Grenzwerte von Funktionen

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1 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Methodische Bemerkungen H Hinweise und didktisch-methodische Anmerkungen zum Einstz der Areitslätter und Folien für den Themenkreis Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen /Them.: Grenzwerte von Funktionen (Blätter / und /) Für ds Areitsltt / ieten sich vor llem folgende zwei Einstzmöglichkeiten n:. Nch dem Them Folgen und Reihen, in dem ereits Grenzwerte erechnet worden sind, knn ds vorliegende Bltt die Bereitung des Thems Grenzwerte von Funktionen egleiten und zugleich einen sstemtischen Üerlick üer die gewonnenen Erkenntnisse vermitteln. Ausgehend von der Frge Wodurch könnte sich die Berechnung von Grenzwerten ei Funktionen von der ei Folgen unterscheiden?, lssen sich sehr gut die zwei möglichen Fälle o rf und o 0 erreiten. Anhnd der Skizzen können die Schüler ds Verhlten der drgestellten Funktionen untersuchen und die möglichen Ergenisse der Grenzwertetrchtung lesen. Verunden dmit lssen sich die wichtigen Begriffe here Lücke, Sprung, Pol, Asmptote sowie links- und rechtsseitiger Grenzwert gewinnen. Im Anschluss n die Erreitung wird n konkreten Beispielen ds Wie ehndelt.. Ds Areitsltt knn m Ende des Stoffschnitts, lso nch der Behndlung konkreter Beispiele, zur Sstemtisierung und Zusmmenfssung der zwei möglichen Grenzwertfälle genutzt werden. Durch zusätzliche Frgen erweitert, ließe sich ds Bltt / uch für eine Kurzkontrolle zur Üerprüfung des Wissensstndes einsetzen. Die Blätter / und / stehen in Verindung mit den nchfolgenden Aschnitten us dem Lehruch TCP Grundkurs Mthemtik/TCP Leistungskurs Mthemtik sowie mit den zugehörigen Aschnitten us den TCP Aufgenüchern zw. lssen sich ei deren Behndlung einsetzen: GK: C, C, C (S. 84) LK: C, C

2 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Areitsltt / Grenzwerte von Funktionen. Fll für o rf ) f() o r f oder ) f() o g f f. Fll für o 0 f f lim of f() = lim f() = o lim f() o lim f() o

3 6 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Lösungen zu / / Grenzwerte von Funktionen. Fll für o rf ) f() o r f oder ) f() o g f f o +f f() o 0 o +f f() o +f o f f() o +f o f f() o lim of f() = g = 0 of lim f() = g = d.h. = g ist Asmptote von f(). Fll für o 0 f f lim of f() = 0 Grenzwert vorhnden lim f() = g Grenzwert vorhnden here Lücke o linksseitiger Grenzwert = rechtsseitiger Grenzwert lim f() o kein Grenzwert Sprung g links z g rechts lim f() o kein Grenzwert Pol g links z g rechts

4 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Methodische Bemerkungen H Hinweise und didktisch-methodische Anmerkungen zum Einstz der Areitslätter und Folien für den Themenkreis Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen /Them.: Stetigkeit und Unstetigkeit (Blätter / is /6) Die Blätter / is /6 können sowohl (in Form von Projektionsfolien) während des Erreitungsprozesses wie uch (ls Areitslätter) zum Zusmmenfssen und Sstemtisieren genutzt werden. An Beispielen wie etw von Bltt / sollte den Schülern zunächst gezeigt werden, dss eine Funktion n einer estimmten Stelle nicht definiert sein knn. Die nschließende Erreitung der Bedingungen für die Stetigkeit einer Funktion n einer Stelle o lässt sich etw einleiten mit einem prktischen Beispiel für einen offensichtlich (schon im umgngssprchlichen Sinne) unstetigen Kurvenverluf wie in (Bltt /). Die vollständigen Bedingungen für Stetigkeit können gegeen werden oder mn lässt eim Kopieren nur die Kreise,, stehen und erreitet diese Bedingungen mit Hilfe der o.g. Beispiele oder. Illustriert und weiter detilliert werden diese Betrchtungen durch die (zunächst nur qulittive ) Erörterung der Arten von Unstetigkeitsstellen: Pole, Sprung, here Lücke und Sonderfälle. Dzu füllt mn die projizierten Tfelilder (us Bltt / zw. /5) Schritt für Schritt us (und lässt dies die Schüler ggf. uf nlogen Areitslättern nchvollziehen Bltt /4 zw. /6). Aus den eiden Funktionsverläufen zu den Polen (Bltt /) sollte dei insesondere geklärt werden, dss links- und rechtsseitiger Grenzwert entweder gleich sind oder unterschiedlich. (Der Begriff uneigentlicher Grenzwert knn den Schülern n dieser Stelle informtorisch vermittelt werden.) Bei Sprung und Lücke ist zu klären, o ein Grenzwert vorliegt oder nicht. Im Aschnitt Sonderfälle sollte mn esonders die Betrgsfunktion etrchten, weil diese in weiteren Stoffschnitten eine Rolle spielen wird (z.b. ei der Erörterung der Frge, o n der Stelle o die Aleitung der Funktion = eistiert.) Der singuläre Punkt interessiert nur informtorisch. Ds Wesentlich esteht drin, dss dei ein Grenzwert für o 0 und uch f( 0 ) eistieren, er trotzdem keine here Lücke vorliegt. Die Blätter / is /6 stehen in Verindung mit den nchfolgenden Aschnitten us dem Lehruch TCP Grundkurs Mthemtik/TCP Leistungskurs Mthemtik sowie mit den zugehörigen Aschnitten us den TCP Aufgenüchern zw. lssen sich ei deren Behndlung einsetzen: GK: A is A ; C, C, C (S. 84) LK: A 5; C, C

5 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Areitsltt / Stetigkeit und Unstetigkeit. f() = 4 n der Stelle = nicht definiert und dher dort nicht stetig Unstetigkeitsstelle. Wärmeinhlt W W von Metllen ei verschiedenen Temperturen W W / kcl kg n der Stelle t s nicht stetig Unstetigkeitsstelle (Sprung) t S Schmelztempertur t/ C Bedingungen für die Stetigkeit n der Stelle 0 (I) lim f() = g (II) f( o 0 ) eistiert. (III) f( 0 ) = lim f() 0 o 0 Arten der Unstetigkeitsstellen Pole 0 0

6 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Areitsltt /4 Stetigkeit und Unstetigkeit (Fortsetzung) Sprung Here Lücke 0 0 Sonderfälle Singulärer Punkt Betrgsfunktion 0 0

7 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Lösungen zu / /5 Stetigkeit und Unstetigkeit. f() = 4 n der Stelle = nicht definiert und dher dort nicht stetig Unstetigkeitsstelle. Wärmeinhlt W W von Metllen ei verschiedenen Temperturen W W / kcl kg n der Stelle t s nicht stetig Unstetigkeitsstelle (Sprung) t S Schmelztempertur t/ C Bedingungen für die Stetigkeit n der Stelle 0 (I) lim f() = g (II) f( o 0 ) eistiert. (III) f( 0 ) = lim f() 0 o 0 Arten der Unstetigkeitsstellen Pole 0 0 für o 0 o +f für o +f o 0 o f uneigentlicher Grenzwert zwei uneigentliche Grenzwerte links- und rechtsseitiger Grenzwert sind gleich links- und rechtsseitiger Grenzwert sind unterschiedlich n der Stelle 0 eistiert ein Grenzwert n der Stelle 0 eistiert kein Grenzwert

8 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Lösungen zu /4 /6 Stetigkeit und Unstetigkeit (Fortsetzung) Sprung Here Lücke 0 0 für o 0 eistiert kein Grenzwert für o 0 eistiert ein Grenzwert links- und rechtsseitiger Grenzwert sind unterschiedlich lim f() = g o 0 f( 0 ) eistiert nicht Sonderfälle Singulärer Punkt Betrgsfunktion 0 0 für o 0 eistiert ein Grenzwert für o 0 eistiert ein Grenzwert für f( 0 ) eistiert keine here Lücke die Funktion ist n der Stelle 0 stetig ein Knick muss keine Unstetigkeitsstelle edeuten

9 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Methodische Bemerkungen H Hinweise und didktisch-methodische Anmerkungen zum Einstz der Areitslätter und Folien für den Themenkreis Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen /Them.: Stetigkeit, Unstetigkeit und Grenzwert (Üung) (Blätter /7 und /8) Bei diesem Üungseispiel zu den Begriffen Stetigkeit, Unstetigkeit und Grenzwert wird von den jeweiligen Funktionsgrphen usgegngen. Steht nicht genug Zeit zur Verfügung, dnn können die Funktionsgrphen uch vorgegeen werden. Die Schüler trgen dnn für die einzelnen Funktionen ihre Untersuchungsergenisse in die Telle ein und vergleichen diese mit den Angen in der nch einer gewissen Areitszeit projizierten Folie. Dei können die Schüler die Anzhl der richtigen Eintrgungen feststellen, sie werden uf Fehler ufmerksm gemcht, erhlten durch die richtigen Lösungen Hinweise uf Fehlerquellen, und der Lehrer vermg sich schnell einen Üerlick üer die einzelnen Schülerleistungen zu verschffen. Eine estimmte Anzhl von Funktionen (z.b. Funktionen is ) könnte uch nch der Behndlung des Stoffschnittes ohne dieses Areitsltt ls Kurzkontrolle genutzt werden. Die Blätter /7 und /8 stehen in Verindung mit den nchfolgenden Aschnitten us dem Lehruch TCP Grundkurs Mthemtik/TCP Leistungskurs Mthemtik sowie mit den zugehörigen Aschnitten us den TCP Aufgenüchern zw. lssen sich ei deren Behndlung einsetzen: GK: A.4.; C, C, C (S. 84) LK: A.; C, C

10 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Areitsltt /7 Stetigkeit, Unstetigkeit und Grenzwert (Einführungeispiel) (I) f () = ; 0 = (II) f () = ; 0 = 0 (III) f () = t 0 = 0 0 O O 0 O (IV) f 4 () = ; 0 = 0 (V) f 5 () = ; 0 = 0 O O 0 Eigenschften der gegeenen Funktionen Eigenschft DB streng monoton monoton wchsend und fllend im Intervll streng monoton Stetigkeit n der Stelle 0 Art der Unstetigkeit lim f() = g o 0 g l }linksseitig g g r }rechtsseitig g Funktion wchsend fllend wchsend fllend f f f f 4 f 5

11 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Lösungen zu /7 /8 Stetigkeit, Unstetigkeit und Grenzwert (Einführungeispiel) (I) f () = ; 0 = (II) f () = ; 0 = 0 (III) f () = t 0 = 0 0 O O 0 O (IV) f 4 () = ; 0 = 0 (V) f 5 () = ; 0 = 0 O O 0 Eigenschften der gegeenen Funktionen Funktion Eigenschft f f f f 4 f 5 DB \ {} \ {0} \ {} streng wchsend monoton fllend monoton wchsend und fllend im Intervll wchsend streng monoton fllend 0 d d f f d d 0 Stetigkeit n der Stelle 0 nein j nein nein nein Art der Unstetigkeit lim f() = g o 0 g l }linksseitig g g r }rechtsseitig g here Lücke Sprung Sprung Pol g = g = 0 g eistiert g eistiert nicht nicht g l =,5 g l = g r =,5 g r = g eistiert nicht g l o f g r o +f

12 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Methodische Bemerkungen H4 Hinweise und didktisch-methodische Anmerkungen zum Einstz der Areitslätter und Folien für den Themenkreis Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen /Them.4: Pole verschiedener Ordnung (Blätter /9 und /0) Mit Hilfe der Areitslätter /9 und /0 können sich die Schüler einen Üerlick üer die Eigenschften von Polen. is 4. Ordnung und drüer hinus uch is n-ter Ordnung verschffen. Sie sollen erkennen, dss Pole ungerder Ordnung und Pole gerder Ordnung hinsichtlich des links- und rechtsseitigen Grenzwertes gleiches Verhlten zeigen. Außerdem verlufen die entsprechenden Grphen nlog. (Skizzen des Grphenverlufs reichen für die vorzunehmenden Betrchtungen us.) Nur von der Funktionsvorschrift usgehend wiederholen die Schüler den ereits vermittelten Lehrstoff zu Verschieungen und Spiegelungen. Die Blätter /9 und /0 stehen in Verindung mit den nchfolgenden Aschnitten us dem Lehruch TCP Grundkurs Mthemtik/TCP Leistungskurs Mthemtik sowie mit den zugehörigen Aschnitten us den TCP Aufgenüchern zw. lssen sich ei deren Behndlung einsetzen: GK: D 5..5; LK: D 5..5

13 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Areitsltt /9 Pole verschiedener Ordnung Beispiel f() = 5 7 P = 7 Pol. Ordnung Allgemeine Regel Wenn im Nenner ein Linerfktor vorkommt, der nicht im Zähler vorhnden ist Pol ein Linerfktor n-ter Ordnung Pol n-ter Ordnung Pole. Ordnung (I) f() = (II) f() = (III) f() = Pole. Ordnung (I) f() = (II) f() = (III) f() = Pole. Ordnung Drstellung ähnlich den Polen. Ordnung Pole 4. Ordnung Drstellung ähnlich den Polen. Ordnung

14 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Lösungen zu /9 /0 Pole verschiedener Ordnung Beispiel f() = 5 7 P = 7 Pol. Ordnung Allgemeine Regel Wenn im Nenner ein Linerfktor vorkommt, der nicht im Zähler vorhnden ist Pol ein Linerfktor n-ter Ordnung Pol n-ter Ordnung Pole. Ordnung (I) f() = (II) f() = (III) f() = O O O P = 0 P = P = Pole. Ordnung (I) f() = (II) f() = (III) f() = O O O P = 0 P = P = Pole. Ordnung Drstellung ähnlich den Polen. Ordnung Pole 4. Ordnung Drstellung ähnlich den Polen. Ordnung

15 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Methodische Bemerkungen H5 Hinweise und didktisch-methodische Anmerkungen zum Einstz der Areitslätter und Folien für den Themenkreis Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen /Them.5: Ermittlung von Funktionseigenschften mittels Linerfktorenzerlegung (Blätter / und /) Mit Hilfe des Areitslttes / soll den Schüler gezeigt werden, wie ei gerochenenrtionlen Funktionen, in deren Gleichung Zähler- und Nennerterm in Linerfktoren zerlegt sind, Polstellen, Nullstellen und here Lücken durch einfche Betrchtungen ermittelt werden können: Fll : Linerfktor ( ) tritt nur im Zähler uf Fll : Linerfktor ( ) tritt nur im Nenner uf Fll : Linerfktor ( c) kommt sowohl im Zähler ls uch im Nenner vor Ÿ ist Nullstelle. Ÿ ist Polstelle. Ÿ n der Stelle c liegt eine here Lücke vor.

16 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Areitsltt / Ermittlung von Funktionseigenschften mittels Linerfktorenzerlegung Beispiel: f () = f 6 4 Polstellen Weitere Eigenschften (I) (II) (III)

17 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Lösungen zu / / Ermittlung von Funktionseigenschften mittels Linerfktorenzerlegung Beispiel: f () = f Polstellen Linerfktor des Nenners tritt nicht im Zähler uf P = Pol. Ordnung P = 4 Pol. Ordnung Weitere Eigenschften (I) lim f() = Asmptote = orf (II) Here Lücke = (III) Nullstellen N = ; N = Linerfktor kommt sowohl im Zähler ls uch im Nenner vor Linerfktor tritt nur im Zähler uf.

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