Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA"

Transkript

1 Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Florian Franzmann 5. Oktober 004 Inhaltsverzeichnis Additionstheoreme Reihen und Folgen 3. Reihen Potenzreihen Konvergenzradius Cauchy-Produkt Funktionsfolgen Gliedweise Integration Grenzwertberechnung Taylorreihe Eindimensional Zweidimensional Bekannte Reihen Harmonische Reihe Geometrischen Reihe Sonstige Reihen Differentiation 6 3. Differenzierbarkeit Stetigkeit

2 3.3 Gradient Produktregel Quotientenregel Mehrdimensionale Kettenregel Logarithmische Differentiation Ableitung der Umkehrfunktion Satz von l Hospital Satz von Schwarz Extremwerte mit Nebenbedingungen Integration 7 4. Partielle Integration Substitutionsregel Tangentialvektor Bogenlänge einer Kurve Uneigentliche Integrale Numerik Newtonverfahren Banachscher Fixpunktsatz Interpolationsquadratur Polarkoordinaten 9 6 Differentialgleichungen 0 6. Konstante Koeffizienten Differentialgleichung Differentialgleichungssystem Euler-Differentialgleichung Additionstheoreme Bronstein S. 80, 8 tan x sin x = + tan x cos x = tan x + tan x

3 Tabelle : Trigonometrische Funktionen Funktionswerte besonderer Winkel ϕ I II III IV sin ϕ cos ϕ 3 nicht tan ϕ cot ϕ nicht definiert definiert 3 nicht definiert 0 nicht definiert Reihen und Folgen. Reihen n= a n konvergiert genau dann, wenn a n Nullfolge ist.. Potenzreihen a n (x x 0 ) n.. Konvergenzradius Quotientenkriterium r = lim a n n a n+ Cauchy-Hadamard r = lim n n a n 3

4 .. Cauchy-Produkt ( ) a n (x x 0 ) n.3 Funktionsfolgen sup f n (x) f(x) 0 ( ) b n (x x 0 ) n =.4 Gliedweise Integration Falls gilt folgt f(x) = b a ϕ n (x) f(x)dx = b a ϕ n (x)dx c n (x x 0 ) n mit c n = a k b n k innerhalb des Konvergenzradius. Dies gilt, weil die Funktionsfolge innerhalb des Konvergenzradius gleichmäßig konvergiert..5 Grenzwertberechnung Schwierige Bestandteile durch abgebrochene Potenzreihen und Aufwandsabschätzung ersetzen, x 0 gehen lassen (d. h. für x einsetzen und Restglieder weglassen)..6 Taylorreihe.6. Eindimensional n T n f(x) = k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k Restglied: R n (x) = k=0 k=0 (n + )! f (n+) (ξ)(x x 0 ) n+ mit ξ = x 0 + θ(x x 0 ), 0 < θ < 4

5 .6. Zweidimensional Restglied: T n f(x + h, y + k) = n i=0 ( i! x h + ) i y k f(x, y) + R n R n = ( ( + n)! x h + ) n+ y k f(x + Θh, y + Θk) (0 < Θ < ).7 Bekannte Reihen.7. Harmonische Reihe n divergiert. n=.7. Geometrischen Reihe q n = q < q.7.3 Sonstige Reihen ( ) n = ln n n= n= n= n = π 6 konvergiert für α >, divergiert für α. nα m n = n= m m(m + ) q n = qm+ q 5

6 3 Differentiation 3. Differenzierbarkeit f(x) f(x Ein Funktion ist differenzierbar g. d. w. der Differenzenquotient lim 0 ) x x0 x x 0 ist. stetig 3. Stetigkeit Untersuche ob die Funktion in allen Richtungen an der Problemstelle auf den gleichen Wert zuläuft. 3.3 Gradient Der Gradient ist der Zeilenvektor aller Ableitungen. 3.4 Produktregel (uv) = u v + uv 3.5 Quotientenregel ( u v ) = vu uv v 3.6 Mehrdimensionale Kettenregel d f(x(t)) = gradf(x(t) ẋ(t)) dt 3.7 Logarithmische Differentiation ( ) y = u(x) v(x) u(x) > 0 y (x) = u(x) v(x) v (x) ln u(x) + vu u 6

7 3.8 Ableitung der Umkehrfunktion Sei g = f (x). g (y 0 ) = f (x 0 ) g (y 0 ) = f (x 0 ) (f (x 0 ) 3 g (y 0 ) = 3(f (x 0 )) f (x 0 ) (f (x 0 )) 6 f (x 0 ) (f (x 0 )) Satz von l Hospital u(x) lim x a v(x) = lim u (x) x a v (x) 3.0 Satz von Schwarz Ist f nach x und y zweimal partiell differenzierbar und sind die gemischten partiellen Ableitungen f xy und f yx stetig, so ist f xy = f yx. Es kommt dann auf die Reihenfolge der Ableitungen nicht an. 3. Extremwerte mit Nebenbedingungen Die Extremwerte einer Funktion u = f(x, y) mit der Nebenbedingung φ(x, y) = 0 werden aus den drei Gleichungen ϕ(x, y) = 0, x [f(x, y) + λϕ(x, y)] = 0, [f(x, y) + λϕ(x, y)] = 0 y mit den drei Unbekannten x, y, λ bestimmt. 4 Integration 4. Partielle Integration u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x)dx 7

8 4. Substitutionsregel x = u(t) t = u (x) dx = (u (x)) dt 4.3 Tangentialvektor Der Tangentialvektor eines Vektors ist seine Ableitung. 4.4 Bogenlänge einer Kurve π π L = x(t) dt = ẋ (t) + ẋ (t) + dt Uneigentliche Integrale 0 Ist in [a, b] f(x) g(x) und existiert b a g(x)dx, so existiert auch b a f(x)dx. 4.6 Numerik 4.6. Newtonverfahren Gesucht: f(x) = 0 Gegeben: x 0 x n+ = x n f(x n) f (x n ) Die Folge konvergiert, wenn f (x) 0 ist und 4.6. Banachscher Fixpunktsatz f(x)f (x) f (x) K <.. f(x) (a, b) x (a, b), d. h. die Funktion bildet eine Menge auf sich selbst ab.. f muß eine Kontraktion sein: f(x) f(y) K x y Dann hat f(x) = x genau eine Lösung x (a, b) und die Folge x n+ = f(x n ) konvergiert für jedes x 0 (a, b) gegen x. 8

9 4.6.3 Interpolationsquadratur Trapezregel einfach x0 +h x 0 f(x)dx h (y 0 + y ) R h3 M zusammengesetzt b a Simpsonregel einfach f(x)dx h( y 0 + y + y + + y n + y n ) x0 +h x 0 R (b a)h M f(x)dx h 3 (y 0 + 4y + y ) R h5 90 M 4 zusammengesetzt n muß gerade sein. b a f(x)dx h 3 (y 0 + 4y + y + 4y y n + 4y n + y n ) R 5 Polarkoordinaten (b a)h4 M 4 80 x = r cos ϕ und y = r sin ϕ werden in die Funktion eingesetzt, anschließend wird sie nach r aufgelöst. 9

10 Tabelle : Lösung homogener Differentialgleichungen mit konstanten koeffizienten Nullstelle λ λ = a λ = λ = = λ k = a λ = α + βi, λ = α βi λ = λ = = λ k = α + βi, λ k+ = λ k+ = = λ k = α βi Lösung der Dgl. e ax e ax, xe ax..., x k e ax e αx sin βx, e αx cos βx e αx sin βx, xe αx sin βx,..., x k e αx sin βx e αx cos βx, xe αx cos βx,..., x k e αx cos βx λ = 0 λ = λ = = λ k = 0, x,..., x k 6 Differentialgleichungen 6. Konstante Koeffizienten 6.. Differentialgleichung Gegeben: Differentialgleichung a n y (n) (x)+a n y (n ) (x)+ +a y (x)+a 0 y(x) = f(x). Homogener Fall. Bestimme Nullstellen des charakteristisches Polynom: a n λ n + a n + λ n + + a λ + a 0 = 0. Stelle Fundamentalsystem nach Tabelle auf 3. Die allgemeine Lösung y h der homogenen Dgl. entspricht der Summe der Elemente des Fundamentalsystems multipliziert mit beliebigen Konstanten. Inhomogener Fall 0

11 Tabelle 3: Partikuläre Lösung inhomogener Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten rechte Seite µ Ansatz e αx α Cx k e αx P (x) 0 x k R(x) P (x)e αx α x k R(x)e αx A sin βx + B cos βx ±βi x k (C sin βx + D cos βx) P (x) sin βx + Q(x) cos βx ±βi x k (R(x) sin βx + S(x) cos βx) (A sin βx + B cos βx)e αx α ± βi x k (C sin βx + D cos βx)e αx (P (x) sin βx + Q(x) cos βx)e αx α ± βi x k (R(x) sin βx + S(x) cos βx)e αx. Der Ansatz für die partikuläre Lösung y p wird Tabelle 3 entnommen. Der Resonanzfaktor k gibt an, wie oft der Exponent µ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms p auftritt. Wenn k = 0 ist, d. h. wenn µ keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms p(λ) ist, fehlt der Term x k im Ansatz.. Die nötigen Ableitungen des Ansatzes werden gebildet und in die Dgl. eingesetzt. 3. Es wird nach Potenzen von x und/oder nach Sinus- und Cosinustermen sortiert. 4. Das beim Koeffizientenvergleich entstehende Gleichungssystem wird gelöst. Oft ist es günstig, bei den höchsten Potenzen von x anzufangen. Die Lösung der Dgl. ergibt sich als Summe von homogener Lösung y h und inhomogener Lösung y p. 6.. Differentialgleichungssystem. Bestimme Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix des Gleichungssystems.

12 . Gibt es mehrfache Eigenwerte λ i müssen folgendermaßen weitere linear unabhängige Hauptvektoren zu den Eigenvektoren v i bestimmt werden: A λe = v in 3. Das Fundamentalsystem ergibt sich zu FS: { ( ) e λx v, e λx (x v + v ), e λ x x v + x v + v 3,..., } e λx v, e λx (x v + ), Euler-Differentialgleichung c n x n y (n) + c n x n y (n ) + + c x y + c xy + c 0 y = f(x) Substituiere y(x) = z(ln x), t = ln x, x = e t. y (x) = x z (t), y (x) = x z (t) x z (t). Nach dem Lösen der Dgl. Rücktransformation mit t = ln x.

10 Differenzierbare Funktionen

10 Differenzierbare Funktionen 10 Differenzierbare Funktionen 10.1 Definition: Es sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S. Eine Funktion f : S R heißt im Punkt x 0 differenzierbar, wenn der Grenzwert f (x 0 ) := f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h

Mehr

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. F. Hettlich Dr. S. Schmitt Dipl.-Math. J. Kusch Karlsruhe, den 09.06.20 Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik

Mehr

Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur 10. Übung

Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur 10. Übung TU Bergakademie Freiberg Vorl. Frau Prof. Dr. Swanhild Bernstein Übung Dipl.-Math. Daniel Lorenz Freiberg, 7. Juni 2017 Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur 10. Übung Wenn

Mehr

Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung

Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung I. Grundlegendes Eine homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung besitzt die Form y (n) + a n 1 (x)y (n 1) +... + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0 Eine

Mehr

Lösung zur Klausur zur Analysis II

Lösung zur Klausur zur Analysis II Otto von Guericke Universität Magdeburg 9.7.4 Fakultät für Mathematik Lösung zur Klausur zur Analysis II Vorlesung von Prof. L. Tobiska, Sommersemester 4 Bitte benutzen Sie für jede Aufgabe ein eigenes

Mehr

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3 Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe : Berechnen Sie die bestimmten Integrale: π/ 3 cos(x)

Mehr

y hom (x) = C e p(x) dx

y hom (x) = C e p(x) dx Gewöhnliche Differentialgleichungen F (x, y, y,..., y n ) = 0 Gleichung, die die Veränderliche x sowie die Funktion y = y(x) und ihre Ableitungen y,..., y n beinhaltet. Klassifiaktion: implizit F (...)

Mehr

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0.

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0. Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x y(0) = y (0) = 0. Zunächst bestimmen wir die Lösung der homogenen DGL. Das charakteristische Polynom der DGL ist λ 2 4λ

Mehr

Klausur zur Mathematik für Maschinentechniker

Klausur zur Mathematik für Maschinentechniker SS 04. 09. 004 Klausur zur Mathematik für Maschinentechniker Apl. Prof. Dr. G. Herbort Aufgabe. Es sei f die folgende Funktion f(x) = 4x 4x 9x 6 x (i) Was ist der Definitionsbereich von f? Woistf differenzierbar,

Mehr

, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3

, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3 Prof. Dr. Eck Höhere Mathematik 3 9.3.9 Aufgabe ( Punkte) Gegeben ist der Körper K mit der Parametrisierung x r cos ϕ cos ϑ K : x = Φ(r,ϕ,ϑ) = r sin ϕ cos ϑ, r [, ], ϕ [,π/], ϑ [,π/6]. x 3 r sin ϑ a) Berechnen

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Analysis II 2014

Übungen zum Ferienkurs Analysis II 2014 Übungen zum Ferienkurs Analysis II 4 Probeklausur Allgemein Hinweise: Die Arbeitszeit beträgt 9 Minuten. Falls nicht anders angegeben, sind alle en ausführlich und nachvollziehbar zu begründen. Schreiben

Mehr

Stroppel Musterlösung , 180min. Aufgabe 1 (3 Punkte) Bestimmen Sie die Determinante der Matrix

Stroppel Musterlösung , 180min. Aufgabe 1 (3 Punkte) Bestimmen Sie die Determinante der Matrix Stroppel Musterlösung 7.., 8min Aufgabe Punkte Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A =. Geben Sie alle Lösungen x des homogenen Gleichungssystems Ax = an. Entwicklung nach der ersten Spalte: deta

Mehr

Lösungen zu Mathematik I/II

Lösungen zu Mathematik I/II Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 11 D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben 1. 1 Punkte a Wir berechnen lim x x + x + 1 x + x 3 + x = 1. b Wir benutzen L Hôpital e x e x lim x sinx

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen Vorbemerkungen. Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung, wo neben einer gesuchten Funktion y(x) auch deren Ableitungen y, y etc. auftreten, z.b. y

Mehr

Prüfungsklausur Höhere Mathematik II (20. Juli 2005) - Lösungen zum Theorieteil - für MB, EC, TeM, FWK, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM

Prüfungsklausur Höhere Mathematik II (20. Juli 2005) - Lösungen zum Theorieteil - für MB, EC, TeM, FWK, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM Prüfungsklausur Höhere Mathematik II (2. Juli 25) für MB, EC, TeM, FWK, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM - Lösungen zum Theorieteil - Aufgabe : Sei f(x, y) eine in einem Gebiet zweimal stetig differenzierbare

Mehr

Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test

Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Wintersemester 2012/2013 Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test Aufgabe 1: Bruchrechnung Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf (a) x x 2 1

Mehr

1 Einführung, Terminologie und Einteilung

1 Einführung, Terminologie und Einteilung Zusammenfassung Kapitel V: Differentialgleichungen 1 Einführung, Terminologie und Einteilung Eine gewöhnliche Differentialgleichungen ist eine Bestimmungsgleichung um eine Funktion u(t) einer unabhängigen

Mehr

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 8 Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe 6: Matrix Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des Differentialgleichungssystems u x = Aux für die A =, 9 indem Sie das System auf eine einzelne gewöhnliche

Mehr

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten

Mehr

Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und 2. Ordnung. Christopher Schael

Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und 2. Ordnung. Christopher Schael Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und. Ordnung 1.1.) Anleitung DGL der 1. Ordnung 1.) DGL der 1. Ordnung In diesem Abschnitt werde ich eine Anleitung zur Lösung von inhomogenen und

Mehr

Systeme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1.

Systeme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1. Systeme von Differentialgleichungen Beispiel : Chemische Reaktionssysteme System aus n Differentialgleichungen Ordnung: y (x = f (x, y (x,, y n (x Kurzschreibweise: y y 2 (x = f 2(x, y (x,, y n (x y n(x

Mehr

SS 2016 Höhere Mathematik für s Studium der Physik 21. Juli Probeklausur. Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert.

SS 2016 Höhere Mathematik für s Studium der Physik 21. Juli Probeklausur. Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert. SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 Probeklausur Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert. Fragen Sei (X, d) ein metrischer Raum. Beantworten Sie die nachfolgenden

Mehr

Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten Robert Labus Wintersemester 01/013 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten Definition Ist n N eine natürliche Zahl und a k R für k = 1;...; n, dann wird die Abbildung

Mehr

Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik

Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. I. Anapolitanos Dipl.-Math. Sebastian Schwarz SS 7 4.5.7 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik

Mehr

Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen und Randwertprobleme

Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen und Randwertprobleme Kapitel Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen und Randwertprobleme Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, in der die Variable x, die gesuchte Funktion y(x) sowie deren Ableitungen vorkommen.

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale.

Mehr

Fachbereich Mathematik/Informatik 16. Juni 2012 Prof. Dr. H. Brenner. Mathematik für Anwender II. Testklausur mit Lösungen

Fachbereich Mathematik/Informatik 16. Juni 2012 Prof. Dr. H. Brenner. Mathematik für Anwender II. Testklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik 6. Juni 0 Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender II Testklausur mit Lösungen Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Ein Skalarprodukt

Mehr

Mathematik III Vorlesung 5,

Mathematik III Vorlesung 5, Mathematik III Vorlesung 5, 03.11.2006 Markus Nemetz November 2006 1 Vorbemerkung Prof. Panholzer hat die illustrierenden Beispiele aus der zur VO empfohlenen Lektüre gebracht - sie sind hier nicht angeführt.

Mehr

y = A(x) y + b(x). (1) y = A(x) y (2)

y = A(x) y + b(x). (1) y = A(x) y (2) 73 5.2 Lineare Systeme Sei weiterhin IK = C oder IK = IR. Seien = I IR ein offenes Intervall, x 0 I, y 0 IK n, A: I IK n n und b: I IK n stetige matrix- bzw vektorwertige Funktionen. Wir betrachten komplexe

Mehr

Polynomiale Approximation. und. Taylor-Reihen

Polynomiale Approximation. und. Taylor-Reihen Polynomiale Approximation und Taylor-Reihen Heute gehts um die Approximation von glatten (d.h. beliebig oft differenzierbaren) Funktionen f nicht nur durch Gerade (sprich Polynome vom Grade 1) und Polynome

Mehr

Differential- und Integralrechnung

Differential- und Integralrechnung Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Differential- und Integralrechnung Schwerpunkte: Differentiation Integration Eigenschaften und Anwendungen Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik

Mehr

Grundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche. Studiengänge) Beispiele

Grundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche. Studiengänge) Beispiele Grundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche Studiengänge) Beispiele Prof. Dr. Udo Hebisch Diese Beispielsammlung ergänzt das Vorlesungsskript und wird ständig erweitert. 1 DETERMINANTEN 1

Mehr

Aufgabe 1 Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N. n(n + 1)(2n + 1) 6. j 2 = gilt.

Aufgabe 1 Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N. n(n + 1)(2n + 1) 6. j 2 = gilt. Aufgabe Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N j 2 j n(n + )(2n + ) gilt. Der Beweis wird mit Hilfe vollständiger Induktion geführt. Wir verifizieren daher zunächst den Induktionsanfang,

Mehr

Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs

Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 Hilfskräfte: A. Weiß, W. Thumann 6.3.29 NWF I - Mathematik Universität Regensburg Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs Die folgenden

Mehr

Topologie und Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher, SS 2009 Modulprüfung/Abschlussklausur. Aufgabe Punkte

Topologie und Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher, SS 2009 Modulprüfung/Abschlussklausur. Aufgabe Punkte Universität München 22. Juli 29 Topologie und Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher, SS 29 Modulprüfung/Abschlussklausur Name: Aufgabe 2 3 4 Punkte Gesamtpunktzahl: Gesamturteil: Schreiben Sie unbedingt

Mehr

13 Differentialgleichungen

13 Differentialgleichungen 3 Differentialgleichungen 282 3. Einführung Unter einer Differentialgleichung (=: DGL) versteht man eine Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion, in der die Funktion selbst und ihre Ableitungen

Mehr

Stroppel Musterlösung , 180min. Aufgabe 1 (7 Punkte) Gegeben seien folgende Potenzreihen: ( 2) n n xn,

Stroppel Musterlösung , 180min. Aufgabe 1 (7 Punkte) Gegeben seien folgende Potenzreihen: ( 2) n n xn, Stroppel Musterlösung 0. 09. 03, 80min Aufgabe 7 Punkte) Gegeben seien folgende Potenzreihen: ) n fx) = n xn, gx) = n= + ) n n x+) n. 3 n= a) Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius und den Entwicklungspunkt.

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,

Mehr

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Gewöhnliche Differentialgleichungen Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Frühjahr 2011 PV-Kurs HM 3 Gew. DGl 1-1 Zusammenfassung y (x) = F (x, y) Allgemeine

Mehr

Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen

Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Viele Naturgesetze stellen eine Beziehung zwischen einer physikalischen Größe und ihren Ableitungen (etwa als Funktion der Zeit dar: 1. ẍ = g (freier Fall;

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz Dr P C Kunstmann Dipl-Math M Uhl Sommersemester 009 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive Komplexe

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Abschnitt 9. Aufgabe a) Wir bestimmen die ersten Ableitungen von f, die uns dann das Aussehen der k-ten Ableitung erkennen lassen: fx) = x + e x xe x, f x) = e x e x

Mehr

2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung Eine Dgl der Gestalt a n (x)y (n) +a n 1 (x)y (n 1) +...+a 2 (x)y +a 1 (x)y +a 0 (x)y = b(x) heißt lineare Dgl n-ter Ordnung. ( ) Dabei sind a 0, a 1,...,

Mehr

Übungen Analysis I WS 03/04

Übungen Analysis I WS 03/04 Blatt Abgabe: Mittwoch, 29.0.03 Aufgabe : Beweisen Sie, daß für jede natürliche Zahl n gilt: n ( ) n (x + y) n = x i y n i, i (b) n ν 2 = ν= i=0 n(n + )(2n + ), 6 (c) 2 3n ist durch 7 teilbar. Aufgabe

Mehr

Lösung der Übungsaufgaben vom SS 2011

Lösung der Übungsaufgaben vom SS 2011 Inhaltsverzeichnis Lösung der Übungsaufgaben vom SS Aufgabe Nr. Seite Aufgabe Nr. Seite 3 3 3 3 3 33 3 4 3 34 4 5 3 35 5 6 4 36 6 7 4 37 8 8 4 38?? 9 5 39 3 5 4 34 6 7 3 8 4 9 5 6 7 8 9 3 3 3 4 4 5 5 6

Mehr

Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik - Lösungen

Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik - Lösungen Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math. Carlos Hauser SoSe 7 7.7.7 Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik - Lösungen.

Mehr

ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld

ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld Bitte wenden! 1. Die unten stehende Figur wird beschrieben durch... (a) { (x, y) R 2 x + y 1 }. Richtig! (b) { (x,

Mehr

Klausur Mathematik I

Klausur Mathematik I Klausur Mathematik I E-Techniker/Mechatroniker/Informatiker/W-Ingenieure). März 007 Hans-Georg Rück) Aufgabe 6 Punkte): a) Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft z z = und z ) z ) =.

Mehr

i j m f(y )h i h j h m

i j m f(y )h i h j h m 10 HÖHERE ABLEITUNGEN UND ANWENDUNGEN 56 Speziell für k = 2 ist also f(x 0 + H) = f(x 0 ) + f(x 0 ), H + 1 2 i j f(x 0 )h i h j + R(X 0 ; H) mit R(X 0 ; H) = 1 6 i,j,m=1 i j m f(y )h i h j h m und passendem

Mehr

Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt, WS 2012/2013 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik

Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt, WS 2012/2013 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt, WS 202/203 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Aufgabe 6 Bei allen Aufgabenteilen handelt es sich um (homogene bzw. inhomogene) lineare Differentialgleichungen

Mehr

REPETITORIUM DER HÖHEREN MATHEMATIK. Gerhard Merziger Thomas Wirth

REPETITORIUM DER HÖHEREN MATHEMATIK. Gerhard Merziger Thomas Wirth REPETITORIUM DER HÖHEREN MATHEMATIK Gerhard Merziger Thomas Wirth 6 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Fl Formelsammlung F2 Formelsammlung Alphabete 11 Zeichenindex 12 1 Grundbegriffe 14 1.1 Logische

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Abschnitt 10.2 Aufgabe 1 (a) Die beiden Funktionen f(x) = 1 und g(y) = y sind auf R definiert und stetig. 1 + x2 Der Definitionsbereich der Differentialgleichung ist

Mehr

6 Gewöhnliche Differentialgleichungen

6 Gewöhnliche Differentialgleichungen 6 Gewöhnliche Differentialgleichungen Differentialgleichungen sind Gleichungen in denen nicht nur eine Funktion selbst sondern auch ihre Ableitungen vorkommen. Im einfachsten Fall gibt es eine unabhängige

Mehr

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Differentialgleichungssysteme Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Frühjahr 20 PV-Kurs HM 3 DGlSysteme - Zusammenfassung Allgemeine Differentialgleichungssysteme.Ordnung

Mehr

Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras

Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 3 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras 9..3 Oktober Klausur Analysis II für Ingenieure Rechenteil. Aufgabe Punkte i) Wir berechnen zunächst

Mehr

Mathematik I+II. für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016

Mathematik I+II. für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016 Mathematik I+II für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016 I. Wiederholung Schulwissen 1.1. Zahlbereiche 1.2. Rechnen mit reellen Zahlen 1.2.1. Bruchrechnung 1.2.2. Betrag 1.2.3. Potenzen 1.2.4. Wurzeln

Mehr

1.5 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung

1.5 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 16 Kapitel 1. Differentialgleichungen 1.5 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung Eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung hat die Form y +a 1 (x)y +a 0 (x)y = b(x), wobei a 1,a 0,b:I

Mehr

Höhere Mathematik II/III. Musterlösung

Höhere Mathematik II/III. Musterlösung Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik II/III WiSe / Musterlösung Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche Aufzeichnungen von maximal DinA4-Blättern.

Mehr

INGENIEURMATHEMATIK. 8. Reihen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies

INGENIEURMATHEMATIK. 8. Reihen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik INGENIEURMATHEMATIK 8. Reihen Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester 2016 G. Matthies Ingenieurmathematik

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Differential und Integralrechnung 6

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Differential und Integralrechnung 6 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 204/5): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

Brückenkurs Rechentechniken

Brückenkurs Rechentechniken Brückenkurs Rechentechniken Dr. Jörg Horst Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik SS 2014 1 Vollständige Induktion Vollständige Induktion 2 Funktionenfolgen Punktweise Konvergenz Gleichmäßige

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang Sommersemester 03 6.06.03 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektrotechnik und Informationstechnik

Mehr

Lösungsskizzen zur Nachklausur

Lösungsskizzen zur Nachklausur sskizzen zur Nachklausur Mathematik II für die Fachrichtungen Biologie und Chemie Sommersemester 22 Aufgabe Es seien die folgenden Vektoren 2 v = 2, v 2 = und v 3 = 2 im R 3 gegeben. (a) Zeigen Sie, dass

Mehr

Tutorium Mathematik II, M Lösungen

Tutorium Mathematik II, M Lösungen Tutorium Mathematik II, M Lösungen 4. Juni 203 *Aufgabe. Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der Differentialgleichungen (a) y 2y + y2 = (b) y + ( 2 y)y = 0 Lösung: (a) Bei dieser Differentialgleichung

Mehr

f f(x ɛξ) f(x) 0, d.h. f (x)ξ = 0 für alle ξ B 1 (0). Also f (x) = 0. In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: f(x) = 0.

f f(x ɛξ) f(x) 0, d.h. f (x)ξ = 0 für alle ξ B 1 (0). Also f (x) = 0. In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: f(x) = 0. Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung 9 Optimierung Definition Seien U R n oen, f : U R, x U x heiÿt lokales Maximum, falls eine Umgebung V U von x existiert mit y V : fx fy x heiÿt lokales

Mehr

Mathematik II für Inf und WInf

Mathematik II für Inf und WInf Gruppenübung Mathematik II für Inf und WInf 8. Übung Lösungsvorschlag G 28 (Partiell aber nicht total differenzierbar) Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(x, ) := x. Zeige: f ist stetig und partiell

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 6

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 6 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 205): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem

Mehr

Prüfungsvorbereitung HM 3 für kyb, mecha, phys WS 10/11

Prüfungsvorbereitung HM 3 für kyb, mecha, phys WS 10/11 Mathematik Online Kurs Prüfungsvorbereitung HM 3 für kyb, mecha, phys WS 10/11 http://www.mathematik-online.org/ 2 http://www.mathematik-online.org/ Mathematik Online Kurs Prüfungsvorbereitung HM 3 für

Mehr

7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sei die Differentialgleichung 7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen y x) 2 x y x) + 5 x 2 y x) 5 x yx) = 0 für x > 0. Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen Lösungen dieser Differentialgleichung

Mehr

Analysis II. 8. Klausur mit Lösungen

Analysis II. 8. Klausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis II 8. Klausur mit en 1 2 Aufgabe 1. Definiere die folgenden kursiv gedruckten) Begriffe. 1) Eine Metrik auf einer Menge M. 2) Die Kurvenlänge

Mehr

Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler

Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Bei der Bestimmung der Extrema von (differenzierbaren) Funktionen f : R n R ist es sinnvoll, zuerst jene Stellen zu bestimmen, an denen überhaupt ein

Mehr

Aufgabe 2 (5 Punkte) y = 1 x. y + 3e 3x+2 x. von f. (ii) Für welches u in R 2 gilt f(u) = [3, 3, 4] T? x 2 + a x 3 x 1 4x 2 + a x 3 2x 4

Aufgabe 2 (5 Punkte) y = 1 x. y + 3e 3x+2 x. von f. (ii) Für welches u in R 2 gilt f(u) = [3, 3, 4] T? x 2 + a x 3 x 1 4x 2 + a x 3 2x 4 Prof. Dr. B. Billhardt Wintersemester 4/5 Klausur zur Vorlesung Höhere Mathematik II (BNUW) 4.3.5 Aufgabe (a) Ermitteln Sie die Nullstellen des Polynoms p(z) = z 4 4z 3 + 3z + 8z. Tipp: p( + i) =. (b)

Mehr

Analysis I. 1. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 1. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I. Beispielklausur mit en Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Das Bild einer Abbildung F: L M. (2) Eine Cauchy-Folge

Mehr

Die Differentialgleichung :

Die Differentialgleichung : Die Differentialgleichung : Erstellt von Judith Ackermann 1.) Definition, Zweck 1.1) verschiedene Arten von Differentialgleichungen 2.) Beispiele und Lösungswege 2.1) gewöhnliche Differentialgleichungen

Mehr

4.7 Lineare Systeme 1. Ordnung

4.7 Lineare Systeme 1. Ordnung 3. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet damit yx = y hom x + y inh x = c x + c 2 x + 8 x + 4 xlnx2 4 xlnx = C x + C 2 x + 4 xlnx2 4 xlnx. Wir haben c 2 + 8 zu C 2 zusammengefasst.

Mehr

Mathematik II Frühjahrssemester 2013

Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 10: Gewöhnliche Differentialgleichungen Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 10. Diff. Gl. 1 / 59 1 Differentialgleichungen

Mehr

Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe / Dr Hanna Peywand Kiani 722 Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lineare Differentialgleichungssysteme,

Mehr

Analysis III. Teil I. Rückblick auf das letzte Semester. Themen aus dem SS Inhalt der letzten Vorlesung aus dem SS.

Analysis III. Teil I. Rückblick auf das letzte Semester. Themen aus dem SS Inhalt der letzten Vorlesung aus dem SS. Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg Reiner Lauterbach Teil I Rückblick auf das letzte Semester Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften

Mehr

8.2. Integrationsregeln

8.2. Integrationsregeln 8.. Integrationsregeln Jeder Differentiationsregel entspricht wegen der Beziehung F ( x ) f( x ) F( x ) + C f( x ) dx eine Integrationsregel. Wir kennen schon die Additionsregel c f( x ) + d g( x )

Mehr

Karteikarten, Analysis 2, Sätze und Definitionen nach der Vorlesung von PD Hanke

Karteikarten, Analysis 2, Sätze und Definitionen nach der Vorlesung von PD Hanke Karteikarten, Analysis 2, Sätze und en nach der Vorlesung von PD Hanke Felix Müller, felix.b.mueller@physik.lmu.de Diese Karteikärtchen sollten alle en und Sätze der Vorlesung Analysis 2 bei Herrn PD Hanke

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 23 (5.8.23). Gegeben seien die Matrizen A = 2 3 3 und B = 5 2 5 (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und B sowie die

Mehr

Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2010

Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2010 Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2 Heinz-Willi Goelden, Wolfgang Lauf, Martin Pohl Am 5. Mai 2 fand die Mathematische Zulassungsprüfung statt. Die Prüfung bestand aus einer 9-minütigen

Mehr

Kapitel 5 Differential- und Integralrechnung in einer Variablen

Kapitel 5 Differential- und Integralrechnung in einer Variablen Kapitel 5 Differential- und Integralrechnung in einer Variablen Inhaltsverzeichnis DIE ABLEITUNG... 3 DEFINITIONEN... 3 EIGENSCHAFTEN UND ABLEITUNGSREGELN... 4 TAYLOR SCHE FORMEL UND MITTELWERTSATZ...

Mehr

= 11 ± 5, also k 1 = 3 und k 2 = 8.

= 11 ± 5, also k 1 = 3 und k 2 = 8. Stroppel Musterlösung.8.5, 8min Aufgabe (6 Punkte) Gegeben sei die Funktion f: R R: x x e x. (a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle x R und alle k N gilt: f (k) (x) = ( ) k (x kx+(k

Mehr

Integration. Kapitel Stammfunktionen

Integration. Kapitel Stammfunktionen Kapitel 5 Integration 5. Stammfunktionen Definition: Eine auf dem Intervall I differenzierbare Funktion F ist eine Stammfunktion der Funktion f : I R, wenn F (x) = f(x) für alle x I. Fakt : Sind F und

Mehr

Analysis 1 für Informatiker (An1I)

Analysis 1 für Informatiker (An1I) Hochschule für Technik Rapperswil Analysis 1 für Informatiker (An1I) Stand: 2012-11-13 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen 3 1.1 Gerade, ungerade und periodische Funktionen..................... 3 1.2 Injektive,

Mehr

Mathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie

Mathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link 13.10.2010 In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4

Mehr

AUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW

AUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW AUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW Lineare Gleichungssysteme Lösen Sie folgende Gleichungssysteme über R: a) x + x + x = 6x + x + x = 4 x x x = x 7x x = 7 x x = b) x + x 4x + x 4 = 9 x + 9x x x

Mehr

- 1 - Eine Funktion f(x) heißt differenzierbar an der Stelle x 0, wenn der Grenzwert (siehe Kap. 3)

- 1 - Eine Funktion f(x) heißt differenzierbar an der Stelle x 0, wenn der Grenzwert (siehe Kap. 3) - 1-4 Differentialrechnung 4.1 Ableitung einer Funktion Eine Funktion f() ist in einer Umgebung definiert. Abb.: Differenzenquotient Man kann immer einen Quotienten bilden, ( + ) f ( + h) f ( ) f h f +

Mehr

Lineare Differenzialgleichung und verwandte Fälle

Lineare Differenzialgleichung und verwandte Fälle Lineare Differenzialgleichung und verwandte Fälle 1. Die lineare Differenzialgleichung Eine lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung besitzt die Form y + g(x)y = h(x), wobei g(x) und h(x) stetig sind.

Mehr

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2.1) Sei D R. a) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D,

Mehr

Thema 12 Differentialrechnung, Partielle Ableitungen, Differenzierbarkeit, Taylor-Formel, Lokale Extrema

Thema 12 Differentialrechnung, Partielle Ableitungen, Differenzierbarkeit, Taylor-Formel, Lokale Extrema Thema 12 Differentialrechnung, Partielle Ableitungen, Differenzierbarkeit, Taylor-Formel, Lokale Extrema In diesem Kapitel befassen wir uns mit der Ableitung von Funktionen f : R m R n. Allein die Schreibweise

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik. Modulprüfung

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik. Modulprüfung Institut für Analysis SS7 PD Dr. Peer Christian Kunstmann 8.9.7 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Modulprüfung Aufgabe [5+5= Punkte] (a) Zeigen Sie, dass die Matrix α A α =, α. genau dann

Mehr

Seite 1. sin 2 x dx. b) Berechnen Sie das Integral. e (t s)2 ds. (Nur Leibniz-Formel) c) Differenzieren Sie die Funktion f(t) = t. d dx ln(x + x3 ) dx

Seite 1. sin 2 x dx. b) Berechnen Sie das Integral. e (t s)2 ds. (Nur Leibniz-Formel) c) Differenzieren Sie die Funktion f(t) = t. d dx ln(x + x3 ) dx Seite Aufgabe : a Berechnen Sie das Integral b Berechnen Sie das Integral +x x+x dx. π sin x dx. c Differenzieren Sie die Funktion ft = t e t s ds. Nur Leibniz-Formel a + x x + x dx = d dx lnx + x dx =

Mehr

sie ist also eine Lösung der Differenzialgleichung y 0 = Ay. Bei x = 0 sind diese n Spalten auch linear unabhängig, da ja

sie ist also eine Lösung der Differenzialgleichung y 0 = Ay. Bei x = 0 sind diese n Spalten auch linear unabhängig, da ja Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten 44 63 Zusammenhang mit Fundamentalsystemen Für die Matrix-Exponenzialfunkton e Ax gilt (e Ax ) = Ae Ax Für jede Spalte '(x) der Matrix e Ax Matrixmultpiplikation

Mehr

Probeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen

Probeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen MATHEMATISCHES INSTITUT SoSe 24 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Probeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen Musterlösung Prof. Dr. P. Pickl Aufgabe Zeigen Sie, dass

Mehr

Klausur zur Höheren Mathematik III für die Fachrichtungen: kyb, mecha, phys

Klausur zur Höheren Mathematik III für die Fachrichtungen: kyb, mecha, phys Prof. Pöschel Höhere Mathematik III 3.9.5 Klausur zur Höheren Mathematik III für die Fachrichtungen: kyb, mecha, phys Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 8 Minuten Erlaubte Hilfsmittel:

Mehr