Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA

Transkript

1 Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Florian Franzmann 5. Oktober 004 Inhaltsverzeichnis Additionstheoreme Reihen und Folgen 3. Reihen Potenzreihen Konvergenzradius Cauchy-Produkt Funktionsfolgen Gliedweise Integration Grenzwertberechnung Taylorreihe Eindimensional Zweidimensional Bekannte Reihen Harmonische Reihe Geometrischen Reihe Sonstige Reihen Differentiation 6 3. Differenzierbarkeit Stetigkeit

2 3.3 Gradient Produktregel Quotientenregel Mehrdimensionale Kettenregel Logarithmische Differentiation Ableitung der Umkehrfunktion Satz von l Hospital Satz von Schwarz Extremwerte mit Nebenbedingungen Integration 7 4. Partielle Integration Substitutionsregel Tangentialvektor Bogenlänge einer Kurve Uneigentliche Integrale Numerik Newtonverfahren Banachscher Fixpunktsatz Interpolationsquadratur Polarkoordinaten 9 6 Differentialgleichungen 0 6. Konstante Koeffizienten Differentialgleichung Differentialgleichungssystem Euler-Differentialgleichung Additionstheoreme Bronstein S. 80, 8 tan x sin x = + tan x cos x = tan x + tan x

3 Tabelle : Trigonometrische Funktionen Funktionswerte besonderer Winkel ϕ I II III IV sin ϕ cos ϕ 3 nicht tan ϕ cot ϕ nicht definiert definiert 3 nicht definiert 0 nicht definiert Reihen und Folgen. Reihen n= a n konvergiert genau dann, wenn a n Nullfolge ist.. Potenzreihen a n (x x 0 ) n.. Konvergenzradius Quotientenkriterium r = lim a n n a n+ Cauchy-Hadamard r = lim n n a n 3

4 .. Cauchy-Produkt ( ) a n (x x 0 ) n.3 Funktionsfolgen sup f n (x) f(x) 0 ( ) b n (x x 0 ) n =.4 Gliedweise Integration Falls gilt folgt f(x) = b a ϕ n (x) f(x)dx = b a ϕ n (x)dx c n (x x 0 ) n mit c n = a k b n k innerhalb des Konvergenzradius. Dies gilt, weil die Funktionsfolge innerhalb des Konvergenzradius gleichmäßig konvergiert..5 Grenzwertberechnung Schwierige Bestandteile durch abgebrochene Potenzreihen und Aufwandsabschätzung ersetzen, x 0 gehen lassen (d. h. für x einsetzen und Restglieder weglassen)..6 Taylorreihe.6. Eindimensional n T n f(x) = k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k Restglied: R n (x) = k=0 k=0 (n + )! f (n+) (ξ)(x x 0 ) n+ mit ξ = x 0 + θ(x x 0 ), 0 < θ < 4

5 .6. Zweidimensional Restglied: T n f(x + h, y + k) = n i=0 ( i! x h + ) i y k f(x, y) + R n R n = ( ( + n)! x h + ) n+ y k f(x + Θh, y + Θk) (0 < Θ < ).7 Bekannte Reihen.7. Harmonische Reihe n divergiert. n=.7. Geometrischen Reihe q n = q < q.7.3 Sonstige Reihen ( ) n = ln n n= n= n= n = π 6 konvergiert für α >, divergiert für α. nα m n = n= m m(m + ) q n = qm+ q 5

6 3 Differentiation 3. Differenzierbarkeit f(x) f(x Ein Funktion ist differenzierbar g. d. w. der Differenzenquotient lim 0 ) x x0 x x 0 ist. stetig 3. Stetigkeit Untersuche ob die Funktion in allen Richtungen an der Problemstelle auf den gleichen Wert zuläuft. 3.3 Gradient Der Gradient ist der Zeilenvektor aller Ableitungen. 3.4 Produktregel (uv) = u v + uv 3.5 Quotientenregel ( u v ) = vu uv v 3.6 Mehrdimensionale Kettenregel d f(x(t)) = gradf(x(t) ẋ(t)) dt 3.7 Logarithmische Differentiation ( ) y = u(x) v(x) u(x) > 0 y (x) = u(x) v(x) v (x) ln u(x) + vu u 6

7 3.8 Ableitung der Umkehrfunktion Sei g = f (x). g (y 0 ) = f (x 0 ) g (y 0 ) = f (x 0 ) (f (x 0 ) 3 g (y 0 ) = 3(f (x 0 )) f (x 0 ) (f (x 0 )) 6 f (x 0 ) (f (x 0 )) Satz von l Hospital u(x) lim x a v(x) = lim u (x) x a v (x) 3.0 Satz von Schwarz Ist f nach x und y zweimal partiell differenzierbar und sind die gemischten partiellen Ableitungen f xy und f yx stetig, so ist f xy = f yx. Es kommt dann auf die Reihenfolge der Ableitungen nicht an. 3. Extremwerte mit Nebenbedingungen Die Extremwerte einer Funktion u = f(x, y) mit der Nebenbedingung φ(x, y) = 0 werden aus den drei Gleichungen ϕ(x, y) = 0, x [f(x, y) + λϕ(x, y)] = 0, [f(x, y) + λϕ(x, y)] = 0 y mit den drei Unbekannten x, y, λ bestimmt. 4 Integration 4. Partielle Integration u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x)dx 7

8 4. Substitutionsregel x = u(t) t = u (x) dx = (u (x)) dt 4.3 Tangentialvektor Der Tangentialvektor eines Vektors ist seine Ableitung. 4.4 Bogenlänge einer Kurve π π L = x(t) dt = ẋ (t) + ẋ (t) + dt Uneigentliche Integrale 0 Ist in [a, b] f(x) g(x) und existiert b a g(x)dx, so existiert auch b a f(x)dx. 4.6 Numerik 4.6. Newtonverfahren Gesucht: f(x) = 0 Gegeben: x 0 x n+ = x n f(x n) f (x n ) Die Folge konvergiert, wenn f (x) 0 ist und 4.6. Banachscher Fixpunktsatz f(x)f (x) f (x) K <.. f(x) (a, b) x (a, b), d. h. die Funktion bildet eine Menge auf sich selbst ab.. f muß eine Kontraktion sein: f(x) f(y) K x y Dann hat f(x) = x genau eine Lösung x (a, b) und die Folge x n+ = f(x n ) konvergiert für jedes x 0 (a, b) gegen x. 8

9 4.6.3 Interpolationsquadratur Trapezregel einfach x0 +h x 0 f(x)dx h (y 0 + y ) R h3 M zusammengesetzt b a Simpsonregel einfach f(x)dx h( y 0 + y + y + + y n + y n ) x0 +h x 0 R (b a)h M f(x)dx h 3 (y 0 + 4y + y ) R h5 90 M 4 zusammengesetzt n muß gerade sein. b a f(x)dx h 3 (y 0 + 4y + y + 4y y n + 4y n + y n ) R 5 Polarkoordinaten (b a)h4 M 4 80 x = r cos ϕ und y = r sin ϕ werden in die Funktion eingesetzt, anschließend wird sie nach r aufgelöst. 9

10 Tabelle : Lösung homogener Differentialgleichungen mit konstanten koeffizienten Nullstelle λ λ = a λ = λ = = λ k = a λ = α + βi, λ = α βi λ = λ = = λ k = α + βi, λ k+ = λ k+ = = λ k = α βi Lösung der Dgl. e ax e ax, xe ax..., x k e ax e αx sin βx, e αx cos βx e αx sin βx, xe αx sin βx,..., x k e αx sin βx e αx cos βx, xe αx cos βx,..., x k e αx cos βx λ = 0 λ = λ = = λ k = 0, x,..., x k 6 Differentialgleichungen 6. Konstante Koeffizienten 6.. Differentialgleichung Gegeben: Differentialgleichung a n y (n) (x)+a n y (n ) (x)+ +a y (x)+a 0 y(x) = f(x). Homogener Fall. Bestimme Nullstellen des charakteristisches Polynom: a n λ n + a n + λ n + + a λ + a 0 = 0. Stelle Fundamentalsystem nach Tabelle auf 3. Die allgemeine Lösung y h der homogenen Dgl. entspricht der Summe der Elemente des Fundamentalsystems multipliziert mit beliebigen Konstanten. Inhomogener Fall 0

11 Tabelle 3: Partikuläre Lösung inhomogener Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten rechte Seite µ Ansatz e αx α Cx k e αx P (x) 0 x k R(x) P (x)e αx α x k R(x)e αx A sin βx + B cos βx ±βi x k (C sin βx + D cos βx) P (x) sin βx + Q(x) cos βx ±βi x k (R(x) sin βx + S(x) cos βx) (A sin βx + B cos βx)e αx α ± βi x k (C sin βx + D cos βx)e αx (P (x) sin βx + Q(x) cos βx)e αx α ± βi x k (R(x) sin βx + S(x) cos βx)e αx. Der Ansatz für die partikuläre Lösung y p wird Tabelle 3 entnommen. Der Resonanzfaktor k gibt an, wie oft der Exponent µ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms p auftritt. Wenn k = 0 ist, d. h. wenn µ keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms p(λ) ist, fehlt der Term x k im Ansatz.. Die nötigen Ableitungen des Ansatzes werden gebildet und in die Dgl. eingesetzt. 3. Es wird nach Potenzen von x und/oder nach Sinus- und Cosinustermen sortiert. 4. Das beim Koeffizientenvergleich entstehende Gleichungssystem wird gelöst. Oft ist es günstig, bei den höchsten Potenzen von x anzufangen. Die Lösung der Dgl. ergibt sich als Summe von homogener Lösung y h und inhomogener Lösung y p. 6.. Differentialgleichungssystem. Bestimme Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix des Gleichungssystems.

12 . Gibt es mehrfache Eigenwerte λ i müssen folgendermaßen weitere linear unabhängige Hauptvektoren zu den Eigenvektoren v i bestimmt werden: A λe = v in 3. Das Fundamentalsystem ergibt sich zu FS: { ( ) e λx v, e λx (x v + v ), e λ x x v + x v + v 3,..., } e λx v, e λx (x v + ), Euler-Differentialgleichung c n x n y (n) + c n x n y (n ) + + c x y + c xy + c 0 y = f(x) Substituiere y(x) = z(ln x), t = ln x, x = e t. y (x) = x z (t), y (x) = x z (t) x z (t). Nach dem Lösen der Dgl. Rücktransformation mit t = ln x.