1 Grundbegriffe der Topologie

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1 1 Grundbegriffe der Topologie Übersicht 1.1 Metrische Räume Topologische Räume Abgeschlossene Teilmengen Die Kategoriensprache Die Topologie ist das Teilgebiet der Mathematik, welches sich dem Studium der stetigen Abbildungen widmet. Der Begriff der stetigen Abbildung stellt sich schon in der Analysis als wichtig heraus, etwa wenn es darum geht, Abbildungen zwischen metrischen Räumen zu untersuchen, die mit der Grenzwertbildung verträglich sind. An diesen Kontext soll hier zunächst erinnert und dann angeknüpft werden. 1.1 Metrische Räume Definition: Eine Metrik auf einer Menge X ist eine Abbildung welche die folgenden drei Axiome erfüllt: d: X X R, (M1) Positive Definitheit: Für alle Punkte x, y gilt d(x, y) 0 und d(x, y) = 0 genau dann, wenn x = y. (M2) Symmetrie: Es gilt d(y, x) =d(x, y) für alle Punkte x, y. (M3) Dreiecksungleichung: Für je drei Punkte x, y, z ist erfüllt. d(x, z) d(x, y)+d(y, z)

2 2 1 Grundbegriffe der Topologie Die Zahl d(x, y) wird der Abstand (d wie engl. distance) vonx und y genannt. Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d), bestehend aus einer Menge X und einer Metrik d auf X. Üblicherweise wird statt des Paares (X, d) meistens nur X geschrieben. Beispiele: Die Menge R n der reellen n-tupel zusammen mit der euklidischen Metrik d(x, y) = x y ; x = x x x2 n ist ein metrischer Raum. Jede Teilmenge X des R n wird ein metrischer Raum, wenn man die Abstandfunktion d auf X einschränkt. Man spricht in diesem Fall von der induzierten Metrik. Ein weiteres Beispiel für einen metrischen Raum ist eine Menge X zusammen mit der diskreten Metrik { 1 für x y d(x, y) = 0 für x = y. Definition: Eine Abbildung f : X Y zwischen metrischen Räumen heißt stetig in einem Punkt x aus X, wenn es zu jedem ε>0 ein δ>0 gibt, so dass für alle x aus X mit d(x, x ) <δgilt: d(f(x),f(x )) <ε. Stetige Funktionen schlechthin sind solche, die in jedem Punkt stetig sind. Beispiele: Beispiele für stetige Abbildungen zwischen euklidischen Räumen sollten aus der Analysis geläufig sein: Konstante Abbildungen sind stetig. Die Identität ist stetig. Summen und Produkte stetiger Abbildungen sind stetig (wieso nochmal?). Also sind Polynome stetig. Die Exponentialfunktion ist stetig... Trägt der Definitionsbereich einer Abbildung die diskrete Metrik, so ist sie immer stetig. Anschaulich bedeutet Stetigkeit, dass man die Argumente der Abbildung in einer kleinen Umgebung variieren kann, ohne zu große Schwankungen der Funktionswerte zu erhalten. Es lohnt sich, die Definition einer stetigen Abbildung mit ihren vier Quantoren dergestalt zu ändern, dass man die vielen Symbole durch Begriffe ersetzt, welche die Anschauung in die Situation transportieren. Das soll nun geschehen. Definition: Ist x ein Punkt in einem metrischen Raum X und ε>0, so heißt die Teilmenge der Punkte aus X, deren Abstand zu x kleiner als ε ist, die ε-umgebung von x in X. Allgemeiner ist eine Umgebung von x eine Teilmenge von X, die eine ε- Umgebung von x enthält.

3 1.1 Metrische Räume 3 x Abb. 1.1: Das ist keine Umgebung von x. Unter Verwendung dieser Begriffe liest sich die obige Definition wie folgt: Notiz: Eine Abbildung f : X Y zwischen metrischen Räumen ist stetig in x, wenn es zu jedem ε>0ein δ>0gibt, so dass die δ-umgebung von x in die ε-umgebung von f(x) abgebildet wird. Weil man erst das ε und dann dazu das δ wählt, sollte man das vielleicht auch von der Seite her aufziehen. Notiz: Eine Abbildung f : X Y zwischen metrischen Räumen ist stetig in x, wenn die Urbildmenge jeder ε-umgebung V, also eine δ-umgebung von x enthält. f 1 V = { x X f(x) V }, Nun kann man sogar auch noch auf ε und δ verzichten. Satz 1.1 Eine Abbildung f : X Y zwischen metrischen Räumen ist stetig in x, wenn die Urbildmenge jeder Umgebung von f(x) eine Umgebung von x ist. Definition: Die Teilmengen von X, die mit jedem Punkt auch eine δ-umgebung dieses Punktes enthalten, heißen offen. Anders gesagt, eine offene Menge ist eine Teilmenge, die jeden ihrer Punkte umgibt. Beispiele: Die leere Menge und X selbst sind immer offen. Die ε-umgebung eines beliebigen x X ist offen, denn mit jedem ihrer Elemente y liegt auch die δ-umgebung von y für δ = ε d(x, y) noch ganz in X. Dies folgt aus der Dreiecksungleichung; siehe Schaubild.

4 4 1 Grundbegriffe der Topologie δ y x ε Abb. 1.2: Die ε-umgebungen sind offen. Bei einer offenen Menge stellt man sich vor, dass es um jeden Punkt noch etwas Platz gibt, der auch in der offenen Menge liegt. Jedenfalls kann man nun sagen: Satz 1.2 Eine Abbildung zwischen metrischen Räumen ist genau dann stetig, wenn die Urbildmenge jeder offenen Menge offen ist. Die mit diesem Satz gewonnene Charakterisierung der stetigen Abbildungen kann nun als Ausgangspunkt zur Verallgemeinerung dienen. Die Verallgemeinerung ist dabei nicht als Selbstzweck zu sehen. Wenn die Menge der stetigen Abbildungen nicht von der Metrik, sondern nur vom System der offenen Teilmengen abhängt, sollte man dieser Struktur auch einen Namen geben. Es stellt sich heraus, dass die Verallgemeinerung es zulässt, Hilfsräume zu konstruieren, die zwar keine metrischen Räume sind, aber beim Studium der metrischen Räume helfen. Auf diese Hilfe wird man ungern verzichten wollen. Ergänzungen Folgenstetigkeit. In metrischen Räumen sind stetige Abbildungen genau diejenigen, die mit der Grenzwertbildung von Folgen verträglich sind: Eine Folge (x n ) von Elementen des metrischen Raumes X heißt konvergent gegen x aus X, falls jede Umgebung von x fast alle Folgenglieder enthält. Eine Abbildung f von X nach Y heißt folgenstetig, wenn konvergente Folgen auf ebensolche abgebildet werden. Stetige Abbildungen sind immer folgenstetig, denn das Urbild einer Umgebung von f(x) ist eine Umgebung von x und enthält somit fast alle Folgenglieder. Umgekehrt folgt auch aus der Folgenstetigkeit die Stetigkeit, denn angenommen f wäre nicht stetig. Dann gibt es eine Umgebung V von f(x), deren Urbildmenge U keine Umgebung von x ist. Konstruiere eine Folge (x n ) von Elementen außerhalb von U, wobei der Abstand von x n zu x eine Nullfolge ist. Diese Folge konvergiert gegen x, aber kein Wert f(x n ) liegt in V. Das erste Abzählbarkeitsaxiom. Metrische Räume erfüllen das erste Abzählbarkeitsaxiom, welches besagt, dass es zu jedem Punkt x eine abzählbare Menge B(x) von Um-

5 1.1 Metrische Räume 5 gebungen von x mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jeder Umgebung U von x existiert ein V B(x) mit V U. Zum Beispiel erfüllt B(x) ={ U 1/n (x) n N } die Voraussetzungen. (Ein zweites Abzählbarkeitsaxiom gibt es auch; es wird auf Seite 9 erwähnt.) Die Existenz dieser abzählbar vielen Umgebungen ermöglichte die Konstruktion der Folge in dem obigen Beweis für die Äquivalenz zwischen Stetigkeit und Folgenstetigkeit. Das erste Abzählbarkeitsaxiom weist den metrischen Räumen aber auch ihre Grenzen zu: Man kann zeigen, dass jedes System von Umgebungen auf der Menge aller Abbildungen vom Einheitsintervall [0, 1] nach R, welches die punktweise Konvergenz von Funktionen erzeugt, das Axiom verletzt (vgl. Seite 26). Insbesondere kann es keine Metrik zur punktweisen Konvergenz geben. Übungen Ü1 Symmetrie. eine Metrik, wenn Sei X eine Menge. Eine Funktion d: X X R ist genau dann (M1 ) d(x, y) =0 x = y, (M2 ) d(x, y) d(x, z)+d(y, z) für alle x, y, z aus X gilt. Gilt das auch, wenn (M2 ) durch die übliche Dreiecksungleichung (M3 ) d(x, y) d(x, z)+d(z,y) ersetzt wird? Ü2 Äquivalente Topologien. Für Punkte x =(x 1,x 2 ) der Ebene R 2 seien x 1 = x 1 + x 2, x 2 =(x x 2 2) 1/2, x = max{ x 1, x 2 } die üblichen Normen und d 1,d 2,d die durch d? (x, y) = x y? definierten Metriken auf R 2. Zeigen Sie, dass diese den gleichen Konvergenzbegriff erzeugen. Ü3 Beschränktheit. Sei X ein metrischer Raum mit der Metrik d. Zeigen Sie, dass durch d d(x, y) (x, y) = 1+d(x, y) eine weitere Metrik d definiert wird, die zu d topologisch äquivalent ist (d.h. zum gleichen Konvergenzbegriff führt wie d). Ü4 Französisches Eisenbahnnetz. Für je zwei Punkte x, y auf der Kreisscheibe D 2 = { x R 2 x 1 }

6 6 1 Grundbegriffe der Topologie sei d(x, y) = x y, falls x und y auf derselben Gerade durch den Nullpunkt liegen, sonst d(x, y) = x + y. Zeigen Sie, dass d eine Metrik ist und dass sie auf dem Teilraum S 1 = { x R 2 x =1} die diskrete Metrik induziert. Wie sehen die Umgebungen von (0, 0) und ( 1 2, 0) aus? Ü5 Längen. Bekanntlich lässt sich jede Permutation f von {1,...,n} als Produkt von Transpositionen benachbarter Elemente schreiben, also f =(a 1,a 1 +1) (a k,a k +1) mit k 0 und a j {1,...,n 1} für alle j {1,...,k}. Eine solche Darstellung ist aber nicht eindeutig. Die Länge L(f) vonf ist das minimale k, für welches es eine Darstellung wie oben gibt. Berechnen Sie die Längen aller Permutationen von {1, 2, 3}. Zeigen Sie, dass durch d L (f,g) =L(f 1 g) eine Metrik d L auf der Menge der Permutationen von {1,...,n} definiert wird. Ü6 Fixpunkte. Für eine Permutation f von {1,...,n} sei M(f) die Anzahl der Nichtfixpunkte von f. Zeigen Sie, dass durch d(f,g) =M(f 1 g) eine Metrik d auf der Menge der Permutationen von {1,..., n} definiert wird. Ü7 Bewertungen. Sei p eine Primzahl. Für eine ganze Zahl a 0 sei Für ganze Zahlen x und y sei v p (a) = max{n N p n teilt a}. d p (x, y) = { p vp(x y) x y 0 x = y. Dann ist d p eine Metrik auf Z. (Für die mathematische Allgemeinbildung: Die Vervollständigung von Z bezüglich dieser Metrik ist wieder ein Ring, der Ring Z p der ganzen p- adischen Zahlen. In diesem Kontext nennt man v p (a) diep-adische Bewertung von a.) Ü8 Identität und Auswertung. Sei F die Menge aller stetigen Funktionen [0, 1] R. Durch d (f,g): = sup f(x) g(x) x 1 d 2 (f,g) = (f(x) g(x)) 2 dx 0 werden zwei Metriken d,d 2 auf F definiert. Untersuchen Sie, welche der folgenden Abbildungen stetig sind:

7 1.2 Topologische Räume 7 (a) id: (F, d ) (F, d 2 ) (b) id: (F, d 2 ) (F, d ) (c) (d) ev 0 :(F, d ) R; f f(0) ev 0 :(F, d 2 ) R; f f(0) Ü9 Unstetigkeitsstellen. Geben Sie Beispiele von Funktionen f : R R an, die an folgenden Stellen stetig: sind (a) nirgends, (b) auf der Menge aller irrationalen Zahlen R \ Q und sonst nicht, (c) an der Stelle 0 und sonst nicht. (d) Gibt es eine Funktion, die auf Q stetig ist und sonst nicht? Ü10 Das kleine Einspluseins. Gibt es eine Abbildung f : R R, welche den Bedingungen f(x + y) =f(x)+f(y) und f(x y) =f(x) f(y) für alle reellen Zahlen x und y genügt, und die nicht stetig ist? 1.2 Topologische Räume Sobald erkannt ist, dass man die Stetigkeit von Abbildungen zwischen metrischen Räumen durch Verwendung der offenen Mengen charakterisieren kann, ist es leicht, von stetigen Abbildungen f : X Y zu sprechen, selbst wenn X und Y nicht notwendig metrische Räume sind: Es reicht, wenn gewisse Teilmengen von X und Y als offen ausgezeichnet sind. Es hat sich bewährt, von der Menge der offenen Teilmengen einige Eigenschaften zu fordern. Definition: Eine topologische Struktur oder kurz Topologie auf einer Menge X ist eine Menge T von Teilmengen von X, dieoffen genannt werden, so dass die folgenden drei Axiome gelten: (T1) Die Teilmengen und X sind offen. (T2) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. (T3) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

8 8 1 Grundbegriffe der Topologie Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, T), bestehend aus einer Menge X und einer topologischen Struktur T auf X. Üblicherweise wird ein topologischer Raum (X, T) einfach mit X bezeichnet. Eine Teilmenge M eines topologischen Raumes X heißt Umgebung von x M, falls es eine offene Menge U gibt, die x U M erfüllt. Mit (T3) ergibt sich das folgende Resultat: Notiz: Die offenen Mengen eines topologischen Raumes sind genau diejenigen, die jeden ihrer Punkte umgeben. Beispiel: Es gibt viele Möglichkeiten, eine Menge mit einer Topologie zu versehen. Zum Beispiel zeigt das Bild alle möglichen Topologien (ohne Permutationen der Elemente) einer dreielementigen Menge. Abb. 1.3: Die verschiedenen Topologien auf einer dreielementigen Menge. Beispiel: Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann ist die Menge T(d) der offenen Mengen eine topologische Struktur auf X. Es ist vielleicht schon klar, wieso man nicht auch fordert, dass die Durchschnitte beliebig vieler offener Mengen wieder offen sein sollen. Das ist nämlich in metrischen Räumen nicht richtig: Für jeden Punkt x ist zwar {x} der Durchschnitt der ε-umgebungen von x, aber deswegen ist die Teilmenge {x} noch lange nicht offen. Für X = R mit der Standardmetrik stimmt das etwa nicht. Ferner beachte man, dass es auf derselben Menge X verschiedene Metriken d d geben kann, so dass die dazugehörenden Topologien übereinstimmen: T(d) =T(d ) (vgl. hierzu Übungen aus 1.1).

9 1.2 Topologische Räume 9 Beispiel: Ist X eine beliebige Menge, so definiert die Potenzmenge von X eine Topologie auf X. Sie wird die diskrete Topologie genannt and X heißt diskreter Raum. Diese Topologie stimmt mit der Topologie zur diskreten Metrik überein. Beispiel: Die Klumpentopologie auf einer Menge besteht nur aus der leeren Menge und dem Raum selbst. Die Topologien auf einer Menge X sind durch Inklusion geordnet. Man sagt, eine Topologie T 1 sei gröber als eine Topologie T 2 und T 2 dann entsprechend feiner als T 1, wenn T 1 T 2 gilt, wenn also jede offene Menge von (X, T 1 ) auch offen in (X, T 2 ) ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die Identität (X, T 2 ) (X, T 1 ) stetig ist. Die Klumpentopologie ist die gröbste Topologie auf X, die diskrete ist die feinste. Beispiele dazwischen und das sind die meisten interessanten Topologien sind durch die metrischen Räume gegeben. Weitere folgen in den Übungen und im Verlauf dieses Buches. Definition: Eine Abbildung f : X Y zwischen topologischen Räumen heißt stetig in x, wenn die Urbilder der Umgebungen von f(x) Umgebungen von x sind. Eine Abbildung zwischen topologischen Räumen heißt stetig, wenn die Urbildmengen offener Mengen offen sind bzw. wenn f in jedem Punkt stetig ist. Diese Definition wurde im vorangegangenen Abschnitt motiviert, und sie soll hier nur der Deutlichkeit wegen nochmals wiederholt werden. Es sollte nie vergessen werden, dass es die stetigen Abbildungen sind, die in der Topologie studiert werden; die topologischen Räume treten nur als deren Tragflächen auf. Dennoch ist es beim Einstieg in die Topologie oft so, dass der Begriff der stetigen Abbildung schon aus der Analysis mit Anschauung behaftet ist, während die topologischen Räume in ihrer Allgemeinheit noch unvertraut sind. Deswegen werden in den nächsten Abschnitten die topologischen Räume noch etwas im Vordergrund stehen, bevor sich dann nach und nach die Erkenntnis durchsetzen wird, dass man diese doch nur mit Hilfe der stetigen Abbildungen verstehen kann. Ergänzungen Metrisierbarkeit. Ein topologischer Raum (X, T) wird metrisierbar genannt, wenn es eine Metrik d auf X gibt, so dass T = T(d) gilt. Wir haben in den Ergänzungen des letzten Kapitels gesehen, dass hierzu das erste Abzählbarkeitsaxiom notwendig ist. Hinreichend (für Räume, die das dritte Trennungsaxiom erfüllen, siehe Seite 47) ist das zweite Abzählbarkeitsaxiom, welches besagt, dass man die abzählbare Menge B(x) unabhängig von x wählen kann. Dieses ist allerdings nicht notwendig. Ein exaktes Kriterium wurde von Bing, Nagata und Smirnov gefunden, siehe 10.B in (vq79).

10 10 1 Grundbegriffe der Topologie Konvergenz. Der Konvergenzbegriff von Folgen in topologischen Räumen ist wie bei metrischen Räumen über die Umgebungen definiert. Allerdings kann es in allgemeinen topologischen Räumen, anders als in metrischen Räumen, Folgen geben, die gegen zwei verschiedene Grenzwerte konvergieren. Versieht man die Menge {0, 1} mit der Klumpentopologie, so konvergiert beispielsweise die Folge 0, 0,... gegen 0 und gegen 1. Erfüllt X die Hausdorff-Eigenschaft, lassen sich also je zwei Punkte durch Umgebungen trennen (siehe Seite 47), so ist der Grenzwert immer eindeutig. Übungen Ü11 Endliche-Komplemente-Topologie. Zeigen Sie: Ist X eine Menge, so bilden alle Teilmengen von X, deren Komplemente endlich oder ganz X sind, eine Topologie auf X. Ü12 Ordnungstopologie Sei X eine linear geordnetete Menge. (Das kann man auf Seite 17 nachschlagen.) Man betrachte Teilmengen der Form {x X a<x<b} sowie die beiden Teilmengen {x X k<x} und {x X x<g}, wenn es ein kleinstes Element k oder ein größtes Element g gibt. Die Menge der Vereinigungen solcher Mengen ist eine Topologie auf X. Ü13 Mengenlehre. Sei f : X X eine Abbildung zwischen den Mengen X und X. Untersuchen Sie, ob die folgenden Aussagen immer gelten; und wenn nicht, so geben Sie möglichst einfache Bedingungen für f an, die notwendig und hinreichend sind. (a) f(a B) =f(a) f(b) (a ) f 1 (A B )=f 1 (A ) f 1 (B ) (b) f(a B) =f(a) f(b) (b ) f 1 (A B )=f 1 (A ) f 1 (B ) (c) f(x \ A) =X \ f(a) (c ) f 1 (X \ A )=X \ f 1 (A ) (d) f 1 (f(a)) A (d ) f(f 1 (A )) A (e) f 1 (f(a)) A (e ) f(f 1 (A )) A jeweils für alle A, B X bzw. alle A,B X. Ü14 Die Zariski-Topologie. Sei A ein kommutativer Ring mit Eins. Sei Spec(A) die Menge der Primideale von A. Eine Nullstelle eines Elementes f von A ist ein Primideal P, so dass f/p = 0 im Restklassenring A/P gilt, also wenn f in P enthalten ist. Für jedes f in A sei N(f) Spec(A) die Nullstellenmenge von f. Für jede Teilmenge S von A sei N(S) = f S N(f) und U(S) das Komplement davon. Dann ist {U(S) Spec(A) S A} eine topologische Struktur auf Spec(A). Solche Topologien spielen in der algebraischen Geometrie eine grundlegende Rolle.

11 1.3 Abgeschlossene Teilmengen Abgeschlossene Teilmengen Definition: Eine Teilmenge A eines topologischen Raumes X heißt abgeschlossen in X, wenn ihr Komplement X \ A offen in X ist. Damit ist abgeschlossen also nicht das Gegenteil von offen. Eine Teilmenge kann sowohl offen in X als auch abgeschlossen in X sein, wie etwa und X in jedem Raum X. Und es gibt Teilmengen, die weder offen noch abgeschlossen sind, etwa Q in R. Hier lauern vermeidbare Anfängerfehler. Notiz: Beliebige Durchschnitte und endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Dies folgt direkt aus den DeMorganschen Regeln: Das Komplement der Vereinigung ist der Durchschnitt der Komplemente. Das Komplement des Durchschnittes ist die Vereinigung der Komplemente. In Formeln: X \ ( ) U i i I X \ ( ) U i i I Außerdem gilt die folgende Aussage (vgl. Ü9): = i I(X \ U i ) = i I(X \ U i ) Notiz: Eine Abbildung f : X Y zwischen topologischen Räumen X und Y ist genau dann stetig, wenn die Urbilder der abgeschlossenen Teilmengen von Y alle abgeschlossen in X sind. Deswegen hätte man die mengentheoretische Topologie auch auf dem Begriff der abgeschlossenen Menge statt auf dem der offenen Menge aufbauen können. Definition: Der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die M enthalten, ist wieder eine abgeschlossene Teilmenge von X, diem enthält. Sie wird der Abschluss von M in X genannt und mit M bezeichnet. Eine Teilmenge M eines topologischen Raumes heißt dicht in X, wennm = X gilt. Beispiele: Anschaulich entspricht der Abschluss von M der Menge aller Punkte, welche die Menge M berühren (vgl. hierzu auch die nachfolgende Ergänzung). Beispielsweise ist der Abschluss der Teilmenge M = { 1/n n N } von R die Menge M {0}. Jede abgeschlossene Menge A muss nämlich mit M auch den Nullpunkt enthalten, weil sonst X \A eine offene Umgebung von 0 ist, die M nicht schneidet. Ähnlich kann man argumentieren, um einzusehen, dass der Abschluss von [0, 1[ in R das Intervall [0, 1] ist oder dass Q dicht in R liegt.

12 12 1 Grundbegriffe der Topologie Notiz: Eine Teilmenge M ist genau dann abgeschlossen, wenn M = M gilt. Insbesondere ist M = M. Definition: Die Menge M = X \ (X \ M) heißt das Innere von M. Ihr Komplement M = M \ M heißt der Rand der Menge M in X. Notiz: Die Menge M ist die größte offene Menge, die in M enthalten ist. Beispiele: Der Rand von Q in R ist R. Der Rand eines nichtausgearteten Intervalls sind dessen Grenzen. Definition: Eine stetige Abbildung f : X Y zwischen topologischen Räumen X und Y heißt abgeschlossen (beziehungsweise offen), wenn das Bild jeder abgeschlossenen (beziehungsweise offenen) Menge von X abgeschlossen (beziehungsweise offenen) in Y ist. Beispiele: Die Abbildung f : R R, x x ist sowohl abgeschlossen als auch offen. Die Abbildung f : R R, x 0 ist abgeschlossen, aber nicht offen. Die Abbildung f : R R, x arctan(x) ist nicht abgeschlossen, aber offen. Die Abbildung f : R R, x arctan(x) ist weder abgeschlossen noch offen.

13 1.3 Abgeschlossene Teilmengen 13 Ergänzung Berührpunkte. Ein Punkt x eines topologischen Raumes X heißt Berührpunkt von M X, wenn jede Umgebung von x die Menge M schneidet. Die Menge der Berührpunkte enthält M und ist abgeschlossen, denn angenommen x hat eine Umgebung U, die M nicht schneidet, dann können wir ohne Einschränkung U als offen annehmen. Das Komplement von U ist also abgeschlossen und enthält M. Also enthält es auch M. Weil U also auch den Abschluss nicht schneidet und x beliebig war, ist das Komplement der Berührpunkte offen. Elemente im Abschluss sind also stets Berührpunkte. Die Umkehrung gilt ebenfalls: Jede abgeschlossene Menge A, diem enthält, enthält auch die Berührpunkte, denn das Komplement von A ist eine offene Umgebung, die M nicht schneidet. M Abb. 1.4: Das ist ein Berührpunkt von M. Übungen Ü15 Ränder. Bestimmen Sie die Ränder der folgenden Teilmengen des R 2 : (a) M = { (x, y) x>0 und y 0} (b) M = { (x, y) 0 x 2 y 2 < 1 } Ü16 Verklebung stetiger Funktionen. Sei X = A B, und A, B seien abgeschlossen. Sei f : A Y und g : B Y stetig und f(x) =g(x) für alle x im Durchschnitt A B. Zeigen Sie, dass dann die Abbildung h: X Y mit h(x) =f(x) für x A und h(x) =g(x) für x B wohldefiniert und stetig ist. Ü17 Dreimal ist einmal. Ist A eine abgeschlossene Teilmenge eines topologischen Raumes X, soaucha = X \ A. Es gilt A = A. Ü18 Sport. Wieviele Mengen lassen sich aus einer Teilmenge M von R durch Abschluss- und Komplementbildung höchstens bilden?

14 14 1 Grundbegriffe der Topologie Ü19 Kuratowskis Hüllenaxiome. Seien X eine Menge und h eine Abbildung der Potenzmenge PX in sich mit folgenden Eigenschaften: (K1) h( ) = (K2) (K3) A ha hha = ha (K4) h(a B) =ha hb für alle A, B X. Es gibt genau eine Topologie auf X, so dass für jede Teilmenge A in X die Menge ha der Abschluss von A bezüglich dieser Topologie ist. Ü20 Abschluss. Eine Abbildung f zwischen topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn für alle Teilmengen M der Quelle f(m) f(m) gilt. 1.4 Die Kategoriensprache Wie schon zuvor betont, wird die Klasse der topologischen Räume erst dadurch interessant, weil man zwischen je zwei topologischen Räumen die Menge der stetigen Abbildungen betrachten kann. Die folgende Notiz ergibt sich unmittelbar aus der Definition der Stetigkeit. Ihre Bedeutung ist deswegen aber nicht gering, ermöglicht sie es doch, komplizierte stetige Abbildungen aus einfachen stetigen Abbildungen zusammenzusetzen. Notiz: Ist X ein topologischer Raum, so ist die Identität id X : X X eine stetige Abbildung. Sind f : X Y und g : Y Z stetige Abbildungen, so ist auch die Komposition gf : X Z stetig. f 1 g 1 (W )=(gf) 1 (W ) g 1 (W ) x f f(x) X Y gf g gf(x) Z W Abb. 1.5: Die Komposition stetiger Abbildungen ist stetig.

15 1.4 Die Kategoriensprache 15 Mit gelehrten Worten gesagt: Die Klasse der topologischen Räume bildet zusammen mit den stetigen Abbildungen zwischen ihnen eine Kategorie. In diesem Abschnitt soll erklärt werden, was das bedeutet. Die Kategoriensprache eignet sich gut dazu, häufig wiederkehrende Phänomene und Konstruktionen in einen einheitlichen, konzeptionellen Rahmen zu fassen. Das Lernen der neuen Vokabeln wird sich schnell bezahlt machen. Die Standardreferenz ist (Mac98). Definition: Eine Kategorie C besteht aus den folgenden Daten. Zunächst einer Klasse, deren Elemente Objekte genannt werden. Dann für je zwei Objekte X und Y einer Menge Mor C (X, Y ), deren Elemente Morphismen genannt werden. Statt f Mor C (X, Y ) schreibt man oft f : X Y. Für je drei Objekte X, Y und Z braucht man eine Verknüpfung Mor C (Y,Z) Mor C (X, Y ) Mor C (X, Z), (g, f) gf, genannt Komposition. Schließlich muss es zu jedem Objekt X ein Element id X in Mor C (X, X) geben, die Identität von X. Die einzigen Axiome, denen diese Daten genügen sollen, sind die Assoziativität der Komposition und die Neutralität der Identitäten h(gf) =(hg)f f id X = f =id Y f. Bevor hier erste Beispiele für Kategorien genannt werden, soll das Wort Klasse kommentiert werden. Es wird in der Definition verwendet, weil die Objekte vieler Kategorien keine Menge bilden und weil man die berühmten Widersprüche der Mengenlehre vermeiden will. So kann man von einer Klasse sprechen, deren Objekte die Mengen sind, nicht aber von der Menge aller Mengen. Kategorien, deren Objekte eine Menge bilden, werden klein genannt. Es sei an dieser Stelle empfohlen, ohne schlechtes Gewissen über diese Feinheit hinwegzusehen, um sich gleich auf die interessanten Beispiele zu stürzen. Beispiele: Beispiele für Kategorien gibt es in Hülle und Fülle. In vielen Beispielen von Kategorien sind die Objekte Mengen mit Struktur und die Morphismen sind die strukturerhaltenden Abbildungen. So gibt es etwa die Kategorie Sets der Mengen und Abbildungen, die Kategorie Grp der Gruppen und Gruppenhomomorphismen, die Kategorie AbGrp der abelschen Gruppen und ihrer Homomorphismen und die Kategorie der Ringe und Ringhomomorphismen. Ist K ein Körper, so gibt es die Kategorie der K-Vektorräume und K-linearen Abbildungen. Kurz gesagt: Die Algebra ist voller Kategorien. Und die Topologie beginnt damit, die Kategorie Top der topologischen Räume und stetigen Abbildungen zu definieren.

16 16 1 Grundbegriffe der Topologie Die algebraische Topologie beschäftigt sich unter anderem damit, diese oder ähnliche Kategorien topologischer Objekte in Kategorien algebraischer Objekte abzubilden, um topologische Probleme dann mit algebraischer Hilfe zu bearbeiten. Die Abbildungen zwischen Kategorien haben übrigens einen eigenen Namen: Funktoren. Sie werden aber erst dann erklärt, wenn wir sie unbedingt brauchen: auf Seite 104. Aus jeder Kategorie C kann die entgegengesetzte (engl. opposite) Kategorie C op produziert werden, indem man die Pfeilrichtungen umkehrt. Beide Kategorien haben also dieselben Objekte, aber die Morphismen X Y in C op sind durch die Morphismen Y X in C gegeben. Das sieht auf den ersten Blick nicht sehr interessant aus, ist aber für theoretische Zwecke sehr nützlich. So gibt es zu jeder Vokabel der Kategoriensprache einen sogenannten dualen Begriff, den man durch Umdrehen aller Pfeile erhält; der eine Begriff unterscheidet sich dann von dem anderem oft nur durch die Vorsilbe ko-. Beispiele werden wir alsbald kennenlernen: Produkte und Koprodukte, Faserungen und Kofaserungen, simplizial und kosimplizial... Definition: Ein Morphismus f : X Y einer Kategorie C wird ein Isomorphismus genannt, wenn wenn es einen Morphismus g : Y X in die umgekehrte Richtung gibt, so dass gf =id X und fg =id Y gelten. (Man zeige, dass ein solches Inverses, falls existent, immer eindeutig ist.) Die Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume und stetigen Abbildungen werden übrigens Homöomorphismen genannt. Zwei topologische Räume X und Y sind demnach homöomorph, wenn es stetige Abbildungen f : X Y und g : Y X gibt, so dass gf =id X und fg =id Y gelten. Zwei homöomorphe Räume werden in der Topologie als gleichwertig angesehen, und eines der Grundprobleme der Topologie besteht darin, zu unterscheiden, ob zwei gegebene Räume homöomorph sind oder nicht. Wenn sie dann homöomorph sind, stellt sich gleich darauf die Frage, wieviele Homöomorphismen es denn zwischen ihnen gibt. Eine wichtige Warnung gleich an dieser Stelle: Homöomorphismen sind automatisch bijektiv, aber nicht jede stetige Bijektion ist ein Homöomorphismus. Beispielsweise können wir jede Menge mit der diskreten Topologie und mit der Klumpentopologie versehen. Die Identität ist dann eine stetige Abbildung von der diskreten Topologie in die Klumpentopologie. Sobald die Menge mindestens zwei verschiedene Elemente hat, ist die Umkehrabbildung aber nicht stetig. Es gibt aber Klassen topologischer Räume, zwischen denen stetige Bijektionen schon Homöomorphismen sind. Ein entsprechender Satz findet sich auf Seite 58. Definition: Ein Morphismus f : X X, also ein Endomorphismus von X, der auch ein Isomorphismus ist, heißt auch ein Automorphismus von X. Die Automorphismen bilden eine Gruppe bezüglich der Komposition, mit der Identität als neutralem Element, die Automorphismengruppe Aut C (X).

17 1.4 Die Kategoriensprache 17 Viele Gruppen treten treten als Automorphismengruppen in Erscheinung. So sind die symmetrischen Gruppen die Automorphismengruppen der Menge {1,...,n}, und die Automorphismengruppen der K-Vektorräume K n sind die allgemeinen linearen Gruppen GL(n, K). Beispiel: Jede Gruppe G tritt als Automorphismengruppe eines Objektes einer Kategorie auf. Beispielsweise kann man die Kategorie betrachten, die genau ein Objekt hat, und deren (einzige) Morphismenmenge gerade G ist. Die Komposition und Identität sind dann durch die Gruppenstruktur gegeben. Das ist dann eine kleine Kategorie, denn sie hat nur ein Objekt. Die Automorphismengruppe dieses Objektes ist die Gruppe G. Deswegen wird diese Kategorie selber auch mit G bezeichnet. Gruppen sind im Wesentlichen dasselbe wie kleine Kategorien, mit genau einem Objekt, dessen Endomorphismen alle Isomorphismen sind. Ist eine Komposition X s Y r X die Identität von X, also rs =id X, so heißt s ein Schnitt (oder Rechtsinverses) vonr und r eine Retraktion (oder Linksinverses) von s. Man nennt X dann auch ein Retrakt von Y. Ergänzung Partiell geordnete Mengen. Eine partiell geordnete Menge ist eine kleine Kategorie, in welcher die Morphismenmengen jeweils höchstens ein Element haben, und in welcher jeder Isomorphismus eine Identität ist. Es wird X Y geschrieben, wenn es einen Pfeil X Y gibt. Eine partiell geordnete Menge ist linear geordnet, wenn es zwischen je zwei Elementen genau einen Morphismus gibt. Ist (X, T X ) ein topologischer Raum, so ist die Topologie T X eine Kategorie durch die Inklusionen der offenen Teilmengen untereinander. Das ist eine partiell geordnete Menge, die im Allgemeinen nicht linear geordnet ist. Diese Kategorien spielen in Kapitel 10 eine große Rolle. Die partiell geordnete Menge {0 1 2 n} wird mit [n] bezeichnet. Sie ist linear geordnet. Diese Kategorien spielen in Kapitel 11 eine große Rolle. Die Objekte von [n] sind die n + 1 Zahlen 0,...,n. Es steht n demnach nicht für die Anzahl der Objekte, sondern für die Dimension der Kategorie: Man stellt sich die Objekte von [n] als die Ecken eines n-simplizes vor (siehe dort).

18 18 1 Grundbegriffe der Topologie Übungen Ü21 Rechts- und Linksinverse. Seien f,g,h Morphismen in einer Kategorie C, für die gf = id und fh = id gelte. Zeigen Sie, dass dann f ein Isomorphismus ist und g = h gilt. Ü22 Homöomorphie. Wieviele paarweise nicht homöomorphe topologische Räume mit zwei Elementen gibt es? Im Allgemeinen ist die genaue Bestimmung der Anzahl der Homöomorphieklassen endlicher Räume mit vorgegebener Zahl von Elementen ein bisher ungelöstes Problem. Siehe etwa (Ern74) und auch (Sto66) für mehr zu endlichen topologischen Räumen. Ü23 Dreimal ist keinmal. Sei T eine Topologie auf der Menge X = {1, 2, 3}. Dann ist die Homöomorphismengruppe von (X, T ) eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe mit 3! = 6 Elementen. Man zeige: Es gibt keine Topologie T deren Homöomorphismengruppe genau drei Elemente hat. Gibt es überhaupt einen topologischen Raum, dessen Homöomorphismengruppe genau drei Elemente hat?

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