Kybernetik Laplace Transformation

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Mohamed Oubbati
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1 Kybernetik Laplace Transformation Mohamed Oubbati Institut für Neuroinformatik Tel.: (+49) 73 / mohamed.oubbati@uni-ulm.de

2 Laplace Transformation Was ist eine Transformation?

3 Was ist eine Transformation? Problem im Originalbereich Transformation Problem im Bildbereich Lösung im Originalbereich Rück-transformation Lösung im Bildbereich

4 Was ist eine Transformation? Warum macht man eine Transformation? Problem im Originalbereich Transformation Problem im Bildbereich Lösung im Originalbereich Rück-transformation Lösung im Bildbereich Weil die Lösung (Untersuchung) eines Problems in einem anderen Bereich (Bildbereich) manchmal sehr viel einfacher als im Originalbereich ist.

Originalbereich Rück-transformation Lösung im Bildbereich Weil die Lösung

5 Was ist eine Transformation? Warum macht man eine Transformation? Weil die Untersuchung eines Problems in dem Bildbereich sehr viel einfacher als im Originalbereich ist. oder Weil die Untersuchung des Problems im Originalbereich nicht möglich ist.

6 Warum macht man eine Transformation? Beispiel: Musik Im Frequenzbereich können akustische Signale (Zeitbereich) leichter analysiert werden. Beispiel Bass: 20 Hz < f < 250 Hz Mitten: 250 Hz < f < 4000 Hz Höhen: 4000 Hz < f < Hz

7 Warum macht man eine Transformation? Beispiel: Musik Die Musik liegt in Frequenzen und nicht in Amplituden Tonhöhe Ton Do Re Mi Fa Sol La Si f[hz] 26,63 Hz 294,33 Hz 33,3 Hz 348,84 Hz 392,44 Hz 44,50 Hz 496,69 Hz 0.5 f = T t T

Amplituden Tonhöhe Ton Do Re Mi Fa Sol La Si f[hz] 26,63 Hz 294,33

8 Warum macht man eine Transformation? Beispiel: Musik Die Musik liegt in Frequenzen und nicht in Amplituden Warum klingt derselbe Ton auf einer Gitarre anders als auf einer Flöte? Das liegt daran, dass ein Klang aus einer Grundfrequenz (Ton) sowie Mehrfachem dieser Frequenz zusammengesetzt ist. Je nachdem, wie stark diese Mehrfachen sind, ergibt sich ein anderer Klang.

Ton auf einer Gitarre anders als auf einer Flöte?

9 Warum macht man eine Transformation? Beispiel: Musik MP3 Format Grundidee: da wir nur Frequenzen zwischen 20HZ 20 khz wahrnehmen, können alle Signale außerhalb dieses hörbaren Bereichs weggelassen werden (Kompression). (MP3 Format wurde bei der FHG entwickelt)

20HZ 20 khz wahrnehmen, können alle Signale außerhalb dieses hörbaren

10 Warum macht man eine Transformation? Laplace-Transformation ist ein wichtiges Werkzeug zur Analyse von LTI-Systemen

11 Die Laplace Transformation

12 Die Laplace Transformation Die Laplace Transformation wurde von P. Simon Laplace entwickelt. F f Schreibweise + st ( s) = f ( t) e dt 0 : s C ( f ( )) ( F( s) ) Pierre Simon Laplace (Mathematiker) ( ) F ( s) = L t die Laplace Transformation von f(t) f( t) = L [ 0,+ ] Kausal stetig. die inverse Laplace Transformation von F(s)

13 Die Laplace Transformation Sei Wichtige Eigenschaften ( f ( )) F ( s) = L t und ( g( )) G ( s) = L t Linearität ( a f ( t) + bg( t) ) = af( s) bg( s) L + Ableitung L ( f & ( t )) = sf ( s ) f (0 ) L (& f ( t) ) = s( sf( s) f (0)) f& (0) Integral F f ( t) dt = 0 s F ( s)

14 Die Laplace Transformation Sei Wichtige Eigenschaften ( f ( )) F ( s) = L t und ( g( )) G ( s) = L t Verschiebung ( e f ( t) ) = F( s a) L at + a C Faltung ( f * g ) F ( s) G( s) F =

15 Die Laplace Transformation Eine Korrespondenztabelle f(t) δ ( t ) F(s) t e at sin(wt) cos(wt) s s s 2 s + s 2 2 a w + w s + w 2 2

16 Die Laplace-Transformation Beispiel Es soll die folgende Funktion und Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplacetransformation gelöst werden:. F( s) = ( s + 2)( s + 5) f(t)? 2. y& ( t ) 2 y ( t ) = e 3t y(0)=0 y(t)?

Hilfe der Laplacetransformation gelöst werden:.

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