Nur für die Lehrkraft

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Abschlussprüfung an der Berufsoberschule im Schuljahr 01/015 Fach (B) Nur für die Lehrkraft Prüfungstag 1. Juni 015 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel 09:00 13:00 Uhr Nicht graphikfähiger Taschenrechner mit gelöschtem Programmierteil, kein CAS- Rechner, Handbuch/Gebrauchsanleitung muss vorliegen, Formelsammlung, Rechtschreib-Wörterbuch (siehe Aufgabendeckblatt) Allgemeine und spezielle Arbeitshinweise Erwartungshorizonte Beachten Sie bitte das Schülerdeckblatt. Die Beschreibungen der erwarteten Leistungen enthalten keine vollständigen Lösungen, sondern nur kurze Angaben. Hier nicht genannte, aber gleichwertige Lösungswege sind gleichberechtigt. Die aufgeführten Lösungswege zeigen immer nur eine Variante auf. Für andere Lösungswege oder Lösungsansätze, die schlüssig dargestellt werden und zu richtigen Zwischen- oder Endergebnissen führen, sind die vorgesehenen Bewertungseinheiten (BE) entsprechend zu vergeben. Wird jedoch der im Erwartungshorizont dargestellte Lösungsweg vom Prüfling verwendet, so sind die BE in der angegebenen Weise aufzuteilen. Damit die Möglichkeit besteht, den eigenen didaktischen Aspekten bei der Bewertung genug Raum zu geben, werden in der Regel die BE nicht kleinschrittig zugeordnet. Die Summe der BE pro Teilaufgabe ist verbindlich. Sind Zwischenergebnisse nicht korrekt ermittelt worden und die sich auf diesen Zwischenergebnissen aufbauenden weiteren Lösungswege schlüssig und nicht mit neuen Fehlern versehen, so sind die BE entsprechend zu erteilen (Folgefehler). Dieses Vorgehen ist nicht anzuwenden, wenn eine offensichtlich nicht sinnvolle Lösung unkommentiert bleibt oder der Lösungsweg durch den Fehler erheblich einfacher geworden ist. Die Verwendung von entsprechenden Operatoren in den Aufgabenstellungen erfordert vom Prüfling schriftliche Erläuterungen seiner Überlegungen. Bei der Bewertung dieser Erläuterungen, auf deren Darstellung im Erwartungshorizont weitgehend verzichtet wird, kann die Lehrkraft ihren pädagogischen Spielraum nutzen und sich an ihrer bisherigen Unterrichtspraxis orientieren. Im Erwartungshorizont wird teilweise auf formale mathematische Vollständigkeit verzichtet, wenn diese vom Schüler in der Regel nicht unbedingt zu erwarten ist. Aufgabe Nr. Soll oder 33 Summe: 100

2 Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Aufgabenvorschlag B 1 Exponentialfunktionen /3 In modernen Küchen gibt es häufig unter der Spüle ein Auszugsystem zur Abfalltrennung. Immer öfter wird der Auszug durch einen Elektromotor angetrieben. Dabei öffnet sich der Auszug auf einen kurzen Druck hin, bleibt eine gewisse Zeit maximal geöffnet und schließt sich anschließend langsam wieder. Ein solcher Öffnungs- und Schließvorgang (ohne das Offenbleiben die Zeit wird solange angehalten) soll durch folgende Funktion f beschrieben werden ft ( ) 00 e e 0,t 0,8t. Der Graph der Funktion ist G f. Dabei bedeutet t die Zeit in s nach dem Drücken und ft () die Weite der Öffnung des Auszugs in cm. 1.1 Berechnen Sie, zu welcher Zeit der Auszug maximal geöffnet ist. Berechnen Sie ebenfalls, wie weit der Auszug zu diesem Zeitpunkt geöffnet ist. 0, 0,8 [Zur Kontrolle: ( ) 80 e t t f t 160 e ] 1. Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt sich der Auszug am schnellsten schließt und geben Sie an, wie weit der Auszug dann geöffnet ist. Bestimmen Sie auch die Schließgeschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt. 1.3 Ergänzen Sie die Wertetabelle und zeichnen Sie mit Hilfe aller berechneten Ergebnisse G im Intervall 0 t 19 in das vorbereitete Koordinatensystem auf der nächsten Seite. f /7 /6 /5 t ft (), 9,5 7,8 0,5 0,1 1. Begründen Sie, warum die Funktion f nur eingeschränkt für die Modellierung geeignet ist. 1.5 Zeigen Sie, dass die Funktion F mit 5 0,t 5 0,8t Ft ( ) 00 e e der Funktion f ist. 1.6 Berechnen Sie den Ausdruck f ( t)dt. 0 eine Stammfunktion Geben Sie die Bedeutung des Ergebnisses in diesem Sachzusammenhang an. 1.7 Wenn der Auszug nur noch mm geöffnet ist, wird er durch einen Magneten endgültig geschlossen. Bestimmen Sie näherungsweise den Zeitpunkt, an dem dies geschieht. Für eine exakte 0,t Berechnung substituieren Sie z e. /3 /3 / /6 Fortsetzung auf der nächsten Seite Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Seite 1 von 7

3 B Koordinatensystem zu Aufgabe 1.3: Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Seite von 7

4 B Gebrochenrationale Funktionen /33 Gegeben ist die rationale Funktion f mit der Gleichung Der Graph der Funktion ist G f. x f( x) x..1 Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion f. Untersuchen Sie f auf das Vorhandensein von Polstellen und Nullstellen.. Untersuchen Sie G f auf Symmetrie. Begründen Sie Ihre Entscheidung..3 Bestimmen Sie Art und Lage der lokalen Extrempunkte von G f. 1x [Zur Kontrolle: f '( x) ] ( x ). Berechnen Sie die Wendepunkte von G f. [Hinweis: Für die Ermittlung der Wendepunkte ist nur die Untersuchung der notwendigen Bedingung erforderlich.] / / /8 /.5 Bestimmen Sie die Gleichung der Asymptote von G f. /.6 Ergänzen Sie die Wertetabelle. /6 x fx ( ) 0, 67 1 Zeichnen Sie unter Verwendung Ihrer berechneten Ergebnisse G f und die Asymptote im Intervall x in das Koordinatensystem auf der folgenden Seite..7 Zwischen Gf und der x-achse soll im I. und II. Quadranten ein Rechteck maximaler Größe einbeschrieben werden. Zeichnen Sie ein solches Rechteck in das Koordinatensystem ein, bei dem der Punkt P 1 f (1) ein Eckpunkt des Rechtecks ist. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Rechtecks an. Bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt, welcher bei einer anderen Wahl der Koordinate x erreicht werden kann. [Zur Kontrolle: Eine mögliche Zielfunktion lautet 3 x 8x x 0x 16 Ax ( ) mit A( x) x ( x ) Hinweis: Für die Ermittlung des Maximums ist nur die Untersuchung der notwendigen Bedingung erforderlich.] /7 Fortsetzung auf der nächsten Seite Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Seite 3 von 7

5 B Koordinatensystem zu Aufgabe.6: Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Seite von 7

6 B 3 Analytische Geometrie /33 Gegeben sind die Punkte A(6 8), B (10 0), C ( 1 ) und E ( ). 3.1 Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig und gleichschenklig ist. / 3. Bestimmen Sie die Koordinaten eines weiteren Punktes D so, dass die Punkte A, B, C und D ein Quadrat bilden. Zeichnen Sie das Quadrat ABCD in das vorgegebene Koordinatensystem (siehe nächste Seite). 3.3 Die Gerade g AB geht durch die Punkte A und B, die Gerade g AE durch die Punkte A und E. Bestimmen Sie jeweils eine Gleichung der Geraden. Berechnen Sie den Winkel α, den die beiden Geraden einschließen. Zeichnen Sie die beiden Geraden in das vorgegebene Koordinatensystem (siehe nächste Seite). 3. Geben Sie eine Gleichung der Ebene F in Parameter- und in Koordinatenform an, in der die Punkte A, B und C liegen. [mögliches Ergebnis für F in Koordinatenform: F : x y z ] Überprüfen Sie, ob der Punkt E( ) in dieser Ebene liegt. 3.5 Es gibt unendliche viele Ebenen, die senkrecht zur Ebene F liegen. Geben Sie die Gleichung einer solchen Ebene in Parameterform an. 3.6 Das Dreieck ABC und der Koordinatenursprung bilden eine dreiseitige Pyramide. Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide. / /9 /7 / /5 Fortsetzung auf der nächsten Seite Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Seite 5 von 7

7 B Koordinatensystem zu Aufgabe 3. und 3.3: z y x Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Seite 6 von 7

8 B Wahrscheinlichkeitsrechnung /33 Ein Stadtteilzentrum veranstaltete einen Ostermarkt, auf dem unter anderem Ostereier in den Farben Rot (R), Grün (G), Blau (B) und Orange (O) verkauft wurden. Insgesamt hatte man zu Beginn 150 gefärbte Eier, davon 3 rote, grüne und 8 blaue. Die restlichen Eier waren orange. Paul kaufte als Erster drei Ostereier, die er zufällig ausgewählt hat (also ohne auf die Farbe zu achten)..1. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit Paul a) drei orange Ostereier b) ein rotes, ein grünes und ein blaues Osterei (ohne Beachtung der Reihenfolge) c) mindestens zwei grüne Ostereier gekauft hat... E: Paul hat drei gleichfarbige Eier gekauft. Geben Sie zu E das Gegenereignis E an. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von E. /6 /3 Zu dem Ostermarkt kam auch eine Kindergruppe, die aus 1 Mädchen und 8 Jungen bestand. Jedes Kind kaufte sich genau ein Osterei. Insgesamt wurden an diese Gruppe 9 rote Ostereier verkauft, fünf davon an Mädchen..3. Stellen Sie diese Situation in einer Vierfeldertafel dar. Wählen Sie dafür eine geeignete Bezeichnung der Ereignisse... Berechnen Sie, ob der Kauf eines roten Ostereis stochastisch vom Geschlecht des Kindes abhängig ist..5. Ein zufällig ausgewähltes Kind dieser Gruppe hatte sich kein rotes Osterei gekauft. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses Kind ein Junge war. / / / Nach dem der Ostermarkt geschlossen wurde, sind noch Ostereier übrig geblieben. Diese vier Ostereier sollen unter den 1 Organisatoren des Ostermarktes verteilt werden..6. Berechnen Sie, auf wie viele Arten die Ostereier in jedem der folgenden Fälle verteilt werden können. Beschreiben Sie vorher jeden Fall im Urnenmodell (Anzahl der Kugeln; Ziehen mit/ohne Zurücklegen mit/ohne Beachtung der Reihenfolge) und begründen Sie damit ausführlich Ihren Rechenansatz. a) Alle vier Ostereier sind blau und man kann nur ein Osterei bekommen. b) Alle vier Ostereier sind verschiedenfarbig und man kann nur ein Osterei bekommen. c) Alle vier Ostereier sind verschiedenfarbig und man kann mehrere Ostereier gleichzeitig bekommen..7. An die Organisatoren wurden die Ostereier wie im Fall.6. a) verteilt. Von den 1 Organisatoren waren am Ende noch 7 übrig, die gemeinsam nach Hause fuhren. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei von ihnen genau ein Osterei abbekamen. /10 / Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Seite 7 von 7

9 Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III 1.1 Das Maximum der Öffnung entspricht der Hochpunktberechnung. x E ist Extremstelle von f, wenn f( t E ) 0 und f( t E ) 0 ist. 0,t 0,8t f( t) 00 0, e 0,8 e f( t) 00 0,16 e 0,6 e 0,t 0,8 t 0,tE 0,8tE ( ) 00 0, e 0,8 e 0 f t E 0,tE 0,8tE 0, e 0,8 e 0 0,8tE 0,tE e e ln 0,8tE 0,tE ln 0,t E ln te 1,733 0, f ( 1,733) 16 0 Hochpunkt bei te 1,733 f ( 1,733) 50 H 1, Der Auszug ist ca. 1,7 s nach dem Drücken maximal geöffnet. Die Weite der Öffnung beträgt zu diesem Zeitpunkt 50 cm. 1. Der Zeitpunkt des schnellsten Schließens entspricht der Wendestelle. t W ist Wendestelle von f, wenn f( t W ) 0 und f in der Umgebung von t einen Vorzeichenwechsel hat. 1.3 W 0,tW 0,8tW ( ) 00 0,16 e 0,6 e 0 f t W 0,tW 0,16 e 0,8tW 0,6 e 0 0,8tW e 0,tW e ln 0,8tW 0,tW ln 0,tW ln tw 3,66 0, f ( 3) 0 f ( ) 1, 0 Vorzeichenwechsel vorhanden f ( 3,66) 37,5 W 3,66 37,5 f ( 3,66) 10 Der Auszug schließt sich nach ca. 3,5 s nach dem Drücken am schnellsten, die Weite der Öffnung beträgt zu diesem Zeitpunkt 37,5 cm. cm Die Schließgeschwindigkeit beträgt 10. t ft () 0, 9,5 3, 16,5 7,8 3,6 0,5 0,1 s 5 6 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Seite 1 von 9

10 Erwartungshorizont B Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III 3 1. Der Graph der Funktion nähert sich asymptotisch der t-achse, wenn t gegen Unendlich strebt. Daher würde sich der Auszug in diesem Modell niemals schließen Es muss gelten: F( t) f ( t) F t 0,t 0,8t ( ) 00 1 e 1 e f ( t) F ist damit eine Stammfunktion von f ,t 5 0,8t f ( t)dt e e 0 7,6 15, e e 13, Bedeutung im Sachzusammenhang: Der Auszug ist durchschnittlich ca. 13 cm geöffnet (im gesamten Modellzeitraum). 1.7 Näherungslösung, z. B. Intervallschachtelung: Laut Wertetabelle muss die Zeit zwischen 15 s und 19 s liegen. t f(t) 0,9 0,33 0, 0,15 0,10 t 17,0 17,1 17, 17,3 f(t) 0,3 0,1 0,05 0,197 Andere Näherungsverfahren sind möglich. Rechnerische Lösung mit dem Ansatz f ( t) 0, : Die vorgeschlagene Substitution führt auf die Gleichung z z 0, Die Lösung z 0, 001 führt nach der Rücksubstitution auf t 17, 7 Nach ca. 17 s wird der Auszug durch einen Magneten endgültig geschlossen. 6 Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE 3 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Seite von 9

11 Erwartungshorizont B Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III.1 Die Zählerfunktion wird null bei x 1 und x. Der Nenner ist stets von null verschieden. Die Funktion hat die Nullstellen x1 und x und keine Polstellen. D IR. ( x) x f ( x) f ( x) ( x) x Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur y-achse..3 Bilden der Ableitungen: 1x 36x f( x) und f( x) 3 ( x ) ( x ) Notwendige Bedingung für lokale Extrema liefert: x E 0. f(0) 3 0 H(0 ). 36x 0 x1/ 0, f (0,816) W ( 0,816 1,5) und W 1 (0,816 1,5).5 x 6 f ( x) ( x ) : ( x ) 1 x x Also gilt: a ( x) 1 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Seite 3 von 9

12 Erwartungshorizont B.6 x fx ( ) 0, 67-0, ,5-0,67.7 Zeichnen des Rechtecks (siehe oben), A FE Ermitteln der Zielfunktion: 3 x x 8x A ab x y x x x Bestimmen der Ableitung: 3 ( 6x 8)( x ) ( x 8x)x x 0x 16 A '( x) ( x ) ( x ) 1 Bestimmung des Extremums: Der Ansatz x 0x 16 0 ergibt umgeformt die Gleichung x 10x 8 0. Nach Substitution x z erhält man z 10z 8 0 mit den Lösungen z 1 0, 75 und z 10, 75. Nach Resubstitution erhält man x 1/ 0, 869. z liefert keine weiteren Lösungen. A ( 0,869),07 Antwort: Die maximale Fläche von,07 FE wird bei x 1/ 0, 869 erreicht. 6 Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE 33 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Seite von 9

13 Erwartungshorizont B Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III 3.1 Der rechte Winkel liegt in B, denn 8 BC BA BC BA 8 BC ( 8) 8 BA Das Dreieck ist gleichschenklig 3. OD OC BA 1 8 ; D( 1) 8 1 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Seite 5 von 9

14 Erwartungshorizont B Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III gab : x r 8 ; 8 8 r IR 6 10 gae : x s 1 ; 8 10 s IR cos ( BAE) AB AE ,3 AB AE cos ( BAE) 7. Ergänzung der Zeichnung um die beiden Geraden siehe bei Eine Parameterform: F : x OA r AB sac ; r, s IR 6 F : x r 8 s 16 ; 8 8 r, s IR Bestimmung eines möglichen Normalenvektors 96 n AB AC oder n und d mit d n 6 OA 1 8 Eine Gleichung in Koordinatenform: F : x y z ; E F Der Punkt E liegt nicht in der Ebene F. 3.5 Eine zu F senkrechte Ebene H ist z. B.: H : x OA r AB sn ; r, s IR 6 H : x r 8 s 1 ; 8 8 r, s IR 3 3 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Seite 6 von 9

15 Erwartungshorizont B Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III 3.6 Inhalt der Dreiecksfläche: AABC BC BA Abstand der Dreiecksfläche zum Koordinatenursprung: aus der Koordinatenform: F : x y z ergibt sich die Hessesche Normalform: 1 n 1 3; F : x y z Der Abstand beträgt 8. Volumen der Pyramide: 1 1 V AABCh VE 3 3 Alternative Berechnung der Dreiecksfläche mit Hilfe des Kreuzprodukts: AABC AB AC Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE 33 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Seite 7 von 9

16 Erwartungshorizont B Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III.1 Es gab 37 orangene Ostereier P ( 3xO) 0, P ( 1x R;1x G;1x B) 6 0, P(min. xg) ,0536 0,008 0,056. E : Paul hat keine drei gleichfarbigen Ostereier gekauft. P( E) 1 P( E) ,0 0,008 0,031 0, ,0707 0, M Kind ist ein Mädchen R Kind hat ein rotes Osterei gekauft M M R 5 9 R Die Ereignisse A und B sind stochastisch abhängig, wenn gilt: P( B) P ( B). A P ( R) 9 0 P ( ) 5 M R 1 0,5 0,167 Da beide Wahrscheinlichkeiten nicht gleich sind, ist der Kauf eines roten Ostereis stochastisch vom Geschlecht des Kindes abhängig. (Wegen des kleinen Beobachtungsumfangs ist auch eine Argumentation möglich, die davon ausgeht, dass die berechneten Werte nahezu gleich sind.) P( R M) P R ( M) 0,3636 P( R) 11 Die Wahrscheinlichkeit, dass das ausgewählte Kind ein Junge war, beträgt etwa 36 %. Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Seite 8 von 9

17 Erwartungshorizont B Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III.6 Für alle angegebenen Fälle gilt: In der Urne liegen 1 nummerierte, ansonsten nicht weiter unterscheidbare Kugeln (n, entspricht der Anzahl der Organisatoren), von denen Kugeln (k, entspricht der Anzahl der übrig gebliebenen Ostereier) gezogen werden. a) Ziehen ohne Zurücklegen (jeder nur 1 Ei) ohne Beachtung der Reihenfolge (alle Eier sind gleichfarbig blau): n n! k ( nk )! k! b) Ziehen ohne Zurücklegen (jeder nur 1 Ei) mit Beachtung der Reihenfolge (Eier sind verschiedenfarbig): n! 1! ( nk)! (1)! c) Ziehen mit Zurücklegen (mehrere Eier pro Person mgl.) mit Beachtung der Reihenfolge (Eier sind verschiedenfarbig): k n E: Zwei der 7 Organisatoren, die gemeinsam nach Hause fahren, haben ein Osterei bekommen (Fall.6. a) vorausgesetzt). Anzahlder günstigen Ergebnisse P( E) Anzahlder möglichen Ergebnisse ,06 Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE 33 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Berufsoberschule 015 Seite 9 von 9