Schaltalgebra und kombinatorische Logik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Schaltalgebra und kombinatorische Logik"

Transkript

1 Schaltalgebra und kombinatorische Logik. Digitale elektrische Schaltungen 2. Beschreibung durch logische Ausdrücke 3. Boolesche Algebra 4. Schaltfunktionen 5. Synthese von Schaltungen 6. Schaltnetze *Die Folien wurden unter Verwendung der Folien von A. Strey, Ulm, SS 3 erstellt Wintersemester 2/3

2 Digitale elektrische Schaltungen eine einfache Schaltung: Schalter Spannungsquelle Lichquelle Strom fließt nur bei geschlossenem Stromkreis! zwei Zustände Strom fließt Lampe leuchtet Strom fließt nicht Lampe leuchtet nicht Wintersemester 2/3 2

3 Digitale elektrische Schaltungen eine einfache Reihenschaltung: Lampe leuchtet, wenn der erste und der zweite Schalter geschlossen werden eine einfache Parallelschaltung: Lampe leuchtet, wenn der erste oder der zweite Schalter geschlossen wird Wintersemester 2/3 3

4 Digitale elektrische Schaltungen eine komplexe(re) Schaltung: wann leuchtet die Lampe? wie kann man eine solche Schaltung beschreiben? Wintersemester 2/3 4

5 Beschreibung durch logische Ausdrücke bei Betrachtung aus Sicht der Logik ergeben sich 2 Zustände: Strom fließt / Strom fließt nicht Lampe leuchtet / Lampe leuchtet nicht an / aus wahr / falsch / / im folgenden Betrachtung der Zustandsmenge {,} Zustände werden elektronisch realisiert: Stromfluß / kein (oder ein sehr geringer) Stromfluß Spannung / keine (oder eine sehr geringe) Spannung Wintersemester 2/3 5

6 Beschreibung durch logische Ausdrücke Wie können logische Schaltungen beschrieben werden? Welche logischen Grundverknüpfungen können identifiziert werden? Logische Variablen nehmen den Wert wahr oder falsch an. Andere Werte gibt es nicht: Tertium non datur Verknüpfung von Variablen: A B A UND B falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr Wahrheitstafel Wintersemester 2/3 6

7 Entwicklung: Aristoteles v.chr. begründet Syllogistik Lehre von den logischen Schlußformen Später bilden die Stoiker die Syllogistik als Aussagenlogik weiter aus. Im Mittelalter Scholastik George Boole (85-864) 854 mathematische Formalisierung in An Investigation of the Laws of Thought on which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities". Claude Shannon (96-2) hat im Rahmen seiner Diplomarbeit: On the Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits (94), gezeigt, dass man die Boolsche Algebra zur Beschreibung von Schaltkreisen anwenden kann. Wintersemester 2/3 7 Bild:

8 Wie realisiert man die Funktionen, die durch eine Wahrheitstafel beschrieben werden? Realisierung einer UND-Funktion durch Gatter mit Relais: V+ A B A UND B A B C elementare Funktionen auf {,} werden durch Gatter realisiert, GND komplexe Funktionen durch eine geeignete Verschaltung von mehreren Gattern Wintersemester 2/3 8

9 Realisierung durch elektronische Schaltkreise: klein sparsam schnell zuverlässig billig Technische Power Informatik PCI Wintersemester 2/3 9

10 Logische Schaltungen ein Gatter ist eine (elektrotechnische) Black Box mit einem, zwei oder mehreren Eingängen A,B,C,... {,} und genau einem Ausgang Y {,} zur Realisierung einer Funktion Y = f (A,B,C,...) eine Wahrheitstabelle legt jeweils die Funktion fest. Wintersemester 2/3

11 Elementare Gatter ein UND-Gatter realisiert eine Konjunktion: für zwei Eingänge: Y=A B für k Eingänge: Y=A A 2... A k Andere äquivalente Notationen: Y = A B Y = AB Y = A & B Wintersemester 2/3

12 Elementare Gatter ein ODER-Gatter realisiert eine Disjunktion: für zwei Eingänge: Y=A+B, für k Eingänge: Y=A +A A k andere äquivalente Notationen: Y=A B Wintersemester 2/3 2

13 Elementare Gatter ein NICHT-Gatter realisiert eine Negation: Y=A andere äquivalente Notationen: Y=A' Y= A Wintersemester 2/3 3

14 Beispiel einer logischer Schaltung Gesucht ist eine Schaltung, die eine logische generiert, wenn höchstens einer von drei Eingängen A,B,C den Wert aufweist. erste Lösungsvariante: Wintersemester 2/3 4

15 Beispiel einer logischen Schaltung Gesucht ist eine Schaltung, die eine logische generiert, wenn höchstens einer von drei Eingängen A,B,C den Wert aufweist. erste Lösungsvariante: Wintersemester 2/3 5

16 Beispiel einer logischer Schaltung zweite Lösungsvariante: Wintersemester 2/3 6

17 Beispiel einer logischer Schaltung zweite Lösungsvariante: welche Variante ist besser? Wintersemester 2/3 7

18 Äquivalenz von Schaltnetzen A B C D A B C D Wintersemester 2/3 8

19 Boolesche Algebra Problem: Gibt es ein Verfahren, um die Äquivalenz zweier Schaltungen formal nachzuweisen? um Schaltungen auf einfache Weise zu transformieren? um minimale Schaltungen zu entwerfen? Lösung: Boolesche Algebra von G. Boole im Jahre 854 entwickelt zwei Werte: und drei Boolesche Operationen: +, sowie " " vier Axiome... Wintersemester 2/3 9

20 Boolesche Algebra Eine Algebra besteht aus einer Tägermenge, Operationen über dieser Menge, für die bestimmte Axiome gelten neutralen Elementen für die Operationen. Sei B eine Menge und seien, Elemente aus B. Seien zweistellige Operationen und +, sowie eine einstellige Operation auf B erklärt. Die neutralen Elemente seien: für die Operation " " und für die Operation "+". Dann heißt (B,,+,,,) eine Boolsche Algebra,wennfür beliebige X, Y, Z B folgende Axiome gelten: Wintersemester 2/3 2

21 Axiome der Booleschen Algebra Kommutativität: A+B = B + A A B = B A Assoziativität: A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C A (B C) = (A B) C = A B C Distributivität: A (B+C) = (A B)+(A C) A+(B C) = (A+B) (A+C) Neutrales Element: +A = A A = A Komplementarität: A + A = A A = Wintersemester 2/3 2

22 Sätze der Booleschen Algebra folgende Sätze können aus den vier Axiomen abgeleitet werden: Idempotenzgesetze: A+A = A A A = A Substitutionsregeln: A+ = A = Absorptionsgesetze: A+(A B) = A A (A+B) = A Doppelnegation: A = A Wintersemester 2/3 22

23 Sätze der Booleschen Algebra Komplementäre Werte: = = Tertium non datur: wenn A, dann gilt A =. wenn A, dann gilt A =. Abgeschlossenheit: Boolesche Operationen liefern nur boolesche Werte als Ergebnis. Wintersemester 2/3 23

24 Gesetze der Booleschen Algebra Gesetze der Booleschen Algebra Zusammengefasst: + A = A A = A + A = A = A + A = A A A = A A + A = A A = A = A A + B = B + A A B = B A Kommutativges. A + (B + C) = (A + B) + C A (B C) = (A B) C Ass. Ges. A (B + C) = A B + A C A+(B C) = (A+B) (A+C) Distr. Ges. A + (A B) = A A (A + B) = A Absorptionsges. A + (A B) = A + B Wintersemester 2/3 24

25 Das Dualitätsprinzip der Booleschen Algebra + A = A A = A + A = A = A + A = A A A = A A + A = A A = Zahlenalgebra: Boolesche Algebra: A B + A C = A ( B + C) (A+B) (A+C) = A A + A C + B A + B C A B + A C = A ( B + C) Distributivges. (A+B) (A+C) = A + (B C) Distributivges. A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C Assoziativges. A (B C) = (A B) C = A B C A (B C) = (A B) C = A B C A+(B+A) = (A+B)+A = 2 A +B A+(B+A) = (A+B)+A = A+B A (B+A) = (A B)+(A A) = A 2 +A B A (B+A) = A+(B A) = A Absorption Wintersemester 2/3 25

26 Wintersemester 2/3

27 Wintersemester 2/3

28 Sätze der Booleschen Algebra de Morgansche Regeln: A+B = A B A B = A+B Anmerkung: de Morgansche Regeln ermöglichen eine einfache Negation von Termen durch ) Tausch der Operationen + (ODER) und (UND) 2) Komplementierung aller Variablen de Morgan s Regel erlaubt es, negierte Ausdrücke in einzelne negierte Ausdrücke aufzulösen und Operatoren wechselseitig zu ersetzen. Wintersemester 2/3 28

29 Regeln zur Umformung Boolscher Gleichungen: Für zwei Gleichungen sagen wir, dass die erste aus der zweiten ableitbar ist, wenn wir die zweite durch Anwendung einer der folgenden Regeln auf die erste Gleichung erhalten: Unabhängige Auswertung:.Jeder Ausdruck auf der linken oder rechten Seite einer Gleichung kann durch einen anderen ersetzt werden, der mit ihm identisch ist, d.h. man kann die Ausdrücke links und rechtes unabhängig voneinander vereinfachen. Komplementbildung: 2: Die rechte und die linke Seite einer Gleichung können gleichzeitig durch ihre Komplemente ersetzt werden. Erweiterung: 3.Jede Seite einer Gleichung kann mit demselben Ausdruck oder mit einem äquivalenten Ausdruck durch den UND-Operator verknüpft werden. 4.Dual dazu gilt, dass zu jeder Seite äquivalente Ausdrücke durch den ODER-Operator verknüpft werden können. Ersetzung: 5. Eine Gleichung der Form A + B = ist durch zwei Gleichungen A =, B = ersetzbar und umgekehrt. 6. Dual dazu ist eine Gleichung der Form AB = durch zwei Gleichungen A=, B= ersetzbar. Wintersemester 2/3 29

30 Schaltfunktionen Funktionen f : {,} n {,} m mit n,m werden auch als Schaltfunktionen bezeichnet Eine Schaltfunktion f : {,} n {,} heißt eine n-stellige Boolesche Funktion Jede Schaltfunktion f : {,} n {,} m kann durch m Boolesche Funktionen ausgedrückt werden Jede Boolesche Funktion läßt sich eindeutig beschreiben durch eine Wahrheitstabelle (auch Wahrheitstafel genannt) durch einen booleschen Ausdruck (gebildet durch Boolesche Variablen und Operationen aus der Booleschen Algebra) Es gibt 2 2n verschiedene n -stellige Boolesche Funktionen (also 6 zweistellige, 256 dreistellige, vierstellige,...) Wintersemester 2/3 3

31 Schaltfunktionen vier einstellige Boolesche Funktionen: Name Nullfunktion Identität Negation Einsfunktion Wahrheitstafel Boolescher Ausdruck x f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) = f (x) = x f (x) = x f (x) = Wintersemester 2/3 3

32 Wintersemester 2/3

33 Wintersemester 2/3

34 Wintersemester 2/3

35 Wintersemester 2/3

36 Schaltfunktionen: die 2-stellige Funktionen Universalgatter Die 6 zweistelligen Boolschen Funktionen a b f f f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 fa fb fc fd fe ff Implikation f: AND f6: EXOR f7: OR fe: NAND f8: NOR Wintersemester 2/3 36

37 Schalt(er)-Algebra aus: Steinbuch: Automat und Mensch, Springer, Berlin 963 Wintersemester 2/3 37

38 Schaltfunktionen mit NAND-Funktion (bzw. NAND-Gatter) können NICHT, UND und ODER einfach nachgebildet werden: jede Schaltfunktion ist durch ausschließliche Verwendung von NAND- Gattern realisierbar! die gleiche Eigenschaft trifft für NOR-Gatter zu! NAND-Gatter waren sehr einfach in Hardware implementierbar Wintersemester 2/3 38

39 Schaltfunktionen Claude Shannon hat im Rahmen seiner Masterarbeit gezeigt, dass man die Boolsche Algebra zur Beschreibung von Schaltkreisen anwenden kann Schaltalgebra Claude Shannon: On the Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits, 94 Wintersemester 2/3 39

40 Synthese von Schaltungen jede Boolesche Funktion kann durch Wahrheitstabelle Boolescher Ausdruck Schaltung mit elementaren Gattern dargestellt werden eine Darstellung als Boolescher Ausdruck sowie als Schaltung sind jedoch nicht eindeutig! es werden normierte Ausdrücke (Normalformen) zur Darstellung von Booleschen Funktionen benötigt zunächst einige wichtige Begriffe... Wintersemester 2/3 4

41 ausgezeichnete Terme Produktterm: einfache Variable (ggf. negiert) Konjunktion mehrerer Variablen (ggf. negiert) Beispiele: x, y, x y, x y z Summenterm: wie Produktterm, jedoch Disjunktion statt Konjunktion Beispiele: x, y, x + y, x + y + z Minterm: Produktterm, in dem jede Variable einer booleschen Funktion genau einmal vorkommt (einfach oder negiert) Beispiel: x y z ist ein Minterm der Funktion f(x,y,z) Maxterm: Summenterm, in dem jede Variable einer booleschen Funktion genau einmal vorkommt (einfach oder negiert) Beispiel: x + y + z ist ein Maxterm der Funktion f(x,y,z) Wintersemester 2/3 4

42 Ableitung eines Terms (Summe von Produkten) Die Spezifikation: Eingaben Ausgabe X Y A Ein- Ausgabeverhalten einer Schaltung Erweiterung der Tabelle für Minterme: Eingaben Ausgabe Minterme X Y A X Y X Y XY XY B.-Gleichung XY + XY + XY = A Beweis der Äquivalenz Ableitung: X Y + XY + XY = A XY + X (Y + Y) =A XY + X = A X + Y = A Wahrheitstafel: X Y Y X + Y Wintersemester 2/3 42 X + Y

43 Ableitung eines Terms (Summe von Produkten) Wir haben:...aus dem Ein-Ausgabeverhalten einer Schaltung eine Spezifikation in Form einer Wahrheitstafel erstellt. 2...aus der Wahrheitstafel über die Minterme eine Boolsche Gleichung abgeleitet. 3...vereinfacht nach den Regeln der Boolschen Algebra 4...verifiziert durch Wahrheitstabelle Wintersemester 2/3 43

44 Ableitung eines Terms (Produkt von Summen) Dual zur Summe von Produkten Eingaben Ausgabe X Y A Eingaben Ausgabe Maxterme X Y A X + Y X + Y X + Y X + Y Abgeleitete Gleichung: A = X + Y Entsprechend der Dualität werden die Terme ausgewählt, die ergeben. Wintersemester 2/3 44

45 Ableitung eines Terms (Produkt von Summen) Dual zur Summe von Produkten Eingaben Ausgabe X Y A Eingaben Ausgabe Maxterme X Y A X + Y X + Y X + Y X + Y Vergleich mit Minterm-Darstellung A = YX + YX + XY = (X+X)Y + XY = Y + XY = Y + X Abgeleitete Gleichung: A = X + Y Wintersemester 2/3 45

46 Ausgezeichnete Terme Disjunktive Normalform (DNF, Summe von Produkten): Disjunktion von Produkttermen Beispiel: ( x y ) + ( x y z ) Konjunktive Normalform (KNF, Produkt von Summen): Konjunktion von Summentermen Beispiel: w ( x + y ) ( x + y + z ) Kanonische Disjunktive Normalform (KDNF): eindeutige Darstellung einer booleschen Funktion f als Disjunktion von Mintermen Beispiel: ( x y z ) + ( x y z ) + ( x y z ) ist KDNF von f(x,y,z) Kanonische Konjunktive Normalform (KKNF): eindeutige Darstellung einer booleschen Funktion f als Konjunktion von Maxtermen Beispiel: ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) ist KKNF von f(x,y) Wintersemester 2/3 46

47 Sätze der Schaltalgebra Satz: Jede Boolsche Funktion läßt sich als genau eine KDNF darstellen Bildung der KDNF für n -stellige Boolsche Funktion f : für jede Zeile der Wahrheitstabelle mit f(x, x 2,..., x n ) = wird ein Minterm aufgestellt hierin wird jede Variable x i negiert, wenn in der entsprechenden Zeile der Wert der Variablen ist Beispiel: Darstellung als KDNF ist abgesehen von Reihenfolge eindeutig! Wintersemester 2/3 47

48 Sätze der Schaltalgebra Satz: Jede Boolosche Funktion läßt sich als genau eine KKNF darstellen Bildung der KKNF für n -stellige Boolsche Funktion f : für jede Zeile der Wahrheitstabelle mit f(x, x 2,..., x n ) = wird ein Maxterm aufgestellt hierin wird jede Variable x i negiert, wenn in der entsprechenden Zeile der Wert der Variablen ist Beispiel: Darstellung als KKNF ist abgesehen von Reihenfolge eindeutig! Wintersemester 2/3 48

49 Sätze der Schaltalgebra Satz: Jede KDNF kann in eine KKNF umgewandelt, jede KKNF kann in eine KDNF umgewandelt werden Zwei Darstellungen Boolescher Funktionen sind äquivalent, wenn sie durch Umformungen gemäß den Sätzen der Booleschen Algebra auf die gleiche KDNF bzw. KKNF zurückgeführt werden können Wintersemester 2/3 49

50 Synthese Eine Schaltung zur Realisierung einer Booleschen Funktion f kann erzeugt werden durch: ) Aufstellen der Wahrheitstafel von f 2) Bilden der KDNF (oder KKNF) von f 3) Realisierung der KDNF (oder KKNF) mit Gattern KDNF oder KKNF? Wintersemester 2/3 5

51 Synthese eine KDNF ist günstiger als eine KKNF, wenn nur für wenige Kombinationen der Eingabewerte f (x, x 2,..., x n ) = gilt. Umgekehrt, wenn nur für wenige Kombinationen der Eingabewerte f (x, x 2,..., x n ) = gilt, ist die KKNF vorzuziehen. Beispiel : ODER-Funktion Wahrheitstafel x y f(x,y) KDNF: x y + x y + x y KKNF: x + y Wintersemester 2/3 5

52 Minimierung von Schaltfunktionen kanonische Normalformen stellen zwar eine eindeutige, jedoch nicht minimale Darstellung einer Schaltfunktion dar Wann heißt eine Darstellung minimal? kleinste Anzahl an Gattern? kleinste Anzahl an Verbindungsleitungen? kleinste Anzahl an Produkttermen bzw. Summentermen? Unser Ziel: kleinste Anzahl Boolescher Operationen! Lösungsmöglichkeiten: ) geeignetes Umformen mit Gesetzen der Booleschen Algebra 2) Einsatz eines graphischen Verfahrens (z.b. ein Karnaugh-Veith- Diagramm), nur möglich bei Schaltfunktionen mit wenigen Variablen 3) algorithmisches Minimieren (z.b. Verfahren nach Quine-Mc-Cluskey), geeignet auch für Schaltfunktionen mit vielen Variablen Wintersemester 2/3 52

53 Minimierung Boolscher Ausdrücke Verfahren: Anwendung der Gesetze der Boolschen Algebra Beispiel: f(x, x 2, x 3 ) = x x 2 x 3 + x x 2 x 3 + x x 2 x 3 (Idempotenzgesetz) = x x 2 x 3 + x x 2 x 3 + x x 2 x 3 + x x 2 x 3 (Distributivgesetz) = x x 2 (x 3 + x 3 ) + x x 2 x 3 + x x 2 x 3 (Kommutativgesetz) = x x 2 (x 3 + x 3 ) + x x 3 x 2 + x x 3 x 2 (Distributivgesetz) = x x 2 (x 3 + x 3 ) + x x 3 (x 2 + x 2 ) (Komplementäres Element) = x x 2 + x x 3 (Neutrales Element) = x x 2 + x x 3 Wintersemester 2/3 53

54 Schaltnetze Ein Schaltnetz ist eine schaltungstechnische Realisierung einer Schaltfunktion f : {,} n {,} m mit n, m f ist zerlegbar in m Boolesche Funktionen mit den gleichen n Eingangsvariablen : f (x, x 2,..., x n ), f 2 (x, x 2,..., x n ),..., f m (x, x 2,..., x n ) Schaltnetz ein Schaltnetz bezeichnet man auch als kombinatorische Logik Wintersemester 2/3 54

55 Schaltnetze Schaltnetze können einstufig (eine Gatterebene), zweistufig (zwei Gatterebenen) oder mehrstufig sein; jedes Schaltnetz ist als gerichteter, ayzklischer Graph darstellbar: Gatter, Ein- und Ausgänge sind die Knoten Verbindungsleitungen entsprechen den gerichteten Kanten Zyklen (Rückkopplungen) sind nicht zulässig! aus der Darstellung als kanonische Normalform resultiert, daß jede Schaltfunktion f (x, x 2,..., x n ) durch ein zweistufiges Schaltnetz realisierbar ist, wenn alle Eingangssignale x i sowohl einfach als auch negiert vorliegen Gatter mit einer ausreichenden Größe (d.h. Anzahl an Eingängen) zur Verfügung stehen Wintersemester 2/3 55

56 Schaltnetze bei Realisierung einer KDNF werden benötigt: je Minterm ein UND-Gatter ein ODER-Gatter zur Disjunktion aller Minterme bei Realisierung einer KKNF werden benötigt: je Maxterm ein ODER-Gatter ein UND-Gatter zur Konjunktion aller Maxterme Anzahl der benötigten Gatter zur Realisierung der KDNF (bzw. KKNF) einer n-stelligen Schaltfunktion: je Boolescher Funktion max. 2 n UND-Gatter (bzw. ODER-Gatter) mit jeweils max. n Eingängen je Boolescher Funktion ein ODER-Gatter (bzw. UND-Gatter) mit max. 2 n Eingängen Minimierung der Booleschen Funktionen reduziert Anzahl und Größe der benötigten Gatter Wintersemester 2/3 56

57 Schaltnetze Jedes Schaltnetz kann nur mit UND- oder ODER- und NICHT-Gattern aufgebaut werden. Es ist allerdings kompakter, auch andere Gatterbausteine zu verwenden. Gängige Bausteine sind: Wintersemester 2/3 57

58 Typische Schaltnetze n-zu-k Dekodierer: n Eingänge x, x,..., x n- k = 2 n Ausgänge y, y,..., y k- wenn (x n-,..., x, x ) 2 = i, dann ist y i = und y j i = für jede Eingangskombination wird genau Ausgang aktiviert. benötigt z.b. zur Dekodierung von Adressen oder Instruktionen Wintersemester 2/3 58

59 Beispiel: Realisierung eines 3-zu-8 Dekodierers: Eingaben Ausgaben x2 x x y y y2 y3 y4 y5 y6 y7 y = x 2 x x y = x 2 x x y 2 = x 2 x x y 3 = x 2 x x y 4 = x 2 x x y 5 = x 2 x x y 6 = x 2 x x y 7 = x 2 x x Wintersemester 2/3 59

60 Dekodierer A7 A6 A5 A4 A3 A2 A A S2 S S Wintersemester 2/3 6

61 Typische Schaltnetze -zu-k Demultiplexer: n Steuerleitungen s n-,..., s, s ein Eingang x k = 2 n Ausgänge y, y,..., y k- y i = x für (s n-,..., s, s ) 2 = i Beispiel: Realisierung eines -zu-4 Demultiplexers: y = s s x, y = s s x, y 2 = s s x, y 3 = s s x. benötigt z.b. zur Auswahl einer Datensenke (E/A-Gerät, Speicherzeile) Die Belegung des Eingangs wird zu genau einem Ausgang propagiert. Der Ausgang wird über die Selektionseingänge ausgewählt. Wintersemester 2/3 6

62 Demultiplexer Dekoder A7 A6 A5 E A4 A3 A2 A A S2 S S Wintersemester 2/3 62

63 Typische Schaltnetze -aus-k Multiplexer: n Steuerleitungen: s n-,..., s, s k = 2 n Eingänge: x, x,..., x k- ein Ausgang: y y = x i für (s n-,..., s, s ) 2 = i Binärzahl Beispiel: Realisierung eines -aus-4 Multiplexers KDNF: y = s s x + s s x + s s x 2 + s s x 3 Negation Genau ein durch die Belegung der Selektionseingänge gewählter Eingang wird zum Ausgang propagiert. benötigt z.b. zur Auswahl einer Datenquelle Wintersemester 2/3 63

64 Multiplexer Dekodierer E7 A7 E6 A6 E5 A5 E4 A4 E3 A3 A E2 A2 E A E A S2 S S Wintersemester 2/3 64

65 Typische Schaltnetze k-zu-n Kodierer: n Ausgänge y,y,...,y n- k = 2 n Eingänge x, x,...,x k- nur genau eine Eingangsleitung darf auf sein: x i =, x j i = (y n-,..., y, y ) 2 = i Jeder Eingangsleitung ist genau eine Kombination der möglichen Belegungen der Ausgangsleitungen zugeordet, z.b. ihre binäre Repräsentation. Wintersemester 2/3 65

66 Beispiel: Realisierung eines 8-zu-3 Kodierers: Eingaben Ausgaben x x x2 x3 x4 x5 x6 x7 y2 y y Unvollständige Wahrheitstafel! y = x + x 3 + x 5 + x 7 y = x 2 + x 3 + x 6 + x 7 y 2 = x 4 + x 5 + x 6 + x 7 Wintersemester 2/3 66

67 Beispiel: Realisierung eines 8-zu-3 Kodierers: y = x + x 3 + x 5 + x 7 y = x 2 + x 3 + x 6 + x 7 y 2 = x 4 + x 5 + x 6 + x 7 Wintersemester 2/3 67

68 Realisierung eines Schaltnetzes Ein Schaltnetz wird heute nicht mehr mit diskreten Gattern aufgebaut, statt dessen verwendet man: integrierte Bausteine (ICs) Standardfamilien in TTL (Transistor-Transistor-Logik) oder CMOS ( Complementary Metal Oxide Semiconductor ): bei SSI (Small Scale Integration) mehrere Gatter des gleichen Typs je Baustein programmierbare Logikbausteine PROM PLA PAL/GAL FPGAs ( Field-Programmable Gate Arrays ) hochintegrierte Schaltkreise (ASICs = Application-Specific Integrated Circuits ) in VLSI-Technologie (VLSI = Very Large Scale Integration ) Wintersemester 2/3 68

69 Ziel: Universalgatter Das universelle programmierbare Gatter Die 6 zweistelligen Boolschen Funktionen a b f f f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 fa fb fc fd fe ff Implikation f: AND f6: EXOR f7: OR fe: NAND f8: NOR Wintersemester 2/3 69

70 Wintersemester 2/3 7

71 Wintersemester 2/3 7

72 Wintersemester 2/3 72

73 Einige charakteristische Merkmale für PALs: Die Anzahl der Eingänge bestimmt die Anzahl der möglichen Variablen. Die Anzahl der ODER-Verknüpfungen bestimmt die Anzahl der möglichen Terme in der disjunktiven Normalform. PAL, wenn viele Variablen und relative wenige Terme. Viele Eingangsbelegungen werden auf dieselbe Ausgangsbelegung abgebildet. ROM, wenn jede Eingangsbelegung auf eine individuelle Ausgangsbelegung abgebildet werden muss. Wintersemester 2/3 73

74 Lernziele Begriffe: Schaltfunktion, Schaltnetz, Minterm, Maxterm, DNF, KNF, KDNF, KKNF, (De-)Multiplexer, (De-)Kodierer,... Transformation Boolescher Ausdrücke gemäß den Axiomen und Sätzen der Booleschen Algebra, z.b. zum Nachweis der Äquivalenz zweier Schaltnetze Systematischer Entwurf eines Schaltnetzes aus einer Problembeschreibung Aufstellen der Wahrheitstabelle Bildung der KDNF oder KKNF Realisierung des Schaltnetzes mit Gattern aus einer vorgegeben Menge oder mit programmierbaren Logikbausteinen Wintersemester 2/3 74

1 Analogtechnik und Digitaltechnik. C Schaltalgebra und kombinatorische Logik. 2 Digitale elektrische Schaltungen

1 Analogtechnik und Digitaltechnik. C Schaltalgebra und kombinatorische Logik. 2 Digitale elektrische Schaltungen Analogtechnik und Digitaltechnik C Schaltalgebra und kombinatorische Logik bei analoger Technik kontinuierliche Signale. Analog- und Digitaltechnik 2. Digitale elektrische Schaltungen 3. Logische Schaltungen

Mehr

Teil 1: Digitale Logik

Teil 1: Digitale Logik Teil 1: Digitale Logik Inhalt: Boolesche Algebra kombinatorische Logik sequentielle Logik kurzer Exkurs technologische Grundlagen programmierbare logische Bausteine 1 Analoge und digitale Hardware bei

Mehr

kanonische disjunktive Normalform (KDNF, DKF) Disjunktion einer Menge von Mintermen mit gleichen Variablen

kanonische disjunktive Normalform (KDNF, DKF) Disjunktion einer Menge von Mintermen mit gleichen Variablen 5.6 Normalformen (4) Noch mehr aber besonders wichtige Begriffe kanonische disjunktive Normalform (KDNF, DKF) Disjunktion einer Menge von Mintermen mit gleichen Variablen Beispiel: KDNF zur Funktion f(,,,

Mehr

C.34 C Normalformen (4) 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra. 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra (2) 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra (3)

C.34 C Normalformen (4) 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra. 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra (2) 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra (3) 5.6 Normalformen (4) Noch mehr aber besonders wichtige Begriffe kanonische disjunktive Normalform (KDNF, DKF) Disjunktion einer Menge von Mintermen mit gleichen Variablen Beispiel: KDNF zur Funktion f(,,,

Mehr

Boolesche Algebra (1)

Boolesche Algebra (1) Boolesche Algebra (1) Definition 1: Sei B = Σ 2 = {0,1} das Alphabet mit den Elementen 0 und 1. Seien auf B die 3 Operatoren einer Algebra wie folgt definiert für x,y aus B: x+y := Max(x,y), x y := Min(x,y),

Mehr

C Beispiel: Siebensegmentanzeige. Typische Anzeige für Ziffern a. f g. e d. Gesucht: Schaltfunktion für die Ansteuerung des Segmentes d

C Beispiel: Siebensegmentanzeige. Typische Anzeige für Ziffern a. f g. e d. Gesucht: Schaltfunktion für die Ansteuerung des Segmentes d 6.3 Beispiel: Siebensegmentanzeige Typische Anzeige für Ziffern a f g b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 e d c Schaltfunktionen zur Ansteuerung der Segmente Parameter: binär codierte Zahl bzw. Ziffer Gesucht: Schaltfunktion

Mehr

Kombinatorische Logik. Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck

Kombinatorische Logik. Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck Kombinatorische Logik Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck Überblick Analog- und Digitaltechnik Boolesche Algebra Schaltfunktionen Gatter Normalformen

Mehr

Informationsverarbeitung auf Bitebene

Informationsverarbeitung auf Bitebene Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta 5. November 2005 Einführung in die Informatik - Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta Grundlagen der Informationverarbeitung

Mehr

Grundlagen der Rechnerarchitektur

Grundlagen der Rechnerarchitektur Grundlagen der Rechnerarchitektur [CS3100.010] Wintersemester 2014/15 Heiko Falk Institut für Eingebettete Systeme/Echtzeitsysteme Ingenieurwissenschaften und Informatik Universität Ulm Kapitel 2 Kombinatorische

Mehr

1. Grundlagen der Informatik Boolesche Algebra / Aussagenlogik

1. Grundlagen der Informatik Boolesche Algebra / Aussagenlogik 1. Grundlagen der Informatik Boolesche Algebra / Aussagenlogik Inhalt Grundlagen digitaler Systeme Boolesche Algebra / Aussagenlogik Organisation und Architektur von Rechnern Algorithmen, Darstellung von

Mehr

Eingebettete Systeme

Eingebettete Systeme Einführung in Eingebettete Systeme Vorlesung 7 Bernd Finkbeiner 03/12/2014 finkbeiner@cs.uni-saarland.de Prof. Bernd Finkbeiner, Ph.D. finkbeiner@cs.uni-saarland.de 1 Schaltfunktionen! Schaltfunktion:

Mehr

Logische Grundschaltungen. Frank Flederer. Wintersemester 2015/2016

Logische Grundschaltungen. Frank Flederer. Wintersemester 2015/2016 Einführung in die Zentralavionik-Hardware Logische Grundschaltungen Frank Flederer Informatik VIII: Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Wintersemester 2015/2016 1 / 46 Logik in Elektronik 2 Zustände:

Mehr

Technische Informatik I

Technische Informatik I Rechnerstrukturen Dario Linsky Wintersemester 200 / 20 Teil 2: Grundlagen digitaler Schaltungen Überblick Logische Funktionen und Gatter Transistoren als elektronische Schalter Integrierte Schaltkreise

Mehr

Grundlagen der Informationverarbeitung

Grundlagen der Informationverarbeitung Grundlagen der Informationverarbeitung Information wird im Computer binär repräsentiert. Die binär dargestellten Daten sollen im Computer verarbeitet werden, d.h. es müssen Rechnerschaltungen existieren,

Mehr

Rechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel WS 2013/14. TU Dortmund, Fakultät für Informatik

Rechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel WS 2013/14. TU Dortmund, Fakultät für Informatik Rechnerstrukturen Michael Engel und Peter Marwedel TU Dortmund, Fakultät für Informatik WS 2013/14 Folien a. d. Basis von Materialien von Gernot Fink und Thomas Jansen 21. Oktober 2013 1/33 1 Boolesche

Mehr

Kapitel 6 Programmierbare Logik. Literatur: Kapitel 6 aus Oberschelp/Vossen, Rechneraufbau und Rechnerstrukturen, 9. Auflage

Kapitel 6 Programmierbare Logik. Literatur: Kapitel 6 aus Oberschelp/Vossen, Rechneraufbau und Rechnerstrukturen, 9. Auflage Kapitel 6 Programmierbare Logik Literatur: Kapitel 6 aus Oberschelp/Vossen, Rechneraufbau und Rechnerstrukturen, 9. Auflage Kapitel 6: Programmierbare Logik und VLSI Seite Kapitel 6: Programmierbare Logik

Mehr

2. Schaltfunktionen und ihre Darstellung

2. Schaltfunktionen und ihre Darstellung 2. Schaltfunktionen und ihre Darstellung x y z Schaltalgebra Schaltkreise und -terme Schaltfunktionen Dualitätsprinzip Boolesche Algebra Darstellung von Schaltfunktionen 60 Schaltalgebra Wir untersuchen

Mehr

2. Schaltfunktionen und ihre Darstellung

2. Schaltfunktionen und ihre Darstellung 2. Schaltfunktionen und ihre Darstellung x y z Schaltalgebra Schaltkreise und -terme Schaltfunktionen Dualitätsprinzip Boolesche Algebra Darstellung von Schaltfunktionen 58 Schaltalgebra Wir untersuchen

Mehr

Einführung in die Boolesche Algebra

Einführung in die Boolesche Algebra Einführung in die Boolesche Algebra Einführung in Boole' sche Algebra 1 Binäre Größe Eine Größe (eine Variable), die genau 2 Werte annehmen kann mathematisch: falsche Aussage wahre Aussage technisch: ausgeschaltet

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 1 Boolesche Algebra, Schaltalgebra - Begriffsbestimmung 1. 2 Operationssystem der Schaltalgebra 4. 3 Boolesche Funktionen 6

Inhaltsverzeichnis. 1 Boolesche Algebra, Schaltalgebra - Begriffsbestimmung 1. 2 Operationssystem der Schaltalgebra 4. 3 Boolesche Funktionen 6 Inhaltsverzeichnis 1 Boolesche Algebra, Schaltalgebra - Begriffsbestimmung 1 2 Operationssystem der Schaltalgebra 4 3 Boolesche Funktionen 6 4 Boolesche Funktionen kombinatorischer Schaltungen 8 4.1 Begriffsbestimmung

Mehr

A.1 Schaltfunktionen und Schaltnetze

A.1 Schaltfunktionen und Schaltnetze Schaltfunktionen und Schaltnetze A. Schaltfunktionen und Schaltnetze 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II Bedeutung des Binärsystems für den Rechneraufbau Seit Beginn der Entwicklung von Computerhardware

Mehr

Satz von De Morgan A B A + B A + B A B A. Transistoren: A B U a A 0 0 Vcc Vcc Vcc V 0

Satz von De Morgan A B A + B A + B A B A. Transistoren: A B U a A 0 0 Vcc Vcc Vcc V 0 Satz von De Morgan A + = A A A + A + A A 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 Transistoren: A U a A 0 0 Vcc 1 0 1 Vcc 1 1 0 Vcc 1 1 1 0 V 0 eispiel: Schaltung zur Erkennung gültiger

Mehr

Technische Informatik I, SS03. Boole sche Algebra, Kombinatorische Logik

Technische Informatik I, SS03. Boole sche Algebra, Kombinatorische Logik Übung zur Vorlesung Technische Informatik I, SS03 Ergänzung Übungsblatt 1 Boole sche Algebra, Kombinatorische Logik Guenkova, Schmied, Bindhammer, Sauer {guenkova@vs., schmied@vs., bindhammer@vs., dietmar.sauer@}

Mehr

Systemorientierte Informatik 1

Systemorientierte Informatik 1 Systemorientierte Informatik. Grundlagen Digitaler Schaltungen.8 Schaltnetze aus Gattern und Leitungen.9 Boole sche Algebra. Minimierung Boole scher Funktionen. CMOS Komplegatter Die nächste Funktion,

Mehr

Digitalelektronik - Inhalt

Digitalelektronik - Inhalt Digitalelektronik - Inhalt Grundlagen Signale und Werte Rechenregeln, Verknüpfungsregeln Boolesche Algebra, Funktionsdarstellungen Codes Schaltungsentwurf Kombinatorik Sequentielle Schaltungen Entwurfswerkzeuge

Mehr

Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3)

Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3) Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3) Eine Aussage ist ein Satz, von dem man eindeutig entscheiden kann, ob er wahr (true, = 1) oder falsch (false, = 0) ist. Beispiele a: 1 + 1 = 2 b: Darmstadt liegt in Bayern.

Mehr

Rückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen

Rückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen Rückblick Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits 66 Rückblick Gleitkommazahlen (IEEE Floating Point Standard 754) lassen das Komma bei der Darstellung

Mehr

Algorithmen & Programmierung. Logik

Algorithmen & Programmierung. Logik Algorithmen & Programmierung Logik Aussagenlogik Gegenstand der Untersuchung Es werden Verknüpfungen zwischen Aussagen untersucht. Aussagen Was eine Aussage ist, wird nicht betrachtet, aber jede Aussage

Mehr

Computersysteme. 2. Grundlagen Digitaler Schaltungen 2.10 Minimierung Boole scher Funktionen 2.11 CMOS Komplexgatter

Computersysteme. 2. Grundlagen Digitaler Schaltungen 2.10 Minimierung Boole scher Funktionen 2.11 CMOS Komplexgatter Computersysteme 2. Grundlagen Digitaler Schaltungen 2.10 Minimierung Boole scher Funktionen 2.11 CMOS Komplexgatter 1 Die Einsen im KV-Diagramm werden zu Blöcken maximaler Größe zusammengefasst. Dabei

Mehr

2.3 Logikoptimierung. Überblick digitale Synthese. Logikoptimierung

2.3 Logikoptimierung. Überblick digitale Synthese. Logikoptimierung 2.3 Logikoptimierung Logikoptimierung Überblick digitale Synthese Logikoptimierung Begriffe Mehrstufige Logik Zweistufige Logik:..Exakte Verfahen..Heuristische Verfahren..Expansion/ Reduktion..Streichen

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik. Inhalte der Lehrveranstaltung. Definition (Boolesche Algebra) Einführung in die Logik

Einführung in die Theoretische Informatik. Inhalte der Lehrveranstaltung. Definition (Boolesche Algebra) Einführung in die Logik Zusammenfassung Einführung in die Theoretische Informatik Woche 5 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung der letzten LV Jede binäre Operation hat maximal ein

Mehr

Synthese und Analyse Digitaler Schaltungen

Synthese und Analyse Digitaler Schaltungen Synthese und Analyse Digitaler Schaltungen von Prof. Dr.-Ing. habil. Gerd Scarbata Technische Universität Ilmenau 2., überarbeitete Auflage Oldenbourg Verlag München Wien V Inhaltsverzeichnis Seite Boolesche

Mehr

5. Vorlesung: Normalformen

5. Vorlesung: Normalformen 5. Vorlesung: Normalformen Wiederholung Vollständige Systeme Minterme Maxterme Disjunktive Normalform (DNF) Konjunktive Normalform (KNF) 1 XOR (Antivalenz) X X X X X X ( X X ) ( X X ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1

Mehr

Physikalisches Praktikum für Vorgerückte. an der ETH Zürich. vorgelegt von. Mattia Rigotti Digitale Elektronik

Physikalisches Praktikum für Vorgerückte. an der ETH Zürich. vorgelegt von. Mattia Rigotti Digitale Elektronik Physikalisches Praktikum für Vorgerückte an der ETH Zürich vorgelegt von Mattia Rigotti mrigotti@student.ethz.ch 14.02.2003 Digitale Elektronik Versuchsprotokoll 1 Inhaltverzeichnis 1. Zusammenfassung...

Mehr

Aussagenlogik. Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 teil 7, folie 1 (von 50)

Aussagenlogik. Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 teil 7, folie 1 (von 50) Aussagenlogik Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie (von 5) Teil VII: Aussagenlogik. Einführung 2. Boolesche Funktionen 3. Boolesche Schaltungen Franz-Josef Radermacher & Uwe Schöning,

Mehr

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra 5. Aussagenlogik und Schaltalgebra Aussageformen und Aussagenlogik Boolesche Terme und Boolesche Funktionen Boolesche Algebra Schaltalgebra Schaltnetze und Schaltwerke R. Der 1 Aussagen Information oft

Mehr

2. Funktionen und Entwurf digitaler Grundschaltungen

2. Funktionen und Entwurf digitaler Grundschaltungen 2. Funktionen und Entwurf digitaler Grundschaltungen 2.1 Kominatorische Schaltungen Kombinatorische Schaltungen - Grundlagen 1 Grundgesetze der Schaltalgebra UND-Verknüpfung ODER-Verknüpfung NICHT-Verknüpfung

Mehr

Allgemeingültige Aussagen

Allgemeingültige Aussagen Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 5. Aussagenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische

Mehr

Rechnerorganisation. (10,11) Informationskodierung (12,13,14) TECHNISCHE UNIVERSITÄT ILMENAU. IHS, H.- D. Wuttke 08

Rechnerorganisation. (10,11) Informationskodierung (12,13,14) TECHNISCHE UNIVERSITÄT ILMENAU. IHS, H.- D. Wuttke 08 Rechnerorganisation Mathematische Grundlagen (1) Boolesche Algebren: : BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4,5) Automaten (6,7) Sequentielle Schaltungen (8) Programmierbare Strukturen (9) Rechneraufbau

Mehr

TU9 Aussagenlogik. Daniela Andrade

TU9 Aussagenlogik. Daniela Andrade TU9 Aussagenlogik Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 18.12.2017 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2 /

Mehr

8 Boolesche Algebra. 8.1 Grundlegende Operationen und Gesetze

8 Boolesche Algebra. 8.1 Grundlegende Operationen und Gesetze 82 8 Boolesche Algebra Die Boolesche Algebra ist eine Algebra der Logik, die George Boole (1815 1864) als erster entwickelt hat. Sie ist die Grundlage für den Entwurf von elektronischen Schaltungen und

Mehr

Technische Informatik - Eine Einführung

Technische Informatik - Eine Einführung Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Fachbereich Mathematik und Informatik Lehrstuhl für Technische Informatik Prof. P. Molitor Technische Informatik - Eine Einführung Boolesche Funktionen - Grundlagen

Mehr

Einführung in die Informatik

Einführung in die Informatik Einführung in die Informatik Vorlesung gehalten von Prof. Dr. rer. nat. E. Bertsch Skript verfasst von Sebastian Ritz 7. Dezember 2005 1 Inhaltsverzeichnis 1 Was versteht man unter Informatik 3 2 Aufbau

Mehr

Mathematische Grundlagen I Logik und Algebra

Mathematische Grundlagen I Logik und Algebra Logik und Algebra Dr. Tim Haga 21. Oktober 2016 1 Aussagenlogik Erste Begriffe Logische Operatoren Disjunktive und Konjunktive Normalformen Logisches Schließen Dr. Tim Haga 1 / 21 Präliminarien Letzte

Mehr

Einführung in die Informatik I

Einführung in die Informatik I Einführung in die Informatik I Arithmetische und bitweise Operatoren im Binärsystem Prof. Dr. Nikolaus Wulff Operationen mit Binärzahlen Beim Rechnen mit Binärzahlen gibt es die ganz normalen arithmetischen

Mehr

Rechnerstrukturen WS 2012/13

Rechnerstrukturen WS 2012/13 Rechnerstrukturen WS 202/3 Boolesche Funktionen und Schaltnetze Repräsentationen boolescher Funktionen (Wiederholung) Normalformen boolescher Funktionen (Wiederholung) Repräsentation boolescher Funktionen

Mehr

II. Grundlagen der Programmierung

II. Grundlagen der Programmierung II. Grundlagen der Programmierung II.1. Zahlenssteme und elementare Logik 1.1. Zahlenssteme 1.1.1. Ganze Zahlen Ganze Zahlen werden im Dezimalsstem als Folge von Ziffern 0, 1,..., 9 dargestellt, z.b. 123

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 19. Oktober 2017 1/27 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage

Mehr

Informatik A (Autor: Max Willert)

Informatik A (Autor: Max Willert) 2. Aufgabenblatt Wintersemester 2012/2013 - Musterlösung Informatik A (Autor: Max Willert) 1. Logik im Alltag (a) Restaurant A wirbt mit dem Slogan Gutes Essen ist nicht billig!, das danebenliegende Restaurant

Mehr

Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie

Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Was ist Logik? Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere Aussagen ableiten kann Beschränkung auf

Mehr

Algorithmus von McClusky: Der Algorithmus von McCluskey liefert durch wiederholte Anwendung der ersten und zweiten Vereinfachungsregel:

Algorithmus von McClusky: Der Algorithmus von McCluskey liefert durch wiederholte Anwendung der ersten und zweiten Vereinfachungsregel: Seite 1 Aufgabe 1 Algorithmus von McClusky: Der Algorithmus von McCluskey liefert durch wiederholte Anwendung der ersten und zweiten Vereinfachungsregel: f 1 = a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a

Mehr

Technische Informatik I 4. Vorlesung. 2. Funktion digitaler Schaltungen... wertverlaufsgleiche Umformungen

Technische Informatik I 4. Vorlesung. 2. Funktion digitaler Schaltungen... wertverlaufsgleiche Umformungen Technische Informatik I 4. Vorlesung 2. Funktion digitaler Schaltungen... wertverlaufsgleiche Umformungen...... H.-D. Wuttke 09 Karnaugh-Veith Veith-Diagramme, 3. Struktur digitaler Schaltungen: Strukturdefinition,

Mehr

3 Verarbeitung und Speicherung elementarer Daten

3 Verarbeitung und Speicherung elementarer Daten 3 Verarbeitung und Speicherung elementarer Daten 3.1 Boolsche Algebra Definition: Eine Boolsche Algebra ist eine Menge B mit den darauf definierten zweistelligen Verknüpfungen (+,*) sowie der einstelligen

Mehr

Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution

Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Ralf Moeller Hamburg Univ. of Technology Boole'sche Algebra Äquivalenzen als "Transformationsgesetze" Ersetzbarkeitstheorem Zentrale

Mehr

Normalformen von Schaltfunktionen

Normalformen von Schaltfunktionen Disjunktive Normalform (DNF) Vorgehen: 2. Aussuchen der Zeilen, in denen die Ausgangsvariable den Zustand 1 hat 3. Die Eingangsvariablen einer Zeile werden UND-verknüpft a. Variablen mit Zustand 1 werden

Mehr

Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen

Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagenlogik Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagen sind Sätze, von denen sich sinnvollerweise sagen läßt, sie seien wahr oder falsch. Jede Aussage besitzt also einen von zwei möglichen Wahrheitswerten,

Mehr

5.1 Operationen 5.2 Boolsche Algebren 5.3 Monoide, Gruppen, Ringe, Körper 5.4 Quotientenalgebren

5.1 Operationen 5.2 Boolsche Algebren 5.3 Monoide, Gruppen, Ringe, Körper 5.4 Quotientenalgebren 5. Algebra 5.1 Operationen 5.2 Boolsche Algebren 5.3 Monoide, Gruppen, Ringe, Körper 5.4 Quotientenalgebren 5. Algebra GM 5-1 Black Box Allgemein ist eine Black Box ein Objekt, dessen innerer Aufbau und

Mehr

Boolesche Funktionen und Schaltkreise

Boolesche Funktionen und Schaltkreise Boolesche Funktionen und Schaltkreise Die Oder-Funktion (Disjunktion) und die Und-Funktion (Konjunktion), x y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 x y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 (Implikationsfunktion), ( umgekehrte

Mehr

Grundlagen der diskreten Mathematik

Grundlagen der diskreten Mathematik Grundlagen der diskreten Mathematik Prof. Dr. Romana Piat WS 25/6 Allgemeine Informationen Vorlesungen:./C Zug D (Mi., 3. Block + Do., 4. Block, y-raster) Zug E (Di., 5. Block + Do.,. Block, y-raster)

Mehr

Darstellung von negativen binären Zahlen

Darstellung von negativen binären Zahlen Darstellung von negativen binären Zahlen Beobachtung für eine beliebige Binärzahl B, z.b. B=110010: B + NOT(B) ---------------------------------------------- = B + NOT(B) 1 + (Carry) ----------------------------------------------

Mehr

Schaltalgebra. Prof. Metzler

Schaltalgebra. Prof. Metzler Schaltalgebra 1 Schaltalgebra (oolsche lgebra) George oole, britischer Mathematiker, 1815-1864 "The mathematical analysis of logic (lgebra zur systematischen ehandlung von Logik) 1847, 1854 1938 leitet

Mehr

Konjunktive und disjunktive Normalformen

Konjunktive und disjunktive Normalformen Konjunktive und disjunktive Normalformen Nachdem gesprochen wurde, wie man Boolesche Terme unter einer Belegung der Variablen interpretiert und dass somit jeder Boolesche Term eine Boolesche Funktion repräsentiert,

Mehr

Aussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25

Aussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25 Aussagenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Modellierung und Beweise Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25 Einführendes Beispiel Falls Lisa Peter trifft, dann trifft Lisa auch Gregor.

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/36 Ersetzbarkeitstheorem

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker 5 Logik, Teil 1

Vorkurs Mathematik für Informatiker 5 Logik, Teil 1 5 Logik, Teil 1 Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer 1. 9. Oktober 2008 Kap. 5: Logik, Teil 1 1 Aussagenlogik Rechnen mit Wahrheitswerten: true und false Kap. 5: Logik, Teil 1 2 Aussagenlogik Rechnen

Mehr

1. Grundlegende Konzepte der Informatik

1. Grundlegende Konzepte der Informatik 1. Grundlegende Konzepte der Informatik Inhalt Algorithmen Darstellung von Algorithmen mit Programmablaufplänen Beispiele für Algorithmen Aussagenlogik Zahlensysteme Kodierung Peter Sobe 1 Aussagenlogik

Mehr

Mathematik für Informatik 1

Mathematik für Informatik 1 Mathematik für Informatik 1 Inhalt : Grundbegriffe Mengen, speziell Zahlenmengen Aussagenlogik Beweistechniken Funktionen, Relationen Kombinatorik Abzählverfahren Binominalkoeffizienten Komplexität von

Mehr

Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik

Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik klassische Aussagenlogik: Syntax, Semantik Äquivalenz zwischen Formeln ϕ ψ gdw. Mod(ϕ) = Mod(ψ) wichtige Äquivalenzen, z.b. Doppelnegation-Eliminierung, DeMorgan-Gesetze,

Mehr

Basisinformationstechnologie I

Basisinformationstechnologie I Basisinformationstechnologie I Wintersemester 2013/14 22. Januar 2014 Kurzwiederholung / Klausurvorbereitung II Universität zu Köln. Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Jan G. Wieners

Mehr

Technische Informatik (RO)

Technische Informatik (RO) Technische Informatik (RO) Informationskodierung (1) Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4,5) Automaten (6) Sequentielle Schaltungen (7) Ablaufsteuerung (8) Fortsetzung Teil

Mehr

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 6 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Satz 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke

Mehr

Arbeitsblatt Logische Verknüpfungen Schaltnetzsynthese

Arbeitsblatt Logische Verknüpfungen Schaltnetzsynthese Einleitung Zur Aktivitätsanzeige der 3 Gehäuselüfter (Signale a - c) eines PC-Systems soll eine Logikschaltung entwickelt werden, die über drei Signalleuchten (LEDs) anzeigt, ob ein beliebiger (LED1 x),

Mehr

Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4

Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4 Syntax der Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel)

Mehr

DuE-Tutorien 4 und 6. Tutorien zur Vorlesung Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Christian A. Mandery. WOCHE 4 AM

DuE-Tutorien 4 und 6. Tutorien zur Vorlesung Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Christian A. Mandery.  WOCHE 4 AM DuE-Tutorien 4 und 6 Tutorien zur Vorlesung Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Christian A. Mandery WOCHE 4 AM 13.11.2012 KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum

Mehr

Logische Aussagen können durch die in der folgenden Tabelle angegebenen Operationen verknüpft werden.

Logische Aussagen können durch die in der folgenden Tabelle angegebenen Operationen verknüpft werden. Logische Operationen Logische ussagen können durch die in der folgenden Tabelle angegebenen Operationen verknüpft werden. ezeichnung Schreibweise (Sprechweise) wahr, genau dann wenn Negation (nicht ) falsch

Mehr

Zusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung

Zusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Wenn das Kind schreit, hat es Hunger Das Kind schreit Also, hat das Kind Hunger Christina Kohl Alexander Maringele

Mehr

Signalverarbeitung 1

Signalverarbeitung 1 TiEl-F000 Sommersemester 2008 Signalverarbeitung 1 (Vorlesungsnummer 260215) 2003-10-10-0000 TiEl-F035 Digitaltechnik 2.1 Logikpegel in der Digitaltechnik In binären Schaltungen repräsentieren zwei definierte

Mehr

5. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren

5. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren 5. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Tutorium Nr. 13 Alexis Tobias Bernhard Fakultät für Informatik, KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

Mehr

Zusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung

Zusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Christina Kohl Alexander Maringele Georg Moser Michael Schaper Manuel Schneckenreither Institut für Informatik

Mehr

Informatik I Tutorium WS 07/08

Informatik I Tutorium WS 07/08 Informatik I Tutorium WS 07/08 Vorlesung: Prof. Dr. F. Bellosa Übungsleitung: Dipl.-Inform. A. Merkel Tutorium: 2 Tutor: Jens Kehne Tutorium 7: Dienstag,. Dezember 2007 Agenda des heutigen Tutoriums Übersicht

Mehr

Übung 4: Aussagenlogik II

Übung 4: Aussagenlogik II Übung 4: Aussagenlogik II Diskrete Strukturen im Wintersemester 2013/2014 Markus Kaiser 8. Januar 2014 1/10 Äquivalenzregeln Identität F true F Dominanz F true true Idempotenz F F F Doppelte Negation F

Mehr

Hardware Programmierbare Logik

Hardware Programmierbare Logik Hardware Programmierbare Logik Dr.-Ing. Matthias Sand Lehrstuhl für Informatik 3 (Rechnerarchitektur) Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg WS 2010/2011 Hardware Programmierbare Logik 1/23

Mehr

F Programmierbare Logikbausteine

F Programmierbare Logikbausteine 1 Einordnung Ebene 6 Problemorientierte Sprache Ebene 5 Assemblersprache F Programmierbare Logikbausteine Ebene 4 Ebene 3 Ebene 2 Ebene 1 Betriebssystem ISA (Instruction Set Architecture) Mikroarchitektur

Mehr

F Programmierbare Logikbausteine

F Programmierbare Logikbausteine 1 Einordnung Ebene 6 Problemorientierte Sprache Ebene 5 Assemblersprache F Programmierbare Logikbausteine Ebene 4 Ebene 3 Ebene 2 Ebene 1 Betriebssystem ISA (Instruction Set Architecture) Mikroarchitektur

Mehr

Formale Grundlagen von Schaltnetzen L6, L7, L8 1. L 6 : Gesetze der Booleschen Algebra

Formale Grundlagen von Schaltnetzen L6, L7, L8 1. L 6 : Gesetze der Booleschen Algebra Formale Grundlagen von Schaltnetzen L6, L7, L8 1 L 6 : Gesetze der Booleschen Algebra Formale Grundlagen von Schaltnetzen L6, L7, L8 2 L 6-2: Einführung und Motivation Seien term 1 und term 2 beliebige

Mehr

DuE-Tutorien 17 und 18

DuE-Tutorien 17 und 18 DuE-Tutorien 17 und 18 Tutorien zur Vorlesung Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Christian A. Mandery TUTORIENWOCHE 8 AM 23.12.2011 KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum

Mehr

Teil 1: Digitale Logik

Teil 1: Digitale Logik Teil 1: Digitale Logik Inhalt: Boolesche Algebra kombinatorische Logik sequentielle Logik kurzer Exkurs technologische Grundlagen programmierbare logische Bausteine 1 Tri-State Ausgangslogik Ausgang eines

Mehr

TU5 Aussagenlogik II

TU5 Aussagenlogik II TU5 Aussagenlogik II Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 21.11.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;)

Mehr

13. Vorlesung. Logix Klausuranmeldung nicht vergessen! Übungsblatt 3 Logikschaltungen. Multiplexer Demultiplexer Addierer.

13. Vorlesung. Logix Klausuranmeldung nicht vergessen! Übungsblatt 3 Logikschaltungen. Multiplexer Demultiplexer Addierer. 13. Vorlesung Logix Klausuranmeldung nicht vergessen! Übungsblatt 3 Logikschaltungen Diode Transistor Multiplexer Demultiplexer Addierer 1 Campus-Version Logix 1.1 Vollversion Software und Lizenz Laboringenieur

Mehr

Syntax. 1 Jedes A AS AL ist eine (atomare) Formel. 2 Ist F eine Formel, so ist auch F eine Formel. 3 Sind F und G Formeln, so sind auch

Syntax. 1 Jedes A AS AL ist eine (atomare) Formel. 2 Ist F eine Formel, so ist auch F eine Formel. 3 Sind F und G Formeln, so sind auch Formale der Informatik 1 Kapitel 15 Folgerbarkeit, Äquivalenzen und Normalformen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 8. Juni 2015 Syntax Definition (Syntax der Aussagenlogik) Mit AS AL sei

Mehr

5. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren

5. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren 5. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Tutorium Nr. 9 Alexis Tobias Bernhard Fakultät für Informatik, KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

Mehr

DIGITALTECHNIK 06 SCHALTUNGS- SYNTHESE UND ANALYSE

DIGITALTECHNIK 06 SCHALTUNGS- SYNTHESE UND ANALYSE Seite 1 von 23 DIGITALTECHNIK 06 SCHALTUNGS- SYNTHESE UND ANALYSE Inhalt Seite 2 von 23 1 SCHALTUNGS- SYNTHESE UND ANALYSE... 3 1.1 NORMALFORM... 5 1.2 UND NORMALFORM... 5 1.3 ODER NORMALFORM... 7 1.4

Mehr

Klausur-Nachbesprechung

Klausur-Nachbesprechung Universität der Bundeswehr München Rechnerorganisation I Fakultät für Informatik HT 23 Institut für Technische Informatik Blatt Klausur-Nachbesprechung Aufgabe -: Multiple Choice Geben Sie für die folgenden

Mehr

Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser

Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische

Mehr

Technische Informatik I

Technische Informatik I Technische Informatik I Mathematische Grundlagen (1) Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4,5) Automaten (6,7) Sequentielle Schaltungen (8) Programmierbare Strukturen (9) Rechneraufbau

Mehr

Übungsklausur - Beispiellösung

Übungsklausur - Beispiellösung Digitale Systeme Übungsklausur - Beispiellösung Aufgabe 1 (a) Benutzt man n Bit für die Darstellung im 2-Komplement, so deckt man den Wertebereich von 2 n 1 bis 2 n 1 1 ab. Also ergibt sich der abgedeckte

Mehr

Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 2.1 Äquivalenzen. 2.2 Vereinfachte Schreibweise. 2.3 Normalformen. 2.

Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 2.1 Äquivalenzen. 2.2 Vereinfachte Schreibweise. 2.3 Normalformen. 2. Theorie der Informatik 24. Februar 2014 2. Aussagenlogik II Theorie der Informatik 2. Aussagenlogik II 2.1 Äquivalenzen Malte Helmert Gabriele Röger 2.2 Vereinfachte Schreibweise Universität Basel 24.

Mehr

Teil II. Schaltfunktionen

Teil II. Schaltfunktionen Teil II Schaltfunktionen 1 Teil II.1 Zahlendarstellung 2 b-adische Systeme Sei b IN mit b > 1 und E b = {0, 1,..., b 1} (Alphabet). Dann ist jede Fixpunktzahl z (mit n Vorkomma und k Nachkommastellen)

Mehr