Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 2. Klausur Sommersemester

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1 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 2. Klausur Sommersemester BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studienfach: Fachsemester: Name des Tutors: Unterschrift der/des Studierenden: Überprüfen Sie die Klausur auf Vollständigkeit, sie besteht aus 14 Seiten. Bemerkungen: Aufgabe max. Pkt. err. Pkt Summe 90 Note

2 Aufgabe 1: Folgen und Reihen (15 Punkte) a) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N für 0 < q < 1 mit a n = 4q n + 3n2 2n n n 3 3qn 4n n 2. b) Ein Unternehmen produziert 430 Einheiten eines Gutes im ersten Jahr und steigert die Produktion in jedem der folgenden Jahre um 30 Einheiten. 1. Wie viele Einheiten werden im zwanzigsten Jahr produziert? 2. Wie groß ist die Gesamtproduktionsmenge in 20 Jahren? 3. Wie viele Einheiten werden in den letzten zehn Jahren produziert? c) Der jährliche Zinssatz bei stetiger Verzinsung, mit dem ein Anfangskapital K 0 verzinst wird, beträgt r = 10%, so dass man mit Zinseszinsen nach t Jahren das Kapital K t erhält. Bei welchem jährlichen Zinssatz r (in Prozent) würde man bei diskreter Verzinsung beim selben Anfangskapital K 0 nach t Jahren dasselbe Endkapital K t erhalten? 2

3 Aufgabe 1: Folgen und Reihen (15 Punkte) 3

4 Aufgabe 2: Differentialrechnung in R (15 Punkte) Von einer Polynomfunktion dritten Grades f sei bekannt, dass sich die Graphen der ersten und zweiten Ableitungsfunktion an der Stelle x = 4 berühren. Weiterhin gilt: f(1) = 5, 25 und f(3) = 6. Bestimmen Sie f. 4

5 Aufgabe 2: Differentialrechnung in R (15 Punkte) 5

6 Aufgabe 3: Kurvendiskussion (15 Punkte) Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) = x 2 ln(x) und D := {x R x > 0}. Bestimmen Sie die a) Nullstellen, b) Extrempunkte (und klassifizieren Sie diese), c) Wendepunkte und d) Grenzwerte für x 0 und x, sofern diese existieren. 6

7 Aufgabe 3: Kurvendiskussion (15 Punkte) 7

8 Aufgabe 4: Integralrechnung in R (15 Punkte) a) Berechnen Sie das bestimmte Integral: 2 1 e 4 2x 4 dx b) Berechnen Sie das unbestimmte Integral: ln(x) x dx c) Berechnen Sie das uneigentliche Integral: 2 ( x + 4) 2 dx 8

9 Aufgabe 4: Integralrechnung in R (15 Punkte) 9

10 Aufgabe 5: Optimierung im R p (15 Punkte) Betrachten Sie ein Unternehmen, das zwei verschiedene Produkte A und B herstellt. Die Gesamtkosten K zur Herstellung von x Einheiten von Produkt A sowie y Einheiten von Produkt B belaufen sich dabei auf K(x, y) = x 2 2xy + 2y 2 10x Nehmen Sie an, dass die gesamte Produktion zu Preisen von 8 Euro für Produkt A und 6 Euro für Produkt B abgesetzt werden kann und dass das Unternehmen seinen Gewinn maximieren möchte. a) Stellen Sie die Erlösfunktion E(x, y) und die Gewinnfunktion G(x, y) des Unternehmens auf. b) Bestimmen Sie die gewinnmaximierenden Produktionsmengen x und y. c) Berechnen Sie das folgende Doppel-Integral über die Erlösfunktion: E(x, y) d(x, y) 10

11 Aufgabe 5: Optimierung im R p (15 Punkte) 11

12 Aufgabe 6.1: Differentialrechnung in R (5 Punkte) Kreuzen Sie bitte an, welche der Aussagen a) - e) als wahr oder falsch zu beurteilen sind. Beachten Sie dabei Folgendes: Richtig gesetztes Kreuz = 1 Punkt Kein Kreuz = 0 Punkte Falsch gesetztes Kreuz = 1 Punkt Diese Teilaufgabe kann nicht mit weniger als 0 Punkten bewertet werden. a) Jede rationale Funktion ist eine polynomiale Funktion. b) Die Funktion (sin(x)) 1 ist eine gerade Funktion. c) Die Umkehrfunktion einer streng monotonen und stetigen Funktion ist stetig. d) Eine Funktion kann gleichzeitig konvex und konkav sein. e) Ein Monom ist stets ein Polynom n-ten Grades. Wahr Falsch a) b) c) d) e) 12

13 Aufgabe 6.2: Approximationsverfahren (5 Punkte) Kreuzen Sie bitte an, welche der Aussagen a) - e) als wahr oder falsch zu beurteilen sind. Beachten Sie dabei Folgendes: Richtig gesetztes Kreuz = 1 Punkt Kein Kreuz = 0 Punkte Falsch gesetztes Kreuz = 1 Punkt Diese Teilaufgabe kann nicht mit weniger als 0 Punkten bewertet werden. a) Je näher der Entwicklungspunkt x 0 an der zu approximierenden Stelle x liegt, desto besser ist in der Regel die Taylor-Approximation. b) Je geringer die Ordnung des Taylor-Polynoms ist, desto besser ist in der Regel die Taylor-Approximation. c) Je geringer das Restglied eines Taylor-Polynoms ausfällt, desto schlechter ist die Taylor-Approximation. d) Je näher der Startwert x 0 im Newton-Verfahren an der zu approximierenden Nullstelle x liegt, desto weniger Iterationen sind erforderlich. e) Bei Polynomen höherer Ordnung sollte generell das Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung herangezogen werden. Wahr Falsch a) b) c) d) e) 13

14 Aufgabe 6.3: Optimierung im R p (5 Punkte) Kreuzen Sie bitte an, welche der Aussagen a) - e) als wahr oder falsch zu beurteilen sind. Beachten Sie dabei Folgendes: Richtig gesetztes Kreuz = 1 Punkt Kein Kreuz = 0 Punkte Falsch gesetztes Kreuz = 1 Punkt Diese Teilaufgabe kann nicht mit weniger als 0 Punkten bewertet werden. a) Jede total differenzierbare Funktion ist partiell differenzierbar und stetig, weshalb sie auch stetig partiell differenzierbar ist. b) Der Gradient einer Lagrange-Funktion in 4 Variablen und 2 Nebenbedingungen ist ein Spaltenvektor des R 6. c) Gilt grad f (x 0 ) = 0 und ist die Hesse-Matrix H f (x 0 ) negativ definit, dann ist x 0 ein globales Minimum der Funktion f(x). d) Der Lagrange-Ansatz eignet sich dazu, ein Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen der Form oder/und zu lösen. e) Der Lagrange-Ansatz erübrigt den Einsatz des Variablensubstitutions- Verfahrens. Wahr Falsch a) b) c) d) e) 14