1. Ziehg.: N M. falls nicht-rote K. in 1. Ziehg. gezogen

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1 6.4 Hyergeometrische Verteilung Gegeben ist eine Urne, die mit N Kugeln gefüllt ist. Es seien M dieser Kugeln rot und N-M Kugeln nicht rot. Wir entnehmen n Kugeln, d.h. eine Stichrobe des Umfangs n. Dabei wird im Unterschied zur Binomialverteilung ohne Zurücklegen gezogen. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, ändert sich nach jeder Ziehung die Zusammensetzung der Kugeln, die noch in der Urne sind und damit die Wahrscheinlichkeit, eine rote oder nicht-rote Kugel zu ziehen:. Ziehg.: M P(A) und P(A) N N M N. Ziehg.: M N M P(A A ) und P(A A ) falls rote Kugel in. Ziehg. gezogen N N M P(A A) und P(A A) N N M N falls nicht-rote K. in. Ziehg. gezogen Die Ziehungen sind also nicht unabhängig voneinander. Damit liegt zwar bei jeder Ziehung ein Bernoulli-Eeriment, aber insgesamt kein Bernoulli-Prozess vor. Das Ereignis A tritt ein, wenn eine rote Kugel gezogen wird. Entsrechend ist Ereignis, dass die gezogene Kugel nicht rot ist. Zufallsvariable X: Anzahl der Realisationen des Ereignisses A, d.h. Anzahl der gezogenen roten Kugeln A das 8

2 Herleitung der Wahrscheinlichkeitsfunktion: Wir erhalten die gesuchte Wahrscheinlichkeit, indem wir die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten mit roten und n nicht-roten Kugeln durch die Anzahl aller denkbaren Stichroben von n aus N Kugeln teilen (Lalace-Ansatz). Da das Ziehen der Kugeln aus der Urne ohne Zurücklegen erfolgt und die Reihenfolge irrelevant ist, lässt sich die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten über die Formel für die OR-OZ-Auswahl berechnen. 9

3 Zähler: OR-OZ-Auswahl von aus M roten Kugeln: M OR-OZ-Auswahl von n aus N M nicht-roten Kugeln: Möglichkeiten N M n Möglichkeiten OR-OZ-Auswahl von aus M roten Kugeln und n aus N M nicht-roten Kugeln: M N n M Möglichkeiten ( jede mit jeder ) Nenner: OR-OZ-Auswahl von n aus N Kugeln: N Möglichkeiten n Eine Zufallsvariable X folgt einer hyergeometrischen Verteilung mit den Parametern N, M und n, wenn die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X durch (6.5) f M N M n N n 0 für 0,,,n sonst N gegeben ist. Dabei ist M, n N M und n. Sofern diese Bedingung nicht erfüllt ist, nimmt die Wahrscheinlichkeitsfunktion den Wert 0 an. 30

4 Beisiel 6.6: Wir illustrieren die hyergeometrische Verteilung an einem Urnenmodell. In einer Urne befinden sich N = 0 Kugeln, von denen M = 4 Kugeln rot und N M = 6 nicht rot, hier weiß, sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Stichrobe vom Umfang n = 3 genau = rote Kugeln zu ziehen, wenn die Kugeln nach dem Ziehen nicht wieder zurückgelegt werden? Urne Stichrobe Eine günstige Kombination ist r r w, d.h. in den ersten beiden Zügen jeweils eine rote Kugel zu ziehen und im dritten Zug eine weiße Kugel. (Ereignisse hier: Kleinbuchst.) Wahrscheinlichkeit, im ersten Zug eine rote Kugel (r ) zu ziehen: P(r ) = 4/0 Bedingte Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug eine rote Kugel (r ) zu ziehen, wenn im ersten Zug eine rote Kugel gezogen worden ist (r ): P(r r ) = 3/9 Bedingte Wahrscheinlichkeit, im dritten Zug eine weiße Kugel (w) zu ziehen, wenn in den ersten beiden Zügen jeweils eine rote Kugel gezogen worden ist (r r ): P(w 3 r r ) = 6/8 3

5 Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit der Kombination r r w Pr r w3 P(r ) P(r r ) P(w3 r r ) 0, Wie viele unterschiedliche Anordnung der beiden roten und einen weißen Kugeln gibt es aber? Mit der Formel für n-q-anordnungen erhalten wir 3! A 3, 3.!! Es handelt sich hierbei um die drei Stichroben r r w, r w r, w r r. Jede dieser drei Möglichkeiten hat die gleiche Wahrscheinlichkeit 0,, so dass ist. P "zweimal rot und einmal weiß" 0, 3 0, 3 Zum selben Ergebnis gelangt man unter Verwendung der Wahrscheinlichkeitsfunktion der hyergeometrischen Verteilung (6.5). Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable Anzahl der roten Kugeln den Wert = annimmt, ergibt sich aus (6.5) nach Einsetzen der Parameter N=0, M=4 und n=3: f ,3. 3

6 Erwartungswert und Varianz der hyergeometrischen Verteilung Erwartungswert Varianz M (6.6) EX n (6.7) N M M N n n N N N V X Vergleich zwischen der hyergeometrischen und der Binomialverteilung Erwartungswert Die Erwartungswerte der hyergeometrischen und Binomialverteilung (= n ) stimmen überein, wenn man = M/N setzt (entsricht Ziehen mit Zurücklegen). Varianz Die Varianz der hyergeometrischen Verteilung ist für n> um den Faktor (N-n)/(N-) ganz rechts kleiner als die Varianz der Binomialverteilung [= n (-) ]. Der Unterschied nimmt mit wachsendem Stichrobenumfang n zu. ( für n =!) Erklärung: Informationsgewinn beim Ziehen ohne Zurücklegen Je mehr Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden, desto genauere Informationen haben wir über die restlichen noch in der Urne enthaltenen Kugeln. Die Streuung der Zufalllvariablen X verringert sich dadurch. Wenn dagegen mit Zurücklegen gezogen wird, bleibt die Zusammensetzung der Urne stets unverändert. Die Streuung der Zufallsvariablen X bleibt dann gleich. 33

7 Faustregel: Aroimation der hyergeometrischen Verteilung durch die Binomialverteilung Bei endlichem Stichrobenumfang n geht der Faktor (N-n)/(N-) gegen, wenn N über alle Grenzen wächst. Die Varianz der hyergeometrischen Verteilung geht dann in die Varianz der Binomialverteilung über. Allgemein lässt sich zeigen, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktion der hyergeometrischen Verteilung f H ( N,M,n) für N und M in die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung f B ( I n,) übergeht, sofern M/N geht: (6.8) lim M NM / N M N M n N n n n Wenn der Auswahlsatz n/n 0,05, d.h. kleiner oder gleich 5% ist, lässt sich die Wahrscheinlichkeit bei Zufallseerimenten mit Ziehen ohne Zurücklegen aroimativ mit der einfacher handhaberen Binomialverteilung berechnen.. Der Faktor (N-n)/(N-), um den sich die Varianzen der beiden Verteilungen unterscheiden, wird in diesem Kontet auch als Endlichkeitskorrektur bezeichnet. 34

8 Beisiel 6.7: Auf einem Markt von 00 Unternehmen befinden sich 0 innovative Unternehmen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Kartell von 4 Unternehmen mindestens die Hälfte der Unternehmen innovativ sind? Da ein Unternehmen, das dem Kartell beigetreten ist, nicht nochmals für einen Beitritt in Betracht kommt, liegt das Auswahlmodell Ziehen ohne Zurücklegen vor. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der innovativen Unternehmer (= Ereignis A) in dem Kartell an. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X) lässt sich damit originär mit der hyergeometrischen Verteilung bestimmen. Mit den Parametern N=00, M=0 und n=4 erhält man P(X ) P(X ) P(X 3) P(X 4) ,0460 0,008 0,000 0,0489. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 4,89% ist also mindestens die Hälfte der Unternehmer in dem Kartell innovativ. 35

9 Da der Auswahlsatz n/n = 4/00 = 0,04 kleiner als 0,05 ist, können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit aroimativ mit der Binomialverteilung bestimmen. Mit den Parametern n=4 und =M/N=0/00=0, erhalten wir P(X ) P(X ) P(X 3) P(X 4) 4 0, 0,9 4 0, 3 0,9 0,0486 0,0036 0,000 0, , 4 0,9 Mit zunehmender Zahl der konkurrierenden Unternehmen wird die Aroimation der hyergeometrischen Verteilung durch die Binomialverteilung genauer

10 6.5 Geometrische Verteilung Wir betrachten eine Urne, die eine beliebige Anzahl von roten und nicht-roten Kugeln enthält. Es sei A j das Ereignis, dass bei Ziehung j eine rote Kugel gezogen wird. Wir entnehmen so lange Kugeln mit Zurücklegen, bis zum ersten Mal A j eintritt, d. h. eine rote Kugel gezogen wird. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, im Verlauf des Zufallsvorgangs konstant (Bernoulli-Prozess). Bei jeder Ziehung ist A j P(A j ) = und P( ) =. Zufallsvariable X: Anzahl der Durchführungen des Zufallsvorgangs, bei denen das Ereignis A j nicht realisiert wird (= Anzahl der Misserfolge) Die Zufallsvariable X nimmt den Wert an, wenn das Ereignis A j bei der (+)-ten Durchführung des Zufallsvorgangs zum ersten Mal realisiert wird. Übersicht: Wahrscheinlichkeiten bei der geometrischen Verteilung X= Ereignisse P(X=) X=0 A X= A A X= X= A A A3 A A A A Ereignisse P X 0 PA PX PA PA X PA PA PA P 3 PX PA PA PA PA Faktoren 37

11 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der geometrischen Verteilung lautet für 0,,, (6.9) f 0 sonst. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der geometrischen Verteilung verläuft grundsätzlich rechtsschief. Die Funktion nimmt um so stärker ab, je größer der Parameter ist. Die geometrische Verteilung kommt bei Zufallsvorgängen mit dem Auswahlmodell Ziehen mit Zurücklegen zur Anwendung, die bei rinziiell beliebiger Wiederholung abgeschlossen sind, wenn das Ereignis A eintritt nachdem -mal hintereinander A realisiert worden ist. Abbildung: Wahrscheinlichkeitsfunktionen der geometrischen Verteilung 0,4 f () 0,8 f () 0,3 0, 0, 0,6 0,4 0, a) =0,4 b) =0,

12 Beisiel 6.8: Der Controller einer Firma hat ermittelt, dass die Lieferanten die vereinbarten Lieferfristen im Mittel in 85 % der Bestellungen einhalten. Die Firma hat mit einem neuen Lieferanten laufende Teillieferungen von Halbfertigerzeugnissen für die Herstellung eines Produktes vereinbart. Nachdem der Lieferant dreimal fristgerecht geliefert hat, ist er bei der vierten Teillieferung in Verzug geraten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ein solches Verhalten des Lieferanten zu erwarten? Die Zufallsvariable X misst stets die Anzahl der Misserfolge, die hier der Anzahl der fristgerechten Lieferungen entsricht. Eine Lieferung der Firma ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,85 fristgerecht (Ereignis A). Daher ist die Wahrscheinlichkeit für eine nicht fristgerechte Lieferung (Ereignis A) gleich 0,5. Gesucht ist damit die Wahrscheinlichkeit, dass die geometrisch verteilte Zufallsvariable X den Wert 3 annimmt: P(X 3) f 3 3 0,85 0,5 0,09. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Lieferant erst bei der vierten Teillieferung in Verzug gerät, beträgt 9, %. 39

13 Erwartungswert und Varianz der geometrischen Verteilung Erwartungswert (6.0) EX (6.) Varianz V X Bei größerem nimmt der Erwartungswert ab, die Lage der Wahrscheinlichkeitsfunktion verschiebt sich dann also weiter nach links. Die Varianz verringert sich dabei ebenfalls, was bedeutet, dass die Verteilung schneller abfällt. Abbildung: Wahrscheinlichkeitsfunktionen der geometrischen Verteilung 0,4 0,3 0, 0, f () E 0,6 0,4 X, 5 3, 75 V X 0,6 0,4 0,8 0,6 0,4 0, f () E 0, 0,8 X , 35 V X 0, 0, a) =0,4 b) =0,

14 Als Differenz der beiden Summenformeln ergibt sich F, F, F F. F und nach Division durch schließlich 4 Verteilungsfunktion der geometrischen Verteilung Die Verteilungsfunktion der geometrischen Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nach höchstens Misserfolgen zum ersten Mal A eintritt. Sie lässt sich in komakter form darstellen: (6.) F() = ( ) +. Beweis von (6.): Man erhält die Verteilungsfunktion F() der geometrischen Verteilung, indem die Wahrscheinlichkeiten f(y) bis zum Wert y kumuliert, d.h. addiert:. F() Multiliziert man F() mit dem Faktor ( ), erhält man. F

15 Beisiel 6.9: Angenommen, die Statistik II-Klausur ist beliebig oft wiederholbar. Der Anteil der Studenten, die die Statistik II-Klausur bestehen, beträgt 60%. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student die Klausur a) sätestens im dritten b) frühestens im dritten (= mind. Misserfolge) Versuch besteht? Zu a) Klausur sätestens im dritten Versuch bestehen Die Zufallsvariable X bezeichnet die Anzahl der Misserfolge, die hier den erfolglosen Versuchen entsrechen. Wenn sätestens im dritten Versuch bestanden wird, dann sind bis zu zwei Misserfolge zulässig. Gesucht ist dann der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle =: 3 Aufwendiger gelangt man zum selben Ergebnis, indem man die Wahrscheinlichkeiten für 0, und Misserfolge addiert: P(X ) f (0) f () f () ( ) ( ) 0,6 ( 0,6) 0,6 ( 0,6) 0,6 0,6 0,4 0,096 0,936. Zu b) Klausur frühestens im dritten Versuch bestehen (= mindestens Misserfolge) Die Klausur frühestens im dritten Versuch zu bestehen, bedeutet, mindestens zweimal durchzufallen, d.h. mindestens zwei Misserfolge zu erzielen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist daher durch P X PX [ ( ) P(X ) F F() ] ( ) ( ) 0,6 3 0,064 0,936. 0,6 ( 0,4 ) 0,4 0, 60 (Doch richtig!) gegeben. 4