Stochastik. Ba-Studiengang Scientific Programming Wintersemester 2016/2017 FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES
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1 Stochastk Ba-Studegag Scetfc rogrammg Wtersemester 06/07 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS
2 Vorlesugshalte Stochastk I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork I. Grudbegrffe I.3 Wahrschelchket I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge I.6 Mehrdmesoale Zufallsvarable I.7 Kovaraz ud Korrelato I.8 Gesetze der große Zahle ud Grezwertsätze FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06
3 Vorlesugshalte Stochastk II. Beschrebede Statstk II. Merkmale ud wetere wchtge Begrffe II. Darstellug der Beobachtugsergebsse II.3 Statstsche Maßzahle III. Schleßede Statstk III. Grudbegrffe III. uktschätzuge III.3 Itervallschätzuge III.4 Statstsche Testverfahre FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 3
4 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork. Das Uremodell rzp: I eer Ure befde sch verschedee Kugel, de sch z.b. hrer Farbe uterschede: We vele ordugsmöglchkete gbt es für de Kugel? Möglche Zusammesetzuge der Stchprobe be zufällger tahme vo k Kugel?... Ke lagwelges Modell zur führug kombatorscher Grudlage, taucht mmer weder weduge der Statstk zur tschedugsfdug auf! FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 4
5 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork Bespel: De dfertgug beötgt für e rodukt 5 Halteruge. Wege Leferprobleme wurde Halteruge be 3 verschedee Leferate gekauft ud auf dem Lager cht getret gehalte. De dmotage erhält e Los vo 000 Halteruge 00 vo Leferat, 500 vo B ud 300 vo C. Leferat bechtet zu spät, dass see Halteruge cht de Mdestfestgket aufwese. We vele der dprodukte müsse aussortert werde, da se mdestes ee Halterug vo ethalte? De Ure st her das Leferlos, de Kugel sd de Halteruge, de Farbe sd de Leferate! FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 5
6 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork. ermutatoe s befde sch verschedefarbge Kugel eer Ure: We vele Möglchkete der ordug ebeeader gbt es? Bespel: 3 llgeme: e ordug vo verschedee lemete eer bestmmte Rehefolge heßt ee ermutato der lemete. We groß st de zahl der ermutatoe vo lemete? FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 6
7 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork We groß st de zahl der ermutatoe vo lemete? K! FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 7
8 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork roblem: Was tu, we sch uter de Kugel gleche befde? ; lle orduge, de durch Vertausche der gleche Kugel utereader etstehe, falle zusamme. Be gleche Kugel gbt es! Möglchkete, de gleche Kugel utereader zu vertausche.!! verschedee ordugsmöglchkete blebe. FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 8
9 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 9 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork roblem: Was tu, we sch uter de Kugel gleche befde?!! ; verschedee ordugsmöglchkete blebe. Falls sch uter de Kugel jewels,,..., k gleche befde: k mt k k k ;!!!! ; ; ; K K
10 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork.3 Kombatoe Nächster Schrtt: er Ure mt verschedee Kugel werde acheader k Kugel etomme. Dabe st przpell zwsche zwe verschedee rte der Zehug zu uterschede: Zehug ohe Zurücklege Jede Kugel ka höchstes emal gezoge werde, da se ach der Zehug ausschedet. Zehug mt Zurücklege Jede Kugel st be der ächste Zehug weder dabe. FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 0
11 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork Zehug ohe Zurücklege Jede Kugel ka höchstes emal gezoge werde, da se ach der Zehug ausschedet. Zehug mt Zurücklege Jede Kugel st be der ächste Zehug weder dabe. Zusätzlche Uterschedug: Soll de Rehefolge der gezogee Kugel berückschtgt werde oder cht? Geordete Stchprobe: Rehefolge der gezogee lemete wrd berückschtgt Ugeordete Stchprobe: Rehefolge der gezogee lemete spelt kee Rolle FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06
12 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork. Möglchket: k Kugel zehe ohe Zurücklege ohe Berückschtgug der Rehefolge ugeordete Stchprobe Kombato k-ter Ordug ohe Wederholug Bespel: Dese bede Stchprobe uterschede sch ledglch der Rehefolge ud werde daher als Kombatoe. Ordug cht uterschede! FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06
13 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork We vele Kombatoe k-ter Ordug ohe Wederholug gbt es be verschedee Kugel der Ure? Gedakeepermet: Ma orde de Kugel auf lätze ebeeader a. Jedem latz cht der Kugel auf dem latz! wrd zufällg ees der bede Merkmale wrd gezoge k lätze bzw. wrd cht gezoge -k lätze zugeordet; damt st ee Kombato k-ter Ordug ohe Wederholug festgelegt. FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 3
14 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork Um alle möglche Kombatoe k-ter Ordug ohe Wederholug zu erhalte, müsse alle ermutatoe der Kugel betrachtet werde, wobe e Vertausche der Kugel auf lätze mt demselbe Merkmal wrd gezoge bzw. wrd cht gezoge kee eue Kombato ergbt. C ; k ; k; k! k! k! k FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 4
15 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork. Möglchket: k Kugel zehe mt Zurücklege ohe Berückschtgug der Rehefolge ugeordete Stchprobe Kombato k-ter Ordug mt Wederholug Bespel: 6 Kugel; k8 Zehuge mt Zurücklege Falls -te Kugel gezoge wrd: e grüe Chp - tes Fach ees Setzkastes lege m de der Zehuge lege k8 Chps 6 Fächer: FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 5
16 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork 3.Kugel wurde dremal gezoge, usw..kugel wurde cht gezoge.kugel wurde zwemal gezoge lle k 8 Chps ud 5 - Trewäde permutere, wobe de Vertauschug der k Chps utereader ud der - Trewäde utereader kee eue Kombato ergbt: k+! + k C W ; k k+ ; k; k!! k FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 6
17 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork.4 Varatoe 3. Möglchket: k Kugel zehe ohe Zurücklege mt Berückschtgug der Rehefolge geordete Stchprobe Varato k-ter Ordug ohe Wederholug Bespel: 3 Kugel, Zehug zweer Kugel ohe Zurücklege FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 7
18 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork De bede Versuchsausgäge uterschede sch der Rehefolge der gezogee Kugel ud werde daher als zwe verschedee Varatoe. Ordug ohe Wederholug betrachtet. We vele Varatoe k-ter Ordug ohe Wederholug gbt es be verschedee Kugel der Ure? De Zahl der Kombatoe k-ter Ordug ohe Wederholug C ; k! k! k! k ethält k verschedee Kugel, de sch auf k! verschedee rte aorde lasse: V ; k k! C ; k FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 8! k!
19 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork 4. Möglchket: k Kugel zehe mt Zurücklege mt Berückschtgug der Rehefolge geordete Stchprobe Varato k-ter Ordug mt Wederholug Jeder der k lätze eer solche ordug ka mt jeder der Kugel besetzt werde. V ; k W k FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 9
20 I. Wahrschelchketsrechug I. führug de Kombatork Zusammefassug: FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 0
21 I. Wahrschelchketsrechug I. Grudbegrffe Bespel: Wurf ees homogee Würfels Deses permet st e efaches Bespel für ee spezelle stochastsche Vorgag, ämlch e Ideales Zufallsepermet : Das permet wrd uter geau festgelegte Bedguge, de sogeate Versuchsbedguge, durchgeführt. De Mege der möglche rgebsse usgäge st vor der Durchführug des permets bekat. FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06
22 I. Wahrschelchketsrechug I. Grudbegrffe Das rgebs eer kokrete Durchführug des permets lässt sch cht mt Scherhet voraussage, soder st zufallsbedgt. Das permet ka zumdest przpell belebg oft uter gleche Bedguge wederholt werde. Wetere Bespele: Wurf eer Müze Zehe eer Karte aus eem Skatspel Zehe ees elektrosche Bautels aus eem Leferlos ud Test auf Fuktostüchtgket Durchmesser ees Bolzes aus eer laufede Fertgug FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06
23 I. Wahrschelchketsrechug I. Grudbegrffe De Mege aller möglche rgebsse ees Zufallsepermets bezeche wr als rgebsmege Ω Für user Bespel des efache Würfelwurfes: Ω {,,3, 4,5,6} Iteressere wr us cht für alle möglche rgebsse des Zufallsepermetes, soder ur für bestmmte, z.b. Würfel eer gerade Zahl, so spreche wr vo eem regs st egetrete, we das rgebs des Zufallsepermets legt:, { 4,6} Ω ; FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 3
24 I. Wahrschelchketsrechug I. Grudbegrffe Spezalfall: elemetge Telmege vo Ω sd lemetareregsse ω Ω mt ω Wr betrachte zuächst ur edlche oder abzählbar uedlche rgebsmege: Bespele:. dlche rgebsmege bem Wurf ees Würfels: Ω {,,3,4,5,6} ; {} ;, K, 6 ω FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 4
25 I. Wahrschelchketsrechug I. Grudbegrffe. Solage würfel, bs erstmalg de 6 kommt: bzählbar uedlche rgebsmege Ω {,,3, K} Ν Gegebespele: R { R 0 } ; Spezalfälle: Umöglches regs ud scheres regs: Ω Ω Ω FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 5
26 I. Wahrschelchketsrechug I. Grudbegrffe regs st damt etweder Das umöglche regs ethält ke lemet vo Ω lemetareregs ethält geau e lemet vo Ω e Zusammefassug mehrerer lemetareregsse ethält mehrere lemete vo Ω Das schere regs ethält alle lemete vo Ω; Ω De Mege aller regsse, de sch aus der rgebsmege blde lässt, heßt regsraum FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 6
27 I. Wahrschelchketsrechug I. Grudbegrffe Da regsse Telmege der rgebsmege sd, lasse se sch auch we Mege verküpfe. Wr erhalte dadurch zusammegesetzte regsse: Schttmege: ud B trete glechzetg e B { ω Ω ω ω B} llgeme: Jedes regs bs trtt e: 3 K FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 7
28 I. Wahrschelchketsrechug I. Grudbegrffe Veregugsmege: Mdestes ees der regsse oder B trtt e, evtl. auch bede B { ω Ω ω ω B} llgeme: Mdestes ees der regsse bs trtt e: 3 K Telmege: Jedes lemet vo gehört auch zu B; das trete vo zeht das trete vo B ach sch B FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 8
29 I. Wahrschelchketsrechug I. Grudbegrffe Dfferezmege: B vermdert um B \ { ω Ω ω B } ω Komplemet vo : Trtt e, we cht etrtt Ω\ Uverebare regsse: Durchschtt st de leere Mege; ud B köe e glechzetg etrete: Dsjukte regsse B { } FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 9
30 I. Wahrschelchketsrechug I. Grudbegrffe Dsjukte regsse sd ee m Hblck auf de Berechug vo Wahrschelchkete besoders ageehme Stuato, darum für de Veregug dsjukter regsse auch üblche Schrebwese: B + B Nur für dsjukte regsse! Hlfrech be der Berechug vo Komplemete zu berets verküpfte regsse sd de Formel vo De Morga: B B B B FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 30
31 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket 3. Laplace-permete Wr betrachte e Zufallsepermet mt eer edlche rgebsmege: Ω { ω, ω,, } K ω m s gbt ee Rehe vo Zufallsepermete, be dee kees der lemetareregsse gegeüber eem adere bevorzugt st, d.h. be ausreched häufger Wederholug des permetes trtt jedes lemetareregs mt ahezu glecher Häufgket auf. derartges permet bezeche wr als Laplace permet FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 3
32 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Bespele:. Wurf eer Müze Ω { W, Z} bsolute Häufgket W Z Relatve Häufgket h W Z W h Z Stabdagramm FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 3
33 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket. Ure mt 3 weße ud schwarze Kugel; Zehug eer Kugel mt Zurücklege { W, W, W3, S, S} ; W { W, W, W3} Ω; S { S, S } Ω Ω Be 000 Zehuge rwartug für de absolute Häufgkete: 3 W ; S Be der praktsche Durchführug ergebe sch zufallsbedgt e geau dese Zahle, soder lecht abwechede relatve Häufgkete: 400 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 33
34 Das Bld ka zurzet cht agezegt werde. Das Bld ka zurzet cht agezegt werde. I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket em lemetareregs ω aus eer rgebsmege Ω mt m glechmöglche lemetareregsse wrd deftosgemäß de postve Zahl p ω m als Wahrschelchket zugeordet. Geauer: FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 34
35 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 35
36 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket roblem: Dese klasssche Defto der Wahrschelchket st ur sehr begrezt awedbar: De rgebsmege Ω muss edlch se. lle lemetareregsse müsse glechwahrschelch se. Für alle adere Fälle st ee allgemeere führug der Wahrschelchket erforderlch! llgeme wrd de Wahrschelchket cht haltlch, soder durch cht bewesbare Grud- ostulate ome defert, de sch a de geschafte relatver Häufgkete oretere. FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 36
37 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket 3. Wahrschelchketsaome geschafte der relatve Häufgket: Bespel: Ure mt eer weße, zwe graue ud dre schwarze Kugel Zehug eer Kugel mt Zurücklege: Laplace-permet Ω { W, G, G, S, S, S3 }; { W; } B { G, G} ; C { S, S, S3} Be Zehuge absolute Häufgkete: + B + C FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 37
38 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Relatve Häufgkete: h B C ; h B ; h C 0 h Betrachte regs Zehug eer weße oder graue Kugel B { W, G, G} bsolute Häufgket: + B ud B schleße sch gegesetg aus dsjukt + B Relatve Häufgket: h B h + h B FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 38
39 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket llgeme für zwe sch gegesetg ausschleßede regsse ud B: B h h B h + Relatve Häufgket für das schere regs: + + Ω C B C B h h Verhalte der relatve Häufgket be umfagreche Versuchsrehe:
40 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Zehug eer Kugel mt Zurücklege: Laplace-permet Ω { W, G, G, S, S, S } { W } ; Mt zuehmeder zahl vo Zehuge strebe de beobachtete relatve Häufgkete gege ee stable Wert, der der klasssche Wahrschelchket etsprcht. Daher ahelegeder Versuch für de Defto eer Wahrschelchket: 6 3 ; FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 40
41 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket lmh ber: stez- ud deutgketsprobleme be desem Grezwert, darum wrd e aomatscher Wahrschelchketsbegrff gesucht. Wr betrachte zuächst weder ur de Fall eer edlche rgebsmege Ω: Kolmogoroff-ome: Jedem regs wrd ee Zahl als Wahrschelchket zugeordet, wobe gelte soll: FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 4
42 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 4 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Das drtte om lässt sch sofort auf edlch vele dsjukte regsse verallgemeer: Kee ussage darüber, we de Zahl m kokrete Fall zu bereche st! Ω K K
43 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Folgeruge für de geschafte vo Wahrschelchkete: B B B B B B + +
44 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Festlegug ubekater Wahrschelchkete der ras: fachster Fall: Laplace-permet; da klasssche Defto der Wahrschelchket verwedbar; Kolmogoroff-ome automatsch erfüllt. Falls ke Laplace-permet: Ubekate Wahrschelchket über de relatve Häufgket eer hreched große Versuchsrehe schätze: h mprsche oder statstsche Festlegug der Wahrschelchket FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 44
45 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Be de bsher betrachtete edlche rgebsmege Ω habe wr für de möglche regsse Telmege vo Ω vorausgesetzt S se de Mege aller möglche regsse: Ω S; S Be jedem regs stauch Ω\ S 3 We ud ud regsse sd, da stauch S ud sbesodere st S, S. FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust U S oder sowe Was st zu tu, we de rgebsmege uedlch vele lemete ethält? De bgeschlossehet vo S uter edlcher Veregugsbldug recht cht mehr aus! I
46 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Betrachte zuächst ur abzählbar uedlche rgebsmege Ω: Für ee vollstädge Beschrebug beötge wr ee regsalgebra S, de zu eem Vorgag mt zufällgem rgebs de Mege der regsse beschrebt, dee ma ee Wahrschelchket zuorde möchte. Offeschtlch: S st ee Mege vo Telmege vo Ω; um uteressate Fälle auszuschleße, sollte S cht de leere Mege se. FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 46
47 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Wesetlche Forderug a de regsalgebra: Veregug ud Durchschtt abzählbar uedlch veler lemete der regsalgebra sd weder lemet deser regsalgebra. Defto: sseω ee chtleere Mege. e regsalgebra überωst ee chtleere Mege S vo Telmege voω, für de glt: afür bfür jedes Sst S. jedefolge, Folgeruge: afür belebge, b SudΩ S, K S, K Sglt st I U S S FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 47
48 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Frage zur regsalgebra: Gbt es überhaupt ee regsalgebra? Sd de der Defto aufgestellte Forderuge mteader verträglch? stert über jeder chtleere Mege ee regsalgebra? Ka es über eer chtleere Mege mehr als ee regsalgebra gebe? We ja, welche wählt ma zur Beschrebug des Vorgages? Für jede chtleere Mege Ω st de otezmege Ω ee regsalgebra über Ω. FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 48
49 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Bespel: Ω { ω ; ω ; ω } Ω 3 { ; Ω; { ω }{ ; ω }{ ; ω }{ ; ω ; ω }{ ; ω ; ω }{ ; ω ; ω } 3 De otezmege st de größtmöglche regsalgebra über Ω. Se erfasst sämtlche möglche ussage über de regsse des betrachtete Vorgages. Ist Ω edlch oder abzählbar uedlch, wählt ma als regsalgebra stets de otezmege. thält Ω mdestes zwe lemete, so st de otezmege Ω cht de ezge regsalgebra über Ω: 3 3 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 49
50 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Ω S { ; Ω} st regsalgebra über Ω > ud Ωmt ud Ω Ω S { ; Ω; ; } stregsalgebra Mt der Wahl der regsalgebra wrd festgelegt, welche ussage zur Beschrebug des betreffede Vorgages zur Verfügug stehe! roblem: Was st zu tu be eer überabzählbar uedlche rgebsmege? De otezmege st zu groß! Bespel: Lebesdauer ees techsche Gerätes FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 50
51 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Ω R + Iteresserede regsse: { De Lebesdauer st kleer als Zetehete} { ω R: ω < } 0 Wähle de kleste regsalgebra über Ω, de alle teresserede regsse ethält! FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 5
52 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Kolmogoroff - ome für Wahrschelchkete sseω ee rgebsmege ud S ee regsalgebraüber Ω. e Zuordugsvorschrft: S Rd.h. jedem regs Swrdee reelle Zahl als" Wahrschelchket" heßtwahrschelchketsmaß, we glt:. 0 S. Ω 3. Falls, U, für das trete vo zugeordet K sch gegesetg ausschleßede regsse sd, glt " σ ddtvtät" Das Trpel Ω,S, mtω als rgebsmege, S als regsalgebra ud als Wahrschelchketsmaß bezechet ma als Wahrschelchketsraum. FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 5
53 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket 3.3 Bedgte Wahrschelchket I vele weduge st das trete ees regsses cht uabhägg davo, ob vorher e aderes regs B egetrete st oder cht: Zehug ohe Zurücklege be eer Ure mt 3 weße ud 3 schwarze Kugel: Wahrschelchket, be der zwete Zehug ee weße Kugel zu erhalte? Schrebwese: B B: Zehug eer weße Kugel m erste Zug FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 53
54 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket B 5 B 3 5 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 54
55 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket B B B B B B B B B B B B : aber B B B De bedgte Wahrschelchket erfüllt alle ome für ee Wahrschelchket ud damt auch de daraus abgeletete Folgeruge, z.b.:.. B B B B
56 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket 3.4 Multplkatossatz Löst ma de Defto der bedgte Wahrschelchket auf ach der Wahrschelchket für das glechzetge trete zweer regsse ud B, so ergbt sch der Multplkatossatz der Wahrschelchketsrechug: B B B B Verallgemeerug: B C B C B
57 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket 3.5 Stochastsche Uabhäggket vo regsse I ege weduge st de Wahrschelchket für das trete des regsses uabhägg davo, ob B egetrete st oder cht: B B us dem Multplkatossatz ergbt sch damt als Defto für de stochastsche Uabhäggket zweer regsse ud B: B B FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 57
58 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Verallgemeerug für regsse bs : { },,, zweelemetge Telmege T jede mdestes für K I T j j T j j We stellt ma fest, we stark zwe regsse ud B stochastsch abhägg sd? Verfeldertafel B B Spaltesumme B B B B Zelesumme B B
59 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Be vollstädger Uabhäggket der regsse ud B voeader: B B Spaltesumme B B B B Zelesumme B B Be vollstädger Uabhäggket der regsse ud B verschwdet de Determate vo : B B B B
60 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Defto Zusammehagskoeffzet oder ssozatosmaß : ;] [ ; + Q B B B B B B B B Q
61 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket 3.6 Mehrstufge Zufallsepermete Komplzertere Zufallsprozesse bestehe häufg aus mehrere acheader ablaufede Zufallsepermete: Mehrstufges Zufallsepermet FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 6
62 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Hlfsmttel zur Veraschaulchug: regsbäume : Regel für de Berechug vo Wahrschelchkete m regsbaum:. De Wahrschelchkete lägs ees fades werde mteader multplzert.. Führe mehrere fade zum gleche dergebs, so addere sch hre Wahrschelchkete. FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 6
63 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Wchtg: I de Zwege sd ab der zwete Stufe alle regsse och vom usgag der voragegagee Stufe abhägg, d.h. her müsse a de Zwege de bedgte Wahrschelchkete agetrage werde, z.b. B5 B5 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 63
64 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Bespel: Zwe Zehuge ohe Zurücklege aus eer Ure mt 4 schwarze ud weße Kugel Wahrschelchket für das Zehe zweer glechfarbger Kugel: 3 OWW + OSS Wahrschelchket für das Zehe zweer verschedefarbger Kugel: 4 OWS + OSW FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 64
65 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket 3.7 Totale Wahrschelchket ees regsses ud Bayes sche Formel Bespel: Zehug eer schwarze Kugel aus eer zuvor zufällg ausgewählte Ure:. Stufe: B C. Stufe: S S B S C FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 65
66 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket regs S: C S C OCS B S B OBS S OS Totale Wahrschelchket für das regs S: OCS OBS OS S
67 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket llgeme: B B B B B B B OB OB OB B B B Totale Wahrschelchket für das trete des regsses B: B Wahrschelchket für ee fad:
68 I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket Umgekehrte Fragestellug: Das regs B se egetrete. We wahrschelch wurde es über ee bestmmte fad bzw. e bestmmtes Zwscheergebs j errecht? Gesucht st de bedgte Wahrschelchket, dass das regs etrtt, we B berets egetrete st: Bayes sche Formel j B j B j B j B B FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 68
69 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust I. Wahrschelchketsrechug I.3 Wahrschelchket j j j j B B B B B Bayes sche Formel Merkregel: De Wahrschelchket, dass B über ee bestmmte fad etrtt, ergbt sch als Verhälts der Wahrschelchket für dese fad zur totale Wahrschelchket vo B.
70 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable 4. Zufallsvarable Zufallsgröße e Zufallsvarable ordet jedem lemetareregs aus der rgebsmege edeutg ee reelle Zahl zu, bldet also de rgebsmege auf de Mege der reelle Zahle ab: : Ω R st somt ee reellwertge Fukto mt Deftosberech: D Ω Werteberech: W { ω udω Ω} FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 70
71 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable 4. Zufallsvarable Zufallsgröße Deftosberech: D Ω Werteberech: W { ω udω Ω} FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 7
72 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable W W " stetg": " dskret": ethält ethält edlch vele oder abzählbar überabzählbar uedlch vele uedlch reelle vele Werte reelle Werte FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 7
73 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable 4. Vertelugsfukto eer Zufallsvarable Mt welcher Wahrschelchket mmt de Zufallsvarable ee bestmmte Wert a be dskrete Varable bzw. legt se eem bestmmte Itervall be stetge Varable, machmal auch be dskrete Varable? F se heßt ee Zufallsvarable. De Fukto { ω Ω ω } R; F : [ 0;] : R Vertelugsfukto der Zufallsvarable. schaulch: F st de Wahrschelchket dafür, dass de Zufallsvarable ee Wert < ammt: twort auf höchstes. FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 73
74 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable geschafte der Vertelugsfukto bkürzug: { ω Ω ω } : FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 74
75 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable Bespel: Vertelugsfukto bem Würfel Geauere Betrachtug der Sprugstelle be dskrete Zufallsvarable erforderlch: lm lm ; lm 0 ; 0 ; 0 ; + + > > > + + < + + < < + F F F F F F a F b F b a F F F F o o o ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε
76 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable Bespel: Würfel eer 3 : 3 F3 + - F3 - F3 F Be stetger Vertelugsfukto F st 0. Fuktoswert a der Ustetgketsstelle: z.b. F3 <3 3/6 F3 + De Vertelugsfukto st rechts stetg. F F + FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 76
77 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable Folgeruge: < < + < + + < a F b F a F a F a F b F a a F b F b a a F b F b F b F a F b F b a F b F b a a F b F a F b F a F a F a F b F a b a a F b F b a
78 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable 4.3 Wahrschelchketsvertelug eer dskrete Zufallsvarable Be eer dskrete Zufallsvarable gehört zu jedem Wert, de se aehme ka, ee bestmmte Wahrschelchket: Vertelugstabelle p Wahrschelchketsfukto der dskrete Vertelug: FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 78
79 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable f f p für 0 sost p f Normerug schaulch: f st de Wahrschelchket dafür, dass de Zufallsvarable de Wert ammt: twort auf geau. FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust mt Zugehörge Vertelugsfukto der dskrete Zufallsvarable: Treppefukto mt F f Sprugstelle be der Höhe p p 0
80 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 80
81 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable Bespel: Wurf ees Würfels Dskrete Zufallsvarable rrechte ugezahl Stabdagramm der Wahrschelchketsfukto f Vertelugsfukto F FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 8
82 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable Bespel: Wurf mt zwe uterschedbare Würfel Dskrete Zufallsvarable: ugesumme Häufgketstabelle: FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 8
83 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable 4.4 Wahrschelchketsvertelug eer stetge Zufallsvarable Kotuerlche Zufallsgröße stetge Zufallsvarable köe eem Itervall jede Wert aehme. Typsche Vertreter: Messwerte, z.b. Lägemaße, Spauge, Vskostäte usw. Defto: heßt kotuerlchoderstetg, falls fürde Vertelugsfukto F ee Darstellug estertmt F f t dt mtf 0 ud tegrerbar als"dchtefukto" FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 83
84 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable Wege a < + lmf f t dt b F b F a b Normerug f t dt f t dt FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust a b a f t dt Wahrschelchket, dass de stetge Zufallsvarable eakt de Wert a ammt: 0 a aδ < < a+ δ f t dt 0 δ 0 a 0 a+ δ aδ Be stetge Zufallsvarable st de Wahrschelchket für de Realserug ees eakte Wertes mmer Null! Nur für de Lage eem Itervall ergebe sch vo Null verschedee Wahrschelchkete.
85 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable geschafte der Vertelugsfukto eer kotuerlche Zufallsgröße : De Vertelugsfukto F eer kotuerlche Zufallsgröße st stetg F st stetg dfferezerbar, we es ee stetge Dchtefukto f zu F gbt. Da st F' f R Be klee Itervalle belebte Näherug für de kokrete Berechug: δ a < δ a+ δ a+ δ a f t dt FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust f a δ
86 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable Bespel: Kotuerlche Glechvertelug Für ee m Itervall [a;b] glechvertelte Zufallsvarable glt: f b 0 für a sost [ a; b] F 0 a t dt ba für für f für a< b Vertelugsfukto a > b FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 86
87 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable Bespel: poetalvertelte Lebesdauer ees elektrosche Bautels 0 für t< 0 f t cep{ 0,t} für t 0 c 0, aus Normerug F t 0 für ep t < 0 { 0,t} für t 0 tel vo Bauelemete, dere Lebesdauer de Wert t0 überschretet: t 0 F0 e e 0,368 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 87
88 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable Zusammefassug: Wahrschelchketsvertelug eer stetge Zufallsvarable Bekatester Vertreter: Gaußsche Normalvertelug s. Kap. I.5 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 88
89 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable 4.5 Fuktoe eer Zufallsgröße: Trasformerte Zufallsvarable Häufg vorkommedes roblem: De Vertelugsfukto F eer Zufallsvarable st bekat, we verhält sch de Vertelug eer daraus ach Y:g berechete Größe eue Zufallsvarable? bbldugskette Ω R R Y Bedgug für g: Der Deftosberech vo g muss de Werteberech vo ethalte! FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 89
90 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable. g a + b Leare Trasformato Bespele:. 3. U g g RI + U 3 m k v oder el RI Trasformato der Vertelugsfukto roblem: g cht mmer edeutg umkehrbar Zel: a FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust Glechrchter Vertelugsfukto der F y Y durch de bekate Größe Y y Betragsfukto ergefukto trasformerte Varable F ud g ausdrücke.
91 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable g y legt Itervalle fest, für de de Uglechug erfüllt st: Fasse alle Itervalle, de de Uglechug erfülle, eer Mege θ zusamme: { g y} Θ : Damt sd de Wahrschelchkete der bede regsse { g y} ud { Θ} glech, wobe ma Θ aus F bereche ka. F Y y st cht mmer geschlosse darstellbar, ur be eedeutge bblduge Yg. FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 9
92 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 9 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable Wchtger Spezalfall: g se streg mooto wachsed auf dem Werteberech vo { } { } { } y g F y g y g y Y y F Y Ω Ω Ω ω ω ω ω ω ω Bespel: Leare Trasformato 0 ; > + a b a g Y a b y F y F y g a b y y g F y F Y Y ;
93 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable Trasformato der Dchtefukto fachster Weg, falls F Y y geschlosse darstellbar: f Y y dfy y dy Bespel: Leare Trasformato F Y y F yb a f Y y d dy f F yb a yb a a f yb a d dy yb a FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 93
94 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable llgeme: schaulcher Bewes über de Wahrschelchket f d f Y y f f Y y dy d dy f dy d f Y f g y f g' g' g y y FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 94
95 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable 4.6 Kewerte oder Maßzahle eer Wahrschelchketsvertelug Kewerte erlaube ee zusammefassede Beschrebug eer Vertelug durch gabe der mttlere Lage z.b. Mamum der Dchte f ud der Brete Streuug Lageparameter eer Vertelug Wchtgster Lageparameter st der rwartugswert. Bespel: Mttlere ugezahl bem Würfel; alle ugezahle sd glech wahrschelch ,5 6 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 95
96 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable -Werte mt höherer Wahrschelchket werde stärker gewchtet, darum Defto des rwartugswertes eer dskrete Zufallsvarable : : falls < " " ω { ω } : ω Ω FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 96
97 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable rwartugswert eer kotuerlche Zufallsgröße ahme: Der Werteberech vo se Wahrschelchket, dass m Itervall < f + f < Äqudstate Utertelug der - chse: f R; d [ ; + ] f + sestetg legt: + Vorraussetzug: f d< " " + f µ d Schwerpukt der Dchtefukto FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 97
98 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable geschafte ud Berechug des rwartugswertes Dskrete Zufallsvarable, m allgemee: a µ b µ Stetge Zufallsvarable: µ berechet ausalle W st m allgemee cht der bszssewert des Dchtefukto, ur besymmetrsche Dchtefuktoelegt der Flächeschwerpukt mmer auf W der Symmetreachse Mamums der S FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 98
99 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable Be Trasformato auf ee eue Zufallsvarable Yg: Y Y µ µ Y Y + + y f Y g y dy f d Spezell be learer Trasformato: a + b a + b rwartugswert uaschaulch bzw. rreführed be sehr schefe Verteluge: Studedauer lteratve zum rwartugswert: Meda Wert, der de Vertelug halbert ~ 0,5 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 99
100 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable fach be stetge Zufallsvarable: ~ F ~ ~ d 0,5 Vortel: Der Meda estert mmer! f Der Meda st problematscher be dskrete Zufallsvarable: Bs auf wege usahme gbt es kee -Wert der Zufallsvarable, be dem de Vertelugsfukto eakt de Wert 0,5 ammt. Daher st adere Defto erforderlch: FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 00
101 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable < ~ ud ~ schaulch: Ma sucht der Vertelugsfukto F de Sprug vo F <0,5 auf F + >0,5. + st da der gesuchte Meda. Für de seltee Fall mt F 0,5 st der gesuchte Meda. Der Meda st ur e Spezalfall des α-quatls α FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 0
102 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable < αud α α α α α Uteres Quartl Oberes Quartl Der Quartlabstad 0,5 0,75 st e Streuugsmaß, de m Itervall zwsche uterem ud oberem Quartl lege de ere 50% der Vertelug! FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 0
103 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable 4.6. Streuugsparameter eer Vertelug Zel: Maß für de Brete eer Vertelug fde, z. B. mttlere bwechug eer Zufallsvarable vo hrer mttlere Lage. Y : µ mt µ Y µ µ 0 Mttlere bwechug vo der mttlere Lage st ugeeget! Daher Defto der Varaz bzw. Stadardabwechug als Streuugsmaß: FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 03
104 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable se ee Zufallsvarable mt rwartugswert µ " Varaz" V: -µ σ " Stadardabwechug" σ V Kokrete Berechug: V µ dskret V + µ f d kotuerlch Kokrete Berechug der ras mmer ach deser Defto? FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 04
105 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable Wchtger Zusammehag zwsche rwartugswert ud Varaz: µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ σ d f d f d f d f Ist µ bekat, braucht ma ur och de rwartugswert vo zu bereche! Spezell be learer Trasformato: V a b a V + Bewes?
106 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable Durch Umformug gewt ma daraus ee ützlche bschätzug: ] ] [ [ ; ; ; ; 0 ε µ ε ε ε σ ε µ ε µ ε µ ε µ ε µ ε µ µ µ µ σ ε ε µ ε µ ε µ ε µ > d f d f d f d f d f Se ε σ ε µ Tschebyscheff-Uglechug Je kleer de Varaz, um so uwahrschelcher werde große bstäde vo zum rwartugswert!
107 I. Wahrschelchketsrechug I.4 Wahrschelchketsvertelug eer Zufallsvarable Verallgemeerte Momete eer Vertelug Verallgemeertes Momet k-ter Ordug zur Dchtefukto f: Zwe wchtge Spezalfälle: + k k a a f d aµ Zetralmomete ud a0 Momete Schefe 3 µ M S 3 σ s s 3 3/ Rückschlüsse auf de Symmetre der Dchtefukto, z.b. aus epermetelle Date. M S -0,8 M S,6 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 07
108 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge 5. Bomalvertelug Beroull-permet Zwe verschedee, sch gegesetg ausschleßede regsse trete mt kostater Wahrschelchket p bzw. -p e, auch be Wederholug des permetes. Bespele: Wurf eer Müze: :"Zahl"; p ; q p :"Wappe" FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 08
109 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Zehug eer weße Kugel aus eer Ure mt 5weße ud 3 schwarze Kugel :" Zehug eer weße Kugel"; :" Zehug eer schwarze Kugel" 5 3 p ; q p p 8 8 Bemehrfache Zehuge: Mt Zurücklege! Beroull-permet vom Umfag Mehrstufe-permet: -fache usführug ees Beroull-permets mt der Voraussetzug, dass de rgebsse der ezele Stufe voeader uabhägg sd. FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 09
110 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Zufallsvarable: zahl der Versuche, dee das regs be eer -fache usführug des Beroull- permets etrtt. Ω { 0;;;K} Gesucht: Wahrschelchket für das regs, d.h. das regs trtt be Versuchsdurchführuge geau -mal e. Uremodell: FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 0
111 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge regs : Zehug eer weße Kugel ; p; Zehug vo Kugel mt Zurücklege: weße ud - schwarze Kugel wurde gezoge e möglche Realserug der Zufallsvarable: Wahrschelchket für dese spezelle Realserug: Multplkatossatz für stochastsch uabhägge regsse pppkp qqqkq mal mal p q FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06
112 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Wetere Realseruge vo etstehe durch ermutato der gezogee Kugel, wobe ee Vertauschug der ordug erhalb der weße bzw. - schwarze Kugel kee eue Realserug bldet: ; ;!!! lle Realseruge orduge schleße sch gegesetg aus; ddtossatz: Wahrschelchketsfukto der Bomalvertelug: f p q 0,,, K FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06
113 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge f p q 0,,, K De Wahrschelchkete f etspreche der Rehe ach de Summade der bomsche twcklug vo q+p : q + p q { + q p+ q p + K+ { p f f f f FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 3
114 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Vertelugsfukto F k k p k q k FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 4
115 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge 5. Hypergeometrsche Vertelug roblem: Zehug ohe Zurücklege st ke Beroull- permet mehr, da sch de Wahrschelchket p durch das Zehe eer het verädert! Uremodell: N Möglchkete, Kugel ohe Zurücklege zu zehe. Kombato -ter Ordug vo N lemete ohe Wederholug FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 5
116 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge M Möglchkete, weßekugelausde M weße auszuwähle NM Möglchkete, - schwarze Kugel aus de N- M schwarze auszuwähle FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 6
117 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Wahrschelchketsfukto hypergeometrsche Vertelug: M NM f 0,,, K N µ σ Mttelwert ud Varaz: M N M N N M N N Merke: Zehug mt Zurücklege: Bomalvertelug Zehug ohe Zurücklege: Hypergeometrsche Vertelug FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 7
118 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Faustregel: De hypergeometrsche Vertelug ka äherugswese durch de bequemere Bomalvertelug ersetzt werde, falls glt: < 0,05N h ; N, M, b ;, p mt We seht`s aus bem Skat? Wahrschelchket, ver Bube auf de Had zu bekomme? p M N FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 8
119 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge 5.3 osso - Vertelug Beroull permete, be dee regsse mt ur sehr gerge Wahrschelchkete auftrete: Rutherford Geger permet Zettervalle vo je 7,5s Läge: Isgesamt 0097 Zerfälle beobachtet. Im Mttel also 3,87 Zerfälle währed ees Zettervalles vo 7,5s Läge, aber ebe ur m Mttel: Radoaktver Zerfall FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 9
120 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Gesucht: Vertelug für seltee regsse! lm p p µ 0;;K p µ! e µ Wahrschelchketsfukto der osso-vertelug: f µ µ e 0,,, K! f st durch de arameter µ edeutg festgelegt: rwartugswert FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 0
121 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Merke: tel/zahl eer Stchprobe: Bomalvertelug Zahl pro het: osso - Vertelug Faustregel: De Bomalvertelug ka äherugswese durch de bequemere osso-vertelug ersetzt werde, falls glt: b ;, mt po ;µ FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 p < 0 > 500 p p µ ud p
122 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge 5.4 Gaußsche - Normalvertelug Betrachte de Wahrschelchketsfukto der Bomalvertelug m Grezfall ees gege uedlch strebede Stchprobeumfags : Lokaler Grezwertsatz vo de Movre-Laplace k mt p k lmr p k k 0 π p p ep kp p p [ + R k ] Lke Sete: Rechte Sete: ud k gazzahlg uch für reelle Werte vo ud k auswertbar! FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06
123 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Idee: Schrebe m Grezfall de rechte Sete als Wahrschelchketsdchte π p p ep kp! p p f k dk Substtuto: : kp p p f k dk! f d f ep π geschafte vo f ep π FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 3
124 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge f µ σ + + f symmetrsch umnull ep π ep π d d Stadardormalvertelug st N0; vertelt 0 ep d π π Verallgemeerug: Betrachte eue Zufallsvarable Y σ +µ Leare Trasformato! FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 4
125 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge f Y yµ yµ y f ep > fy y σ σ σ σ π σ 0 Be Umbeeug vo Y : f ep σ π µ σ Dchte der Normalvertelug st Nµ;σ vertelt geschafte: f st symmetrsch um µ f hat e Mamum derhöhe be σ π 3 f hat Wedepuk te be µ ± σ µ FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 5
126 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge σ bestmmt Höhe ud Brete der Wahrschelchketsdchtefukto; µ bestmmt de Lage des Mamums. Vertelugsfukto der Gaußsche Normalvertelug: t F ep σ π σ µ dt roblem: Das Itegral st cht geschlosse lösbar! FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 6
127 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Itegral umersch löse ud ausführlch tabellere! Mt vertretbarem ufwad aber ur für ee Kombato aus µ;σ machbar: Für de Stadardormalvertelug! Jede Gaußsche Normalvertelug läßt sch auf de Stadardormalvertelug trasformere. De kokrete Berechug der Vertelugsfukto erfolgt daher zwe Schrtte: Trasformato der Varable auf ee stadardserte Varable blese der Vertelugsfukto der Tabelle der Stadardormalvertelug FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 7
128 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Trasformato auf stadardserte Varable µ σ FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 8 u Wahrschelchketsdchte der Stadardormalvertelug Vertelugsfukto der Stadardormalvertelug µ u F G u σ Gu st tabellert
129 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 9 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge u u F Φ Φ Φ Φ σ µ σ µ Φ Φ σ µ σ µ a b a F b F b a Symmetrsche Itervalle: Φ Φ Φ Φ Φ ,9973 0,9544 0,686 k für k für k für k k k k k k F k F k k σ µ σ µ σ µ σ µ
130 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge U c c Φ c u 0,9,8 0,9 Quatle U c U Φ c 0,9 Φ c 0, c u 0,,8 c U c Φ c 0,95+ 0,05 0,975 c 0,975,960 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust u
131 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge 5.5 Spezaltäte Geometrsche Vertelug: Dskrete Vertelug für das Warte auf de erste rfolg rste Sechs be Mesch ärgere Dch cht asch m Gefägs vo Moopoly erodsche kurze Belastuge ohe Nachwrkug, de Geräte, Bautele etc. fuktosutüchtg mache De Zufallsvarable bestzt ee geometrsche Vertelug mt arameter p 0<p<, falls hre Vertelug gegebe st durch: k k p p; k N 0 st de Zahl der Nete vor dem erste Treffer, der mt Wahrschelchket p etrtt. FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 3
132 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge rwartugswert: p Varaz: σ p p p FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 3
133 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Negatve Bomalvertelug: Verallgemeerug der Geometrsche Vertelug Betrachte de Wahrschelchket, dass eem Beroull-permet der r-te rfolg Treffer, zelwahrschelchket p, r,,3,... m k-te Versuch k r auftrtt. k kr r Y k p p ; k r, r+, r+ r,k Be Betrachtug der Zufallsvarable Y-r Zahl der Msserfolge bs zum r-te rfolg ergbt sch de Wahrschelchketsfukto der egatve Bomalvertelug: FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 33
134 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge r+ k k r k p p ; k k 0,,,K rwartugswert: p r ; Varaz: σ p r p p Falls r gazzahlg: ascal Vertelug weduge: Modellerug vo steckugsvorgäge Schädlge auf Blätter oder Bäume Verscherugsmathematk: Modell für Schadezahle FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 34
135 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Stetge glechmäßge Vertelug: alogo zur dskrete glechmäßge Vertelug De Zufallsvarable ka m Itervall f 0 ba für für < a a ud b > [ a;b] Wahrschelchket aehme; Wahrschelchketsdchte: FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust b rwartugswert Varaz Var µ σ alle Werte mt glecher b a ba b a µ b+ a d ba ba d
136 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Webull - Vertelug: Beschrebug des usfallverhaltes vo Geräte, Baugruppe etc. Dreparametrge Webull-Vertelug Wahrschelchketsdchte: b b b c c f ep a a a 0 Vertelugsfukto F b c ep a 0 für c für > c für für > c c FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 36
137 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge a: Maßstabsparameter Charakterstsche Lebesdauer b: Formparameter usfallstelhet c: Lageparameter usfallfree Zet; c0: zweparametrge Webullvertelug Spezalfall: b; c0 poetalvertelug FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 37
138 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge 5.6 Zusammefassug ud Näheruge FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 38
139 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge µ>9 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 39
140 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Bespel: Näherug der Bomalvertelug durch de Normalvertelug 0; p ; 0 Müzwürfe; zahlmt dem rgebs"zahl" Wahrschelchketsfukto der Bomalvertelug f B FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 40
141 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge p Wr versuche es p,5 Näherug durch de Normalvertelug egetlch och cht erlaubt!zu ugeau π trotzdem: ep,5 µ p Dchtefukto der Normalvertelug f N 5,5 5; σ p ep 5π 5 p 5,5 Verglech FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 4
142 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Wahrschelchket, be 0 Würfe dre-, bzw. füfmal"zahl"zuerhalte: 3 5 f B 3 + f B 4 + f B 5 ver 0,5684 Verschebe der dre Stäbe um jewels 0,5 ach lks ud ach rechts:hstogramm Brete der Rechtecke:, Höhe:f B Gesamtfläche: Gesuchte Wahrschelchket - FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 4
143 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge Näherugslösug f N ep 5π 5 5 Das Hstogramm st de gesuchte eakte Wahrschelchket: Für ee verüftge Näherug müsse de alte Itervallgreze um 0,5 ach auße verschobe werde, sost st de Fläche uter der Gaußsche Glockekurve zu kle! FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 43
144 I. Wahrschelchketsrechug I.5 Spezelle Wahrschelchketsverteluge 3 u o 3 5,55,5 5 5,5,5 Stadardsere: 0,36 ep 5π u u 5,55,5 5,58 5 Φ0,36 Φ,58 0,5670 F5,5 F,5 llgeme: a b F b + 0,5 F a 0,5 b Φ + 0,5µ a0, 5µ Φ σ σ FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 44
145 I. Wahrschelchketsrechug I.6 Mehrdmesoale Zufallsvarable 6. führedes Bespel Zwe oder mehr Zufallsvarable werde glechzetg beobachtet: Mehrdmesoale Wahrschelchketsverteluge Bespel: Glechzetger Wurf eer Müze ud ees Würfels zahl Wappe be der Müze ; Yugezahl bem Würfel { 0;} { ;;3;4;5;6 } Y Für de zwedmesoale Zufallsvarable,Y gbt es damt verschedee lemetareregsse: FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 45
146 I. Wahrschelchketsrechug I.6 Mehrdmesoale Zufallsvarable Laplace-permet: lle lemetareregsse trete mt derselbe Wahrschelchket e ; Y y 0,; y,, K6 Vertelugstabelle: FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 46
147 I. Wahrschelchketsrechug I.6 Mehrdmesoale Zufallsvarable De Wahrschelchketsfukto deser zwedmesoale Vertelug st da ee Fukto vo zwe uabhägge Varable: f ; y ; Y y / 0 für 0,; y,, K,6 alle übrge ; y Räumlches Stabdagramm deser dskrete Wahrschelchketsfukto: FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 47
148 I. Wahrschelchketsrechug I.6 Mehrdmesoale Zufallsvarable I der Vertelugstabelle de Wahrschelchketswerte zelewese addere: f f y y f f 0; y ; y 6 6 f st de Wahrschelchket für das regs, uabhägg vo der gewürfelte ugezahl Y. I der Vertelugstabelle de Wahrschelchketswerte spaltewese addere: 0 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 48
149 I. Wahrschelchketsrechug I.6 Mehrdmesoale Zufallsvarable M f f f 6 f ; f ; f ; f y st de Wahrschelchket für das regs Yy, uabhägg vom rgebs des Müzwurfes. De bede edmesoale Wahrschelchketsfuktoe f ud f y der Zufallsvarable ud Y werde als Radverteluge der zwedmesoale Vertelug ;Y bezechet. Her st f;yf f y Des glt aber cht allgeme! s. später! FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 49
150 I. Wahrschelchketsrechug I.6 Mehrdmesoale Zufallsvarable 6. Zwedmesoale Wahrschelchketsverteluge Vertelugsfukto eer zwedmesoale Zufallsvarable De Wahrschelchketsfukto eer zwedmesoale Zufallsvarable ;Y auch Zufallsvektor geat lässt sch vollstädg durch de Vertelugsfukto darstelle: Gemesame Vertelug der Zufallsvarable ud Y: F ; y ; Y y FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 50
151 FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 5 I. Wahrschelchketsrechug I.6 Mehrdmesoale Zufallsvarable geschafte der Vertelugsfukto: ; lm 0 ; lm ; lm y F y F y F y y ; ; ; ; ; a a F a b F b a F b b F b Y a b a + < <
152 I. Wahrschelchketsrechug I.6 Mehrdmesoale Zufallsvarable Dskrete zwedmesoale Vertelug ;Y heßt dskret, we bede Kompoete dskrete Zufallsvarable sd. ahme: ud Y köe ur edlch vele Werte aehme: y ; Y y,, Km bzw. y, y, K k p k Zwedmesoale Vertelugstabelle FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 5
153 I. Wahrschelchketsrechug I.6 Mehrdmesoale Zufallsvarable Wahrschelchketsfkt.: pk ; y yk f ; y für 0 alle übrge ; y f ; y 0 m k f ; y k Normerug Radvertelug vo Radvertelug vo Y f * p ;,, K für 0 alle übrge, m f y ** p y yk; k,, K für 0 alle übrgey k, Vertelugsfukto: F ; y f ; y y k y k FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 53
154 I. Wahrschelchketsrechug I.6 Mehrdmesoale Zufallsvarable Stetge zwedmesoale Vertelug ;Y heßt stetg, we bede Kompoete stetge Zufallsvarable sd. Vertelugsfukto: F ; y f u; v dvdu y u v Dchtefukto: y f ; y dyd Dchtefukto der Radvertelug vo Dchtefukto der Radvertelug vo Y f ; y dy y y f f f ; y d FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 54
155 I. Wahrschelchketsrechug I.6 Mehrdmesoale Zufallsvarable Bespel: Zwedmesoale Glechvertelug f ; y cost 0 c für 0 ; 0 y alle übrge ; 5 y ; Y 3? FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 55
156 I. Wahrschelchketsrechug I.6 Mehrdmesoale Zufallsvarable 6.3 Stochastsch uabhägge Zufallsvarable Hat be glechzetger Beobachtug zweer Zufallsvarable ud Y der beobachtete Wert der ee Zufallsvarable fluss auf de Wert der adere? Bespel: Würfel mt zwe uterschedbare Würfel ugezahl. Würfel, Yugezahl. Würfel Defto: De Zufallsvarable ud Y mt de Vertelugsfuktoe F ud F y ud der gemesame zwedmesoale Vertelugsfukto F;y heße stochastsch uabhägg, we de Bedgug F;yF F y für alle ;y erfüllt st. FH CHN UNIVRSITY OF LID SCINCS 30. ugust 06 56
Statistische Grundlagen Ein kurzer Überblick (diskret)
Prof. J.C. Jackwerth 1 Statstsche Grudlage E kurzer Überblck (dskret De wchtgste Begrffe ud Deftoe: 1 Erwartugswert Varaz / Stadardabwechug 3 Stchprobevaraz 4 Kovaraz 5 Korrelatoskoeffzet 6 Uabhäggket
1 Mathe Formeln Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
1 Mathe Formel Statstk ud Wahrschelchketsrechug Jör Horstma, 6.10.003. Alle Agabe ohe Gewähr. http://www.ba-stuttgart.de/ w017/ 1.1 Grudlage Ezelklasse [a ; b [ Klassewete Klassemtte Mttelwert b a = w
5 Reproduktions- und Grenzwertsätze
Reproduktos- ud Grezwertsätze Reproduktos- ud Grezwertsätze. Reproduktossätze Bespel 0: Der Aufzug eer Frma st zugelasse für Persoe bzw. 000 kg. Das Durchschttsgewcht der Agestellte der Frma st µ = 80
Ordnungsstatistiken und Quantile
KAPITEL Ordugsstatste ud Quatle Um robuste Lage- ud Streuugsparameter eführe zu öe, beötge wr Ordugsstatste ud Quatle... Ordugsstatste ud Quatle Defto... Se (x,..., x R ee Stchprobe. Wr öe de Elemete der
2. Die Elementarereignisse sind die Kombinationsmöglichkeiten von: Wappen = W und:
1 L - Hausaufgabe Nr. 55 Sotag, 1. Ju 2003 Ee Müze werde dremal geworfe. Was st das Zufallsexpermet, das Elemetareregs, das zusammegesetzte Eregs, der Eregsraum ud de Wahrschelchket? Lösugs kte.: 1 De
Erzeugen und Testen von Zufallszahlen
Erzeuge ud Teste vo Zufallszahle Jürge Zumdck Eletug Ee Lergruppe wrd aufgefordert 00 Zufallszahle (0 oder ) ach folgede Methode zu erzeuge: De Hälfte der Gruppe beutzt a) ee Müze oder b) de Zufallszahlefukto
Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schliessenden Statistik
Übuge zur Wahrschelchketsrechug ud Schlessede Statstk Aufgabe ud Lösuge vo Peter M Schulze, Verea Dexhemer. Auflage Übuge zur Wahrschelchketsrechug ud Schlessede Statstk Schulze / Dexhemer schell ud portofre
Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes. Redudaz. Eführug. Defto der Redudaz. allgemee Redudazredukto. redudazsparede Codes. Coderug ach Shao. Coderug ach Fao. Coderug ach Huffma.4 Coderug
Asymptotische Normalverteilung nach dem zentralen Grenzwertsatz
Asymptotsche ormalvertelug ach dem zetrale Grezwertsatz Erwartugswert eer Summe vo Zufallsvarable mt jewels de Erwartugswert x (Y Y Asymptotsche ormalvertelug ach dem zetrale Grezwertsatz Varaz eer Summe
( ) ( ) ( ) ( ) è ø. P A Wahrscheinlichkeitsmaß. lim n. Dr. Christian Schwarz 4. KOMBINATORIK Permutationen
BBA Projektsemar Thess Dr. Chrsta Schwarz Formelsammlug Aalytsche Statstk 4. KOMBINATORIK 4.. Permutatoe Azahl der Permutatoe vo N Elemete ohe Wederholug: Multomalkoeffzet: N! = N N- N -... 3 N! N! N!...
Spezielle diskrete Verteilungen
Spezelle dskrete Vertelugsfamle Dskrete Glechvertelug Beroull- oder Zwe-Pukt-Vertelug Bomalvertelug Hypergeometrsche Vertelug Possovertelug Geometrsche Vertelug Appromatoe Bblografe Bleymüller / Gehlert
Diskrete Zufallsvariablen. Wahrscheinlichkeitsräume Zufallsvariablen Erwartungswert Varianz. Quiz
Dskrete Zufallsvarable Wahrschelchketsräume Zufallsvarable rwartugswert Varaz Quz Im Fall eer Glechvertelug sd glech große Telmege vo Ω glech wahrschelch. Z.B. glt für Ω{0,,}: {0}{}{} 3 {0,}{0,}{,} 3 Aalog
Statistik. ist die Kunst, Daten zu gewinnen, darzustellen, zu analysieren und zu interpretieren um zu neuem Wissen zu gelangen.
Statstk st de Kust, Date zu gewe, darzustelle, zu aalysere ud zu terpretere um zu euem Wsse zu gelage. Sachs (984) Aufgabe De Statstk hat also folgede Aufgabe: Zusammefassug vo Date Darstellug vo Date
Varianzfortpflanzung
5.0 / SES.5 Parameterschätzug Varazortplazug Torste Maer-Gürr Torste Maer-Gürr Dskrete Zuallsvarable Ee dskrete Zuallsvarable mmt edlch vele oder abzählbar uedlch vele Werte a. - Werte: - Wahrschelchket:,,,,,,,,
Lösungen zu Übungs-Blatt 7 Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen, Bedingte Wkt, Unabhängigkeit, Satz von Bayes
Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows De folgede ufgabe löse wr uter Verwedug der bede ombatorsche
WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
1 Allgeme Geometrsche Rehe: q t = 1 q1 t=0 1 q Mtterachtsformel: ax 2 bxc=0 x 1/ 2 = b±b2 4ac 2a Bomsche Formel: 1. ab 2 =a 2 2abb 2 2. a b 2 =a 2 2abb 2 3. ab a b=a 2 b 2 Wurzel: ugerade 1 Ergebs gerade
2.2 Rangkorrelation nach Spearman
. Ragkorrelato ach Spearma Wr wolle desem Kaptel de Ragkorrelatoskoeffzete ach Spearma bereche. De erste Daterehe besteht aus Realseruge x, x,..., x der uabhägg ud detsch stetg vertelte Zufallsvarable
Verteilungen und Schätzungen
Verteluge ud Schätzuge Zufallseperet Grudbegrffe Vorgag ach eer bestte Vorschrft ausgeführt ( Przp) belebg oft wederholbar se Ergebs st zufallsabhägg be ehralge Durchführug des Eperets beeflusse de Ergebsse
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Bedgte Wahrschelchket
annehmen, so heißt die Funktion, die jedem atomaren Ereignis { x i } mit i { 1; 2; ;
Wahrschelchet Ee Futo X : Ω R, de edem Ergebs ees zufällge Vorgages ee reelle Zahl zuordet, heßt Zufallsgröße (oder auch Zufallsvarable Ee Zufallsgröße X heßt edlch, we X ur edlch vele Werte x aehme a
Einen Spieler interessiert nicht, wie er gewinnt, sondern ob und wie viel er gewinnt.
III Zufallsgröße Bespel ud Defto Bespel: Dremal Müzwurf Spel: Esatz, we cht zwe gleche htereader 3 Auszahlug. Ω = {(x x x3) x,x,x3 {Z,K}} Retert sch deses Spel? Dabe geht es ur um de Gew! Also: Defto Gew:
Höhere Mathematik 4 Kapitel 17 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Höhere Mathemat 4 Katel 7 Wahrschelchetsrechug Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus Höhere Mathemat 4 Katel 7 Ihaltsverzechs 7 Wahrschelchetsrechug...7-7. Deftoe, Besele...7-7. Bedgte Wahrschelchete, uabhägge regsse...7-7.
Formelsammlung für die Lehrveranstaltung Statistik
Formelsammlug Statst Formelsammlug für de Lehrverastaltug Statst ugelasse für de Klausure ur Statst de Studegäge der Techsche Betrebswrtschaft Verso vom 5..9 Korreturhwese a: Rose@FH-Muester.de Formelsammlug
Einführung Fehlerrechnung
IV Eführug Fehlerrechug Fehlerrechuge werde durchgeführt, um de Vertraueswürdgket vo Meßergebsse beurtele zu köe. Uter dem Fehler eer Messug versteht ma de Abwechug ees Meßergebsses vom (grudsätzlch ubekate
Intervallschätzungen geben unter Berücksichtigung des Verteilungstyps von X einen Bereich an, der den Parameter mit vorgegebener Sicherheit enthält.
Parameterschätzuge Fachhochschule Jea Uversty of Appled Sceces Jea Oft st der Vertelugstyp eer Zufallsgröße X bekat, ur de Parameter sd ubekat. Da erfolgt hre Schätzug aus eer Stchprobe. Ma uterschedet
Lösungen. Häufigkeitsverteilung (Stabdiagramm) Aufgabe 1. Häufigkeit (h) Merkmal (x)
Lösuge Aufgabe Merkmal (x) Häufgket (h) h x,, 3, 3,, 8, 5, 5, 6, 6, 7, 3, 8, 3 5, 9, 38,, 5,, 8 68,, 6 3, 3, 9,, 8, 5, 5 5, 6, 3 78, 7, 5, 8, 8, 3, 3, Summe 5.63, Aufgabe Häufgketsvertelug (Stabdagramm)
Stochastik Formeln von Gerald Meier
Stochast Formel vo Gerald Meer Grudbegrffe ud Operatoe umöglches Eregs scheres Eregs Ω A mplzert B Glechhet A B AB cht A A A ud B A B A oder B A B A ohe B A \ B A B dsjut A B de Morga A B A B Elemetareregs
Kapitel XI. Funktionen mit mehreren Variablen
Kaptel XI Fuktoe mt mehrere Varable D (Fuktoe vo uabhägge Varable Se R ud D( f R Ist jedem Vektor (Pukt (,,, D( f durch ee Vorschrft f ee reelle Zahl z = f (,,, zugeordet, so heßt f ee Fukto vo uabhägge
Ergebnis- und Ereignisräume
I Ergebs- ud Eregsräume Zufallsexpermete Defto: E Expermet, welches belebg oft uter gleche Bedguge wederholbar st ud desse Ergebs cht mt Bestmmthet vorhergesagt werde ka (d.h. es gbt md. 2 Mgk.), heßt
Deskriptive Statistik behaftet.
De Statstk beschäftgt sch mt Masseerscheuge, be dee de dahterstehede Ezeleregsse mest zufällg sd. Statstk beutzt de Methode der Wahrschelchketsrechug. Fudametalregel: Statstsche Aussage bezehe sch e auf
Seminar: Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen - Unbegrenzt teilbare und stabile Verteilungen.
Uverstät Ulm, Isttut Stochastk 5. Jul 200 Semar: Stochastsche Geometre ud hre Aweduge - Ubegrezt telbare ud stable Verteluge. Ausarbetug: Stefa Fuke Betreuer: Ju.-Prof. Dr. Zakhar Kabluchko Ubegrezt telbare
Deskriptive Statistik
Elemet Deskrptve Statstk KAD 0.09. Grudgesamthet (Populato): Gesamthet der Idvdue (Elemete), dere Egeschafte be der Stude utersucht werde solle. De gesamte Mege der teresserede Date. N = uedlch Stchprobe:
Maße zur Kennzeichnung der Form einer Verteilung (1)
Maße zur Kezechug der Form eer Vertelug (1) - Schefe (skewess): Defto I - Ee Vertelug vo Messwerte wrd als schef bezechet, we se der Wese asymmetrsch st, dass lks oder rechts des Durchschtts ee Häufug
Vl. Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 3: Diskrete Verteilungen
Vl. Statstsche Prozess- ud Qualtätsotrolle ud Versuchsplaug Übug 3: Dsrete Verteluge Prof. Dr. B. Grabows Zur Lösug der folgede Aufgabe öe Se auch de begefügte Tabelle der dsrete Verteluge m Ahag verwede.
Dr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 5.2. Eigenschaften von Zufallsvariablen
Vorlesugscharts Vorlesug 5. Egeschafte vo Zufallsvarable Reproduktvtät Approxmatoe Zetraler Grezwertsatz Sete vo Chart : Uabhäggket vo Zufallsvarable Zwe Zufallsvarable X ud Y mt hre Realsatoe { x, x,...,
für j=0,1,...,n Lagrange zur Lösung der Interpolation nicht geeignet, da numerisch problematisch und teuer. 1 n
Aahme: Es gbt zwe Polyome p ud q vom Grad
Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 06.0.008 Spawete, Meda Quartlsabstad, Varaz ud Stadardabwechug. Streuug um de Mttelwert. I de folgede Säuledagramme st de Notevertelug zweer Schülergruppe (Mädche,
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Satz vo Bayes ud totale
( x) eine Funktion definiert, in der nur die i-te Komponente variabel ist. Folgende Schreibweisen werden aufgrund dieser Anmerkungen auch verwendet:
Pro. Dr. Fredel Bolle LS ür Volkswrtschatslehre sb. Wrtschatstheore (Mkroökoome) Vorlesug Mathematk - WS 008/009 4. Deretalrechug reeller Fuktoe IR IR (Karma, S. 00 06, dort glech ür IR IR m ) 4. Partelle
Physikalische Messungen sind immer fehlerbehaftet! Der wahre Wert ist nicht ermittelbar. Der wahre Wert x ist nicht identisch mit dem Mittelwert
Physkalsche Messuge sd mmer fehlerbehaftet! Der wahre Wert st cht ermttelbar. Der wahre Wert st cht detsch mt dem Mttelwert Der Wert legt mt eer gewsse Wahrschelchket (Kofdezahl bzw. Vertrauesveau %) m
Formeln für Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie (Dutter)
Formel für tatstk ud Wahrschelchketstheore (Dutter) Fehler a: fpalmater@gmal.com Cotets Beschrebede tatstk... Kegröße vo Verteluge... Verteluge... 3 Wahrschelchketstheore... 3 Grudlage... 4 Erwartug &
Statistik. (Inferenzstatistik)
Statstk Mathematsche Hlfswsseschaft mt der Aufgabe, Methode für de Sammlug, Aufberetug, Aalyse ud Iterpretato vo umersche Date beretzustelle, um de Struktur vo Masseerscheuge zu erkee. Deskrptve (beschrebede)
Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 0.0.008 Lagemaße der beschrebede Statstk. Zur Iterpretato eer Beobachtugsrehe ka ma ebe der grafsche Darstellug wetere charakterstsche Größe herazehe. Mttelwert ud
II. Wahrscheinlichkeitsrechnung
II. Wahrschelchketsrechug Vorlesugsmtschrft - Kurzfassug Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk HTW des Saarlades 005 Ihalt II. Wahrschelchketsrechug INHALTSVERZEICHNIS GRUNDLAGEN / DEFINITION DER WAHRSCHEINLICHKEIT...3.
FH D WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters Dezember 2007
FH D WS 007/08 Prof. Dr. Horst Peters Dezember 007 Formelsammlug Wahrschelchetsrechug ud dutve Statst m Bachelor-Studegag Busess Admstrato (Modul BWL B) Sete / 6 Formelsammlug Wahrschelchetsrechug ud Idutve
Alternative Darstellung des 2-Stichprobentests für Anteile. Beobachtete Response No Response Total absolut DCF CF
Alteratve Darstellug des -Stchprobetests für Atele DCF CF Total 111 11 3 Respose 43 6 69 Resp. Rate 0,387 0,3 0,309 Beobachtete Respose No Respose Total absolut DCF 43 68 111 CF 6 86 11 69 154 3 Be Gültgket
Eigenwerteinschließungen I
auptsemar: Numersche Lösuge für Egewertaufgabe Egewerteschleßuge I Referet: Wolfgag Wesselsky Glederug Eletug Kodto vo Egewerte 3 Eschleßugssätze Bauer-Fke, Gershgor, Wlkso, Bedxo 4 Zusatz: Courat / Weyl
Einführung 2. Teil: Fehleranalyse
Phskalsch-chesches Praktku I Modul Eführug. Tel: Fehleraalse Ja Helbg, 7.09.08 Uterlage: htt://www.che.uzh.ch/stud/old/docuets/ear/che3.htl Fehlerrechug Gesucht: wahrer Wert eer Grösse Aber: Sere vo Messuge
Grundlagen der Entscheidungstheorie
Kaptel 0 Grudlage der Etschedugstheore B. 0 (Gegestad) De Etschedugstheore befasst sch mt dem Etschedugsverhalte vo Idvdue ud Gruppe. Se besteht aus we Telgebete. Deskrptve Etschedugstheore De deskrptve
Definitionen und Aussagen zu Potenzreihen
Deftoe ud Aussage zu Potezrehe User bsherges Repertore a stetge Abblduge basert auf ratoale Fuktoe, also Ausdrücke, dee Addto, Subtrakto, Multplkato ud Dvso vorkomme. Auf dese Wese sd aber Epoetalfukto,
Deskriptive Statistik2 Durchschnittswert (der arithmetische Mittelwert)
Lagemasse, Lokatosmasse Lageparameter. Charakterserug das Zetrum der Date Deskrptve Statstk Durchschttswert (der arthmetsche Mttelwert) average(...) Mttelwert(...) K (Modalwert, Dchtemttel): der Wert mt
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statstk ud Wahrschelchketsrechug Mathas Graf 8.04.009 Ihalt der heutge Vorlesug Auswahl eer Vertelugsfukto: Wahrschelchketspaper Schätzug ud Modelletwcklug: Methode der Momete Methode der Maxmum Lkelhood
Formelsammlung Statistik
Deskrptve Statstk Formelsammlug Statstk. Edmesoale Häugketsverteluge Merkmal: X Datemege (Stchprobe) vom Umfag N: x, x 2,..., x geordete Stchprobe: x (), x (2),..., x () mt x () x (2)... x () Auspräguge
Statistische Kennzahlen für die Streuung
Statstsche Kezahle für de Streuug Ordale Date,..., W X,,..., WX {(j) j,..., J} () < () < < (J) {(),...,(J)} (3) () 3 () Geordete Lste k X (k) () () 3 () Smpso s D ud H() sd awedbar, allerdgs wrd Iformato
4. Marshallsche Nachfragefunktionen Frage: Wie hängt die Nachfrage nach Gütern
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 4. Marshallsche Nachfragefuktoe Frage:
Die Methode des 2.Moments
De Methode des 2.Momets Chrstoph Schmdt July 13, 2004 1 Eletug De Varaz eer Zufallsvarable st hre mttlere quadratsche Abwechug vo hrem Erwartugswert. V ar[x] = E[(X EX) 2 ] = E[X 2 ] E[X] 2 Der Term E[X
Konzentrationsanalyse
Kaptel V Kozetratosaalyse B. 5.. Im Allgemee wrd aus statstscher Scht zwsche - absoluter ud - relatver Kozetrato uterschede Der absolute ud relatve Aspekt wrd och emal utertelt - statscher ud - dyamscher
Formelsammlung Statistik
Gesudhets- ud Toursmusmaagemet Formelsammlug Statstk Dpl. Mathematker (FH) Rolad Geger Rosestr. 23 7263 Achtal cs.geger@t-ole.de www.cs-geger.de Grudlage Bezechuge x h N H Ω ezele Messergebsse eer Stchprobe
Im Wöhlerdiagramm wird die Lebensdauer (Lastwechsel oder Laufzeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von der Belastung dargestellt.
Webull & Wöhler 0 CRGRAPH Wöhlerdagramm Im Wöhlerdagramm wrd de Lebesdauer ( oder Laufzet) ees Bautels Abhägget vo der Belastug dargestellt. Kurzetfestget Beaspruchug Zetfestget auerfestget 0 5 3 4 6 0
Verdichtete Informationen
Verdchtete Iormatoe Maßzahle Statstke be Stchprobe Parameter be Grudgesamthete Maßzahle zur Beschrebug uvarater Verteluge Maßzahle der zetrale Tedez (Mttelwerte) Maßzahle der Varabltät (Streuugswerte)
(Markowitz-Portfoliotheorie)
Thema : ortfolo-selekto ud m-s-rzp (Markowtz-ortfolotheore) Beurtelugskrtere be quadratscher Nutzefukto: Beroull-rzp + quadratsche Nutzefukto Thema Höhekompoete: Erwartugswert µ Rskokompoete: Stadardabwechug
Histogramm / Säulendiagramm
Hstogramm / Säuledagramm Häugkete 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3,45 3,75 4,05 4,35 4,65 Flüge lläge [mm] Be Hstogramme st soort deutlch, daß es sch um Häugketsauszähluge hadelt. De Postoe der Klasse sowe hre
Grundgesetze der BOOLEschen Algebra und Rechenregeln
5... Grudgesetze der BOOLEsche Algebra ud Recheregel Auf de mathematsch korrekte Eführug der BOOLEsche Algebra ka ch verzchte, da das Ihrer Mathematkausbldug ausführlch behadelt wrd. Ich stelle Ihe zuächst
Textil & Design Formelsammlung Statistik
Textl & Desg Formelsammlug Statstk Dpl. Mathematker (FH) Rolad Geger Rosestr. 23 7263 Achtal cs.geger@t-ole.de www.cs-geger.de Grudlage Bezechuge x h N H Ω ezele Messergebsse eer Stchprobe absolute Häufgket
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Wahrschelchketsrechug ud Statstk ) Grudbegrffe der Statstk. Eletug Statstsche Methode dee zur Beurtelug vo Messuge oder Zähluge, kurz Beobachtuge geat, we se us m täglche Lebe velfach begege. Aufgabe der
Grundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik
Prof. Dr. Ig. Post Grudlage der Eergetechk Eergewrtschaft Kosterechug EEG. Vorlesug EEG Grudlage der Eergetechk De elektrsche Eergetechk st e sogeates klasssches Fach. Folglch st deses Fach vele detallert
II. Wahrscheinlichkeitsrechnung
II. Wahrschelchketsrechug Vorlesugsmtschrft - Kurzfassug Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk HTW des Saarlades 00 II. Wahrschelchketsrechug INHALTSVERZEICHNIS GRUNDLAGEN / DEFINITION DER WAHRSCHEINLICHKEIT...3.
Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes Quellecoderug Durch de Quellecoderug werde de Date aus der Quelle codert, bevor se ee Übertragugskaal übertrage werde De Coderug det der Verkleerug
DIE VAPNIK-CHERVONENKIS THEORIE. Inhaltsverzeichnis
DIE VAPNIK-CHERVONENKIS THEORIE MATHIS KLEPPER, MICHAEL SAß Ihaltsverzechs Tel Vapk-Chervoeks Theore Tel I 2 Eführug 2 2 Glveko-Catell 5 3 Vapk-Chervoeks-Theore 0 Tel 2 Vapk-Chervoeks Theore Tel II 2 4
Lohnkosten pro Arbeitsstunde. Wie hoch sind die Lohnkosten pro Arbeitsstunde im Jahresdurchschnitt?
Klausur Wrtschaftsstatstk. [ Pukte] E Uterehme hat folgede Date ermttelt: Moat Gelestete Arbetsstude Lohkoste pro Arbetsstude Jauar 86.400 0,06 Februar 75.000 3,0 März 756.000 4,47 Aprl 768.000,53 Ma 638.400
Der Approximationssatz von Weierstraß
Der Approxmatossatz vo Weerstraß Ja Köster 22. Oktober 2007 1 Eführug Aus der Aalyss wsse wr, dass sch aalytsche Fuktoe durch Potezrehe der Form f(x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... darstelle lasse. Dabe kovergert
Eigenschaften der arithmetischen Mittel. Schätzer für die Varianz. Allgeimeines Method: Likelihood Funktion. Schätzer für die Wahrscheinlichkeit
Statstk. Vorlesug, September 6, 009 Egeschafte er arthmetsche Mttel für alle Fälle wo e Stchprobeelemete habe e selbe Vertelug u s uabhägg: E ( = mvar, ( = / Staarabwechug (Staarfehler: D ( = / Korrektur
Sitzplatzreservierungsproblem
tzplatzreserverugsproblem Be vele Zugsysteme Europa müsse Passagere mt hrem Zugtcet ee tzplatzreserverug aufe. Da das Tcetsystem Kude ee ezele Platz zuwese muss, we dese e Tcet aufe, ohe zu wsse, welche
Z Z, kurz. Zählt die Reihenfolge der Buchstaben (ja/nein) Daraus ergeben sich wiederum vier Möglichkeiten, Wörter der Länge k zu bilden.
Kombator Problemstellug Ausgagsput be ombatorsche Fragestelluge st mmer ee edlche Mege M, aus dere Elemete ma edlche Zusammestelluge vo Elemete aus M bldet Formal gesproche bedeutet das: Ist M a,, a ee
Methoden der computergestützten Produktion und Logistik
Methode der comutergestützte Produkto ud Logstk 9. Bedesysteme ud Warteschlage Prof. Dr.-Ig. habl. Wlhelm Dagelmaer Modul W 336 SS 06 Bedesysteme ud Warteschlage Besel: Fahrradfabrk Presse Puffer Lackerere
Formelsammlung für die Lehrveranstaltung Wirtschaftsmathematik / Statistik
Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst Formelsammlug für de Lehrverastaltug rtschaftsmathemat / Statst zugelasse für de Klausure zur rtschaftsmathemat ud Statst de Studegäge der Techsche Betrebswrtschaft
Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen X und Y. Er ist durch folgende Formel charakterisiert:
Korrelatoskoeffzet Der Korrelatoskoeffzet st e Maß für de leare Zusammehag zwsche zwe Varable X ud Y. Er st durch folgede Formel charaktersert: r xy corr XY ( x x)( y y) ( ) x x ( y y) x x y x ( ) ( )
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik - Zusamenfassung
Wahrschelchketsrechug ud Statstk - Zusamefassug atrck letscher. September 3 Wahrschelchkete. Eregsraum Der Eregsraum Ω umfasst alle möglche Ausgäge ees Zufallsexpermmets. E Elemetareregs Ω st e Elemet
Schiefe-, Wölbungs- und Konzentrationsmaße
Statstk für SozologIe Schefe-, Wölbugs- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Merkmal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgketstabelle berchtet: Klasse
Schiefe- und Konzentrationsmaße
Statstk für SozologIe Schefe- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Merkmal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgketstabelle berchtet: Klasse m Gruppe
Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 54
Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 54 3.2.8 ARROW-PRATT-Maß für de Rskoestellug Rskoverhalte bsher grob kategorsert ach Rskoeutraltät, -symathe ud averso be Rskoaverso: (X) < SÄ Rskoräme
Vorkurs, Teil 1. (3) Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Determinanten (Lehrbuch Kap )
Vorkurs, Tel Lehrbuch: Sydsaeter / Hammod, Mathematk für Wrtschaftswsseschaftler, Pearso Studum, ISBN 978-3-873-73-9 Skrpt vo Sevtap Kestel Ihalt () Eführug: Zahle, Fuktoe Potezfukto, Expoetalfukto (Lehrbuch
Die Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Schadenversicherung
De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg Für da Modell eer Schadevercherg e gegebe: = Schade ee Verchergehmer, we der Schadefall etrtt w = Wahrchelchket dafür, da der Schadefall etrtt
Klausur SS 2005 Version 1
BEMERKUG: für de Rchtgket der Lösuge wrd atürlch kee Garate überomme!! Klausur SS 005 Verso Aufgabe : e Gamma-Quat hat kee Ladug > el. Felder übe kee Kräfte aus > kee Kräfte, kee Äderug der Bewegug (ewto)
1. Zufallsbewegung und Binomialverteilung. Statistische Betrachtungsweise bezieht sich stets auf ein Ensemble.
. Zfallsbewegg d Boalvertelg Statstsche Betrachtgswese bezeht sch stets af e Eseble. Eseble: Gesathet eer sehr große Zahl N detscher Systee. Wahrschelchket für das Etrete ees Eregsses A: Brchtel der Systee,
2. Mittelwerte (Lageparameter)
2. Mttelwerte (Lageparameter) Bespele aus dem täglche Lebe Pro Hemspel hatte Borussa Dortmud der letzte Saso durchschttlch 7.2 Zuschauer. De deutsche Akte sd m Durchschtt um 0 Zähler gefalle. I Ide wurde
Teil IV Musterklausuren (Univ. Essen) mit Lösungen
Tel IV Musterklausure (Uv. Esse) mt Lösuge Hauptklausur WS 9/9 Aufgabe : a) Revolverheld R stzt m Saloo ud pokert. De Wahrschelchket, daß er dabe ee seer Mtspeler bem Falschspel erwscht (Eregs F), bezffert
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 7-8 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND STATISTIK
Mathematk: Mag. Schmd Wolfgag & LehrerIeteam Arbetsblatt 7-7 7. Semester ARBEITSBLATT 7-8 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND STATISTIK STATISTISCHE GRUNDBEGRIFFE Statstk gledert sch zwe Telbereche De Beschrebede
19. Amortisierte Analyse
9. Amortserte Aalyse Amortserte Aalyse wrd egesetzt zur Aalyse der Laufzet vo Operatoe Datestrukture. Allerdgs wrd cht mehr Laufzet ezeler Operatoe aalysert, soder de Gesamtlaufzet eer Folge vo Operatoe.
STOCHASTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik. Prof. Dr. Barbara Grabowski. Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes
STOCHASTIK Wahrschelchketstheore ud mathematsche Statstk Prof. Dr. Barbara Grabowsk Hochschule für Techk ud Wrtschaft des Saarlades Lehrehet zur Kursehet Mathematk für Iformatker m Ferstudegag Allgemee
Klausur Statistik IV Sommersemester 2009
Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame 013456 Klausur Statstk IV Sommersemester 009 Prof. Dr. Torste Hothor Isttut für Statstk Name: Name, Vorame Matrkelummer: 013456 Wchtg: ˆ Überprüfe Se, ob Ihr Klausurexemplar
Statistische Maßzahlen
Statstsche Maßzahle Stochastk h Mt h Mt Varaz arosches Mttelwert Azahl der Klasse, Azahl der Beobachtugswerte, statstscher Beobachtugswert, Zufallsvarable, Azahl der Beobachtugswerte Azahl der Beobachtugswerte,
Aufgaben. 1. Gegeben seien folgende Daten einer statistischen Erhebung, bereits nach Größe sortiert (Rangliste):
Aufgabe. Gegebe see folgede Date eer statstsche Erhebug, berets ach Größe sortert (Raglste): 0 3 4 4 5 6 7 7 8 8 8 9 9 0 0 0 0 0 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 30 Erstelle Se ee Tabelle, der de Merkmalsauspräguge
Mehrdimensionale Häufigkeitsverteilungen (1)
Mehrdmesoale Häufgketsverteluge () - De Begrffe uvarat ud bvarat - Vo uvarate (edmesoale) statstsche Aalyse sprcht ma, we pro Perso ur e Merkmal tabellarsche oder grafsche Häufgketsverteluge oder be der
Als Einstieg. Als Einstieg. Verteilungstests. Verteilungstests. Testverfahren. Grafische Verfahren
Als Esteg Als Esteg Populato Ω Grudgesamthet, cht beobachtbar mt ubekate Parameter, z.b. Erwartugswert μ, Stadardabwechug σ² Kegröße vo Stchprobe ud etsprechede Vertelugsparameter Stchprobeschätzug Dskrete
Einführung 2. Teil: Fehleranalyse
Phscal Chemstr Phskalsch-chemsches Praktkum I Modul Eführug. Tel: Fehleraalse Ja Helbg, 9.09.06 Uterlage: htt://www.chem.uzh.ch/stud/old/documets/ear/che3.html Fehlerrechug Phscal Chemstr Gesucht: wahrer