Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt

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1 Blatt 1 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix α. 2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar: Seien n 2 und x 1,..., x n R. Zeigen Sie 1 x 1 x x n x 2 x x n 1 2 det = 1 x n x 2 n... x n 1 n 1 i<j n (x j x i ). 4. Seien n 2, E n die n n Einheitsmatrix und E n = Berechnen Sie det(ae n + be n) für a, b R. 5. Seien n N und A, B, C, D n n Matrizen. A sei invertierbar und es gelte AC = CA. Zeigen Sie ( ) A B det = det(ad CB). C D

2 Blatt 2 1. Berechnen Sie für n 2 die Determinante der folgenden n n Matrix: Sei A M(n n; R) eine schiefsymmetrische Matrix, dh. A T = A. Zeigen Sie det(a) = 0, falls n ungerade ist. 3. Es seien σ, τ S 6, σ = ( ) , τ = ( ) (a) Berechnen Sie: σ 1, τ 1, σ τ, σ 1 τ, τ σ, τ 1 σ. (b) Schreiben Sie σ, τ als Produkt von Transpositionen. (c) Berechnen Sie sgn(σ), sgn(τ) sowie die Vorzeichen aller unter a) angeführten Permutationen. (d) Bestimmen Sie die kleinsten s, t N so, dass σ s = τ t = id. 4. Eine Matrix P M(n n; R) heisst Permutationsmatrix, wenn jede Zeile und jede Spalte von P genau eine Eins und sonst Nullen enthält. Für π S n sei P π := (δ i,π(j) ) i,j=1,...,n M(n n; R). Beweisen Sie: (a) Die Abbildung π P π ist eine Bijektion von S n auf die Menge der Permutationsmatrizen in M(n n; R). (b) Für alle σ, τ S n gilt: P σ P τ = P σ τ. (c) Für alle π S n gilt: P π GL(n; R), P 1 π = P π 1, det P π = sgn(π). (d) Jede Permutationsmatrix lässt sich als Produkt von Vertauschungsmatrizen T tausch (i, j) darstellen. Welche Wirkung hat die Multiplikation einer Permutationsmatrix von rechts an eine Matrix A? 5. Sei n N. Zeigen Sie, dass die Anzahl der Permutationen σ S n mit sgn(σ) = 1 gleich ist der Anzahl der Permutationen σ S n mit sgn(σ) = 1.

3 Blatt 3 1. Lsen Sie mit Hilfe der Cramerschen Regel folgendes Gleichungssystem über C: 2x 1 + ix 2 + (1 + i)x 3 = 1 x 1 2x 2 + ix 3 = 0 ix 1 + x 2 (2 i)x 3 = Gegeben sind die Ebenen E 1 = {(x, y, z) R 3 x 2y + z = 1}, E 2 = {(x, y, z) R 3 2x + y = 2}. Bestimmen Sie das orthogonale Komplement des Richtungsvektors ihrer Schnittgeraden. 3. Bestimmen Sie das orthogonale Komplement das Richtungsvektors der Schnittgeraden zweier Ebenen das R 3 (sofern eine solche existiert). 4. Sei M R n. Zeigen Sie, dass M ein Unterraum des R n ist. 5. Sei A eine reelle n n Matrix mit Rang 1. Zeigen Sie: (a) Es gibt a, b R n mit A = ab T (dabei seien a, b Spaltenvektoren und das Produkt das Matrixprodukt). (b) Sind a, b wie in (a), so gilt A 2 = b, a A. 6. Sei, das Standardskalarprodukt auf R 3 und a, b, c, d R 3. Zeigen Sie a b, c d = a, c b, d a, d b, c. Folgern Sie daraus: (a) a b 2 = a 2 b 2 a, b 2. (b) a b = a b sin(θ), wobei θ der von a und b eingeschlossene Winkel ist.

4 Blatt 4 1. Zeigen Sie, dass die 1-Norm und die -Norm auf R n Normen sind und dass sie äquivalent sind. 2. Sei ( ) a c A = c b eine reelle, symmetrische 2 2 Matrix. Für x, y R 2 setze x, y = x T Ay. Wann ist, ein Skalarprodukt auf R 2? 3. Für eine quadratische Matrix A, sei tr(a) (die Spur (engl. trace) von A) die Summe aller Diagonalelemente von A. Zeigen Sie, dass durch A, B = tr(a T B) ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum aller reeller n n-matrizen definiert wird. 4. Es sei P 2 (R) der Vektorraum aller Polynomfunktionen R R vom Grad 2. Zeigen Sie, dass durch f, g = 1 0 f(x)g(x) dx ein Skalarprodukt auf P 2 (R) definiert wird. p P 2 (R) sei definiert durch p(x) = x+2 für alle x R. Bestimmen Sie {p}. 5. Es sei (V, ) ein reeller normierter Raum, in dem die Vierecksgleichung gilt: x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2 für alle x, y V. Für x, y V setze x, y = 1 2 ( x + y 2 x 2 y 2 ). Zeigen Sie: (a) Für alle x, y, z V gilt x, y + z = x, y + x, z. (b) Für alle x, y V und alle r Q gilt x, ry = r x, y. (c) Für alle x, y V und alle r Q gilt x, ry = r x, y. (d), ist ein Skalarprodukt auf V und die dadurch definierte Norm ist gerade.

5 Blatt 4 1. Zeigen Sie, dass die 1-Norm und die -Norm auf R n Normen sind und dass sie äquivalent sind. 2. Sei ( ) a c A = c b eine reelle, symmetrische 2 2 Matrix. Für x, y R 2 setze x, y = x T Ay. Wann ist, ein Skalarprodukt auf R 2? 3. Für eine quadratische Matrix A, sei tr(a) (die Spur (engl. trace) von A) die Summe aller Diagonalelemente von A. Zeigen Sie, dass durch A, B = tr(a T B) ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum aller reeller n n-matrizen definiert wird. 4. Es sei P 2 (R) der Vektorraum aller Polynomfunktionen R R vom Grad 2. Zeigen Sie, dass durch f, g = 1 0 f(x)g(x) dx ein Skalarprodukt auf P 2 (R) definiert wird. p P 2 (R) sei definiert durch p(x) = x+2 für alle x R. Bestimmen Sie {p}. 5. Es sei (V, ) ein reeller normierter Raum, in dem die Vierecksgleichung gilt: x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2 für alle x, y V. Für x, y V setze x, y = 1 2 ( x + y 2 x 2 y 2 ). Zeigen Sie: (a) Für alle x, y, z V gilt x, y + z = x, y + x, z. (b) Für alle x, y V und alle r Q gilt x, ry = r x, y. (c) Für alle x, y V und alle r R gilt x, ry = r x, y. (d), ist ein Skalarprodukt auf V und die dadurch definierte Norm ist gerade.

6 Blatt 5 1. Es seien V ein Vektorraum (über R oder C),, ein Skalarprodukt auf V und U ein Unterraum von V mit U + U = V. Zeigen Sie: Ist π U : V V die orthogonale Projektion auf U, so gilt π U (x) π U (y) x y für alle x, y V. 2. Es seien V ein Vektorraum (über R oder C),, ein Skalarprodukt auf V und U, W Unteräume von V mit U + U = V = W + W. Sind π U, π W : V V die orthogonalen Projektionen auf U (bzw. W ), so gilt U W π U π W = π U. 3. Es sei V ein Vektorraum (über R oder C),, ein Skalarprodukt auf V. Zeigen Sie: Sind U 1, U 2, U 3 Unterräume von V mit U i U j für alle 1 i < j 3, so ist die Summe U 1 + U 2 + U 3 direkt. 4. Wir betrachten R 4 mit dem Standardskalarprodukt, den affinen Unterraum U = {(x, y, z, w) R 4 4x 2y + 2z w = 3} und den Punkt p = (1, 2, 3, 4). Bestimmen Sie den Abstand von p zu U. 5. Wir betrachten R 2 mit der -Norm und g R 2 sei die x-achse. Zeigen Sie, dass es Punkte p g gibt, sodass p (1, 1) minimal wird. Wieviele solche Punkte gibt es? 6. Gegeben sind die Punkte (x 1, y 1 ) = (0, 10), (x 2, y 2 ) = (1, 4), (x 3, x 4 ) = (2, 4), (x 4, y 4 ) = (3, 10) im R 2. Bestimmen Sie eine quadratische Polynomfunktion f : R R, sodass 4 (f(x i ) y i ) 2 minimal wird. i=1

7 Blatt 6 1. Seien 1 v 1 = α 1, v 2 = , v 3 = α R4 mit α R. Bestimmen Sie eine Basis des orthogonalen Komplements von L({v 1, v 2, v 3 }). 2. Sei E eine Ebene im R 3, n R 3 orthogonal auf alle Richtungsvektoren von E mit n = 1 und p R 3. Zeigen Sie: der Normalabstand von p zu E ist p x, n für beliebiges x E. 3. Sei K {R, C}. Auf K n betrachten wir das Standard innere Produkt. Seien b 1,..., b m K n. Zeigen Sie: ( ) ρ Gram(b 1,..., b m ) = dim L({b 1,..., b m }). 4. Bestimmen Sie mit dem Schmidtschen Verfahren eine Orthonormalbasis von L({ 0 0, 0 1 0, 1 1 0, }) Es V der Vektorraum der polynomialen Funktionen R R vom Grad 3 mit dem Skalarprodukt f, g = Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von V. 1 1 f(x)g(x) dx.

8 Blatt 7 1. Gegeben sind die beiden Geraden g = { 2 + t 5 t R}, h = { 2 + t 7 t R} Bestimmen Sie den Abstand von g und h, d.h. inf{ x y x g, y h}. 2. Gegeben sind die vier Punkte ( ) ( ) x1 1 =, 1 y 1 ( x2 y 2 ) = ( ) 1, 5 ( x3 y 3 ) = ( ) 2, 3 ( x4 y 4 ) = ( ) 2 4. Bestimmen Sie eine Funktion f : R \ {0} R, der Form f(x) = αx + β x, sodass 4 (f(x i ) y i ) 2 minimal wird. i=1 3. Es seien V ein Vektorraum (über R oder C),, ein Skalarprodukt auf V, und (v 1,..., v n ) eine Orthonormalbasis von V. Zeigen Sie für x, y V : x, y = n x, v i v i, y. i=1 4. Seien K {R, C}, V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und, ein Skalarprodukt auf V. Zeigen Sie, dass es zu jeder linearen Abbildung f : V K genau ein v V gibt, sodass für alle w V gilt. f(w) = v, w 5. Sei A eine komplexe m n-matrix. Eine komplexe n m-matrix B heißt Pseudo-Inverse von A, falls gelten (a) ABA = A. (b) BAB = B. (c) (BA) = BA. (d) (AB) = AB. Es sei B Pseudo-Inverse von A. Zeigen Sie für alle x C n und für alle y C m : Ax y ABy y.

9 Blatt 8 1. Es sei V der Vektorraum der polynomialen Funktionen R R vom Grad 3 zusammen mit dem Skalarprodukt f, g = 1 1 f(x)g(x) dx. Bestimmen Sie die Adjungierte der linearen Abbildung V V, f f (= erste Ableitung von f). 2. Wir versehen R 2 mit dem Skalarprodukt ( ) x, y = x T 2 1 y 1 2 (vgl. Blatt 4, Aufgabe 1). Bestimmen Sie die Adjungierte der linearen Abbildung f : R 2 R 2, f(x, y) = (3x 5y, 7x + y). 3. Es sei V ein K-Vektorraum. Für v V definiere die Abbildung ε v : V K durch ε v (f) = f(v) für alle f V. Zeigen Sie: (a) Für alle v V ist ε v linear, also ε v V. (b) Die Abbildung ε: V V, v ε v ist linear und injektiv. (c) Ist dim(v ) <, so ist ε ein Isomorphismus. 4. Zeigen Sie, dass ( 1 1, 2 2 3, ) 5 eine Basis von R 3 ist und bestimmen Sie die dazu duale Basis. 5. Es sei V ein K-Vektorraum und U V ein Unterraum. Wir setzen Ũ = {f V f U = 0}. Zeigen Sie: (a) Ũ ist ein Unterraum von V. (b) Ũ ist isomorph zu (V/U). (c) Ist dim(v ) <, so gilt dim(u) + dim(ũ) = dim(v ).

10 Blatt 9 1. Es seien V 2, V 3 die Vektorräume der polynomialen Funktionen R R vom Grad 2 bzw. 3. V 2 und V 3 seien jeweils mit dem Skalarprodukt f, g = 1 1 f(x)g(x) dx versehen. Die lineare Abbildung F : V 2 V 3 sei definiert durch F (f)(x) = xf(x) für alle f V 2 und alle x R. Berechnen Sie die Adjungierte von F. 2. (a) Seien K ein Körper, f, g K[x] mit g 0. Es sei r der Rest bei der Division von f durch g. Zeigen Sie, dass ein α K genau dann eine gemeinsame Nullstelle von f und g ist, wenn α eine gemeinsame Nullstelle von g und r ist. (b) Gegeben sind die Polynome f = x 7 + x 6 3x 5 x 4 + 5x 3 x 2 2x + 3, g = x 6 3x 4 + 2x 3 + 2x 2 3x + 2 R[x]. Zeigen Sie, dass f und g keine gemeinsame Nullstelle in C besitzen. 3. Es sei K ein endlicher Körper. Zeigen Sie, dass es ein f K[x] \ {0} mit folgenden Eigenschaften gibt: (a) Jedes α K ist eine Nullstelle von f. (b) Ist g K[x] ein Polynom, sodass jedes α K eine Nullstelle von g ist, so gibt es ein h K[x] mit g = fh. 4. Es sei K = Q oder K = {0, 1} der Körper aus Beispiel Gegeben sind Dividieren Sie f mit Rest durch g. f = x 6 + x 5 + x 4 + x 2 + x + 1, g = x 4 x 3 + x 1 K[x]. 5. Zeigen Sie, dass das Polynom X 2 1 unendlich viele Nullstellen in M 2 (R) besitzt, d.h., dass es unendlich viele A M 2 (R) mit A 2 E = 0 gibt (E = Einheitsmatrix).

11 Blatt Zeigen Sie, dass jedes nicht konstante f R[X] als Produkt von Polynomen vom Grad 2 geschrieben werden kann. 2. Sei f R[X] normiert mit Grad(f) = n 1. Zeigen Sie, dass es eine n n Matrix A mit charakteristischem Polynom f gibt. Hinweis: Behandeln Sie die Fälle n = 1, 2 direkt und benutzen Sie dann Aufgabe Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der Matrix Es sei V 3 der Vektorraum der Polynomfunktionen R R vom Grad 3. Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume der linearen Abbildung T : V 3 V 3, f f + f. 5. Sei A M n (R). Zeigen Sie: Ist λ C ein Eigenwert von A mit zugehörigem Eigenraum E(λ), so ist λ ein Eigenwert von A und für den Eigenraum E( λ) von A zu λ gilt E( λ) = { v v E(λ)}. 6. Seien A, B M n (C). Zeigen Sie, dass AB und BA die gleichen Eigenwerte besitzen.

12 Blatt Diagonalisieren Sie folgende Matrizen (falls möglich) , a b a Es seien V ein endlich dimensionaler Vektorraum und f : V V linear mit f f = f. Zeigen Sie, dass 0 und 1 die einzigen Eigenwerte von f sind. Was sind die zugehörigen Eigenräume? 3. Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum und f, g : V V linear mit f g = g f. Zeigen Sie: Ist λ ein Eigenwert von f und E der zugehörige Eigenraum, so gilt g(e) E. 4. Sei A M n (R) eine diagonalisierbare Matrix mit Eigenwerten λ 1,..., λ n. Zeigen Sie, dass es Matrizen M 1,..., M n vom Rang 1 gibt, sodass für alle k N gilt. A k = λ k 1M λ k nm n 5. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen geometrischen und algebraischen Vielfachheiten der Matrix Sei A M n (R). λ R heißt Linkseigenwert von A, falls es z R n \ {0} mit z T A = λz T gibt. z heißt dann ein Linkseigenvektor von A zum Linkseigenwert λ. Seien nun λ R ein Linkseigenwert von A, z ein zugehöriger Linkseigenvektor, µ R ein Eigenwert von A mit zugehörigem Eigenvektor w. Zeigen Sie: gilt λ µ, so sind z, w orthogonal.

13 Blatt Sind die gegebenen Matrizen A und B ähnlich? A = 0 3 0, B = Ist die Matrix A = M n(r) n n n mit den Matrixeinträgen a ij = i, 1 i, j n diagonalisierbar? Berechnen Sie gegebenenfalls die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix. 3. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix n n B = M n (R)..... n n + 1 mit den Matrixeinträgen b ij = 1 + nδ ij, 1 i, j n. 4. Seien A, B M n (R) diagonalisierbare Matrizen mit AB = BA. Zeigen Sie, dass A und B die gleichen Eigenräume besitzen, also simultan diagonalisierbar sind. 5. Seien A M n (R) und exp(a) := k=0 Ak /k! die Matrixexponentialfunktion. Berechnen Sie exp(a) für die Matrix A = Lösen Sie die Differentialgleichung dx(t)/dt = Ax(t), x(0) = x 0 mit den Daten A = 3 5 0, x 0 =

14 Blatt Sind die gegebenen Matrizen A und B ähnlich? A = , B = Bestimmen Sie Jordanblöcke J 1,..., J r, sodass die Matrizen , J J r ähnlich sind. 3. Es sei J ein Jordanblock zum Eigenwert λ der Länge r. Bestimmen Sie J n für alle n N. 4. Sei A M n (R) und sei f R[X] das Minimalpolynom von A. Zeigen Sie: Zu jedem g R[X] gibt es genau ein h R[X] mit g(a) = h(a) und Grad(h) < Grad(f). 5. Sei A M n (R) invertierbar. Zeigen Sie, dass es a 0,..., a n 1 R mit n 1 A 1 = a i A i gibt. i=0 6. Zeigen Sie, dass A M n (R) genau dann nilpotent (A k = 0 für ein k N) ist, wenn 0 der einzige Eigenwert ( in C) von A ist.

15 Blatt Für A M 20 (R) sei folgendes bekannt: Bestimmen Sie die Jordannormalform von A. k dim(ker(a + 2E) k ) dim(ker(a + 5E) k ) Sei A M n (C) mit A = A. Zeigen Sie, dass jeder Eigenwert von A rein imaginär ist. 3. Sei A M n (R) schiefsymmetrisch (A T = A). Zeigen Sie: (a) E + A ist invertierbar. (b) (E + A) 1 (E A) ist orthogonal. (c) det ( (E + A) 1 (E A) ) = Sei A M n (R) orthogonal. Zeigen Sie: (a) det(a) { 1, 1}. (b) Sei n = 2 und f : R 2 R 2 definert durch x Ax. Ist det(a) = 1 so ist f eine Drehung (um welchen Winkel?). Ist det(a) = 1 so ist f eine Spiegelung an einer Geraden (an welcher?). 5. Sei A M 3 (R) orthogonal. Zeigen Sie für alle x, y R 3 : A(x y) = det(a)(ax) (Ay). 6. Entscheiden Sie ob die Menge leer, eine Hyperbel oder eine Ellipse ist. {(x, y) R 2 7x xy + 7y 2 = 1}

16 Blatt Sei A M 3 (R) orthogonal und det(a) = 1. Zeigen Sie: A beschreibt eine Drehung. 2. Sei A M n (C) selbstadjungiert und V ein A-invarianter Unterraum von C n. Zeigen Sie: V ist A-invariant. 3. Geben Sie eine orthogonale Matrix an, die A = 1 2 1, diagonalisiert. 4. Ist jede normale Matrix A M 2 (R) symmetrisch oder schiefsymmetrisch? 5. Überprüfen Sie folgende Matrizen auf Definitheit: , 1 2 0,