P) P) ein ein Wahrscheinlichkeitsraum, und und seien A, A, B Ω Ereignisse mit mit P(B) P(B) > Dann heißt heißt P(A B) = P(A P(A B) B) // P(B) P(B) die die bedingte Wahrscheinlichkeit von von A unter der der Bedingung (Hypothese )) B. B. Schreibweise: P B (A) (A) = P(A B) Seite 16

9 Einfache Eigenschaften Hilfssatz. (a) (a) 0 P B (A) B (A) 1 für für alle alle A Ω. Ω. (b) (b) P B (Ω) B (Ω) = P B (B) B (B) = (c) (c) P B (A B (A 1 1 A 2 ) 2 ) = P B (A B (A 1 ) 1 ) + P B (A B (A 2 ), 2 ), falls falls A 1, 1, A 2 disjunkte 2 Ereignisse sind. sind. Beweis. (a) (a) Wegen A B B ist ist P(A P(A B) B) P(B), P(B), also also P(A B) = P(A P(A B) B) // P(B) P(B) (c) (c) P B (A B (A 1 A 1 A 2 ) 2 ) = P((A P((A 1 A 1 A 2 ) 2 ) B) B) // P(B) P(B) = P((A P((A 1 B) 1 B) (A (A 2 B)) 2 B)) // P(B) P(B) = [P(A [P(A 1 B) 1 B) + P(A P(A 2 B)] 2 B)] // P(B) P(B) = P(A P(A 1 B) 1 B) // P(B) P(B) + P(A P(A 2 B) 2 B) // P(B) P(B) = P B (A B (A 1 ) 1 ) + P B (A B (A 2 ). 2 ). Seite 17 Spezialfall Für Für ω Ω gilt gilt p B (ω) B (ω) = p(ω) p(ω) P(B) P(B) 1 1,, falls falls w B p B (ω) B (ω) = 0 sonst. D.h. D.h. man man stellt stellt sich sich vor, vor, dass dass für für alle alle ω Ω die die Wahrscheinlichkeit p(ω) p(ω) um um den den Faktor P(B) P(B) 1 1 vergrößert wird, wird, und und sonst = 0 gesetzt wird. wird. Seite 18

10 Lösung Beispiel Wir Wir nummerieren die die Kugeln mit mit 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6 durch, wobei 1, 1, 2: 2: rot, rot, 3, 3, 4: 4: blau, blau, 5, 5, 6: 6: schwarz. Wir Wir betrachten die die Ereignisse A = {(a {(a 1, 1, a 2, 2, a 3 ) 3 ) {a {a 1, 1, a 2 } 2 } = {1,2}} ( die ( die beiden ersten Kugeln sind sind rot ) rot ) B = {(a {(a 1, 1, a 2, 2, a 3 ) 3 ) a 3 3 {3,4}, a 1, 1, a 2 2 {1,2,5,6}} ( beim dritten Wurf Wurf zum zum ersten Mal Mal eine eine blaue Kugel ). Wir Wir interessieren uns uns für für P(A B). Seite 19 Lösung Beispiel Es Es gilt gilt Seite 20

11 Das Ziegenproblem Wir Wir modellieren das das Ziegenproblem wie wie folgt: folgt: Sei Sei Ω = {1,2,3} {1,2,3} {1,2,3}. Ein Ein Element ω = (a (a 1, 1, a 2, 2, a 3 ) 3 ) Ω interpretieren wir wir so: so: a 1 ist 1 ist die die Nummer der der Autotüre, a 2 die 2 die Nummer der der vom vom Kandidaten gewählten Tür, Tür, a 3 die 3 die vom vom Moderator geöffnete Tür. Tür. Für Für die die Wahrscheinlichkeiten nehmen wir wir an: an: p 1 (j) 1 (j) = 1/3, 1/3, denn denn das das Auto Auto wird wird zufällig auf auf eine eine der der Türen verteilt. p 2 (k 2 (k j) j) = 1/3, 1/3, denn denn der der Kandidat wählt rein rein zufällig eine eine Tür. Tür. Es Es gilt gilt p(ω) p(ω) = p(a p(a 1, 1, a 2, 2, a 3 ) 3 ) = p 1 (a 1 (a 1 ) 1 ) p 2 (a 2 (a 2 2 a 1 ) 1 ) p 3 (a 3 (a 3 3 a 1, 1, a 2 ). 2 ). Seite 21 Das Ziegenproblem II II Wir Wir nehmen an, an, dass dass der der Moderator im im Fall, Fall, dass dass ihm ihm zwei zwei Türen zur zur Auswahl stehen, zufällig eine eine der der beiden wählt. Das Das bedeutet: p 3 (h 3 (h j, j, k) k) = 1, 1, falls falls j, j, k, k, h die die drei drei Zahlen 1, 1, 2, 2, 3 sind. sind. p 3 (h 3 (h j, j, k) k) = 1/2, 1/2, falls falls j j = k, k, aber aber h j. j. p 3 (h 3 (h j, j, k) k) = 0 in in allen allen anderen Fällen. Das Das bedeutet p(j, p(j, k, k, h) h) = 1/9, 1/9, falls falls j, j, k, k, h die die drei drei Zahlen 1, 1, 2, 2, 3 sind. sind. p(j, p(j, k, k, h) h) = 1/18, 1/18, falls falls j j = k, k, aber aber h j. j. p(j, p(j, k, k, h) h) = 0 in in allen allen anderen Fällen. Seite 22

12 Das Ziegenproblem III: III: Die Gewinnwahrscheinlichkeiten Schließlich definieren wir: wir: A j = j {(a {(a 1, 1, a 2, 2, a 3 ) 3 ) Ω a 1 = 1 j} j} ( das ( das Auto Auto ist ist hinter der der Türe Türe j ) j ) W k = k {(a {(a 1, 1, a 2, 2, a 3 ) 3 ) Ω a 2 = 2 k} k} ( der ( der Kandidat wählt Türe Türe k ) k ) M h = h {(a {(a 1, 1, a 2, 2, a 3 ) 3 ) Ω a 3 = 3 h} h} ( der ( der Moderator öffnet die die Türe Türe h ) h ) Wir Wir interessieren uns uns zum zum Beispiel für für die die Wahrscheinlichkeit P(A P(A 2 2 W 1 1 M 3 ), 3 ), d.h. d.h. die die Wahrscheinlichkeit, das das Auto Auto hinter Tür Tür 2 zu zu finden, falls falls der der Kandidat Tür Tür 1 gewählt und und der der Moderator Tür Tür 3 geöffnet hat hat (Erfolg der der Wechselstrategie). Seite 23 Das Ziegenproblem IV IV P(A P(A 2 2 W 1 1 M 3 ) 3 ) = P(A P(A 2 2 W 1 1 M 3 ) 3 )// P(W P(W 1 1 M 3 ) 3 ) = = p(2, p(2, 1, 1, 3) 3) //[p(2, [p(2, 1, 1, 3) 3) + p(1, p(1, 1, 1, 3)] 3)] = 1/9 1/9 //[1/9 [1/9 + 1/18] 1/18] = 2/3. 2/3. (Beachte, dass dass W 1 1 M 3 = 3 {(2,1,3), (1,1,3)}, da da das das Ereignis (3,1,3) nicht nicht möglich ist.) ist.) Andererseits ist ist P(A P(A 1 1 W 1 1 M 3 ) 3 ) = P(A P(A 1 1 W 1 1 M 3 ) 3 )// P(W P(W 1 1 M 3 ) 3 ) = = p(1, p(1, 1, 1, 3) 3) //[p(2, [p(2, 1, 1, 3) 3) + p(1, p(1, 1, 1, 3)] 3)] = 1/18 1/18 //[1/9 [1/9 + 1/18] 1/18] = 1/3. 1/3. Mit Mit anderen Worten: Die Die Wechselstrategie verdoppelt die die Gewinnchancen! Seite 24

13 Die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit Formel von von der der totalen Wahrscheinlichkeit. Seien A 1, 1, A 2, 2,,, A s Ereignisse, s die die paarweise disjunkt sind, sind, und und für für die die A 1 1 A 2 2 A s = s Ω gilt. gilt. Dann gilt gilt für für jedes Ereignis B: B: P(B) P(B) = P(A P(A 1 ) P(B 1 ) P(B A 1 ) 1 ) + P(A P(A 2 ) P(B 2 ) P(B A 2 ) 2 ) P(A P(A s ) P(B s ) P(B A s ). s ). Beweis für für s = P(B) P(B) = P(Ω P(Ω B) B) = P((A P((A 1 1 A 2 ) 2 ) B) B) = P((A P((A 1 1 B) B) (A (A 2 2 B)) B)) = P(A P(A 1 1 B) B) + P(A P(A 2 2 B) B) = P(A P(A 1 ) P(B 1 ) P(B A 1 ) 1 ) + P(A P(A 2 ) P(B 2 ) P(B A 2 ). 2 ). Seite 25 Die Formel von Bayes Formel von von Bayes (Thomas Bayes ). Seien P(A) P(A) > 0, 0, P(B) P(B) > Dann gilt: gilt: P(A P(A B) B) = P(A) P(A) P(B P(B A) A) // P(B). P(B). Beweis. Da Da P(A) P(A) > 0 und und P(B) P(B) > 0, 0, existieren die die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(B P(B A) A) und und P(A P(A B), B), und und nach nach Definition gelten: P(A P(A B) B) = P(A P(A B) B) P(B) P(B) und und P(A P(A B) B) = P(B P(B A) A) P(A). P(A). Zusammen folgt folgt P(A P(A B) B) P(B) P(B) = P(A P(A B) B) = P(B P(B A) A) P(A). P(A). Seite 26

14 Das Simpson-Paradox Vor Vor einigen Jahren trat trat an an der der University of of Berkeley in in Kalifornien folgendes Phänomen auf: auf: --Unter je je Bewerbern wurde weniger Frauen als als Männer zugelassen, --in in jedem Fach Fach wurden Frauen gegenüber Männern prozentual bevorzugt. Seite 27 Simpson-Paradox: Beispiel Wir Wir machen uns uns das das an an einem Beispiel klar. klar. Die Die Universität möge nur nur zwei zwei Fächer haben. Männer Frauen Bewerber zugelassen Bewerberinnen zugelassen Fach Fach (80%) (90%) Fach Fach (20%) (30%) Summe Seite 28

15 Stochastische Unabhängigkeit Wir Wir wollen ausdrücken, dass dass das das Eintreten eines Ereignisses B keinen Einfluss auf auf das das Eintreten eines Ereignisses A hat. hat. Definition. Seien A und und B Ereignisse. Wir Wir nennen diese stochastisch unabhängig, wenn P(A) P(A) = P(A P(A B) B) gilt. gilt. Beobachtung: P(A) P(A) = P(A P(A B) B) P(A P(A B) B) = P(A) P(B) P(B) P(B) = P(B P(B A). A). (Beweis: P(A) P(A) = P(A P(A B) B) P(A) P(A) = P(A P(A B) B) // P(B) P(B) P(A) P(A) P(B) P(B) = P(A P(A B) B) P(B) P(B) = P(A P(A B) B) // P(A) P(A) P(B) P(B) = P(B P(B A).) A).) Seite 29 Beispiele Würfeln mit mit einem Würfel: A = {2,3}, B = {2,4,6}. P(A) P(A) = 2/6 2/6 = 1/3, 1/3, P(B) P(B) = 3/6 3/6 = 1/2, 1/2, P(A P(A B) B) = 1/6. 1/ Zweimaliges Würfeln. A = Augensumme ist ist gerade, B = der der erste erste Wurf Wurf hat hat eine eine gerade Augenzahl P(A) P(A) = 1/2, 1/2, P(B) P(B) = 1/2, 1/2, P(A P(A B) B) = ¼. ¼. Seite 30

16 Komplementäre Ereignisse Hilfssatz. Seien A und und B unabhängige Ereignisse. Dann sind sind auch auch A und und B (= (= Ω \\ B) B) unabhängig. Beweis. Es Es gilt gilt P(A P(A B) B) = P(A P(A \\(A (A B)) B)) = P(A) P(A) P(A P(A B) B) = P(A) P(A) P(A) P(A) P(B) P(B) = P(A) P(A) (1 (1 P(B)) = P(A) P(A) P(B). Seite 31 Verallgemeinerung der Definition Definition. Drei Drei Ereignisse A, A, B, B, C werden stochastisch unabhängig genannt, wenn folgende Gleichungen gelten: P(A) P(A) P(B) P(B) = P(A P(A B), B), P(B) P(B) P(C) P(C) = P(B P(B C), C), P(A) P(A) P(C) P(C) = P(A P(A C), C), P(A) P(A) P(B) P(B) P(C) P(C) = P(A P(A B C). C). Entsprechend: Verallgemeinerung auf auf vier, vier, fünf, fünf, Ereignisse. Seite 32

17 Beispiel Viermaliger Münzwurf. A = Kopf Kopf im im ersten Wurf Wurf B = Kopf Kopf im im zweiten Wurf Wurf C = Kopf Kopf im im dritten Wurf Wurf P(A) P(A) = P(B) P(B) = P(C) P(C) = 1/2. 1/2. P(A P(A B) B) = P(B P(B C) C) = P(A P(A C) C) = 1/4. 1/4. P(A P(A B C) C) = 1/8. 1/8. Seite 33

Unabhängigkeit KAPITEL 4

Unabhängigkeit KAPITEL 4 KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht

Mehr

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit 2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,

Mehr

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus,

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus, V. Stochastik ================================================================== 5.1 Zählprinzip Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein

Mehr

Satz 16 (Multiplikationssatz)

Satz 16 (Multiplikationssatz) Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.

Mehr

1 Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit

1 Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit Schülerbuchseite 174 176 Lösungen vorläufig und Unabhängigkeit 1 Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit S. 174 1 Ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit von Sau kann nur mithilfe der relativen

Mehr

Das Ziegenproblem. Nils Schwinning und Christian Schöler Juni 2010

Das Ziegenproblem. Nils Schwinning und Christian Schöler  Juni 2010 Das Ziegenproblem Nils Schwinning und Christian Schöler http://www.esaga.uni-due.de/ Juni 2010 Die Formulierung Obwohl das sogenannte Ziegenproblem in der Mathematik allgegenwärtig erscheint, wurde es

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe

Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe Wir beginnen mit einem Beispiel, dem Münzwurf. Es wird eine faire Münze geworfen mit den Seiten K (für Kopf) und Z (für Zahl). Fair heißt, dass jede Seite

Mehr

7 Unabhängigkeit von Ereignissen; bedingte Wahrscheinlichkeit

7 Unabhängigkeit von Ereignissen; bedingte Wahrscheinlichkeit Übungsmaterial 7 Unabhängigkeit von reignissen; bedingte Wahrscheinlichkeit 7. Unabhängigkeit von reignissen Wir betrachten folgendes Beispiel: Zwei unterscheidbare Münzen werden geworfen. Man betrachtet

Mehr

An die Zweige schreibt man jeweils die Wahrscheinlichkeit, die für dieses Ereignis gilt.

An die Zweige schreibt man jeweils die Wahrscheinlichkeit, die für dieses Ereignis gilt. . Mehrstufige Zufallsversuche und Baumdiagramme Entsprechend der Anmerkung in. wollen wir nun auf der Basis von bekannten Wahr- scheinlichkeiten weitere Schlüsse ziehen. Dabei gehen wir immer von einem

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitstheorie Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden II Wahrscheinlichkeitstheorie 1 / 24 Lernziele Experimente, Ereignisse und Ereignisraum Wahrscheinlichkeit Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Kurs 2 Stochastik EBBR Vollzeit (1 von 2)

Kurs 2 Stochastik EBBR Vollzeit (1 von 2) Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A 281 Bremen Kurs 2 Stochastik EBBR Vollzeit (1 von 2) Name: Ich 1. 2. 3. 4.. 6. 7. So schätze ich meinen Lernzuwachs ein.

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 1 Vorbemerkungen

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Was du wissen musst: Die Begriffe Zufallsexperiment, Ereignisse, Gegenereignis, Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeit sind dir geläufig. Du kannst mehrstufige Zufallsversuche

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie KAPITEL 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Zufallsexperimente, Ausgänge, Grundmenge In der Stochastik betrachten wir Zufallsexperimente. Die Ausgänge eines Zufallsexperiments fassen wir

Mehr

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren. 1. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen)

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren. 1. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen) Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren ÜUNG. - LÖSUNGEN. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen Die Urne enthält 4 weiße und 8 rote Kugeln.

Mehr

3 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen

3 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen.1 Pfadregeln.1.1 Pfadmultiplikationsregel Eine faire Münze und

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 Bedingte

Mehr

3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II

3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II 3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II Inhaltsverzeichnis 1 bedingte Wahrscheinlichkeiten 2 2 unabhängige Ereignisse 5 3 mehrstufige Zufallsversuche 7 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung II 28.02.2010 Theorie und

Mehr

Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7:

Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7: Discrete Probability - Übungen (SS5) Felix Rohrer Wahrscheinlichkeitstheorie 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln

Mehr

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch. ( Descartes ) Trau keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast. ( Churchill zugeschrieben

Mehr

Wirtschaftsstatistik I [E1]

Wirtschaftsstatistik I [E1] 040571-1 WMS: Wirtschaftsstatistik 1 :: WiSe07/08 Wirtschaftsstatistik I [E1] Schwab, Harald 1 harald.schwab@univie.ac.at http://homepage.univie.ac.at/harald.schwab October 7, 2007 1 Sprechstunde: MO 17-18h

Mehr

2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 2.1 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik. Es ist üblich, an den Anfang einer mathematischen Theorie

Mehr

Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit

Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit Aufgabe 1 (mdb500405): In einer Urne befinden sich gelbe (g), rote (r), blaue (b) und weiße (w) Kugel (s. Bild). Ohne Hinsehen sollen aus der Urne in einem Zug Kugeln

Mehr

Stochastik (Laplace-Formel)

Stochastik (Laplace-Formel) Stochastik (Laplace-Formel) Übungen Spielwürfel oder Münzen werden ideal (oder fair) genannt, wenn jedes Einzelereignis mit gleicher Wahrscheinlichkeit erwartet werden kann. 1. Ein idealer Spielwürfel

Mehr

Aufgabe 1 (mdb632540): Murat hat zehn Spielkarten verdeckt auf den Tisch gelegt: Buben, Könige, Asse, Zehn.

Aufgabe 1 (mdb632540): Murat hat zehn Spielkarten verdeckt auf den Tisch gelegt: Buben, Könige, Asse, Zehn. Wahrscheinlichkeiten Aufgabe 1 (mdb632540): Murat hat zehn Spielkarten verdeckt auf den Tisch gelegt: Buben, Könige, Asse, Zehn. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Anna a) ein Ass, b) einen Buben, c)

Mehr

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Zufallsvorgänge, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufallsvorgang: Geschehen mit ungewissem

Mehr

Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeiten Bestimmung der Wahrscheinlichkeit Bei einem Zufallsexperiment kann man nicht voraussagen, welches Ereignis eintritt, aber manche Ereignisse treten naturgemäß mit einer größeren Wahrscheinlichkeit

Mehr

Wir setzen daher den Anteil der weiblichen Nichtraucher gleich dem Anteil der Nichtraucher und berechnen X:

Wir setzen daher den Anteil der weiblichen Nichtraucher gleich dem Anteil der Nichtraucher und berechnen X: Übungsblatt 1 Beispiel 1. Von den 50 Teilnehmern eines Kurses sind 35 weiblich und 10 Raucher/innen. Wie viele nicht-rauchende Teilnehmerinnen sind zu erwarten, wenn die Merkmale Geschlecht und Rauchverhalten

Mehr

Stochastik Pfadregeln Erwartungswert einer Zufallsvariablen Vierfeldertafel Gymnasium

Stochastik Pfadregeln Erwartungswert einer Zufallsvariablen Vierfeldertafel Gymnasium Stochastik Pfadregeln Erwartungswert einer Zufallsvariablen Vierfeldertafel Gymnasium Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Oktober 205 Aufgabe : In einer Urne befinden sich drei gelbe, eine rote und

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Absolute und relative Häufigkeiten Wenn man mit Reißzwecken würfelt, dann können sie auf den Kopf oder auf die Spitze fallen. Was ist wahrscheinlicher? Ein Versuch schafft Klarheit. Um nicht immer wieder

Mehr

Stochastik - Kapitel 2

Stochastik - Kapitel 2 Aufgaben ab Seite 7 2. Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Laplace-Experimente 2.1 Die absolute und die relative Häufigkeit 1. Beispiel: Ich werfe mal einen Würfel und möchte herausfinden, wie oft jeweils

Mehr

Ergebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis

Ergebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis Stochastik Die Stochastik besteht aus zwei Teilgebieten, der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Statistik beschreibt die Vergangenheit und verwendet Informationen, die (in realen Versuchen)

Mehr

Ein Würfel wird geworfen. Einsatz: Fr Gewinn: Fr. 6.--

Ein Würfel wird geworfen. Einsatz: Fr Gewinn: Fr. 6.-- 1 Ein Würfel wird geworfen. : Fr. 1.-- : Fr. 6.-- Der Spieler hat gewonnen falls eine 6 erscheint. 2 Zwei Würfel werden geworfen. : Fr. 1.-- : Fr. 7.-- Der Spieler hat gewonnen falls die Augensumme gleich

Mehr

Kontrolle. Themenübersicht

Kontrolle. Themenübersicht Themenübersicht Arbeitsblatt 1 Statistik Arbeitsblatt 2 Erheben und Auswerten von Daten Arbeitsblatt 3 Zufallsexperimente Arbeitsblatt 4 mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt, Schwerpunkte des Themas Urliste,

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Rainer Hauser Dezember 2012 1 Einleitung 1.1 Zufallsexperimente Im Folgenden wird das Resultat eines Experiments als Ereignis bezeichnet. Lässt man eine Metallkugel aus einer

Mehr

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Kapitel 5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Mitunter erhält man über das Ergebnis eines zufälligen Versuches Vorinformationen. Dann entsteht die Frage, wie sich für den Betrachter, den man

Mehr

Diskrete Verteilungen

Diskrete Verteilungen KAPITEL 6 Disrete Verteilungen Nun werden wir verschiedene Beispiele von disreten Zufallsvariablen betrachten. 1. Gleichverteilung Definition 6.1. Eine Zufallsvariable X : Ω R heißt gleichverteilt (oder

Mehr

A Grundlegende Begriffe 6. 1 Zufallsexperimente und Ereignisse 6 Aufgaben 10

A Grundlegende Begriffe 6. 1 Zufallsexperimente und Ereignisse 6 Aufgaben 10 Inhalt A Grundlegende Begriffe 6 1 Zufallsexperimente und Ereignisse 6 Aufgaben 10 2 Relative Häufigkeit und abstrakter Wahrscheinlichkeitsbegriff 13 Aufgaben 16 3 Laplace scher Wahrscheinlichkeitsbegriff

Mehr

Übungen zur Mathematik für Pharmazeuten

Übungen zur Mathematik für Pharmazeuten Blatt 1 Aufgabe 1. Wir betrachten den Ereignisraum Ω = {(i,j) 1 i,j 6} zum Zufallsexperiment des zweimaligem Würfelns. Sei A Ω das Ereignis Pasch, und B Ω das Ereignis, daß der erste Wurf eine gerade Augenzahl

Mehr

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0.

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0. 1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem Folg. 2 Sei (Ω, E, P) W.-raum. Seien A, B,A 1,...,A n Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen: 1. P(A) = 1 P(A). 2. Für das unmögliche Ereignis gilt:

Mehr

Modellierungskonzepte 2

Modellierungskonzepte 2 Modellierungskonzepte 2 Elke Warmuth Humboldt-Universität Berlin WS 2008/09 1 / 50 1 Pfadregeln 2 Begriff Umbewertung von Chancen Bayessche Formel 3 Verwechslungsgefahr Implizite Lotterien 2 / 50 mehrstufige

Mehr

6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise

6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise 6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise Aufgabe 6.: Begründen Sie, warum die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse bzw. zufälliger Vorgänge nur ein Modell der Realität darstellen kann.

Mehr

Auf dem Schulfest bietet Peter als Spielleiter das Glücksspiel "GlücksPasch" an.

Auf dem Schulfest bietet Peter als Spielleiter das Glücksspiel GlücksPasch an. Aufgabe 4 Glückspasch" (16 Punkte) Auf dem Schulfest bietet Peter als Spielleiter das Glücksspiel "GlücksPasch" an. Spielregeln: Einsatz 1. Der Mitspieler würfelt mit 2 Oktaederwürfeln. Fällt ein Pasch,

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 21.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Glücksspiel auf der Buchmesse Leipzig, 2013 Organisatorisches 1. Begriffe in der Stochastik (1)

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie. Zapper und

Wahrscheinlichkeitstheorie. Zapper und Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Slide 1 Wahrscheinlichkeitstheorie die Wissenschaft der Zapper und Zocker Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Slide 2 Münzwürfe, Zufallsbits Elementarereignisse mit Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien

Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien R. Brinmann http://brinmann-du.de Seite 4.0.2007 Bestimmen der Wahrscheinlicheiten mithilfe von Zählstrategien Die bisherigen Aufgaben zur Wahrscheinlicheitsrechnung onnten im Wesentlichen mit übersichtlichen

Mehr

Spielgeräte: Von Wahrscheinlichkeiten bis Binomialverteilung

Spielgeräte: Von Wahrscheinlichkeiten bis Binomialverteilung Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: F. 2. 32 Spielgeräte: Von Wahrscheinlichkeiten bis Die folgende Stationenarbeit dient dazu, die Begriffe der Oberstufenstochastik (Wahrscheinlichkeit;

Mehr

Aufgaben zum Wahrscheinlichkeitsrechnen

Aufgaben zum Wahrscheinlichkeitsrechnen 1.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Werfen mit einem Würfel keine 4 zu werfen? % 2.) Wie groß ist beim einmaligen Werfen von zwei verschieden farbigen Würfeln die Wahrscheinlichkeit,...

Mehr

Kombinatorik. 1. Beispiel: Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich aus den fünf Ziffern in M = {1;2;3;4;5} erstellen?

Kombinatorik. 1. Beispiel: Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich aus den fünf Ziffern in M = {1;2;3;4;5} erstellen? 1 Kombinatorik Aus einer Grundgesamtheit mit n Elementen wird eine Stichprobe k Elementen entnommen. Dabei kann die Stichprobe geordnet oder ungeordnet sein. "Geordnet" bedeutet, dass die Reihenfolge der

Mehr

Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 9. Übungsblatt

Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 9. Übungsblatt Dr. M. Weimar 06.06.2016 Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 9. Übungsblatt Aufgabe 1 (2+2+2+2+1=9 Punkte) In einer Urne befinden sich sieben Lose, darunter genau ein Gewinnlos. Diese Lose werden nacheinander

Mehr

Laplace-Formel. Übungsaufgaben

Laplace-Formel. Übungsaufgaben Laplace-Formel Übungsaufgaben Spielwürfel oder Münzen werden ideal (oder fair) genannt, wenn jedes Einzelereignis mit gleicher Wahrscheinlichkeit erwartet werden kann. 1. Ein idealer Spielwürfel wird einmal

Mehr

Übungsrunde 4, Gruppe 2 LVA , Übungsrunde 4, Gruppe 2, Markus Nemetz, TU Wien, 10/2006

Übungsrunde 4, Gruppe 2 LVA , Übungsrunde 4, Gruppe 2, Markus Nemetz, TU Wien, 10/2006 Übungsrunde 4, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 4, Gruppe 2, 07.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 10/2006 1 17 1.1 Angabe Ein Parallelsystem funktioniert, wenn wenigstens eine seiner

Mehr

Kapitel ML:IV (Fortsetzung)

Kapitel ML:IV (Fortsetzung) Kapitel ML:IV (Fortsetzung) IV. Statistische Lernverfahren Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen ML:IV-18 Statistical Learning c STEIN 2005-2011 Satz 3 (Bayes)

Mehr

4. Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung

4. Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung 4. Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung Dr. Antje Kiesel Institut für angewandte Mathematik WS 2010/2011 In der beschreibenden Statistik haben wir verschiedene Kennzahlen (Statistiken) für Stichproben

Mehr

Dieser Begriff wurde von Jacob Bernoulli Ars conjectandi geprägt (1773), in dem das erste Gesetz der großen Zahlen bewiesen wurde.

Dieser Begriff wurde von Jacob Bernoulli Ars conjectandi geprägt (1773), in dem das erste Gesetz der großen Zahlen bewiesen wurde. 10.1 Über den Begriff Stochastik Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eine Teildisziplin von Stochastik. Dabei kommt das Wort Stochastik aus dem Griechischen : die Kunst des Vermutens (von Vermutung, Ahnung,

Mehr

Kapitel 5. Stochastik

Kapitel 5. Stochastik 76 Kapitel 5 Stochastik In diesem Kapitel wollen wir die Grundzüge der Wahrscheinlichkeitstheorie behandeln. Wir beschränken uns dabei auf diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ω. Definition 5.1. Ein diskreter

Mehr

Vorlesung - Medizinische Biometrie

Vorlesung - Medizinische Biometrie Vorlesung - Medizinische Biometrie Stefan Wagenpfeil Institut für Medizinische Biometrie, Epidemiologie und Medizinische Informatik Universität des Saarlandes, Homburg / Saar Vorlesung - Medizinische Biometrie

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 0.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Beurteilende Statistik

Beurteilende Statistik Beurteilende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung und Beurteilende Statistik was ist der Unterschied zwischen den beiden Bereichen? In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Begriffsbildung Wahrscheinlichkeit

Begriffsbildung Wahrscheinlichkeit Gymnasium Neureut Dienstag, 15.05.2012 Arbeitskreis Anwendungsorientierter Mathematikunterricht Rolf Reimer, Staatliches Seminar für Didaktik und Lehrerbildung (Gymnasien) Karlsruhe Begriffsbildung Wahrscheinlichkeit

Mehr

Ma 13 - Stochastik Schroedel Neue Wege (CON)

Ma 13 - Stochastik Schroedel Neue Wege (CON) Bedingte Wahrscheinlichkeiten S. 70, Nr. 5 Richtiges Anwenden der Multiplikationsregel A: Abonnement liest Werbeanzeige B: Produkt wird gekauft S. 70, Nr. 6 Übersetzung von Daten in ein Baumdiagramm A

Mehr

Mathematik. Mathematische Leitidee: Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. Aufgabe Nr./Jahr: 16/2010. Bezug zum Lehrplan NRW:

Mathematik. Mathematische Leitidee: Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. Aufgabe Nr./Jahr: 16/2010. Bezug zum Lehrplan NRW: Mathematik Mathematische Leitidee: Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Aufgabe Nr./Jahr: 16/2010 Bezug zum Lehrplan NRW: Prozessbezogener Bereich (Kap. 2.1) Prozessbezogene Kompetenzen (Kap. 3.1)

Mehr

Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester ARBEITSBLATT Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Die Begriffe Varianz und Standardabweichung sind uns bereits aus der Statistik bekannt

Mehr

Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen.

Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen. Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel 2.5-2. besser zu verstehen. Frage Wir betrachten ein Würfelspiel. Man wirft einen fairen, sechsseitigen Würfel. Wenn eine oder eine 2 oben liegt, muss man 2 SFr zahlen.

Mehr

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis 1 6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Spiele aus dem Alltagsleben: Würfel, Münzen, Karten,... u.s.w. sind gut geeignet die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Vertiefung NWI: 13. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Vertiefung NWI: 13. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie Fakultät für Mathematik Prof. Dr. Barbara Gentz SS 2013 Vertiefung NWI: 13. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie Mittwoch, 10.7.2013 13. Markoffketten 13.1 Beispiele 1. Irrfahrt auf dem zweidimensionalen

Mehr

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur) Gruben)

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur) Gruben) Musterlösung zum. Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur Gruben. Wahrscheinlichkeiten I ( Punkte Die Seiten von zwei Würfeln sind mit den folgenden Zahlen

Mehr

Quadratwurzeln. Reelle Zahlen

Quadratwurzeln. Reelle Zahlen M 9. Quadratwurzeln ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert ergibt: Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand: = Quadratwurzeln sind nur für positive Zahlen definiert: 0 25 = 5; 8 = 9; 0,25 = =

Mehr

Quadratwurzeln. ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert ergibt: Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand:

Quadratwurzeln. ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert ergibt: Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand: M 9.1 Quadratwurzeln ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert ergibt: Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand: Quadratwurzeln sind nur für positive Zahlen definiert: 0 25 5; 81 9; 0,25 0,5; 0,0081

Mehr

alte Maturaufgaben zu Stochastik

alte Maturaufgaben zu Stochastik Stochastik 01.02.13 alte Maturaufgaben 1 alte Maturaufgaben zu Stochastik 1 07/08 1. (8 P.) In einer Urne liegen 5 rote, 8 gelbe und 7 blaue Kugeln. Es werden nacheinander drei Kugeln gezogen, wobei die

Mehr

Wahrscheinlichkeit und Zufall

Wahrscheinlichkeit und Zufall Wahrscheinlichkeit und Zufall Klassische Probleme der Wahrscheinlichkeitsrechnung 23. Juni 2009 Dr. Katja Krüger Universität Paderborn Inhalt Die Wetten des Chevalier de Méréé Warten auf die erste Sechs

Mehr

A Grundlegende Begriffe

A Grundlegende Begriffe Grundlegende egriffe 1 Zufallsexperimente und Ereignisse Ein Zufallsexperiment besteht aus der wiederholten Durchführung eines Zufallsversuchs. ei einem Zufallsversuch können verschiedene Ergebnisse (chreibweise:

Mehr

Stochastik. Bedingte Wahrscheinlichkeiten INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. www.mathe-cd.de. Neues Manuskript. Datei Nummer 32111

Stochastik. Bedingte Wahrscheinlichkeiten INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. www.mathe-cd.de. Neues Manuskript. Datei Nummer 32111 Stochastik Bedingte Wahrscheinlichkeiten Neues anuskript Datei Nummer Stand 9. uni 008 INTERNETBIBIOTHEK FÜR SCHUTHETIK Inhalt Definitionen und Hinführung Einführungsbeispiel: Karten ziehen Bedingte Wahrscheinlichkeit

Mehr

Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2017 Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien. Stochastik

Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2017 Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien. Stochastik mathe-aufgaben.com Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2017 Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien Stochastik Dipl.-Math. Alexander Schwarz E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com

Mehr

WAHRSCHEINLICHKEIT. Erinnere dich

WAHRSCHEINLICHKEIT. Erinnere dich Thema Nr.9 WAHRSCHEINLICHKEIT Erinnere dich Zufallsexperiment Ein Experiment, bei dem verschiedene Ergebnisse möglich sind und bei dem das Ergebnis nur vom Zufall abhängt heißt Zufallsexperiment. Beispiele

Mehr

Kinga Szűcs

Kinga Szűcs Kinga Szűcs 25.10.2011 Die Schülerinnen und Schüler werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus, planen statistische Erhebungen, sammeln systematisch Daten, erfassen sie

Mehr

60 Einführende Aufgaben in die Stochastik. S.Frank

60 Einführende Aufgaben in die Stochastik. S.Frank 60 Einführende Aufgaben in die Stochastik S.Frank Juli 2007 60 Einführende Aufgaben in die Stochastik Von Sascha Frank (2007) Alle Rechte vorbehalten. Diese Werk ist einschließlich aller seiner Teile urheberrechtlich

Mehr

Übungsaufgaben, Statistik 1

Übungsaufgaben, Statistik 1 Übungsaufgaben, Statistik 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten [ 4 ] 3. Übungswoche Der Spiegel berichtet in Heft 29/2007 von folgender Umfrage vom 3. und 4. Juli 2007:,, Immer wieder werden der Dalai Lama

Mehr

Probleme und Möglichkeiten der Behandlung der bedingten Wahrscheinlichkeit

Probleme und Möglichkeiten der Behandlung der bedingten Wahrscheinlichkeit Hans-Dieter Sill, Universität Rostock Probleme und Möglichkeiten der Behandlung der bedingten Wahrscheinlichkeit 1. Der Begriff der bedingte Wahrscheinlichkeit in Planungsdokumenten 2. Eine Prozessbetrachtung

Mehr

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Aufgabe 2. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Ergebnis und Ergebnismenge Vorgänge mit zufälligem Ergebnis, oft Zufallsexperiment genannt Bei der Beschreibung der Ergebnisse wird stets ein bestimmtes Merkmal

Mehr

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses.

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses. XI. Binomialverteilung ================================================================== 11.1 Definitionen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

P X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1

P X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1 Übungen zur Stochastik - Lösungen 1. Ein Glücksrad ist in 3 kongruente Segmente aufgeteilt. Jedes Segment wird mit genau einer Zahl beschriftet, zwei Segmente mit der Zahl 0 und ein Segment mit der Zahl

Mehr

3.2. Aufgaben zu mehrstufigen Zufallsexperimenten

3.2. Aufgaben zu mehrstufigen Zufallsexperimenten .. Aufgaben zu mehrstufigen Zufallsexperimenten Aufgabe : Baumdiagramm mit Erwartungswert beim zweimaligen Würfeln Ein ungezinkter sechsseitiger Würfel wird zweimal geworfen. a) Zeichne einen repräsentativen

Mehr

Klausur zur Vorlesung,,Algorithmische Mathematik II

Klausur zur Vorlesung,,Algorithmische Mathematik II Institut für angewandte Mathematik, Institut für numerische Simulation Sommersemester 2015 Prof. Dr. Anton Bovier, Prof. Dr. Martin Rumpf Klausur zur Vorlesung,,Algorithmische Mathematik II Bitte diese

Mehr

Simulation von Zufallsversuchen mit dem Voyage 200

Simulation von Zufallsversuchen mit dem Voyage 200 Simulation von Zufallsversuchen mit dem Voyage 00 Guido Herweyers KHBO Campus Oostende K.U.Leuven 1. Entenjagd Zehn Jäger, alle perfekte Schützen, lauern vor einem Feld auf Enten. Bald landen dort 10 Enten.

Mehr

Würfel-Aufgabe Bayern LK 2006

Würfel-Aufgabe Bayern LK 2006 Würfel-Aufgabe Bayern LK 2006 Die Firma VEGAS hat ein neues Gesellschaftsspiel entwickelt, bei dem neben Laplace-Würfeln auch spezielle Vegas-Würfel verwendet werden, die sich äußerlich von den Laplace-Würfeln

Mehr

Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 10. Übungsblatt

Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 10. Übungsblatt Dr. M. Weimar 3.06.206 Elemente der Stochastik (SoSe 206) 0. Übungsblatt Aufgabe (2+2+2+2+3= Punkte) Zur zweimaligen Drehung des nebenstehenden Glücksrads (mit angenommener Gleichverteilung bei jeder Drehung)

Mehr

Quadratwurzeln. ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert. unter der Wurzel heißt Radikand:

Quadratwurzeln. ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert. unter der Wurzel heißt Radikand: M 9.1 Quadratwurzeln ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert ergibt: Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand: Quadratwurzeln sind nur für positive Zahlen definiert: ; ; ; ; M 9.2 Reelle Zahlen

Mehr

Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable] Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-9 7. Semester ARBEITSBLATT 7-9. Was ist Wahrscheinlichkeit

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-9 7. Semester ARBEITSBLATT 7-9. Was ist Wahrscheinlichkeit ARBEITSBLATT 7-9 Was ist Wahrscheinlichkeit "Ein guter Mathematiker kann berechnen, welche Zahl beim Roulette als nächstes kommt", ist eine Aussage, die einfach falsch ist. Zwar befassen sich Mathematiker

Mehr

Daten und Zufall 6BG Klasse 9 Spiel. Efronsche Würfel

Daten und Zufall 6BG Klasse 9 Spiel. Efronsche Würfel Efronsche Würfel Hinweise für die Lehrkraft Die Schülerinnen und Schüler spielen in Zweierteams. Pro Team benötigt man einen Satz der vier Efronschen Würfel und für jede Schülerin bzw. jeden Schüler ein

Mehr

10 Bedingte Wahrscheinlichkeit

10 Bedingte Wahrscheinlichkeit 10 Bedingte Wahrscheinlichkeit Vor allem dann, wenn man es mit mehrstufigen Zufallsexperimenten zu tun hat, kommt dem Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit eine bedeutende Rolle zu. Wir klären dazu

Mehr

DSM Das Mathe-Sommer-Ferien-Vergnügen Klasse 9 auf 10 Juni 2016 Aufgaben zur Sicherung eines minimalen einheitlichen Ausgangsniveaus in Klasse 10

DSM Das Mathe-Sommer-Ferien-Vergnügen Klasse 9 auf 10 Juni 2016 Aufgaben zur Sicherung eines minimalen einheitlichen Ausgangsniveaus in Klasse 10 Aufgaben zur Sicherung eines minimalen einheitlichen Ausgangsniveaus in Klasse 10 Die Aufgaben sollen während der Sommerferien gelöst werden, damit notwendige Grundkenntnisse und Grundfertigkeiten nicht

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Kopiervorlagen Stochastik (2) - Wahrscheinlichkeitsrechnung

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Kopiervorlagen Stochastik (2) - Wahrscheinlichkeitsrechnung Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Kopiervorlagen Stochastik (2) - Wahrscheinlichkeitsrechnung Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de Blatt 26: Pfadregeln

Mehr

Risiko und Versicherung - Übung

Risiko und Versicherung - Übung Sommer 2009 Risiko und Versicherung - Übung Entscheidungstheoretische Grundlagen Renate Bodenstaff Vera Brinkmann r.bodenstaff@uni-hohenheim.de vera.brinkmann@uni-hohenheim.de https://insurance.uni-hohenheim.de

Mehr

4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)

4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte

Mehr

Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012

Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012 Weihnachtszettel zur Vorlesung Stochastik I Wintersemester 0/0 Aufgabe. Der Weihnachtsmann hat vergessen die Weihnachtsgeschenke mit Namen zu beschriften und muss sie daher zufällig verteilen. Dabei enthält

Mehr

Signalverarbeitung 2. Volker Stahl - 1 -

Signalverarbeitung 2. Volker Stahl - 1 - - 1 - Hidden Markov Modelle - 2 - Idee Zu klassifizierende Merkmalvektorfolge wurde von einem (unbekannten) System erzeugt. Nutze Referenzmerkmalvektorfolgen um ein Modell Des erzeugenden Systems zu bauen

Mehr

1.1 Direkte Proportionalität

1.1 Direkte Proportionalität Beziehungen zwischen Größen. Direkte Proportionalität Bei einer direkten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen,...wert der einen Größe x der doppelte, dreifache,... Wert der anderen Größe y zugeordnet.

Mehr

Station Ziegenproblem. Aufgabenheft

Station Ziegenproblem. Aufgabenheft Station Ziegenproblem Aufgabenheft Mathematik-Labor Station Ziegenproblem 1 Mathematik-Labor Station Ziegenproblem Liebe Schülerinnen und Schüler! Erfolgreiche Quizshows wie Let s Make A Deal aus Amerika

Mehr