Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs

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1 Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 Hilfskräfte: A. Weiß, W. Thumann NWF I - Mathematik Universität Regensburg Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs Die folgenden Aufgaben sind eine Zusammenstellung von Aufgaben, die in dem Wiederholungskurs vom 6.3. bis 2.3. besprochen wurden. Die Teilnehmer wurden aufgeteilt in 4 Gruppen und separat von verschiedenen Gruppenleitern betreut. Es wurde versucht, auf Fragen und Verständnisschwierigkeiten der Studierenden einzugehen. Deswegen konnten auch nicht in allen 4 Gruppen dieselben Aufgaben behandelt werden. Selbst wenn Sie an diesem Kurs teilgenommen haben, werden Sie daher in dieser Zusammenstellung auch unbekannte Aufgaben sehen. Zu jedem Thema gab es Übungsaufgaben, die unter Klausurbedingungen von den Studierenden bearbeitet werden sollten. Aus Zeitmangel war dies nicht immer möglich, so dass diese Aufgaben häufig entweder als Hausaufgabe für den nächsten Tag oder als einfache Übungsaufgaben benutzt wurden. In dieser Zusammenstellung sind diese Aufgaben als Klausurübungsaufgaben gekennzeichnet. Folgen und Reihen (Montag) Aufgabe. (i) Sei (a n ) n N eine reelle oder komplexe Folge. Geben Sie die Definition von (a n ) n N konvergiert gegen a (a aus R oder C) an. (ii) Sei (a n ) n N eine Nullfolge und (b n ) n N ein beschränkte Folge in R oder C. Zeigen Sie, dass (a n b n ) n N dann ebenfalls Nullfolge ist. (iii) Zeigen Sie durch ein Beispiel, dass auf die Vorausetzung (b n ) n N ist beschränkt nicht verzichtet werden kann. Aufgabe.2 Untersuchen Sie die Folgen (a n ) n N mit (i) a n = n, (ii) a n = n3 5 n 4 + 6, (iii) a n = n2 n + 5 n 3n 2 + 7, (iv) a n = n2 2 n n + 2, (v) a n = n n, (vi) a n = n + n, (vii) a n = n 4 + n 2, (viii) a n = n! n n, (ix) a n = 4(2n) 2 (4n ). auf Konvergenz für n und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. Aufgabe.3 Untersuchen Sie die Folgen (a n ) n N mit (i) a n = n + sin(n2 ) n + cos(n), (ii) a n = n 2 n, (iii) a n = n! 2 n2. auf Konvergenz für n und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

2 Aufgabe.4 Zeigen Sie für s, p > die Konvergenz lim n n s ( + p) n =. Aufgabe.5 Berechnen Sie für q C mit q < den Grenzwert lim n n2 q n. Aufgabe.6 Berechnen Sie für α (, ) den Grenzwert lim ((n + n )α n α ). Aufgabe.7 Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz. (i) (v) (vii) n= n 2 + n 4 + n, (ii) (2n)!, (iii) ( ( ) n n) n, (iv) 2 n 4 n (mit Angabe des Grenzwertes), (vi) (n + ) n ( n) n, (viii) n= n n2 (n + ) n2. n n 2 +, n 4 4 n, Hinweis zu (i): Die Reihe n n ist konvergent nach Aufgabe 24, Blatt 6. Aufgabe.8 Bestimmen Sie alle x R, für die die folgenden Potenzreihen (i) (v) n= ( ) n n x n, (ii) (x + 2) n 3 n ( +, (iii) n )n n (x )n, (iv) (vi) x 2 ( x 2 ) n (mit Angabe des Grenzwertes). ( ) n x n, k N fest, k n= 2 n (x )n, konvergieren. Hinweis zu (vi): Warum ist das eine Potenzreihe? Aufgabe.9 Herr Meyers Hund Flitzi hat eine kleine Macke. Stets, wenn er mit Herrchen vom Spaziergang zurückkommt und die 4m vom Haus entfernte Straßenecke erreicht, flitzt er auf direktem Weg bis zur Haustür vor, macht sofort kehrt und rennt zu Herrchen zurück, der mittlerweile schon 25% der restlichen Entfernung zu seinem Haus zurückgelegt hat. Dort angekommen, dreht Flitzi sofort wieder um, rennt im Hundetempo wieder zur Haustür, macht hier wieder kehrt, usw. Flitzi eilt nun auf diese Weise unentwegt zwischen Haus und Herrchen hin und her, bis Herr Meyer endlich bei der Haustür angelangt ist. Welchen Gesamtweg hat Flitzi am Ende seiner Hin- und Her-Rennerei insgesamt zurückgelegt?

3 . Klausurübungsaufgaben Aufgabe. Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz. Berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert oder zeigen Sie, dass die Folge divergiert. (i) a n = n 2 n k= k, (ii) a n = sin(n 2 π ( 2 ), (iii) a n = n c ) n für c. Aufgabe. Es sei (a n ) n N eine reelle Folge und q [, ), so dass a n+ a n q n für alle n N gilt. Zeigen Sie, dass a n eine Cauchyfolge ist. Frage. Für welche x R konvergiert die folgende Reihe absolut? Bestimmen Sie den Grenzwert. (3x) 4n 2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit (Dienstag) n= Aufgabe 2. Betrachten Sie die Funktion f : (, ) R, gegeben durch x + 2x 2 für < x < 2, f(x) = für x = 2, 2x für 2 < x <. (i) Fertigen Sie eine qualitative Skizze der Funktion an. (ii) An welchen Stellen ist f stetig, an welchen Stellen nur linksseitig stetig, an welchen Stellen nur rechtsseitig stetig und an welchen Stellen differenzierbar? (iii) Berechnen Sie die Ableitung von f an den Stellen, an denen f differenzierbar ist. Aufgabe 2.2 Bestimmen Sie ein reelles a so, dass die Funktion f : R\{ } R mit f(x) = { x 3 x 2, falls x, a, falls x = stetig wird und zeigen Sie, dass sich f in x = nicht stetig fortsetzen läßt. Aufgabe 2.3 (i) Seien m, n N, m, n > und f : (, ) R gegeben durch Ist f stetig auf (, )? f(x) = { x m x n für x, m n für x =.

4 (ii) Ist die Abbildung f : Q R mit stetig auf Q? f(x) = { falls x < 2, falls x > 2. Aufgabe 2.4 (i) Sei f : [a, b] [a, b] stetig. Dann existiert ein ξ [a, b] mit f(ξ) = ξ. (ii) Seien α, β R mit α < β. Zeigen Sie, dass es ein x (α, β) gibt mit x 2 + x α + x6 + x β =. Aufgabe 2.5 Sei f : R R stetig mit f(r) Q. Zeigen Sie, dass f konstant ist. Aufgabe 2.6 Sei h : R R stetig mit h() =. Für f : R R gelte f(x) f(y) h(x y) für alle x, y R. Zeigen Sie: (i) f ist stetig in R. (ii) Ist h zusätzlich differenzierbar mit h () =, so ist f(x) = f() für alle x R. Es sei g n : R R eine Folge von Funktionen mit g n (x) g n (y) h(x y) für alle x, y R und n N und lim n g n(x) = g(x) für alle x R. Zeigen Sie: (iii) g ist stetig in R. Aufgabe 2.7 Untersuchen Sie, an welchen Stellen die folgende Funktion differenzierbar ist. { falls x Q, f(x) = x 2 falls x R\Q. Aufgabe 2.8 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen, falls diese existieren. { 2x, x (i) f : R R mit f(x) = x 2, x >. (ii) f n : R R mit f n (x) = x n +, n N. (iii) g : (, ) R mit g(x) = x ax, wobei a >. (iv) h : (, ) R mit h(x) = x sinh(x) log(x). Dabei ist sinh(x) = 2 (ex e x ). (v) u : R R mit u(x) = log(x + + x 2 ). (vi) v : R R mit v(x) = (+x) ex 2+x 2.

5 Aufgabe 2.9 Sei f : R R eine Funktion mit f(x) f(y) x y 2 für alle x, y R. Zeigen Sie, dass f konstant ist. Aufgabe 2. Sei f : R R differenzierbar und es gelte f( n ) = n Folge (x n ) n N mit x n >, x n und f (x n ) =. für alle n N. Zeigen Sie: Es existiert eine Aufgabe 2. (i) Sei f : [, ) R stetig, f() =, f differenzierbar auf (, ) und f monoton wachsend. Zeigen Sie, dass dann die Funktion g : (, ) R, g(x) = f(x) x monoton wachsend ist. Hinweis: Wenden Sie den Mittelwertsatz auf f an. (ii) Sei f(x) = x arctan(x) 2 log( + x2 ). Zeigen Sie, dass die Funktion g(x) = f(x) x auf (, ) monoton wachsend ist. Hinweis: Die Ableitung von arctan(x) lautet. +x 2 Aufgabe 2.2 (i) Sei arcsin : [, ] R die Umkehrfunktion von sin : [ π 2, π 2 ] R. Berechnen Sie die Ableitung von arcsin auf (, ). (ii) Sei arctan : R R die Umkehrfunktion von tan : ( π 2, π 2 ) R. Berechnen Sie die Ableitung von arctan in R. Aufgabe 2.3 Lassen sich die für x R\{} erklärten reellwertigen Funktionen f, g mit f(x) = x sin(x) x 6 und g(x) = x sin(x) x 3 für x = so definieren, dass die entstehende Erweiterung stetig ist? 2. Klausurübungsaufgaben Aufgabe 2.4 Sei f : [a, b] R stetig, auf (a, b) n-mal differenzierbar und f verschwinde an n + Stellen a x < x <... < x n b, das heißt f(x i ) = für i =,,..., n. Zeigen Sie: Dann gibt es ein ξ (a, b) mit f (n) (ξ) =. Aufgabe 2.5 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte, falls vorhanden. (i) sin(x) + x 2 lim x e x, (ii) lim x π sin(3x) sin(2x). Frage 2. Zeigen Sie: Aus f C([a, b]) folgt f C([a, b]), die Rückrichtung ist aber im Allgemeinen falsch.

6 3 Gleichmäßige Stetigkeit und Konvergenz von Funktionenfolgen (Mittwoch) Aufgabe 3. Sei I ein Intervall und f : I R eine Funktion. Definieren Sie den Begriff gleichmäßige Stetigkeit und geben Sie ein Beispiel einer stetigen, aber nicht gleichmäßig stetigen Funktion auf dem halboffenen Intervall I = (, ] an. Geht das auch, wenn I = [, ] ist? Aufgabe 3. Welche der folgenden Funktionen sind gleichmäßig stetig auf [, )? (i) f (x) = x, (ii) f 2 (x) = x 2, (iii) f 3 (x) = x sin(x), (iv) f 4 (x) = sin 2 (x), (v) f 5 (x) = sin(x 2 ). Hinweis zu (iii): Die Identität sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(y) könnte nützlich sein. Aufgabe 3.2 Welche der folgenden Funktionen sind gleichmäßig stetig auf (, )? (i) f (x) = e x, (ii) f 2 (x) = sin( x ), (iii) f 3(x) = x sin( x ), (iv) f 4 (x) = e x, (v) f5 (x) = e x, (vi) f6 (x) = e x cos( x ), (vii) f 7 (x) = log(x), (viii) f 8 (x) = cos(x) cos( π x ). Aufgabe 3.3 Sei f gleichmäßig stetig auf den halboffenen Intervallen (a, b] und [b, c) mit a < b < c. Zeigen Sie: f ist gleichmäßig stetig auf (a, c). Aufgabe 3.4 (i) Sei f : R R stetig und die Grenzwerte f ist gleichmäßig stetig auf R. lim f(x) und lim f(x) seien endlich. Zeigen Sie: x x (ii) Sei f : [a, ) R stetig mit lim f(x) <. Zeigen Sie: f ist gleichmäßig stetig auf [a, ). x (iii) Beispiele: Untersuchen Sie folgende Funktionen auf gleichmäßige Stetigkeit. (a) f (x) = arctan(x) auf (, ). (b) f 2 (x) = x sin( x ) auf (, ). (c) f 3 (x) = e x auf (, ). Aufgabe 3.5 Falls f : (, ) R gleichmäßig stetig ist, müssen dann lim f(x) und lim f(x) existieren? x + x

7 Aufgabe 3.6 Sei f : [, ) R gleichmäßig stetig. Zeigen Sie, dass ein M > existiert, so dass f(x) x M für alle x. Aufgabe 3.7 Seien f n, g n, f, g : I R mit f n f und g n g jeweils gleichmäßig. (i) Zeigen Sie f n + g n f + g gleichmäßig. (ii) Gilt auch f n g n f g gleichmäßig? (iii) Unter der Vorausetzung f, g beschränkt zeigen Sie f n g n f g gleichmäßig. Aufgabe 3.8 Welche der folgenden Funktionenfolgen sind gleichmäßig konvergent auf [, ]? (i) f n(x) = + (nx ) 2, (ii) f 2 n(x) = x 2 x 2 + (nx ) 2, (iii) f 3 n(x) = x n ( x), (iv) f 4 n(x) = n x n ( x), (v) f 5 n(x) = nx2 + nx, (vi) f 6 n(x) = + x n. Aufgabe 3.9 Untersuchen Sie die folgenden Funktionenfolgen auf gleichmäßige Konvergenz. (i) fn(x) = x + n auf R, (ii) f n(x) 2 = (x + n )2 auf R, (iii) fn(x) 3 = n (x + n ) auf R, (iv) f n(x) 4 = n + x2 auf R, (v) fn(x) 5 = n x auf (, ). Aufgabe 3. Sei (a n ) n N eine reelle Folge, für die die Reihe a n konvergiert. Zeigen Sie: Die Reihen a n cos(nx) und a n sin(nx) sind auf R gleichmäßig konvergent. Zusatz: Die Grenzfunktionen sind 2π-periodisch. 3. Klausurübungsaufgaben Aufgabe 3. Sei f n eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge auf I mit f n (x) a für ein a >. Zeigen Sie: Dann konvergiert f n gleichmäßig. Aufgabe 3.2 Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge f n (x) = e x n auf R punktweise gegen die Funktion f(x) = konvergiert und dass diese Konvergenz auf [, ] sogar gleichmäßig ist. Zeigen Sie außerdem, dass die Konvergenz auf ganz R nicht gleichmäßig ist.

8 Frage 3. Sind die folgenden Aussagen richtig? Geben Sie eine kurze Begründung für ihre Antwort. (i) Ist f : [, ] R differenzierbar, so auch gleichmäßig stetig. (ii) Ist f : [, ] R gleichmäßig stetig, so auch differenzierbar. (iii) Jedes Polynom ist auf R gleichmäßig stetig und beliebig oft differenzierbar. 4 Integration (Donnerstag) Aufgabe 4. Berechne Sie den Flächeninhalt, der von den Graphen der Funktionen f : R R, f(x) = sin(x), g : R R, g(x) = sin(2x) und den Geraden x = und x = π eingeschlossen wird. Aufgabe 4.2 Seien f, g : [, ] R stetige Funktionen. Zeigen Sie die Existenz von einem ξ (, ) mit f(t) dt ξ ξ g(t) dt = g(ξ) f(t) dt + f(ξ) g(t) dt. Hinweis: Betrachten Sie F G für geeignete Stammfunktionen F, G von f bzw. g. Aufgabe 4.3 Seien a, b R mit a < b und sei f : [a, b] R eine Regelfunktion. Sei F : [a, b] R definiert durch F (x) = x a f(t) dt. Zeigen Sie: F ist stetig. Aufgabe 4.4 (i) Sei f : [a, b] R stetig. Beweisen Sie: Es existiert ein ξ [a, b], so dass ξ a f(t) dt = b ξ f(t) dt. (ii) Zeigen Sie durch ein Beispiel, dass ξ nicht notwendig aus (a, b) ist. Aufgabe 4.5 Berechnen Sie die folgenden Integrale (i) x 2 e λx dx, λ R, (ii) dt, t (iii) dx, (iv) x 2 x 2 e x dx. Aufgabe 4.6 (i) Bestimmen Sie das unbestimmte Integral e y sin(y) dy durch zweimalige partielle Integration. (ii) Führen Sie durch Substitution das Integral I(z) = z sin(log(x)) dx für z auf ein Integral der Form b a ey sin(y) dy zurück und geben Sie I(z) an.

9 Aufgabe 4.7 Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertatzes der Integralrechnung die Ungleichung, 4 Aufgabe 4.8 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: (i) lim n xn ( x), x 3 9 dx, 5. +x 6 nx (ii) lim 2 n +nx, indem Sie Limes und Integration vertauschen (Begründung!). Aufgabe 4.9 Berechnen Sie den Wert der folgenden Reihe x n 3n + 3 n= für < x <, indem Sie die einzelnen Summanden als geeignete Integrale schreiben und dann Integration und Reihenbildung vertauschen. Aufgabe 4. Untersuchen Sie die Funktionenfolge f n (x) für x [, ) auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz und berechnen Sie f n (x) dx. Dürfen Sie Limesbildung und Integration vertauschen, das heißt gilt Dabei sei jeweils (i) f n (x) = nxe nx2, (ii) f n (x) = x n 2 e x n, lim n f n (x) dx = (iii) f n (x) = n x 3 e n 2x 2, hier für x (, ). 4. Klausurübungsaufgaben lim f n(x) dx? n Aufgabe 4. Seien n N, a,..., a n R. Zeigen Sie, dass die Gleichung n a k cos(kx) = im Imtervall [, π] mindestens eine Lösung hat. Hinweis: Verwenden Sie den Mittelwertsatz der Integralrechnung. k= Aufgabe 4.2 Geben Sie für eine Rekursionsformel an. I n := π 2 sin n (x) dx Frage 4. Was besagt die Sprechweise Integration glättet?

10 5 Taylorreihen und Fourierreihen (Freitag) Aufgabe 5. Sei f(x) = sin(x) cos(x) für x R. Berechnen Sie für alle n die n-ten Ableitungen von f und bestimmen Sie die Taylorpolynome und Taylorreihe sowie deren Konvergenzradius um den Entwicklungspunkt. Aufgabe 5.2 Sei y : R R eine beliebig oft differenzierbare Funktion, die die folgende Differentialgleichung löst: y (x) = x + sin(y(x)), y() = π 2. Bestimmen Sie das Taylorpolynom 3. Grades von y im Entwicklungspunkt y =. Aufgabe 5.3 (i) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 3. Grades der Funktion f : ( 2, ) R mit f(x) = log(2 + x) im Entwicklungspunkt x =. (ii) Zeigen Sie, dass der Fehler im Intervall [, 2] kleiner als, 2 bleibt. Aufgabe 5.4 Bestimmen Sie zu f : [ 2, ] R mit f(x) = 2 x das n-te Taylorpolynom T n f mit Entwicklungspunkt x = und untersuchen Sie das Konvergenzverhalten von (f T n f)(x) für n. Aufgabe 5.5 Berechnen Sie die Fourierreihe der 2π-periodisch fortgesetzten Funktion f : [ π, π] R mit f(x) = x. Aufgabe 5.6 Berechnen Sie die Fourierreihe der 2π-periodisch fortgesetzten Funktion f : [ π, π] R mit f(x) = sin(x). Aufgabe 5.7 Sei g : R R eine Regelfunktion, 2π-periodisch und ungerade, d.h. g( x) = g(x). Zeigen Sie 2π g(x) dx =. Was folgt hiermit für die Koeffizienten a k bzw. b k der reellen Fourierentwicklung der Funktion f, falls f ungerade bzw. gerade ist? 5. Klausurübungsaufgaben Aufgabe 5.8 Für n N sei f : R R gegeben durch f(x) = n f(x) = n k= k= xk. Zeigen Sie: ) (x ) k. ( n + k + Hinweis: Bilden Sie die Taylorentwicklung von f um x = und benutzen Sie die Formel m ). ( n+m+ n+ k= ( n+k ) k =

11 Aufgabe 5.9 Berechnen Sie die komplexe Fourierreihe der 2π-periodisch fortgesetzten Funktion f : [ π, π] R mit f(x) = x. Frage 5. Berechnen Sie die Taylorreihe von f(x) = x e x bei x =.

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