STOCHASTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik. Prof. Dr. Barbara Grabowski. Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes

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1 STOCHASTIK Wahrschelchketstheore ud mathematsche Statstk Prof. Dr. Barbara Grabowsk Hochschule für Techk ud Wrtschaft des Saarlades

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3 Eletug - I - Eletug Dese Kursehet det der Vermttlug vo Grudketsse auf dem Gebet der Wahrschelchketsrechug ud mathematsche Statstk. Mathematsche Statstk ud Wahrschelchketsrechug sd zwe uterschedlche Teldszple der Mathematk, de ohe eader cht dekbar sd ud uter dem Sammelbegrff Stochastk zusammegefasst werde. Aufgabe der Wahrschelchketsrechug st es, Gesetzmäßgkete des Zufalls zu utersuche, bzw. mathematsche Modelle dafür zu lefer. De Wahrschelchketsrechug st zuglech das theoretsche Fudamet der mathematsche Statstk. Dese wrd der Regel de Teldszple Beschrebede Statstk ud Schleßede Statstk utertelt. Währed es der Beschrebede Statstk um Methode der Aufberetug ud Darstellug vo Datemateral geht, stehe m Mttelpukt der Schleßede Statstk Verfahre, mt dere Hlfe vo Beobachtugsdate ees Merkmals a Objekte eer Grudgesamthet, d.h. vo der sogeate Stchprobe, auf de Vertelug der Merkmalswerte der gesamte Grudgesamthet geschlosse wrd. Deser Schluss wrd mt Hlfe vo Methode der Wahrschelchketsrechug durch Irrtums- bzw. Scherhetswahrschelchkete bewertet. De Stochastk hat lägst vele modere wsseschaftlche Teldszple Ezug gehalte, auch de Iformatk ud de Kommukatostechk sd ohe stochastsche Methode cht mehr dekbar. Stochastsche Methode fde her zum Bespel Awedug - probablstsche Aalyse vo Algorthme - be der Coderug bzw. der Iformatostheore - der Sprach- ud Sgalverarbetug - be der Mustererkeug bzw. Bldverarbetug - be der Modellerug vo Recher- bzw. Iformatosetze - be der Smulato komplexer Systeme, we z.b. Fertgugs-, Iformatos-, Verkehrssysteme usw. Darüber haus sd Methode der beschrebede Statstk fester Bestadtel vo Datebaksysteme geworde ud fde als Data-Mg-Verfahre Awedug. Wr gebe deser Kursehet ee Eführug de Methode der Stochastk, wobe wr us aufgrud der beschräkte Setezahl deser Lehrehet auf ee Eführug de Wahrschelchketsrechug ud ege wege Methode der Schleßede Statstk beschräke. Für weter Methode der Stochastk, sbesodere auch der Beschrebede Statstk

4 - II - Stochastk verwese wr auf de m Lteraturverzechs des Ahags agegebee weterführede Lteratur. Im erste Kaptel werde Se mt dem Begrff der Wahrschelchket ud mt Grudgesetze des Reches mt Wahrschelchkete vertraut gemacht. Im Kaptel wrd der Begrff der Zufallsgröße egeführt ud de Methodk zur Modellerug der Wahrschelchketsverteluge vo Zufallgröße dargestellt. Kaptel 3 ethält Agabe über de Vertelug vo Summe ud adere Fuktoe vo Zufallsgröße. Im Mttelpukt vo Kaptel 4 steht de Aufgabe der Idetfzerug der Vertelug eer Zufallsgröße ahad vo Beobachtuge deser Zufallsgröße. Ahad deser Aufgabestellug werde wchtge Grudprzpe der Schleßede Statstk, we Pukt- ud Berechsschätzuge für Vertelugsparameter erläutert. De Kursehet schleßt mt dem Kaptel 5 ab, welchem ege typsche Aweduge der Stochastk der Iformatk vorgestellt werde, we Algorthme zur Erzeugug vo Zufallszahle ud hre Awedug be der Smulato dskreter Systeme, sowe de Modellerug vo Zustadsverläufe zetabhägger Größe durch stochastsche Prozesse, sbesodere Possoprozesse, ud Markov-Kette. Für de Herletug veler Aussage deser Kursehet beötgt ma Grudketsse der Aalyss, we z.b. de efache Itegralrechug ud der leare Algebra, we de Matrzerechug. Nach Durcharbete deser Kursehet sollte Se der Lage se, zufällge Eflussparameter stochastsche Systeme mathematsch modellere zu köe, d.h. sbesodere sollte Se mt Wahrschelchkete reche köe, auf der Bass eer Folge vo Beobachtuge ees Eregsses A desse Wahrschelchket mt vorgegebeer Geaugket schätze köe, der Lage se, auf der Bass vo Beobachtuge eer Zufallsgröße e Hstogramm aufzustelle ud ee Hypothese über de Vertelug der Zufallsgröße zu blde, sowe de Parameter der Vertelug zu schätze, Algorthme für de Erzeugug vo Zufallszahle typscher der Smulato verwedeter Verteluge etwckel köe, efache Berechuge mt Hlfe vo Markov-Kette durchführe köe.

5 Ihaltsverzechs - I - Ihaltsverzechs Ihaltsverzechs I Der Wahrschelchketsraum 3. Der Wahrschelchketsraum Kleer Exkurs zur Megelehre Zufällger Versuch ud zufällge Eregsse Das Eregsfeld Relatve Häufgket vo Eregsse ud Defto der Wahrschelchket Der klasssche Wahrschelchketsbegrff De geometrsche Wahrschelchket Bedgte Wahrschelchket ud stochastsche Uabhäggket vo Eregsse Totale Wahrschelchket ud Bayes sche Formel... 0 Zufallsgröße 4. Begrff der Zufallsgröße Dskrete Zufallsgröße Dskrete Zufallsgröße ud hre Wahrschelchketsvertelug Spezelle dskrete Wahrschelchketsverteluge Stetge Zufallsgröße Stetge Zufallsgröße, Vertelugsdchte ud Vertelugsfukto Bedgte Wahrschelchkete ud Quatle Spezelle stetge Verteluge Erwartugswert ud Varaz vo Zufallsgröße Verteluge vo Fuktoe vo Zufallsgröße Erwartugswert ud Varaz vo Summe ud leare Trasformatoe vo Zufallsgröße Verteluge vo Summe vo Zufallsgröße Schätzug vo Wahrschelchkete ud Idetfzere vo Verteluge durch statstsche Methode Schätzug eer ubekate Wahrschelchket... 54

6 - II - Stochastk 4. Schätzug ubekater Vertelugsparameter Idetfzere vo Verteluge Idetfzerug vo Verteluge aus theoretsche Überleguge Modellerug stetger Verteluge durch Hstogramme Ege Aweduge der Stochastk der Iformatk 7 5. Stochastsche Prozesse Begrffsbldug ud Bespele Der Posso-Prozess Markov-Kette Erzeugug vo Zufallszahle Erzeugug vo Zufallszahle dskreter Verteluge Erzeugug vo Realseruge stetg vertelter Zufallsgröße-de verse Trasformatosmethode Erzeugug vo Realseruge x eer stadardormalvertelte Zufallsgröße X N(0, Erzeugug eer Realserug x eer belebg ormalvertelte Zufallsgröße X N(µ, σ Bespel: Smulato ees Fertgugsvorgages Lteraturverzechs 97 Tabelle ud Dagramme 99 Lösugshwese zu de Aufgabe 0 Glossar Stchwortverzechs 9

7 Der Wahrschelchketsraum Der Wahrschelchketsraum I desem Abschtt werde der Wahrschelchketsbegrff für Eregsse defert ud de Grudgesetze des Reches mt Wahrschelchkete dargestellt. Se lere, hre Chace Glücksspele, de sogeate Laplace-Versuche, mttels klassscher Wahrschelchket zu bereche, ud Se werde Wahrschelchkete ahad geometrscher Überleguge bereche köe. Weterh werde de bedgte Wahrschelchket, de stochastsche Uabhäggket vo Eregsse ud das Reche mt der Bayessche Formel ausführlch dargestellt.. Der Wahrschelchketsraum De Wahrschelchketstheore utersucht mathematsche Modelle für reale Vorgäge, dee der Zufall ee Rolle spelt. Wr ee se Vorgäge mt zufällgem Ergebs ud bezeche se als zufällge Versuch. Bespel: Der Betreber eer Poststato teressert sch für de Wartezet vo Kude seer Alage. Er lässt se beobachte. Das Ergebs her de Wartezet - st cht vorhersagbar. E Vorgag mt zufällgem Ergebs läuft ab. Mt dem Vorgag sd Eregsse verbude: - De Wartezet st kleer als 0 Mute - De Wartezet beträgt mdestes 0 Mute - De Wartezet legt zwsche 0 ud 50 Mute Für de Beurtelug der Qualtät des Servces der Post st es vellecht otwedg, dass das Eregs: De Wartezet beträgt höchstes 0 Mute ee Wahrschelchket vo mdestes 0,95 bestzt. Das mathematsche Modell für ee Vorgag mt zufällgem Ergebs st der Wahrschelchketsraum [Ω,, P]. Herbe repräsetert Ω de Mege der möglche Ergebsse des Vorgags. ethält dejege Telmege vo Ω, de wr Eregsse ee ud wrd als Eregsfeld zu userem zufällge Versuch bezechet. P schleßlch st de sogeate Wahrschelchketsvertelug, de jedem Eregs aus ee als Wahrschelchket des Eregsses bezechete Zahl zwsche 0 ud

8 - 4 - Stochastk zuordet. Dese Wahrschelchket soll de Grad der Gewsshet über das Etrete des Eregsses ausdrücke. I de folgede Abschtte werde de Begrffe Eregs, Grudmege Ω, Eregsfeld ud Wahrschelchketsmaß P äher erklärt... Kleer Exkurs zur Megelehre Mege Es st der Wahrschelchketsrechug üblch, Eregsse durch Mege darzustelle. Auf dese Wese ka ma mt Eregsse we mt Mege reche. Ee Mege wrd agegebe, dem ma alle hre Elemete agbt, z.b. - durch Aufzählug oder - durch Agabe eer de Elemete charakterserede Egeschaft Dabe st zu beachte, dass jedes Elemet der Mege ur emal vorkommt. Mege werde mt Großbuchstabe, ud hre Elemete mt klee Buchstabe bezechet. x A bedeutet: x st Elemet der Mege A x A bedeutet: x st ke Elemet vo A A Azahl der Elemete A. Bespele: A{,,7}, B {x R x < 0}, A, B, A 3. Telmege, leere Mege, Potezmege Mege stehe Relatoe zueader. Es bedeutet: A B : De Elemete vo A ud B sd glech A B : De Elemete vo A sd auch B ethalte (A st Telmege vo B A B : De Elemete vo A sd auch B ethalte ud B ethält mdestes e Elemet, welches cht A ethalte st (A st echte Telmege vo B. De Mege Φ{}, de ke Elemet ethält, wrd als leere Mege bezechet. Offeschtlch glt für jede Mege A: Φ A. De Mege, de alle möglche Telmege eer Mege A ethält, wrd als Potezmege vo A bezechet: (A {M M A}. Bespel: Se A {,,7}. Da st (A { Φ, {},{},{7}, {,}, {,7}, {,7}, {,,7} }.

9 Der Wahrschelchketsraum Mege ka ma durch Operatoe mteader verküpfe. Dese Operatoe ka ma sch sogeate Ve-Dagramme veraschaulche: Megeoperatoe Operato Operator Bedeutug Ve-Dagramm Veregug A B ethält alle Elemete, de A oder B ethalte sd Durchschtt A B ethält alle Elemete, de A ud B ethalte sd Dfferez A \ B ethält alle Elemete, de A aber cht B ethalte sd Zwe Mege A ud B heße dsjukt, falls se ke gemesames Elemet bestze, falls also glt: A B Φ. dsjukte Mege Bespel: See A{,,3}, B{,3,7,9}. Da st: A B{,,3,7,9}, A B{,3}, A\B {}, B\A {7,9}. De Mege A B ud B\A sd dsjukt. Ist A M, also A ee Telmege eer Obermege M, so bezechet ma de Mege A M M\A als Komplemetärmege (bzw. Komplemet vo A (bzgl. M. Komplemetärmege Bespel: Se M {,,3,4,5,6}, A{,4,6}. Da st A M {,3,5}. Offeschtlch sd A ud A dsjukt ud hre Veregug ergbt M. M Megeoperatoe bestze Egeschafte. So zum Bespel sd ud kommutatv, aber \ cht. Weterh ka ma aus de Ve-Dagramme der Tabelle erkee, dass glt: (A B (A\B A. Im folgede Satz sd ege wchtge Egeschafte vo Megeoperatoe aufgelstet: Egeschafte vo Megeoperatoe Satz: (Egeschafte vo Megeoperatoe Es glt:. A BB A ud A BB A. (A B C (A C (B C ud (A B C (A C (B C 3. (A B C A (B C ud (A B C A (B C 4. A (A B (A\B 5. We A B, so glt A BA ud A B B ud A\B A

10 - 6 - Stochastk 6. We A M ud B M, so glt: ( A B M AM BM ud A B M AM BM Regel ( (de Morgasche Übugsaufgabe. Se A {,,3,4,5,6,7,8,9}, B{,4,6}, C{,4,0,40}. Bereche Se A B, B\A, C\A, B C, B, ς(b, ς(b. A. * Welches Bld gehört zu welcher Formel? Orde Se zu! aa (B C, ba (B C, ca (B C da (B C, e(a B C, f(a B C.3 * Stelle Se m folgede Dagramm de Mege ( B M A ud AM B M dar. Was stelle Se fest?.4.5 *.6 Mache Se sch aalog zu.3* de Aussage., 5. ud 6. des Satzes Egeschafte vo Megerelatoe klar, dem Se de Mege der lke Sete ud dejege der rechte Sete der jewelge Glechug m Ve-Dagramm darstelle ud dese Grafke da mteader vergleche. Se A ee Mege mt Elemete, d.h. se A. We vele Telmege mt k (k Elemete ethält A? Se A ee Mege mt Elemete, d.h. se A. Bereche Se (A!

11 Der Wahrschelchketsraum Zufällger Versuch ud zufällge Eregsse E uter Bebehaltug ees feste Komplexes vo Bedguge belebg oft wederholbarer Vorgag mt ugewssem Ausgag heßt zufällger Versuch. Wr bezeche h mt V. De Mege Ω der möglche Ergebsse vo V wrd als Grudmege bzw. Ergebsmege zu V bezechet. De Elemete ω vo Ω stelle jewels e möglches Ergebs be Durchführug vo V dar. Als Eregsse zu V bezechet ma Telmege vo Ω. Für Eregsse verwede wr Großbuchstabe A,B,C,.... De Aussage Das Eregs A st egetrete bedeutet, dass rgede Elemet vo A als Ergebs des zufällge Versuches beobachtet wurde. zufällger Versuch, Grudmege, Ergebsse, Eregsse. Bespel: Versuch : V Werfe ees Spelwürfels ege möglche Ergebsse: ω oder ω 6 Grudmege: Ω {,,3,4,5,6} ege möglche Eregsse: ugerade Augezahl : A {,3,5} Augezahl st größer als 3 : B {4,5,6} Augezahl st glech 6 : C{6}. Bespel: Versuch : V Ermttlug der Wartezet ees Kude der Post ege möglche Ergebsse: ω 0 Mute oder ω 5 Mute Grudmege: Ω {ω R ω 0 } (ethält alle möglche Wartezete ege möglche Eregsse: Wartezet st kleer al 0 Mute : A {ω R 0 ω < 0 } Wartezet legt zwsche 0 ud 50 Mute : B {ω R 0 ω 50 } Wartezet beträgt 5 Mute : C{5} Wr uterschede zwsche Elemetareregsse ud zusammegesetzte Eregsse. Elemetareregsse sd Eermege, de jewels geau e Ergebs des zufällge Versuchs ethalte. Damt trete emals zwe Elemetareregsse glechzetg e, se sd dsjukt. I usere Bespele stellt jewels das Eregs C e Elemetareregs dar. Demgegeüber heße Eregsse, de durch Veregug mehrerer Elemetareregsse etstehe, zusammegesetzte Eregsse. Da Eregsse durch Mege dargestellt werde, köe de Relatoe ud Operatore der Megelehre verwedet werde, um Relatoe zwsche ud Verküpfuge vo Eregsse darzustelle. Dabe bedeutet: Elemetareregs Verküpfug vo Eregsse

12 - 8 - Stochastk A B A B A B A B A \ B Mt dem Eregs A trtt auch das Eregs B e (A zeht B ach sch. A zeht B ach sch ud B zeht A ach sch. A oder B oder bede Eregsse trete e. (Summe vo Eregsse A ud B trete e. (Produkt vo Eregsse Das Eregs A aber cht das Eregs B trtt e. Wr köe de Summe ud das Produkt vo Eregsse auf mehr als zwe Eregsse verallgemeer. A A A L A Mdestes ees der Eregsse A,..., A L A Alle Eregsse A,...,,,trtt e.,,trete gemesam e. Komplemetäreregs, scheres Eregs, umöglches Eregs Das Eregs A Ω\A heßt Komplemetäreregs oder Gegeeregs zu A ud bedeutet, dass A cht etrtt. Zwe Eregsse A ud B heße dsjukt, we se cht gemesam etrete, d.h., we glt: A B Φ. E Eregs, welches be jeder Durchführug des Versuchs V etrtt, heßt scheres Eregs ud ees, welches e etrtt umöglches Eregs. Offeschtlch st Ω e scheres ud Ω Φ e umöglches Eregs. Der Abschtt... agegebee Satz über Egeschafte vo Megeoperatoe glt geauso für de etsprechede Verküpfuge vo Eregsse..7 I eem Reaktoszetversuch V see folgede Eregsse vo Iteresse: A De Reaktoszet st größer oder glech 3 Sekude, B De Reaktoszet st cht größer als 5 Sekude, C De Reaktoszet st größer als 7 Sekude, D De Reaktoszet legt zwsche 3 ud 5 Sekude (eschleßlch 3 ud 5. a Stelle Se A,B,C,D als Mege dar! b I welcher Relato stehe A ud C zueader? c Stelle Se D aus A ud B uter Verwedug vo Megeoperatoe dar! d Welches Eregs wrd durch de Mege A\C beschrebe? Gebe Se de Mege a! e Gebe Se alle Paare dsjukter Eregsse a, de sch aus A,B,C ud D blde lasse!

13 Der Wahrschelchketsraum Das Eregsfeld Zu eem Versuch köe wr mmer vele Eregsse defere. Alle Eregsse sd mmer Telmege der Grudmege Ω. Im folgede fasse wr de be Durchführug vo V praktsch relevate Eregsse eer Mege, dem sogeate Eregsfeld vo V zusamme. Wr forder dabe, dass de Awedug der Operatoe, ud \ auf de Eregsse des Eregsfeldes cht aus desem hausführt, d.h., wr forder, dass Eregsfeld alle Eregsse ethält, de sch durch Awedug der Megeoperatoe, ud \ blde lasse. Eregsfeld Defto: Se V e zufällger Versuch mt der Grudmege Ω. E Eregsfeld EE (Ω zu V über Ω st ee Mege vo Eregsse A Ω, de folgede Egeschaft bestzt:. E ethält das umöglche Eregs Φ ud das schere Eregs Ω, also Φ E ud Ω E.. We A E ud B E, so st auch A B E ud A B E. 3. We A E, so st auch das Komplemet A E. 4. Mt abzählbar uedlch vele Eregsse A E,,,..., sd auch dere Summe A ud dere Produkt A ethalte. Eregsfelder zu eem zufällge Versuch sd cht edeutg bestmmt. Bespel: Se V der zufällge Versuch Würfel mt eem Würfel. Da st de Grudmege Ω{,,3,4,5,6}. Möglche Eregsfelder zu V sd:. E {Φ, {,4,6}, {,3,5}, Ω}. E ς(ω {A A Ω}..8 Se V der zufällge Versuch Würfel mt eem Würfel. a Gebe Se mdestes zwe wetere Eregsfelder zu V a! b Warum st {Φ, {}, {4}, {,3,5,6}, Ω} ke Eregsfeld zu V? c We vele Eregsse ethält das Eregsfeld E (Ω? Üblcherwese legt ma der Wahrschelchketsrechug be Versuche V mt edlche Grudmege Ω de Potezmege E (Ω als Eregsfeld zugrude, da deses Eregsfeld alle möglche zu V deferbare Eregsse, sbesodere de Elemetareregsse, ethält. Be Versuche mt reelle Grudmege (ΩR wrd der Regel als Eregsfeld cht de Potezmege vo R, soder ee etwas kleere Mege, ämlch de

14 - 0 - Stochastk Mege der sogeate Borel-Mege zugrude gelegt, de alle offee, halboffee ud abgeschlossee reelle Zahle-Itervalle, sowe dere Summe, Produkte ud Komplemete ethält. Auf ee ausführlche Defto der Borel-Mege se her verzchtet. Vollstädges Eregssystem Defto: Se V e zufällger Versuch mt der Grudmege Ω ud dem Eregsfeld. Ee Mege vo Eregsse A, A,..., A, A Ω für,...,, heßt vollstädges Eregssystem, falls glt: a A A Φ für j ud b A A L A Ω k. j Übugsaufgabe.9 * Se V der zufällge Versuch Zwemalger Müzwurf. E Versuchsausgag se durch das Paar ω(m, M, M {K,Z}, beschrebe (M.: Ergebs des.te Wurfes,,. a Gebe Se Ω a! b Gebe Se das Eregsfeld (Ω a! c Beschrebe Se de Eregsse A{(K,K,(Z,K}, B{(K,K,(Z,Z}, C{(K,K, (Z,K, (K,Z} Worte! d Gebe Se mdestes vollstädge Eregssysteme (Ω a!.0 * E Eregsfeld zu eem Versuch V ethalte de Eregsse A ud B. Zege Se, dass de Eregsse A B, A B, A B, A B e vollstädges System vo Eregsse blde!..4 Relatve Häufgket vo Eregsse ud Defto der Wahrschelchket Wll ma wsse, we groß de Chace des Etretes ees Eregsses A be Durchführug ees Versuches V st, so köte ma de Versuch mal durchführe ud dabe beobachte, we oft A egetrete st, d.h., de relatve Häufgket h (A vo A ermttel. De relatve Häufgket h (A st der Atel der Versuche a de Versuchswederholuge, dee A etrtt. Trtt A bespelswese be 50 Versuche 0 mal e, so st h (A0/50 /5. Welcher Wert sch für h (A eer kokrete Versuchsrehe ergbt, st vom Zufall

15 Der Wahrschelchketsraum - - abhägg, d.h., ka cht mt Bestmmthet vorhergesagt werde. Deoch bestzt de relatve Häufgket allgemegültge Egeschafte, z.b. :. 0 h (A,. h (Ω, 3. We A BΦ, so st h (A B h (A+h (B. Da de relatve Häufgket vom Zufall abhägt ud außerdem mt der Azahl der Versuche stark schwakt, st se ke deales Maß für de Quatfzerug der Chace des Etretes vo A. Wr komme deshalb zu eem allgemeere Begrff, dem der sogeate Wahrschelchket P(A ees Eregsses A. P(A st e dealsertes cht vom Zufall abhägedes Modell der relatve Häufgket. Damt de Wahrschelchket P( e gutes Modell für de relatve Häufgket h ( se ka, muss se de o.g. 3 grudlegede Egeschafte der relatve Häufgket erfülle. Für ee mathematsche Defto blde se 3 vo 4 Axome, de vom russsche Mathematker Kolmogorov 933 festgelegt wurde ud aus dee sch de gaze Wahrschelchketstheore herlete lässt. Defto: (Axomatsche Defto der Wahrschelchket Se V e zufällger Versuch mt der Grudmege Ω ud dem Eregsfeld (Ω. Da heßt jede Abbldug P: [0,] Wahrschelchketsmaß auf, falls für alle Eregsse A, B, A (,,... aus dem Eregsfeld folgede Egeschafte (Axome erfüllt sd:. 0 P(A,. P(Ω, 3. We A BΦ, so st P(A BP(A+P(B, 4. P ( A P( A, falls A A j Φ für j. P(A wrd als Wahrschelchket (Chace des Etretes vo A be emalger Durchführug des Versuchs V bezechet. Axomatsche Defto der Wahrschelchket We ma de Versuchsumfag eer Versuchsrehe sehr groß macht (m Idealfall gege gehe lässt, so wrd ma feststelle, dass sch de relatve Häufgket h (A stets auf e ud deselbe feste Wert, ud zwar P(A, epegelt. Dese Egeschaft bezechet ma als Stabltät der relatve Häufgket. Demzufolge ka ma de Wahrschelchket P(A auch als Vorhersagewert für de relatve Häufgket betrachte, mt der das Eregs A eer lage Rehe vo Wederholuge des Versuchs V etrtt. So st P(A 0,5 de Wahrschelchket dafür, bem Müzwurf Kopf zu werfe, glechzetg bedeutet deser Wert aber auch, dass be malgem Müzwurf ( groß ugefähr 50 Prozet aller Würfe Kopf geworfe wrd. Umgekehrt

16 - - Stochastk Egeschafte der Wahrschelchket lefert ee beobachtete relatve Häufgket ee Schätzwert für de Wahrschelchket des betrachtete Eregsses. Je größer dabe st, desto geauer st deser Schätzwert für P(A. Aus de o.g. 4 Axome folge ee Rehe weterer Egeschafte der Wahrschelchket P. Ege davo fasse wr folgedem Satz zusamme: Satz: (Egeschafte der Wahrschelchket Se V e zufällger Versuch mt der Grudmege Ω ud dem Eregsfeld (Ω. Da bestzt e Wahrschelchketsmaß P auf für alle Eregsse A, B, A (,,... aus dem Eregsfeld folgede Egeschafte:. 0 P(A,. P(Φ0, P(Ω, 3. P( A -P(A, 4. P( A P( A, für alle N, falls A A j Φ für j, 5. P(A B P(A+P(B-P(A B 6. We A B, so st P(A P(B Bewes: Stellvertreted bewese wr de Aussage 3. des Satzes. Es glt: Ω A A ud es st A A Φ. I Awedug der Axome ud 3 der Wahrschelchketsdefto erhalte wr: P(Ω P(A A P(A+P( A Stelle wr dese Glechug ach P( A um, so erhalte wr de Behauptug 3. des Satzes.. Zege Se, dass für zwe belebge Eregsse A ud B ees Eregsfeldes glt: P(A B P(A+P(B-P(A B. Bespel: De Hochbegabug vo Kder eer bestmmte Alterstufe wrd mt zwe Testverfahre ermttelt. bestehe de Kder bede Tests, so werde se als hochbegabt egestuft. Es se bekat, dass % der Kder der betrachtete Altersstufe Test (T besteht. De Wahrschelchket, dass e Kd de zwete Test (T besteht, st 0,0. Isgesamt bestehe 99% weder de erste och de zwete Test. Mt welcher Wahrschelchket wrd e Kd als hochbegabt egestuft? Lösug: Es glt: P(T0,0, P(T0,0 ud P( T T 0,99. Gesucht st P(T T. Aus de Egeschafte vo P folgt: P(T T P(T+P(T-P(T T. Da T T das Komplemet vo T T st, glt weterh P(T T-P( T T 0,0. Daraus folgt für de gesuchte Wahrschelchket

17 Der Wahrschelchketsraum P(T T P(T+P(T-P(T T 0,0+0,0-0,0 0,0. Das heßt, dass Prozet der Kder der betreffede Altersklasse als hochbegabt egestuft werde. Übugsaufgabe. * Be der Herstellug ees Produktes trete Fehler F cht maßhaltg ud F cht fuktosfähg mt de Wahrschelchkete P(F0,0 ud P(F0,0 e. Mt mdestes eem Fehler behaftet sd sgesamt 0,5 % aller Produkte. E Produkt st ur da verkäuflch, we es kee der bede Fehler bestzt. Mt welcher Wahrschelchket st e Produkt verkäuflch?.3 * I deutschsprachlche e-mals trtt das Wort Vagra mt der Wahrschelchket 0,0 auf. Das Wort Rolex trtt % aller Fälle auf. Mt mdestes eem deser bede Worte sd,5 % aller e-mals behaftet. Ee e-mal wrd ur da cht als spamverdächtg klassfzert, we se kees der bede Worte ethält. Mt welcher Wahrschelchket wrd ee e-mal cht als spamverdächtg egestuft?. Der klasssche Wahrschelchketsbegrff Berets m 7. Jahrhudert teresserte ma sch für de Berechug vo Gew-Wahrschelchkete Glücksspele. Charakterstsch für Glücksspele st es, dass he zufällge Versuche zugrude lege, be dee es ur edlch vele glechwahrschelche Versuchsausgäge gbt. Dese Versuche bezechet ma als Laplace-Versuche. De Wahrschelchket Laplace-Versuche wrd als klasssche Wahrschelchket bezechet. Se st glech dem Quotete aus der Azahl der für deses Eregs güstge Versuchsausgäge ud der Gesamtzahl der möglche Versuchsausgäge, Im folgede werde wr sehe, dass sch dese Formel als Spezalfall aus de 4 Axome der Wahrschelchket ergbt. Laplace-Versuch

18 - 4 - Stochastk Klasssche Wahrschelchket Defto: Se V e zufällger Versuch mt der edlche Grudmege Ω { ω,..., ω m }. Ist P( ω p für alle,...,m, so heßt V Laplace-Versuch. Satz: (Klasssche Wahrschelchket Laplace-Versuche Se V e Laplace-Versuch mt der Grudmege Ω ω,..., ω }. Da glt. P({ ω } m ud { m A. P(A Ω für jedes Eregs A ς(ω. Bewes zu. Es st P( Ω P({ ω }... { ω } P({ ω } p mp. Daraus folgt de Behauptug pp({ ω }. m m m m.4 Bewese Se de Behauptug. des Satzes! De Berechug der klasssche Wahrschelchket läuft auf de Ermttlug der Azahl vo Elemete eer Mege haus. Dazu beötge wr m wesetlche zwe kombatorsche Formel. Satz: (Kombatorsche Formel. Es gbt geau! Vertauschuge vo Elemete auf Plätze.!. Es gbt geau. k-elemetge Telmege eer - k k!( k! elemetge Mege. Mt dese bede Formel ka ma ahezu belebge Aufgabe zur klasssche Wahrschelchket löse. Bespel: We groß st de Wahrschelchket dafür, bem Würfel mt 5 Würfel (Kffel geau mal de Augezahl 4 ud des wetere de Zahle,,3 gewürfelt werde? Lösug: Wr überlege us zuächst, we de Elemetareregsse aussehe. Ee Versuchsausgag ka ma offeschtlch durch e 5 Tupel (,,3,4,5 mt j {,,3,4,5,6} beschrebe, j st de Augezahl des j-te Würfels. Ω st de Azahl aller 5-Tupel. Da jeder Würfel 6 Möglchkete bestzt ud alle 5-Tupel durch ee Kombato der 6 Möglchkete aller 5 Würfel etstehe, glt: Ω Das Eregs A st de Mege aller 5-Tupel, dee mal ee 4 ud de Zahle,, 3 vorkomme. Würde wr alle dese 5 Tupel auflste wolle, müsste wr aus de 5 Würfel mmer auswähle, dee wr de 4 zuorde, der Rest bekommt

19 Der Wahrschelchketsraum ! de Zahle,,3. Es gbt geau 0 Möglchkete Würfel aus!3! füfe auszuwähle. Habe wr zwe Würfel festgelegt, so orde wr de restlche 3 Würfel de Zahle,,3 zu. Dafür gbt es geau 3! 5 5! Möglchkete. Folglch st A 3! 60 ud es ergbt sch! A 60 0 P(A 0, 008. De Chace, mal ee 4 ud de Zahle,,3 5 4 Ω 6 6 zu würfel, beträgt 8 zu 000. Übugsaufgabe.5 * We groß st de Wahrschelchket dafür, bem Würfel mt 5 Würfel mal de 4 ud 3 mal de 6 zu würfel?.6 * We groß st de Wahrschelchket dafür, bem 3 malge Würfel mt eem glechmäßge Würfel mdestes mal ee 6 zu würfel?.7 * Aus Buchstabe m,,,,, s, s, s, s, p p wrd zufällg der Rehe ach jewels eer ausgewählt ud zu eem Wort agelegt. We groß st de Wahrschelchket dafür, dass das Wort msssspp etsteht?.3 De geometrsche Wahrschelchket De klasssche Wahrschelchket st ur da awedbar, we de Grudmege Ω edlch ud jedes Elemet aus Ω glechwahrschelch st. Häufg st de Grudmege aber cht edlch. We wr de Eregsse A Ω eer cht edlche Grudmege als aber Fläche (Mege vo Pukte m R betrachte köe, wobe jeder Pukt deser Fläche e elemetares Ergebs ees zufällge Versuchs darstellt ud alle dese elemetare Ergebsse glechwahrschelch sd, so lässt sch de Wahrschelchket P(A ebefalls Aaloge zur klasssche Wahrschelchket lecht bereche. Se F(A der Flächehalt der dem Eregs A etsprechede Fläche ud se F(Ωder Flächehalt der dem Eregs Ω etsprechede geometrsche Wahrschelchket

20 - 6 - Stochastk Fläche. F( A Als geometrsche Wahrschelchket wrd da P(A F( Ω bezechet. I aaloger Wese lasse sch auch Wahrschelchkete m eoder dredmesoale Raum bereche. Im edmesoale Raum etsprcht bespelswese jedes Eregs eem reelle Itervall. Ist l(a de l( A Läge des dem Eregs A etsprechede Itervalls, so st P(A. l( Ω Vorausgesetzt werde muss dabe mmer, dass de Elemete vo Ω mt der gleche Wahrschelchket als Versuchsergebs etrete köe. Bespel: Zwe Persoe verebare, sch a eem bestmmte Ort zwsche 0 ud Uhr zu treffe. Jede der bede Persoe wählt de Zetpukt hrer Akuft uabhägg vo der adere Perso. Geauere Agabe wolle se cht mache, se verabrede aber, dass jede der bede Persoe auf de adere otfalls 5 Mute wartet, daach aber geht. We groß st de Wahrschelchket dafür, dass sch bede Persoe treffe? Lösug: De Akuftszete der bede Persoe bezeche wr mt x bzw. y (Mute ud stelle Se als Pukte ω(x,y der Ebee dar. Offeschtlch st da de Grudmege Ω{(x,y 0 x 60 ud 0 y 60} ud das teresserede Eregs A, dass sch de bede Persoe treffe wrd durch de Mege A{(x,y x-y 5} beschrebe. Wr bereche u de Flächehalt vo Ω ud A. We ma der Grafk etehme ka st F(Ω , F(A ud somt erhalte wr P(A F( A F( Ω ,44. Übugsaufgabe

21 Der Wahrschelchketsraum * We groß muss m obge Bespel de Wartezet der bede Persoe mdestes se, damt de bede Persoe sch mt mdestes 75 %ger Wahrschelchket treffe, also P(A 0.75 glt?.9 * Ee Strecke der Läge L wrd durch zwe zufällg gewählte Telpukte 3 Stücke zerlegt. Ma bereche de Wahrschelchket dafür, dass aus dese 3 Tele e Dreeck gebldet werde ka! Hwes: Überlege Se sch zuächst, welche Bedguge a de 3 Telstücke gestellt werde müsse, um aus he e Dreeck blde zu köe!.4 Bedgte Wahrschelchket ud stochastsche Uabhäggket vo Eregsse E Zufallsexpermet se durch de Grudmege Ω beschrebe. E Eregs A Ω hat da de Wahrschelchket P(A. We ädert sch dese Wahrschelchket, we wr de Zusatzformato erhalte, dass m Expermet das Eregs B egetrete st? Bem Würfel mt eem Würfel st de Wahrschelchket ee 6 zu würfel glech /6. Erhalte wr aber de Zusatzformato, dass ee gerade Zahl gewürfelt wurde, so st de Wahrschelchket für ee 6 glech /3. Wr gehe be usere Überleguge vo Ω zu eem kleere Grudraum B über ud bereche desem Grudraum de Wahrschelchket für A B. Defto: Se V e zufällger Versuch mt der Grudmege Ω ud dem Eregsfeld. See A ud B zwe belebge Eregsse zu V mt P(B>0. Da heßt P( A B P(A B P( B bedgte Wahrschelchket vo A uter der Bedgug B. Bedgte Wahrschelchket Spezell st P(B B, de aufgrud der Iformato st das Etrete vo B scher. De bedgte Wahrschelchket P(. B st be festgehalteer Bedgug B e Wahrschelchketsmaß auf, d.h. P(. B erfüllt alle Axome ud Egeschafte der Wahrschelchket, de Abschtt..4 dargestellt wurde. Isbesodere glt da auch P( A B P( A B. Ma beachte aber, dass m allgemee P( A B P( A B st.

22 - 8 - Stochastk.0 Zege Se ahad der Deftosglechug der bedgte Wahrschelchket, dass P( A B P( A B glt! Multplkatossatz Multplzere wr der Deftosglechug für de bedgte Wahrschelchket bede Sete mt P(B, so erhalte wr de sogeate Multplkatosformel: P( A B P( A B P( B Oftmals sd de Wahrschelchkete P(A B ud P(B gegebe oder lecht zu ermttel ud de Multplkatosformel wrd da agewedet, um de Produktwahrschelchket P( A B zu ermttel. De Multplkatosformel lässt sch auf belebg vele Eregsse verallgemeer: Satz: (Multplkatossatz Se V e zufällger Versuch mt der Grudmege Ω ud dem Eregsfeld. See A,,...,, belebge Eregsse. Da glt: P( A A L A P( A P( A A P( A 3 A A L P( A A L A Bespel: Aus eem gut gemschte Kartespel solle 3 Speler acheader ee Karte zehe. Mt welcher Wahrschelchket zeht jeder Speler ee Pk-Karte (Eregs A? Lösug: Uter de 3 Karte sd 8 Pk-Karte. De Wahrschelchket, dass der erste Speler ee Pk-Karte zeht st P(A8/3/4. Nachdem der erste Speler ee Pk-Karte gezoge hat, sd ur och 3 Karte ud davo 7 Pk- Karte m Spel. Somt st de Wahrschelchket dafür, dass der zwete Speler ee Pk-Karte zeht P(A A 7/3. Aalog erhalte wr da P(A3 A A6/30 ud somt: P(A P(A A A Uabhägge Eregsse Produktformel für uabhägge Eregsse Verädert de Iformato über das Etrete vo B de Chace für A cht, d.h. glt P(A BP(A, so heße A ud B stochastsch uabhägg. Für uabhägge Eregsse glt de Produktformel: P( A B P( A P( B

23 Der Wahrschelchketsraum Bespel: Sd de bede Eregsse A Würfel eer gerade Zahl ud B Würfel eer Zahl 4 stochastsch uabhägg? Es glt: P(A/3 ud P(B A/3. Damt sd P(A P(B A ud folglch sd A ud B cht stochastsch uabhägg. Das gleche Ergebs erhalte wr, we wr de Produktformel utersuche: Es st P(A/3, P(B/3 ud P(A B/6. Folglch st P(A B P(AP(B, woraus folgt, dass A ud B cht stochastsch uabhägg sd. De Defto der Uabhäggket vo belebge Eregsse seht etwas komplzerter aus. De haltlche Bedeutug st aalog zum Fall zweer Eregsse: das Etrete jewels ees Tels der Eregsse beeflusst de Chace des Etretes des adere Tels cht. Für de Berechuge st de Verallgemeerug der Produktformel wchtg: Sd Eregsse A, A, L, A stochastsch uabhägg, so glt für jede belebge Telauswahl A *, A*, L, Ak * vo k Eregsse aus dese : Allgemee Produktformel für uabhägge Eregsse P( A * A* L Ak* P( A* P( A* L P( Ak* Bespel: De Wahrschelchket, dass e Beobachter eem gewsse Zetraum e Sgal auf eem Bldschrm überseht, se 0, ud be alle Beobachter glech. We vele uabhägg voeader arbetede Beobachter beötgt ma, we sgesamt de Wahrschelchket dass e Sgal übersehe wrd (Eregs A, cht größer als 0,0 se soll? Lösug: Se A das Eregs Das Sgal wrd vo Beobachter übersehe. Da glt P(A 0,. Da de Beobachter uabhägg voeader arbete, glt: P(A P A A L A P( A P( A P( A L P( A (0, ( 3 De geforderte Bedgug war: 0, 0, 0. daraus folgt durch Logarthmere : log( 0, log(0, log(0,0. Be der Auflösug der Glechug ach muss ma durch de egatve Wert log(0, dvdere; dadurch kehrt sch das Relatoszeche um. Wr erhalte: log(0,0,86. Das heßt, dass mdestes 3 Beobachter ötg sd. log(0,

24 - 0 - Stochastk Übugsaufgabe. * E System besteht aus 4 Elemete, de we folgt ageordet sd: Das System verhält sch we be Rehe- ud Parallelschaltuge. Es fuktoert, we mdestes ee Rehe fuktoert. Ee Rehe fuktoert, we alle Elemete der Rehe fuktoere. Jedes Elemet arbetet uabhägg vo de adere mt der gleche Wahrschelchket p0,9, d.h. fällt mt der Wahrschelchket 0, uabhägg vo de adere Elemete aus. a We groß st de Wahrschelchket dafür, dass das System S fuktoert? b We groß st de Wahrschelchket dafür, dass Elemet fuktoert uter der Bedgug, dass das System fuktoert?. * Aus Buchstabe m,,,,, s, s, s, s, p p wrd zufällg der Rehe ach jewels eer ausgewählt ud zu eem Wort agelegt. Bereche Se uter Verwedug des Multplkatossatzes de Wahrschelchket dafür, dass das Wort msssspp etsteht!.3* Zwe Studete Versuche uabhägg voeader de gleche Übugsaufgabe zu löse. Jeder der bede fdet de rchtge Lösug mt der Wahrschelchket 0,6. We groß st de Wahrschelchket dafür, dass mdestes eer der bede de Aufgabe rchtg löst?.5 Totale Wahrschelchket ud Bayes sche Formel Oft lege Wahrschelchkete für e vollstädges System vo Eregsse A, A,..., A vor, sowe de Wahrschelchkete P(B/A für das Etrete ees wetere Eregsses B uter der Bedgug A ud es st P(B ud/oder P(A /B gesucht.

25 Der Wahrschelchketsraum - - Sd A, A,..., A e vollstädges System vo Eregsse, so glt: B A B ( A B L ( A, wobe alle Eregsse ( A B ud ( B ( A j B paarwese für j dsjukt sd. Nach Axom 3 der Wahrschelchket erhalte wr da P(B P( ( A B ud aus dem Multplkatossatz für Eregsse folgt daraus P(B P ( A P( B /. A P( A B Dese Formel wrd als Formel der totale Wahrschelchket bezechet. Totale Wahrschelchket De Wahrschelchket für das Etrete vo A j uter der Voraussetzug, dass B egetrete st ergbt sch u lecht gemäß folgedem Satz: Satz: (Formel vo Bayes Sd A, A,..., A e vollstädges System vo Eregsse ud B e weteres Eregs, so glt: Satz vo Bayes P( A j B P( A j P( B / A j P ( A j B. P( B P( A P( B / A Dese Formel trägt de Name des Egläders Thomas Bayes, der se m Jahre 764 etwckelte ud damt als erster de Versuch uterahm, für statstsche Schlüsse logsche Grudlage azugebe. Ee besodere Bedeutug deser Formel legt folgeder Überlegug: Ageomme, ee drekte Beobachtug der Eregsse A,...,A st cht möglch ud ma hat auf rgedee Wese aber ee Afags-Iformato über dere Wahrschelchkete P(A,..,P(A erhalte. Dese werde als a- pror-wahrschelchkete bezechet. Beobachtet ma u be Durchführug des zufällge Versuchs das Eregs B, so st ma bestrebt, dese Iformato zur verbesserte Etschedugsfdug darüber zu verwede, welches der Eregsse A,...,A egetrete st. I desem Zusammehag pflegt ma de Wahrschelchkete P(A /B,..., P(A /B als a-posteror-wahrschelchkete zu bezeche. Ee adere Awedug deser Formel besteht dar, de Treschärfe ees beobachtete Eregsses B für de Etschedug, dass e Eregs A egetrete st, zu beurtele. Etschedet ma sch be Auftrete vo B für das Eregs A, so wrd P(A j /B für j als Irrtumswahrschelchket be deser Etschedug terpretert. Bespel: E Übertragugssystem sedet ud empfägt de Zeche 0 ud (Eregsse S0 ud S. I 80 % aller Fälle wrd ee 0 0 % aller Fälle ee gesedet. De Übertragug st fehlerbehaftet. De Wahrschelchket dafür,

26 - - Stochastk dass ee empfage wrd (Eregs E, uter der Bedgug, dass ee 0 gesedet wurde, beträgt 0,0. De Wahrschelchket dafür, dass ee 0 empfage wurde (E0 uter der Bedgug, dass ee gesedet wurde, st 0,0. Wr stelle us u auf de Stadpukt, dass wr ur de empfagee Zeche beobachte köe. Es werde ur de Zeche 0 ud empfage. a I wevel % aller Fälle wrd ee empfage ud b we groß st de Wahrschelchket dafür, dass tatsächlch auch ee gesedet wurde, we ee empfage wurde? Lösug: Offeschtlch blde S0 ud S e vollstädges Eregssystem. Gegebe sd folgede Wahrschelchkete: P(S00,8, P(S0,, P(E/S00,0 ud P(E0/S0,0. Gesucht sd a P(E ud b P(S/E. Gemäß der Formel der totale Wahrschelchket glt: P ( E P( S0 P( E S0 + P( S P( E S. Da ur de Zeche 0 ud empfage werde, st P ( E S P( E0 S 0,0 0,98 ud wr erhalte für a P ( E 0,8 0,0 + 0, 0,98 0,04 Wr sehe, dass de Wahrschelchket dafür, ee zu empfage sch als bewchtetes Mttel der Wahrschelchkete ergbt, ee zu empfage, we tatsächlch ee gesedet wurde ud ee zu empfage, we kee gesedet wurde. Aufgrud des Übertragugsfehlers empfage wr etwas mehr Ese als gesedet wurde. Für de Wahrschelchket b ergbt sch ach der Bayes sche Formel: P( S P( E/ S 0, 0,98 P ( S E 0,96. P( E 0,04 Übugsaufgabe.4* Wr wolle de Zuverlässgket ees SPAM-Flters utersuche, dabe ehme wr a, dass wr geau wsse, was ee SPAM st!. User SPAM-Flter arbetet we folgt: Es werde alle Texte als SPAM egestuft, dee das Wort Vagra vorkommt (Eregs B. I jedem adere Fall werde de Texte als O.K. egestuft. Es soll de Zuverlässgket deses SPAM-Flters, d.h., de Treschärfe des Wortes Vagra utersucht werde. Aus Utersuchuge vo Texte se bekat, dass 0 % aller Texte SPAM s sd. Es se weterh bekat,

27 Der Wahrschelchketsraum dass 90% aller Texte, de tatsächlch SPAM s sd, das Wort Vagra vorkommt, aber leder auch % aller Texte, de kee SPAM s sd. a We groß st de Wahrschelchket dafür, dass e Text, der als SPAM egestuft wurde auch wrklch e SPAM st? b We groß st de Wahrschelchket dafür, dass e cht als SPAM egestufter Text e SPAM st?.5* Ee Frma bezeht jewels 30 %, 0% bzw. 50% vo beötgte Tele vo 3 verschedee Zuleferer Z, Z bzw. Z3. Über de Ausschussrate (Atel der defekte Tele uter de geleferte se bekat, dass se be Z %, be Z ud Z3 % bzw. 0,5 % beträgt. a Wevel % Ausschuss (Eregs A erhält de Frma sgesamt? b Mt welcher Wahrschelchket stammt e defektes Tel vo Z?

28 - 4 - Stochastk Zufallsgröße I desem Kaptel wrd der Begrff der Wahrschelchket auf Zufallsgröße erwetert. Es wrd der Begrff Zufallsgröße egeführt ud es wrd erläutert, we de Wahrschelchketsverteluge vo Zufallsgröße mathematsch beschrebe werde. Wr uterschede zwsche dskrete ud stetge Zufallsgröße, de sch hschtlch der Modellerug hrer Verteluge uterschede. I desem Kaptel lere Se weterh ege für de Awedug der Iformatk wchtge spezelle Verteluge für dskrete ud stetge Zufallsgröße kee. Für dskrete Zufallsgröße sd das de Glechvertelug, de Bomalvertelug ud de Possovertelug. Für stetge Zufallsgröße werde de stetge Glechvertelug, de Expoetalvertelug ud de Normalvertelug dargestellt. Se lere we sch de Verteluge voeader uterschede, welche Awedugsfälle welches Vertelugsmodell zu verwede st, we mt de Verteluge zu reche st ud welche praktsche Bedeutug de jewelge Vertelugsparameter bestze. Weterh werde typsche Parameter vo Verteluge vo Zufallsgröße, we Erwartugswert, Varaz ud Quatle egeführt.. Begrff der Zufallsgröße Es gbt vele praktsche Awedugsfälle, dee cht de elemetare Versuchsausgäge ω, soder aus dese abgeletete reelle Größe X(ω, de sogeate Zufallsgröße, teressere. Zufallsgröße ka ma auch als Abblduge vo Ω de Mege der reelle Zahle auffasse: X: ω Ω X(ω R. Be der zufällge Auswahl eer Perso köte z.b. ω der Name der Perso ud X(ω hr Ekomme oder hr Alter se. I der Qualtätskotrolle köte X(ω de Azahl der defekte Tele eem Los bestehed aus Tele se. ω st da e -Tupel, bestehed aus de Zahle 0 (Tel st O.K ud (Tel st defekt, X(ω wäre glech der Summe der Elemete vo ω. Adere Bespele sd de zufällge Azahl der Kude eem Postamt, de zufällge Azahl der defekte Sektore auf eer Festplatte, de zufällge Zet, de zwsche dem Etreffe zweer Nachrchte vergeht, de zufällge durchschttlche Temperatur ud Nederschlagsmege eem bestmmte Moat a eem bestmmte Ort, das alles sd Zufallsgröße.

29 Zufallsgröße I alle dese Fälle teressert us cht, mt welcher Wahrschelchket P(A e Eregs A Ω etrete wrd, soder us teressert, mt welcher Wahrschelchket X Werte eer Mege B R ammt, also P X (B. Fasse wr Eregsse B R zu eem Eregsfeld E zusamme ud forder wr, dass für jedes Eregs B E das zugehörge Urblderegs X ( B { ω Ω X ( ω B} A B dem Eregsfeld (Ω vo Ω legt ud dass P e Wahrschelchketsmaß auf (Ω st, so ka ma de Wahrschelchket ees belebge Eregsses B E auf atürlche Wese bestmme zu: P X ( B P({ ω Ω X ( ω B} P(A B D.h., durch ee Zufallsgröße X wrd der Wahrschelchketsraum [Ω, (Ω,P] de Wahrschelchketsraum [X,E,P X ], wobe X R der Werteberech vo X st, trasformert. P X bestzt durch dese Trasformato bedgt, alle Egeschafte ees Wahrschelchketsmaßes (auf E. Für Zufallsgröße verwede wr m folgede große latesche Buchstabe X,Y,T,Z,..., für hre Wertebereche de zugehörge Buchstabe Frakturschrft X, Y, T, Z,..., ud für de Realseruge (kokrete Beobachtuge der Zufallsgröße klee latesche Buchstabe x,y,z,t,.... Wr verwede folgede Schrebwese für Eregsse: X B (statt B ud schrebe: Xx, falls B{x}; X b, falls B{x X x b}; a < X < b, falls B{ x X a< x < b} usw.. Für de Wahrschelchket P X schrebe wr m folgede der Efachhet halber ur P.. Dskrete Zufallsgröße.. Dskrete Zufallsgröße ud hre Wahrschelchketsvertelug Ee Zufallsgröße X heßt dskret, falls hr Werteberech X edlch oder abzählbar uedlch st, falls also glt: X{a,a,...,ak}, k N, k, a R.

30 - 6 - Stochastk Be dskrete Zufallsgröße teresserede Eregsse der Form: X B, B X., d.h. wr wolle e Wahrschelchketsmaß P auf dem Eregsfeld Eς(X agebe. Wr werde sehe, dass e solches Maß edeutg durch de Ezelwahrschelchkete p P(Xa bestmmt st. Defto: Se P e Wahrschelchketsmaß auf dem Eregsfeld Eς(X. Als (Ezel-Wahrschelchketsvertelug P eer dskrete Zufallsgröße, bezechet ma de Gesamthet der Ezelwahrschelchkete p P(Xa,,..., k. De Ezelwahrschelchkete lasse sch Tabelleform agebe: Wert a P(Xa a a a3 a4... ak p p p3 p4... pk Ofeschtlch glt (da P e Wahrschelchketsmaß st für de Ezelwahrschelchkete: k p 0 p für alle,,...,k ud. Mt Hlfe der Ezelwahrschelchkete ka ma de Wahrschelchket für jedes belebge Eregs X B, B X, bereche. Da de Eregsse Xa* ud Xaj* für * j* dsjukt sd, glt gemäß Axom 3 für Wahrschelchketsmaße für jede Telmege B{a*,a*,...,al*} P(X B P( (Xa*... (Xal* l P( X a * l p * Bespel: X se de Azahl der Köpfe bem zwemalge Müzwurf. Gesucht st de Wahrschelchketsvertelug vo X. Lösug: Der Werteberech vo X st X{0,,}. Gesucht sd de Ezelwahrschelchkete p P(X, 0,,.. User Versuch hat de folgede elemetare Versuchsausgäge: (K,Z,(Z,K,(K,K,(Z,Z, (K Kopf, Z Zahl wobe das erste Elemet der Tupel das Ergebs des erste Wurfes ud das zwete Elemet das Ergebs des.wurfes repräsetert. X st offeschtlch folgede Abbldug: Das heß, das Eregs X0 st äquvalet zu A 0 {(Z,Z}, X st äquvalet zu A {(K,Z,(Z,K}, X bedeutet, dass A {(K,K}egetrete st ud wr

31 Zufallsgröße erhalte gemäß P(X P(A Awedug der Regel P(A A / Ω der klasssche Wahrschelchket folgede Tabelle: 0 p P(X /4 / /4 De Wahrschelchket, dass bem zwemalge Müzwurf mdestes emal Kopf auftrtt, st offeschtlch P(X p +p 3/4. Bespel: We groß st de Wahrschelchket, 3 malgem Würfel mdestes Sechse zu würfel? Lösug: Se X de Azahl der Sechse bem 3 malge Würfel. Da st X X{0,,,3}. Gesucht st P(X p + p3, wobe pp(x st. Wr bestmme u de Ezelwahrschelchketsvertelug vo X. Dazu müsse wr cht ubedgt Ω ud de Abbldug X:Ω X geau bestmme, soder, wr köe elegaterwese auch we folgt vorgehe. Se X folgede Zufallsgröße, de das Ergebs des.te Wurfes beschrebt: X 0 falls falls ' kee 'ee 6' 6' Offeschtlch st ach de Regel der klasssche Wahrschelchket P(X /6 ud P(X 0 5/6. Darüber haus glt de Äquvalez folgeder Eregsse: X X X X ; X ( X 0 X X ( X X ( X 0 X 3 X X 3 0 usw., usf. Wr wolle u bespelswese P(X bereche. De durch verküpfte Teleregsse der rechte Sete der Äquvalez zu X sd alle dsjukt. Nach Axom 3 der Wahrschelchket glt folglch: P( X P( X 0 X X 3 + P( X X + P( X 0 X X 3 X 3 0 De 3 Eregsse ' e X ', X ', X ', e {0, }, sd gegesetg ' e ' 3 e3 stochastsch uabhägg (d.h., das Ergebs ees Wurfes beeflusst de Ergebsse der adere Würfe cht. Demzufolge ka ma auf de Verbudwahrschelchkete de Produktformel für uabhägge Eregsse awede, bespelswese glt: 5 P ( X 0 X X 3 P( X 0 P( X P( X Wr erhalte:

32 - 8 - Stochastk P ( X , ud P ( X 3 0, De Wahrschelchket, bem 3 malge Würfel mdestes mal de 6 zu würfel st also P(X p + p3 0,075. Übugsaufgabe.* Bereche Se für Bespel P(X ud P(X0, d.h. bestmme Se de vollstädge Wahrschelchketsvertelug der Zufallsgröße X Azahl der Sechse bem 3 malge Würfel!.* We groß st de Wahrschelchket dafür, dass bem Würfel mt zwe Würfel de Summe der Augezahle 6,7 oder 8 st?.3* E Esverkäufer erzelt be schöem Wetter ee Tagesgew vo 00 Euro ud be Rege vo 50 Euro. Be Scheefall macht er 40 Euro Verlust, ebeso macht er ee Verlust vo 0 Euro be starkem Wd (ohe Rege ud Schee. Aus de Wetterberchte der letzte Jahre se bekat, dass de Wahrschelchket für schöes Wetter 0. 5 für Rege 0. 5, für Scheefall 0. 5 ud für starke Wd 0. beträgt. We groß st de Wahrschelchket dafür, dass der Esverkäufer kee Verlust am Tag erzelt?.. Spezelle dskrete Wahrschelchketsverteluge 0 falls A cht e t rtt (Msserfo lg Wahrschelchketsvertelug X falls A e t rtt (Erfo lg 0 P(X -p p Zwepuktvertelug Im folgede stelle wr ege Stadardmodelle für Verteluge dskreter Zufallsgröße vor. Defto: I eem zufällge Versuch wrd beobachtet, ob e Eregs A etrtt oder cht. Wr köe das durch de folgede Zufallsgröße X abblde:

33 Zufallsgröße De Vertelug vo X heßt Zwepukt- oder Beroullvertelug, p P(X heßt Erfolgswahrschelchket. I Verallgemeerug des Bespel aus Abschtt.. etsteht de sogeate Bomalvertelug. Defto: Wr gehe vo eem zwepuktvertelte Versuch mt Erfolgswahrschelchket p aus. X se de Azahl der Erfolge be malger stochastsch uabhägger Wederholug des zwepuktvertelte Versuchs. X hat da de Werteberech {0,,...,} ud bestzt de folgede als Bomalvertelug mt de Parameter ud p bezechete Vertelug: Bomal- vertelug p P X p p ( (, 0,,...,. Wr schrebe: X~B(,p. Bespel: I eer Mathematk-Klausur werde 6 Aufgabe zu je dre Atwortalteratve gestellt, vo dee jewels ur ee rchtg st. We groß st de Wahrschelchket dafür, dass e Studet mehr als 4 Aufgabe ur durch Rate rchtg beatwortet (ud damt uverdet ee bekommt? Lösug: Für jede Aufgabe erhalte wr ee zwepuktvertelte Zufallsgröße X, wobe X st, falls de Aufgabe rchtg gerate wrd. De Erfolgswahrschelchket st pp(x /3. Da de Lösug stets gerate wrd, hägt das Ergebs für ee Aufgabe cht vom Ergebs der adere Aufgabe ab. Wr habe es also mt eer 6 fache Wderholug ees zwepuktvertelte Versuches mt Erfolgswahrschelchket p/3 zu tu. De Zufallsgröße X Azahl der rchtg geratee Aufgabe st also Bomal-vertelt mt 6 ud p/3 ud wr erhalte de Lösug: P ( X > 4 P( X 5 + P( X 6 (/ 3 ( / 3 + (/ 3 ( / ,08. Das heßt, user cht erwüschte Fall kommt be 000 Studete, de de Klausur ur durch Rate absolvere, ca. 8 mal vor. (Glücklcherwese sd de Studete aber alle fleßg ud löse ee Klausur selte durch Rate. Defto: Ee Zufallsgröße X bestzt ee (dskrete Glechvertelug auf der edlche Mege X{a,a,...,ak}, we se de Werte a,a,...,ak mt derselbe Wahrschelchket p P( X a für alle,...,k, ammt. X k beschrebt ee Auswahl auf gut Glück aus der Mege {a,a,...,ak}. Wr schrebe: X~ R({a,a,...,ak}. Glechvertelug

34 Stochastk Possovertelug Defto: Ee Zufallsgröße X bestzt ee Possovertelug (st Possovertelt mt dem Parameter λ>0, we se de Werte 0,,,... mt de Wahrschelchkete λ λ p P( X e, 0,,,...! ammt. Wr schrebe: X~P(λ. De Posso-Vertelug fdet als Modell oft Awedug, we ee Zufallsgröße X zählt, we vele vo eer große Azahl vo uabhägge Eregsse mt recht kleer Wahrschelchket etrete. Se det für λ p als Approxmato der Bomal-Wahrschelchkete für große ud klee p, de ma ka zege, dass glt: λ lm p ( p e λ 0! p p λ( kos ta t We wr m Abschtt.4 sehe werde, lässt sch λ als arthmetsches Mttel der Beobachtuge vo X eer lage Rehe vo wederholte Beobachtuge vo X terpretere. Bespel: De Azahl X der Arufe, de eer Telefozetrale zwsche ud 3 Uhr etreffe, se Posso-vertelt mt dem Parameter λ5 (d.h., m Schtt treffe desem Zetraum ca. 5 Arufe e. Ma uterstellt, dass de Telefozetrale ee große Azahl vo Kude bedet, vo dee jeder uabhägg vom adere m fraglche Zetraum arufe wrd. De Wahrschelchket, dass deser Zet höchstes Arufe etreffe, beträgt: P( X P( X 0 + P( X + P( X e + 5e + e 0,. Übugsaufgabe.4* Ee Frma, de CD R-W s herstellt, gbt Ihre Ausschussrate (Atel der defekte CD R-W s a alle mt % a. We groß st de Wahrschelchket dafür, dass eem Paket vo 0 CD R-W S mehr als defekt st? Hwes: Überlege Se sch zuächst, we de Zufallsgröße X defert werde ka ud welches Vertelugsmodell für se Frage kommt!

35 Zufallsgröße * De Azahl der pro ms etreffeder Sgale eer Empfägerstato se Posso-vertelt, wobe Messuge ergebe habe, dass m Schtt ca. 3 Sgale pro ms etreffe. We groß st de Wahrschelchket dafür, dass de Kapaztät K5 Sgale/ms der Empfägerstato überschrtte wrd?.3 Stetge Zufallsgröße.3. Stetge Zufallsgröße, Vertelugsdchte ud Vertelugsfukto Wr betrachte u Zufallsgröße, dere Werteberech R oder e (edlches oder uedlches Teltervall vo R st, ud für de X st. De Wahrschelchketsvertelug P eer solche Zufallsgröße läßt sch cht mehr durch de Ezelwahrschelchkete P(Xx beschrebe, de dese sd.a. glech Null (Nach de Regel der klasssche Wahrschelchket wäre bespelswese P(Xx / X 0. De für praktsche Zwecke be eer stetge Zufallsgröße teresserede Eregsse sd deshalb cht mehr vo der Form Xx, soder vo der Form X B, wobe B sogeate Borelmege R sd. Borelmege sd cht alle Telmege vo R, soder ur de, de sch durch de Operatoe, ud Komplemetbldug aus halboffee Itervalle (-,x], x R, blde lasse. Herzu gehöre u.a. alle offee, halboffee ud geschlossee Itervalle, also Eregsse der Form: X< a, X a, X > b, X b, a < X < b, a X < b, a < X b, a X b, für a b (eschleßlch a- ud b. Be stetge Zufallsgröße trtt a de Stelle der Ezelwahrschelchketsvertelug de sogeate Dchtefukto f(x. Währed wr be dskrete Zufallsgröße de Wahrschelchket P(X B durch ee Summe der Ezelwahrschelchkete beschrebe habe: P(X B : a B P( X a : a B werde wr be stetge Zufallsgröße dese Wahrschelchket durch e Itegral darstelle: P(X B f ( x dx x: x B p

36 - 3 - Stochastk Stetge Zufallsgröße, Dchtefukto Defto: Ee Zufallsgröße X heßt stetg, we ( Verallgemeerug der Ezelwahrschelchkete ee tegrerbare Fukto f:r R mt folgede Egeschafte exstert: (D f(x 0 für alle x R (D f ( x dx (D3 b P ( a < X b f ( x dx für alle a,b R. a De Fukto f heßt Dchtefukto oder kurz Dchte vo X. Abbldug Dchte f eer stetge Zufallsgröße Als Kosequez der Egeschaft (D3 ergbt sch für alle c R: P(Xc0. Be eer stetge Zufallsgröße sd deshalb de Wahrschelchkete z. B. folgeder Eregsse glech: X< a ud X a, sowe X>b ud X b, sowe a < X < b, a X < b, a < X b, ud a X b. Vertelugsfukto Da sch Itervalle bzw. belebge Borelmege stets aus de halboffee Itervalle (-,x], x R, durch Awedug der Operatoe, ud Komplemetbldug erzeuge lasse, ka ma de Wahrschelchkete P(X B belebger Borelmege B auch aus de Wahrschelchkete P(- <X xp(x x erzeuge. Deshalb spelt be stetge Zufallsgröße de sogeate Vertelugsfukto, de gemäß (D3 durch x F(x P(X x f ( u du defert st, ee zetrale Rolle. Wahrschelchketsverteluge stetger Zufallsgröße sd durch de Agabe der Dchtefukto f(x oder der Vertelugsfukto F(x edeutg bestmmt, wobe es oft bequemer st, mt der Vertelugsfukto zu arbete. De Itervallwahrschelchkete (D3 lasse sch z.b. mt Hlfe der Vertelugsfukto we folgt bereche:

37 Zufallsgröße P( a < X b F( b F( a. Offeschtlch ka ma de Dchtefukto bestmme, we ma de Vertelugsfukto ket, es glt: f (xf(x..6 Deute Se de Vertelugsfukto eer stetge Zufallsgröße mt Hlfe vo Abbldug grafsch!.7 Stelle Se de Wahrschelchket P(X > b mt Hlfe der Vertelugsfukto F ud mt Hlfe der Dchtefukto f dar!.8 Stelle Se de Wahrschelchkete P(X b, P(X>a, P(a X b, P( X a b grafsch als Fläche uter der Dchtefukto f dar!.9 awarum se de Abb. a gegebee Fukto k e e Dchtefukto? b Warum sd de Abb. b ud c gegebee Fuktoe k e e Vertelugsfuktoe? a b c.3. Bedgte Wahrschelchkete ud Quatle Wr köe auch bedgte Wahrschelchkete bereche. Für de Eregsse A ' X a ' ud B 'X b' glt: P(B/A P ( A B/ P ( A. Folglch st P( a X b F( b F( a P( X b X a P( X a F( a Bedgte Wahrschelchkete

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