Grenzwerte von Funktionen
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- Christina Hausler
- vor 7 Jahren
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1 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Methodische Bemerkungen H Hinweise und didktisch-methodische Anmerkungen zum Einstz der Areitslätter und Folien für den Themenkreis Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen /Them.: Grenzwerte von Funktionen (Blätter / und /) Für ds Areitsltt / ieten sich vor llem folgende zwei Einstzmöglichkeiten n:. Nch dem Them Folgen und Reihen, in dem ereits Grenzwerte erechnet worden sind, knn ds vorliegende Bltt die Bereitung des Thems Grenzwerte von Funktionen egleiten und zugleich einen sstemtischen Üerlick üer die gewonnenen Erkenntnisse vermitteln. Ausgehend von der Frge Wodurch könnte sich die Berechnung von Grenzwerten ei Funktionen von der ei Folgen unterscheiden?, lssen sich sehr gut die zwei möglichen Fälle o rf und o 0 erreiten. Anhnd der Skizzen können die Schüler ds Verhlten der drgestellten Funktionen untersuchen und die möglichen Ergenisse der Grenzwertetrchtung lesen. Verunden dmit lssen sich die wichtigen Begriffe here Lücke, Sprung, Pol, Asmptote sowie links- und rechtsseitiger Grenzwert gewinnen. Im Anschluss n die Erreitung wird n konkreten Beispielen ds Wie ehndelt.. Ds Areitsltt knn m Ende des Stoffschnitts, lso nch der Behndlung konkreter Beispiele, zur Sstemtisierung und Zusmmenfssung der zwei möglichen Grenzwertfälle genutzt werden. Durch zusätzliche Frgen erweitert, ließe sich ds Bltt / uch für eine Kurzkontrolle zur Üerprüfung des Wissensstndes einsetzen. Die Blätter / und / stehen in Verindung mit den nchfolgenden Aschnitten us dem Lehruch TCP Grundkurs Mthemtik/TCP Leistungskurs Mthemtik sowie mit den zugehörigen Aschnitten us den TCP Aufgenüchern zw. lssen sich ei deren Behndlung einsetzen: GK: C, C, C (S. 84) LK: C, C
2 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Areitsltt / Grenzwerte von Funktionen. Fll für o rf ) f() o r f oder ) f() o g f f. Fll für o 0 f f lim of f() = lim f() = o lim f() o lim f() o
3 6 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Lösungen zu / / Grenzwerte von Funktionen. Fll für o rf ) f() o r f oder ) f() o g f f o +f f() o 0 o +f f() o +f o f f() o +f o f f() o lim of f() = g = 0 of lim f() = g = d.h. = g ist Asmptote von f(). Fll für o 0 f f lim of f() = 0 Grenzwert vorhnden lim f() = g Grenzwert vorhnden here Lücke o linksseitiger Grenzwert = rechtsseitiger Grenzwert lim f() o kein Grenzwert Sprung g links z g rechts lim f() o kein Grenzwert Pol g links z g rechts
4 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Methodische Bemerkungen H Hinweise und didktisch-methodische Anmerkungen zum Einstz der Areitslätter und Folien für den Themenkreis Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen /Them.: Stetigkeit und Unstetigkeit (Blätter / is /6) Die Blätter / is /6 können sowohl (in Form von Projektionsfolien) während des Erreitungsprozesses wie uch (ls Areitslätter) zum Zusmmenfssen und Sstemtisieren genutzt werden. An Beispielen wie etw von Bltt / sollte den Schülern zunächst gezeigt werden, dss eine Funktion n einer estimmten Stelle nicht definiert sein knn. Die nschließende Erreitung der Bedingungen für die Stetigkeit einer Funktion n einer Stelle o lässt sich etw einleiten mit einem prktischen Beispiel für einen offensichtlich (schon im umgngssprchlichen Sinne) unstetigen Kurvenverluf wie in (Bltt /). Die vollständigen Bedingungen für Stetigkeit können gegeen werden oder mn lässt eim Kopieren nur die Kreise,, stehen und erreitet diese Bedingungen mit Hilfe der o.g. Beispiele oder. Illustriert und weiter detilliert werden diese Betrchtungen durch die (zunächst nur qulittive ) Erörterung der Arten von Unstetigkeitsstellen: Pole, Sprung, here Lücke und Sonderfälle. Dzu füllt mn die projizierten Tfelilder (us Bltt / zw. /5) Schritt für Schritt us (und lässt dies die Schüler ggf. uf nlogen Areitslättern nchvollziehen Bltt /4 zw. /6). Aus den eiden Funktionsverläufen zu den Polen (Bltt /) sollte dei insesondere geklärt werden, dss links- und rechtsseitiger Grenzwert entweder gleich sind oder unterschiedlich. (Der Begriff uneigentlicher Grenzwert knn den Schülern n dieser Stelle informtorisch vermittelt werden.) Bei Sprung und Lücke ist zu klären, o ein Grenzwert vorliegt oder nicht. Im Aschnitt Sonderfälle sollte mn esonders die Betrgsfunktion etrchten, weil diese in weiteren Stoffschnitten eine Rolle spielen wird (z.b. ei der Erörterung der Frge, o n der Stelle o die Aleitung der Funktion = eistiert.) Der singuläre Punkt interessiert nur informtorisch. Ds Wesentlich esteht drin, dss dei ein Grenzwert für o 0 und uch f( 0 ) eistieren, er trotzdem keine here Lücke vorliegt. Die Blätter / is /6 stehen in Verindung mit den nchfolgenden Aschnitten us dem Lehruch TCP Grundkurs Mthemtik/TCP Leistungskurs Mthemtik sowie mit den zugehörigen Aschnitten us den TCP Aufgenüchern zw. lssen sich ei deren Behndlung einsetzen: GK: A is A ; C, C, C (S. 84) LK: A 5; C, C
5 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Areitsltt / Stetigkeit und Unstetigkeit. f() = 4 n der Stelle = nicht definiert und dher dort nicht stetig Unstetigkeitsstelle. Wärmeinhlt W W von Metllen ei verschiedenen Temperturen W W / kcl kg n der Stelle t s nicht stetig Unstetigkeitsstelle (Sprung) t S Schmelztempertur t/ C Bedingungen für die Stetigkeit n der Stelle 0 (I) lim f() = g (II) f( o 0 ) eistiert. (III) f( 0 ) = lim f() 0 o 0 Arten der Unstetigkeitsstellen Pole 0 0
6 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Areitsltt /4 Stetigkeit und Unstetigkeit (Fortsetzung) Sprung Here Lücke 0 0 Sonderfälle Singulärer Punkt Betrgsfunktion 0 0
7 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Lösungen zu / /5 Stetigkeit und Unstetigkeit. f() = 4 n der Stelle = nicht definiert und dher dort nicht stetig Unstetigkeitsstelle. Wärmeinhlt W W von Metllen ei verschiedenen Temperturen W W / kcl kg n der Stelle t s nicht stetig Unstetigkeitsstelle (Sprung) t S Schmelztempertur t/ C Bedingungen für die Stetigkeit n der Stelle 0 (I) lim f() = g (II) f( o 0 ) eistiert. (III) f( 0 ) = lim f() 0 o 0 Arten der Unstetigkeitsstellen Pole 0 0 für o 0 o +f für o +f o 0 o f uneigentlicher Grenzwert zwei uneigentliche Grenzwerte links- und rechtsseitiger Grenzwert sind gleich links- und rechtsseitiger Grenzwert sind unterschiedlich n der Stelle 0 eistiert ein Grenzwert n der Stelle 0 eistiert kein Grenzwert
8 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Lösungen zu /4 /6 Stetigkeit und Unstetigkeit (Fortsetzung) Sprung Here Lücke 0 0 für o 0 eistiert kein Grenzwert für o 0 eistiert ein Grenzwert links- und rechtsseitiger Grenzwert sind unterschiedlich lim f() = g o 0 f( 0 ) eistiert nicht Sonderfälle Singulärer Punkt Betrgsfunktion 0 0 für o 0 eistiert ein Grenzwert für o 0 eistiert ein Grenzwert für f( 0 ) eistiert keine here Lücke die Funktion ist n der Stelle 0 stetig ein Knick muss keine Unstetigkeitsstelle edeuten
9 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Methodische Bemerkungen H Hinweise und didktisch-methodische Anmerkungen zum Einstz der Areitslätter und Folien für den Themenkreis Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen /Them.: Stetigkeit, Unstetigkeit und Grenzwert (Üung) (Blätter /7 und /8) Bei diesem Üungseispiel zu den Begriffen Stetigkeit, Unstetigkeit und Grenzwert wird von den jeweiligen Funktionsgrphen usgegngen. Steht nicht genug Zeit zur Verfügung, dnn können die Funktionsgrphen uch vorgegeen werden. Die Schüler trgen dnn für die einzelnen Funktionen ihre Untersuchungsergenisse in die Telle ein und vergleichen diese mit den Angen in der nch einer gewissen Areitszeit projizierten Folie. Dei können die Schüler die Anzhl der richtigen Eintrgungen feststellen, sie werden uf Fehler ufmerksm gemcht, erhlten durch die richtigen Lösungen Hinweise uf Fehlerquellen, und der Lehrer vermg sich schnell einen Üerlick üer die einzelnen Schülerleistungen zu verschffen. Eine estimmte Anzhl von Funktionen (z.b. Funktionen is ) könnte uch nch der Behndlung des Stoffschnittes ohne dieses Areitsltt ls Kurzkontrolle genutzt werden. Die Blätter /7 und /8 stehen in Verindung mit den nchfolgenden Aschnitten us dem Lehruch TCP Grundkurs Mthemtik/TCP Leistungskurs Mthemtik sowie mit den zugehörigen Aschnitten us den TCP Aufgenüchern zw. lssen sich ei deren Behndlung einsetzen: GK: A.4.; C, C, C (S. 84) LK: A.; C, C
10 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Areitsltt /7 Stetigkeit, Unstetigkeit und Grenzwert (Einführungeispiel) (I) f () = ; 0 = (II) f () = ; 0 = 0 (III) f () = t 0 = 0 0 O O 0 O (IV) f 4 () = ; 0 = 0 (V) f 5 () = ; 0 = 0 O O 0 Eigenschften der gegeenen Funktionen Eigenschft DB streng monoton monoton wchsend und fllend im Intervll streng monoton Stetigkeit n der Stelle 0 Art der Unstetigkeit lim f() = g o 0 g l }linksseitig g g r }rechtsseitig g Funktion wchsend fllend wchsend fllend f f f f 4 f 5
11 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Lösungen zu /7 /8 Stetigkeit, Unstetigkeit und Grenzwert (Einführungeispiel) (I) f () = ; 0 = (II) f () = ; 0 = 0 (III) f () = t 0 = 0 0 O O 0 O (IV) f 4 () = ; 0 = 0 (V) f 5 () = ; 0 = 0 O O 0 Eigenschften der gegeenen Funktionen Funktion Eigenschft f f f f 4 f 5 DB \ {} \ {0} \ {} streng wchsend monoton fllend monoton wchsend und fllend im Intervll wchsend streng monoton fllend 0 d d f f d d 0 Stetigkeit n der Stelle 0 nein j nein nein nein Art der Unstetigkeit lim f() = g o 0 g l }linksseitig g g r }rechtsseitig g here Lücke Sprung Sprung Pol g = g = 0 g eistiert g eistiert nicht nicht g l =,5 g l = g r =,5 g r = g eistiert nicht g l o f g r o +f
12 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Methodische Bemerkungen H4 Hinweise und didktisch-methodische Anmerkungen zum Einstz der Areitslätter und Folien für den Themenkreis Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen /Them.4: Pole verschiedener Ordnung (Blätter /9 und /0) Mit Hilfe der Areitslätter /9 und /0 können sich die Schüler einen Üerlick üer die Eigenschften von Polen. is 4. Ordnung und drüer hinus uch is n-ter Ordnung verschffen. Sie sollen erkennen, dss Pole ungerder Ordnung und Pole gerder Ordnung hinsichtlich des links- und rechtsseitigen Grenzwertes gleiches Verhlten zeigen. Außerdem verlufen die entsprechenden Grphen nlog. (Skizzen des Grphenverlufs reichen für die vorzunehmenden Betrchtungen us.) Nur von der Funktionsvorschrift usgehend wiederholen die Schüler den ereits vermittelten Lehrstoff zu Verschieungen und Spiegelungen. Die Blätter /9 und /0 stehen in Verindung mit den nchfolgenden Aschnitten us dem Lehruch TCP Grundkurs Mthemtik/TCP Leistungskurs Mthemtik sowie mit den zugehörigen Aschnitten us den TCP Aufgenüchern zw. lssen sich ei deren Behndlung einsetzen: GK: D 5..5; LK: D 5..5
13 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Areitsltt /9 Pole verschiedener Ordnung Beispiel f() = 5 7 P = 7 Pol. Ordnung Allgemeine Regel Wenn im Nenner ein Linerfktor vorkommt, der nicht im Zähler vorhnden ist Pol ein Linerfktor n-ter Ordnung Pol n-ter Ordnung Pole. Ordnung (I) f() = (II) f() = (III) f() = Pole. Ordnung (I) f() = (II) f() = (III) f() = Pole. Ordnung Drstellung ähnlich den Polen. Ordnung Pole 4. Ordnung Drstellung ähnlich den Polen. Ordnung
14 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Lösungen zu /9 /0 Pole verschiedener Ordnung Beispiel f() = 5 7 P = 7 Pol. Ordnung Allgemeine Regel Wenn im Nenner ein Linerfktor vorkommt, der nicht im Zähler vorhnden ist Pol ein Linerfktor n-ter Ordnung Pol n-ter Ordnung Pole. Ordnung (I) f() = (II) f() = (III) f() = O O O P = 0 P = P = Pole. Ordnung (I) f() = (II) f() = (III) f() = O O O P = 0 P = P = Pole. Ordnung Drstellung ähnlich den Polen. Ordnung Pole 4. Ordnung Drstellung ähnlich den Polen. Ordnung
15 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Methodische Bemerkungen H5 Hinweise und didktisch-methodische Anmerkungen zum Einstz der Areitslätter und Folien für den Themenkreis Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen /Them.5: Ermittlung von Funktionseigenschften mittels Linerfktorenzerlegung (Blätter / und /) Mit Hilfe des Areitslttes / soll den Schüler gezeigt werden, wie ei gerochenenrtionlen Funktionen, in deren Gleichung Zähler- und Nennerterm in Linerfktoren zerlegt sind, Polstellen, Nullstellen und here Lücken durch einfche Betrchtungen ermittelt werden können: Fll : Linerfktor ( ) tritt nur im Zähler uf Fll : Linerfktor ( ) tritt nur im Nenner uf Fll : Linerfktor ( c) kommt sowohl im Zähler ls uch im Nenner vor Ÿ ist Nullstelle. Ÿ ist Polstelle. Ÿ n der Stelle c liegt eine here Lücke vor.
16 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Areitsltt / Ermittlung von Funktionseigenschften mittels Linerfktorenzerlegung Beispiel: f () = f 6 4 Polstellen Weitere Eigenschften (I) (II) (III)
17 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Lösungen zu / / Ermittlung von Funktionseigenschften mittels Linerfktorenzerlegung Beispiel: f () = f Polstellen Linerfktor des Nenners tritt nicht im Zähler uf P = Pol. Ordnung P = 4 Pol. Ordnung Weitere Eigenschften (I) lim f() = Asmptote = orf (II) Here Lücke = (III) Nullstellen N = ; N = Linerfktor kommt sowohl im Zähler ls uch im Nenner vor Linerfktor tritt nur im Zähler uf.
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Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
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HM I Tutorium 13. Lucas Kunz. 2. Februar 2017
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Bruchrechnung. W. Kippels 6. Dezember Inhaltsverzeichnis. 1 Vorwort 2. 2 Einleitung 3
Bruchrechnung W. Kippels 6. Dezemer 08 Inhltsverzeichnis Vorwort Einleitung Die Bruchrechenregeln. Addition gleichnmiger Brüche........................ Addition ungleichnmiger Brüche.......................
Automaten mit dot erstellen
Automten mit dot erstellen 1 Ws ist dot? dot ist ein Progrmm zum Kompilieren von dot-dteien in verschiedene Grfikformte, sowie der Nme einer Sprche, mit der mn Grphen spezifizieren knn. Unter Anderem können
Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6
Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.
Formale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Übung 2 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder
Prof Dr J Giesl Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 M Brockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem
Q12 * Mathematik m4 * Klausur am * Gruppe A
Q * Mthemti m4 * Klusur m..0 * Gruppe A. Berechnen Sie die beiden bestimmten Integrle. ) d b) 0,5 d. Ds Bild zeigt den Grphen der Funtion f mit 5 f () ; R. ) Zeigen Sie, dss der Grph von f genu drei Wendepunte
Simulation von Störungen mit zeitlichen Schranken
Simultion von Störungen mit zeitlichen Schrnken Die geräuchlichen sttistischen Verteilungen können elieig große Werte hervorringen, ws ei der Simultion von Störungen oft nicht erwünscht ist. Verwendet
Integralrechnung. 1. Stammfunktionen
Integrlrechnung. Stmmfunktionen In der Differentilrechnung hen wir gelernt, durch Aleiten einer Funktion f eine neue Funktion f zu finden, die uns hilft, Eigenschften von f zu estimmen (z.b. Hoch- oder
9 Längen- Flächen- und Volumenmessung
9 Längen- Flächen- und Volumenmessung A Länge einer Kurve B Flächenmessung C Volumenerechnung 56 A. Länge einer Kurve ERKLÄRUNG 9.1. (Länge einer Kurve in Funktionsdrstellung.) Es sei f eine uf dem Intervll
3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) Brüche sind Teile von gnzen Zhlen. Zwischen zwei unterschiedlichen gnzen Zhlen ht es immer unendlich viele Brüche. Brüche entstehen us einer Division; eine gnze Zhl
Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr
Studiengng: Mtrikelnummer: 3 5 6 Z Punkte Note Prüfungsklusur zum Modul Höhere Mthemtik für Ingenieure 0. 7. 05, 8.00 -.00 Uhr Zugelssene Hilfsmittel: A-Blätter eigene, hndschriftliche Ausrbeitungen ber
1 Ergänzungen zur Differentialrechnung
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Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1
Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große
= f (x). Anmerkung: Stammfunktionen finden ist also die Umkehrung der Ableitung, es wird daher auch manchmal als Aufleiten bezeichnet.
.Stmmfunktionen Integrlrechnung Im folgenden sei I R ein Intervll ds mit mindestens 2 verschiedene Punkte enthält.. Stmmfunktionen Definition: Eine differenzierre Funktion F : I R heißt Stmmfunktion einer
( ), Lösungen zum Übungsblatt Differentialrechnung. für Funktionen einer Variablen für Naturwissenschaftler (HM1) = +
Lösungen zum Üungsltt Differentilrechnung für Funktionen einer Vrilen für Nturwissenschftler HM Aufge rechtsseitige Aleitung: f f und eenflls ist die linksseitige Aleitung f lso esitzt f in eine uneigentliche
G2.3 Produkte von Vektoren
G Grundlgen der Vektorrechnung G. Produkte von Vektoren Ds Sklrprodukt Beispiel: Ein Schienenfhrzeug soll von einem Triler ein Stück s gezogen werden, der neen den Schienen fährt (vgl. Skizze). Wir wollen
Die Zufallsvariable und ihre Verteilung
Die Zufllsvrible und ihre Verteilung Die Zufllsvrible In der Whrscheinlichkeitstheorie bzw. Sttistik betrchtet mn Zufllsvriblen. Eine Zufllsvrible ist eine Funktion, die Ergebnissen eines Zufllsexperimentes
Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 2015 Bltt 6 26.05.2015 Üungen zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Lösungsvorschlg 21. ) Ein Qudrt mit der Seitenlänge + und dmit dem
Musterlösung zu Blatt 9, Aufgabe 2
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Unterrichtsmterilien in digitler und in gedruckter Form Auszug us: Ds Volumen eines Rottionskörpers Ds komplette Mteril finden Sie hier: School-Scout.de Ds Volumen eines Rottionskörpers S 1 Verluf Mteril
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende:
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2016 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 9
D-MAVT/D-MATL Anlysis I HS 26 Dr. Andres Steiger Lösung - Serie 9. MC-Aufgben (Online-Abgbe). Es sei f die Funktion f() = e + 7. Welche der folgenden Funktionen sind Stmmfunktionen von f? () g() = 2 2
Analysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen
Anlysis II (lehrmtsbezogen): Rechnen mit Integrlen A. Ppke. November Substitution Wir wiederholen kurz die grundlegende Methode der Substitution und wenden sie im Beispiel n. Stz. (Integrtion durch Substitution).
Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.
Serie 13 Lösungsvorschläge
D-Mth Mss und Integrl FS 204 Prof. Dr. D. A. Slmon Serie 3 Lösungsvorschläge. Sei I := [, b] R ein kompktes Intervll und sei B 2 I die Borel-σ-Algebr. Def. Eine Funktion f : I R heisst von beschränkter
Vorname: Nachname: Matrikelnummer: Studiengang (bitte ankreuzen): Technik-Kommunikation M.A.
Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Klusur 23.09.2010 Prof. Dr. J. Giesl M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Studiengng (itte nkreuzen):
v P Vektorrechnung k 1
Vektorrechnung () Vektorielle Größen in der hysik: Sklren Größen wie Zeit, Msse, Energie oder Tempertur werden in der hysik mit einer Mßzhl und einer Mßeinheit ngegeen: 7 sec, 4.5 kg. Wichtige physiklische
fa x = VZW fa bei x x Extremstelle von fa 1 Stelle 3 x + 2a 3 x 2a VZW PA Wert
Die Veröffentlichung dieser Lösung geschieht ohne inhltliche Prüfung durch die Bezirksregierung Düsseldorf und den Mthe-Treff. Die Lösung stmmt nicht vom Originlutor der Aufgbe, sondern von einem Leser
Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.
![Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.](/thumbs/74/70413961.jpg "Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.")
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
Vektoren. b b. R heißt der Vektor. des. und b. . a b
6 Vektoren 66 Ds Vektorprodukt Definition des Vektorprodukts Wir etrchten im dreidimensionlen Rum zwei nicht kollinere Vektoren R, \{0} Gesucht ist ein Vektor x R, der uf jedem der eiden Vektoren und senkrecht
Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 33 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.
13-1 Funktionen
3- Funktionen 3 Integrle: Flächeninhlte Seien < reelle Zhlen, sei I = [, ] = { R } ds Intervll der Zhlen zwischen und Wir etrchten eine stetige Funktion f : I R und ds zugehörige Integrl f() d (dies ist
Quadratische Funktionen
Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung
Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 9
Regiomontnus - Gymnsium Hßfurt - Grundwissen Mthemtik Jhrgngsstufe 9 Wissen und Können Zhlenmengen N Z Q R ntürliche gnze rtionle reelle Aufgen, Beispiele, Erläuterungen N, Z, Q, R Wurzeln (Qudrtwurzel)
Fur das unbestimmte Integral gilt. f(x) dx + b
. Integrtionsregeln.. Linerität. Fur ds unbestimmte Integrl gilt (f(x) bg(x)) = f(x) b g(x),, b R... Prtielle Integrtion. Fur je zwei uf einem Intervll I = (, b) stetig differenzierbre Funktionen u und
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester
4 Hyperbel. 4.1 Die Hyperbel als Kegelschnitt
1 4 Hperel 4.1 Die Hperel ls Kegelschnitt Wird ein Kreiskegel mit dem hlen Öffnungswinkel α von einer Eene σ geschnitten, die mit der Kegelchse einen Wink β < α einschliesst, so entsteht ls Schnittkurve
9.5. Uneigentliche Integrale
9.5. Uneigentliche Integrle Bestimmte und unestimmte Integrle hängen zwr eng zusmmen, er die Existenz des einen grntiert nicht immer die des nderen: Eine integrierre Funktion muß keine Stmmfunktion esitzen,
Exponential- und Logarithmusfunktion
Mthemtik I und II für Ingenieure (IAM) Version.3/..003.0.5 Eponentil- und Logrithmusfunktion Definition.0.0: Sei +, dnn ist die llgemeine Form einer Eponentilfunktion f: + gegeben durch die Funktionsgleichung
Mathematik Rechenfertigkeiten
26 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dr. Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Skript: Dr. Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dr. Dominik Tsndy) 9. August
Minimalität des Myhill-Nerode Automaten
inimlität des yhill-nerode Automten Wir wollen zeigen, dss der im Beweis zum yhill-nerode Stz konstruierte DEA für die reguläre Sprche L immer der DEA mit den wenigsten Zuständen für L ist. Sei 0 der konstruierte
Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse.
1. Welche Idee steckt hinter dem Integrl? 2. Welche geometrische Bedeutung ht ds Integrl? 3. Wie erechnet mn ein Integrl? Aufsummieren unendlich vieler infinitesiml kleiner Beiträge, die lle die Form eines
Doppel- und Dreifachintegrale
KAPITEL 6 Doppel- und Dreifchintegrle 6. Doppelintegrle................................... 74 6.. Flächeninhlt ebener ereiche.......................... 74 6..2 Definition und Eigenschften des Doppelintegrls..............