Stetigkeit. Definitionen. Beispiele

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1 Stetigkeit Definitionen Stetigkeit Sei f : D mit D eine Funktion. f heißt stetig in a D, falls für jede Folge x n in D (d.h. x n D für alle n ) mit lim x n a gilt: lim f x n f a. Die Funktion f : D heißt stetig, wenn sie in jedem a D stetig ist. Beschränktheit von Funktionen Eine Funktion f : D heißt beschränkt, wenn die Menge f D : f x x D beschränkt ist. Kompaktes Intervall Ein beschränktes abgeschlossenes Intervall nennen wir kompaktes Intervall. Es hat die Form a, b mit a, b, wobei wir im Folgenden stets a b voraussetzen. Gleichmäßige Stetigkeit Eine Funktion f : D heißt gleichmäßig stetig, wenn gilt: Für alle Ε 0 existiert ein 0, so dass für alle x, y D gilt: x y f x f y Ε. (Quantorenschreibweise: f gleichmäßig stetig in D Ε 0 0 x, y D : x y f x f y Ε) Monotone Funktionen Eine Funktion f : D heißt (streng) monoton wachsend, falls gilt: x y f x f y) x y f x f y. Sie heißt (streng) monoton fallend, falls gilt: x y f x f y) x y f x f y. Beispiele Stetigkeit a) Konstante Funktionen sind stetig: Sei f : mit f x : c. Für jede Folge x n in mit x n a gilt f x n c c f a. b) Die identische Funktion ist stetig: Sei I : mit I x : x. Für jede Folge x n in mit x n a folgt I x n x n a I a.

2 2 Stetigkeit.nb c) Die Funktion f : mit f x : 0, falls x 0 1, falls x 0 ist stetig für a 0, jedoch unstetig für a 0. Betrachte dazu x n : 1 n, dann gilt: x n 0. Wegen x n 0 für alle n folgt jedoch: lim f x n lim f 0. Also ist f unstetig in Null. d) Die Sinusfunktion sin :, x sin x ist in stetig. e) Die Kosinusfunktion cos:, x cos x ist in stetig. f) f :, x e cos x ist (als Komposition der Exponential- und der Kosinusfunktion) in stetig. g) Die Tangensfunktion tan : D, x tan x ist stetig in ihrem gesamten Definitionsbereich D. Dieser ergibt sich wegen tan x sin x cos x zu D x cos x 0, also zu D \± Π 2, ± 3 Π 2, ± 5 Π 2,... Keine Unstetigkeitsstellen sind die Argumente ± Π, ± 3 Π, ± 5 Π,... sowie das Argument x 0 der Kehrwert-Funktion, da die Funktionen an diesen Stellen gar nicht definiert sind und sich Stetigkeit immer nur auf Punkte des Definitionsbereichs beziehen kann. h) Die Kehrwert-Funktion f : D, x 1 ist stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich D \0. x i) Die Signum-Funktion sgnx 1, falls x 0, 0, falls x 0, 1, falls x 0, ist an jeder Stelle x \0 stetig, aber an der Stelle 0 unstetig: Der linksseitige Grenzwert ist 1, der rechtsseitige Grenzwert 1 und somit existiert der Grenzwert lim x0 sgnx nicht. Deshalb ist die Signum-Funktion nicht auf ganz stetig. j) Die Funktion f :, f x : sin 1, falls x \0, x 0, falls x 0, ist an der Stelle 0 unstetig (sogenannte Oszillationsstelle), in allen anderen Punkten stetig. k) Die DIRICHLET-Funktion f :, f x : 1, falls x, 0, falls x \, ist an jeder Stelle unstetig.

3 Stetigkeit.nb Sätze Die Funktionen f, g : D seien stetig in a D. Dann sind auch f g, Λ f Λ, f g stetig in a D. Ist ga 0, so ist auch f g stetig in a D. Der folgt aus den Rechenregeln für konvergente Folgen. Seien f : D und g : fd Funktionen. Ist f stetig in a D, und ist g stetig in fa, so ist die Komposition g f : D stetig in a. Sei x n eine Folge in D mit x n a. Da f in a stetig ist, gilt f x n f a. Da g stetig ist in f a, gilt g f x n g f a. Wegen g f x g f x nach Definition, folgt die behauptete Stetigkeit. Ε- -Kriterium Sei D und f : D eine Funktion. Dann gilt: f ist genau dann stetig in a D, wenn zu jedem Ε 0 ein 0 existiert, so dass für alle x D gilt: x a f x f a Ε. (Quantorenschreibweise: f stetig in a D Ε 0 0 x D : x a fx fa Ε) "" Zu jedem Ε 0 gibt es nach Voraussetzung ein 0, so dass für alle x D gilt: x a f x f a Ε. "" Wir zeigen damit die Stetigkeit von f in a: Sei x n eine Folge in D mit x n a. Sei Ε 0. Nach Voraussetzung existiert ein 0 mit f x f a Ε für alle x D mit x a. Wegen x n a existiert ein n 0 mit x a für alle n n 0. Dann gilt f x n f a Ε für alle n n 0. Also hat man f x n f a, und somit f stetig in a. Angenommen, es existiert ein Ε 0, so dass für alle 0 ein x D existiert mit x a und für f x f a Ε. Dann gibt es für jedes n ein x n D mit x n a 1 n und f x n f a Ε. Also gilt x n a, und da f stetig ist, hat ma f x n f a, also Widerspruch zu f x n f a Ε für alle n. Damit ist die Annahme falsch, und somit folgt die Behauptung. Zwischenwertsatz Sei f : a, b stetig mit f a 0 fb. Dann besitzt f eine Nullstelle in a, b, d.h. es gibt ein p a, b mit fp 0. Wir verwenden die Intervallhalbierung. Sei a 1 : a, b 1 : b, p 1 a 1b 1. Gilt f p 2 1 0, so sind wir fertig. Gilt f p 1 0, so setzen wir a 2 : a 1, b 2 : p 1. Gilt f p 1 0, so setzen wir a 2 : p 1, b 2 : b 1. So fortfahrend erhalten wir zwei Folgen a n, b n mit f a n 0, f b n 0, lim a n lim b n : p. Mit der Stetigkeit von f folgt dann 0 lim f b n f p lim f a n 0, d.h. f p 0, wie behauptet.

4 4 Stetigkeit.nb Sei f : a, b stetig und sei c zwischen fa und fb. Dann existiert ein p a, b mit fp c. Definiere g : a, b durch g x : f x c. Dann gilt g a 0 gb, und der Zwischenwertsatz liefert p a, b mit gp c. Satz vom Minimum und Maximum Jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ist beschränkt und nimmt ihr Maximum und ihr Minimum an. Sei f : a, b stetig, und sei A : sup f x x a, b. Dann existiert eine Folge x n in a, b mit lim f x n A. Da x n beschränkt ist, existiert nach dem Satz von BOLZANO-WEIERSTRAß eine konvergente Teilfolge x nk k mit lim k x nk : p a, b. Aus der Stetigkeit von f folgt dann: f p lim k f x nk A. Also gilt A und f nimmt in p das Maximum an. Da f stetig ist, ist f stetig. Somit nimmt f ihr Maximum an, d.h. es gibt ein q a, b mit f q f x für alle x a, b. Dann aber gilt f q f x für alle x a, b. Also ist f nach unten beschränkt und nimmt ihr Minimum an. Jede gleichmäßig-stetige Funktion ist stetig. Sei f : D gleichmäßig stetig, und sei p D. Sei Ε 0. Da f gleichmäßig stetig ist, gibt es ein 0, so dass für alle x, y D gilt: x y f x f y Ε. Insbesondere gilt für y p: f x f p Ε, falls x p. Also ist f stetig in p. Da p D beliebig war, ist f : D stetig.

5 Stetigkeit.nb Jede stetige Funktion auf einem Kompaktum ist gleichmäßig stetig. Sei f : a, b stetig. Angenommen, f ist nicht gleichmäßig stetig. Dann existiert ein Ε 0, so dass für alle 0 gilt: Es existieren x, y a, b mit x y und f x f y Ε. Also existiert ein Ε 0, so dass für jedes n gilt: Es existieren x n, y n a, b mit x n y n 1 n mit f x n f y n Ε. Da x n eine beschränkte Folge ist, besitzt sie nach dem Satz von BOLZANO-WEITERSTRAß eine konvergente Teilfolge x nk k mit lim k x nk p a, b. Wegen y nk p y nk x nk x nk p folgt lim k y nk p. Da f stetig ist, gilt: lim k f x nk f y nk p p 0. Dies ist ein Widersrpuch zu f x n f y n Ε für alle n. Also Widerspruch, d.h. f ist gleichmäßig stetig. Sei f : a, b stetig und streng monoton wachsend. Dann ist f : a, b fa, fb bijektiv und die Umkehrfunktion f 1 : fa, fb a, b ist ebenfalls stetig und streng monoton wachsend. Die Injektivität von f folgt aus der strengen Monotonie und die Surjektivität aus dem Zwischenwertsatz. Wir zeigen nun die strenge Monotonie von f 1. Seien dazu y 1, y 2 f a, f b mit y 1 y 2. Dann gibt es genau ein x 1 a, b mit f x 1 y 1 und genau ein x 2 a, b mit f x 2 y 2. Angenommen, es gilt nicht x 1 x 2, d.h. es gilt x 1 x 2. Der Fall x 1 x 2 ist nicht möglich wegen f x 1 f x 2. Der Fall x 1 x 2 führt zu f x 1 f x 2, und damit zum Widerspruch, denn es ist f x 1 y 1 y 2 f x 2. Hieraus folgt die behauptete strenge Monotonie von f 1. Wir zeigen nun die Stetigkeit von f 1. Sei dazu y f a, f b und y n eine Folge in f a, f b mit y n Angenommen, es gilt nicht f 1 y lim n f 1 y n. n y. Dann existiert ein Ε 0, so dass f 1 y n f 1 y Ε für unendlich viele n. Dies bedeutet, es existiert eine Teilfolge y nk k von y n mit f 1 y nk f 1 y Ε für alle k. Die Folge x nk k definiert durch x nk : f 1 y nk ist wegen x nk a, b beschränkt. Der Satz von BOLZANO-WEIERSTRAß liefert somit eine Teilfolge x nkl l von x nk k mit lim l x nkl : p a, b. Da f stetig ist, gilt: f p lim l f x nkl lim l y nkl y. Es folgt, p f 1 f p f 1 y, d.h. die Folge f 1 y nkl l x nkl l konvergiert gegen p f 1 y. Das ist ein Widerspruch zu f 1 y nk f 1 y Ε. Also ist die Annahme falsch und f 1 stetig in y f a, f b. Da y beliebig war, ist f 1 stetig.

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