Funktionale und prädikative Denkstrukturen in der Sekundarstufe 2. Mathematik und Geschlecht Bernhard Bodenstorfer JKU

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1 Funktionale und prädikative Denkstrukturen in der Sekundarstufe 2 Mathematik und Geschlecht Bernhard Bodenstorfer JKU

2 Terme: Auflösen der Klammer a + ( b + c ) = a + b + c a + ( b c ) = a + b c a + ( -b + c )= a b + c a + ( -b c )= a b c a ( b + c ) = a b c a ( b c ) = a b + c a ( -b + c )= a + b c a ( -b c ) = a + b + c [LZW9, S. 29]

3 Übersicht Einüben funktionaler Rezepte Definition Term Mengendarstellungen Definition Funktion Umkehrfunktion Definition Matrix Beispielproblem: Bedingte Wahrscheinlichkeit

4 Umsetzen funktionaler Rezepte Beispiel J: Übersetze in Computerschreibweise: [GR5, S. 43] : = Berechne den Funktionswert bei x ₀ ( 1) ohne, (2) unter Verwendung des HORNER-Schemas! a) y=5x³-2x²+6x-3, x ₀=-3 [ ] [GR7, S. 80]

5 Umsetzen prädikativer Rezepte Herr Maier erzählt seiner Frau: Unsere Nachbarn Huber haben heuer dasselbe Urlaubsziel wie wir. Frau Maier fragt: Werden alle fahren, Herr und Frau Huber und die beiden Töchter Christl und Gerda? Darauf Herr Maier: Es ist etwas kompliziert geregelt: Wenn Herr Huber fährt, dann fährt auch Gerda. Es fahren Frau Huber und Christl oder (vel) keine von beiden. Christl fährt nur dann, wenn Herr Huber nicht fährt. Gerda fährt, wenn Christl fährt. Wenn Herr Huber fährt, dann fahren auch Frau Huber und Christl. Frau Huber fährt genau dann, wenn Gerda nicht fährt. Wer fährt wirklich? [SUS8/2, S. 79]

6 Definition 1: Term Rechenvorschriften, welche auch bzw. nur Variable enthalten und beim Belegen der Variablen mit Zahlen (aus einer gewissen Grundmenge G) in einen Zahlenterm übergehen, heißen Terme (über G). Terme stellen somit eine allgemeine Handlungsanweisung für das (automatische) Verarbeiten von Zahlen (aus G) dar. [GR5, S. 44]]

7 Definition 2: Term Eine Zahl, eine Variable oder deren sinnvolle Verknüpfung mit Rechenzeichen ( +,, Klammern, ) heißt Term (oder mathematischer Ausdruck). [TP1] 1 e iπx 18 x e x x x x x log log x coth x 1 sin x x 2

8 Zwei Mengendarstellungen Beispiel A: Gib jeweils die Komplementärmenge (1) im beschreibenden Verfahren (2) im aufzählenden Verfahren an! a) A={x N 3 x} b) A={x N x>4} c) A={x N x² 1} d) A={x N x² 0} e) A={x N x²=5} [GR5, S. 16] Anwendung: Darstellungen von Geraden und Ebenen von Kurven und Flächen

9 Definition 1: Funktion Wie wir wissen, bestehen zwischen Geschehnissen in unserer Welt Zusammenhänge in Form unmittelbarer oder mittelbarer Einflussnahmen, die sich in Abhängigkeiten zwischen den sie beschreibenden Größen widerspiegeln. [ ] Definition: Eine Zuordnung f, die jedem x A genau ein y B zuweist, heißt Funktion: y=f(x). [GR5, S. 102]

10 Definition 2: Funktion Definition: Die Menge aller geordneten Paare (x y) mit x A und y B heißt kartesisches Produkt oder auch Produktmenge der Mengen A und B, kurz A B (sprich: A kreuz B). Eine Zuordnung (=Relation) ist eine Teilmenge von A B. [GR5, S. 115]

11 Umkehrfunktion Wie wir bereits wissen, ist das Wurzelziehen die Umkehrung des Potenzierens, und umgekehrt. Dementsprechend heißt die (Wurzel- )Funktion w ₃:y= x Umkehrfunktion der Potenzfunktion p ₃:y=x³. Allgemein: Der Graph der Umkehrfunktion w n der Potenzfunktion p n entsteht durch Spiegelung des Graphen von p n an der 1. Mediane. [GR6, S. 86] Jede bijektive Funktion f besitzt eine Umkehrfunktion f*. Die Graphen von f und f* liegen bezüglich der 1. Mediane symmetrisch. [GR6, S. 98]

12 Definition 1: Matrix Definition: Die der quadratischen Matrix¹ Zugeordnete Zahl D=p s-r q heißt Determinante dieser Matrix. Man schreibt dafür auch D=det p q. [ ] r s = p q r s ¹ Matrix rechteckiges (Zahlen-)Schema [GR6, S. 16] p q r s

13 Definition 2: Matrix [ ] Die Drehung um φ entspricht also der Zusammensetzung der beiden Drehungen um φ ₁ und φ ₂. [ ] Um mehr Übersichtlichkeit zu erreichen, verwendet man sogenannte Matrizen. [ ] Wir betrachten noch einmal die Abbildungsgleichungen der Drehung um den Winkel φ ₁: x' = -3/5 x 4/5 y y' = 4/5 x 3/5 y Durch dieses System von Gleichungen ist die Abbildungsvorschrift gegeben. Diese Abbildungsvorschrift ist durch die zwei Zahlen in der ersten Gleichung und die zwei Zahlen in der zweiten Gleichung eindeutig festgelegt. Wir fassen diese vier Zahlen zu einem Schema zusammen. Dieses Schema wird eine quadratische Matrix genannt: 3/5 4/5 4/5 3/5 [SUS6/2, S. 124]

14 Bedingte Wahrscheinlichkeit Tbc-Test Die Zuverlässigkeit einer Tuberkulosen-Röntgenuntersuchung sei durch folgende Angaben gekennzeichnet: 90% der Tbc-kranken Personen werden durch Röntgen entdeckt, 99% der Tbc-freien Personen werden als solche erkannt. Aus einer großen Bevölkerung, von der nur 0,1% Tbc-krank sind, wird nun eine zufällig herausgegriffene Person geröntgt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person wirklich an Tbc erkrankt ist, wenn sie als Tbc-krank eingestuft worden ist? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person an Tbc erkrankt ist, wenn sie als gesund eingestuft worden ist? [GR8, S. 245]

15 Funktionaler Weg: Umformen T Test positiv; T Test negativ K Person tatsächlich krank; K gesund Angaben: P(T K)=0,9 P(K)=0,001 P( T K)=0,99 Aus der Definition bedingter Wahrscheinlichkeit: P(T K) =P(T K) P(K)=0,9 0,001=0,0009 P(T K) =P(T K) P( K)=(1-P( T K)) P( K) =0,01 0,999=0,00999 Additivität: P(T)=P(T K)+P(T K)=0,01089 Aus Definition: P(K T)=P(T K)/P(T)=0,0009/0, ,08=8%

16 Prädikativer Weg: Fallunterscheiden T K K 1% von 0,999 90% von 0,001 T 99% von 0,999 10% von 0,001 P(K T)=P(K T)/(P(K T)+P( K T)) =0,9 0,001/(0,01 0,999+0,9 0,001) =0,0009/0, ,08=8%

17 Quellenverweise [GR5] Götz, Reichel: Mathematik-Lehrbuch 5, 1. Aufl., öbv, [GR6] Götz, Reichel: Mathematik-Lehrbuch 6, 1. Aufl., öbv, [GR7] Götz, Reichel: Mathematik-Lehrbuch 7, 1. Aufl., öbv, Nachdruck [GR8] Götz, Reichel: Mathematik-Lehrbuch 8, 1. Aufl., öbv, [LZW8] Lemke, Zoll, Wußing: Mathematik 9, 9. Aufl., Volk und Wissen, [SUS6/2] Szirucsek, Unfried, Schatzl: Mathematik 6/2, Ueberreuter, Nachdruck [SUS8/2] Szirucsek, Unfried, Schatzl: Mathematik 8/2, 1. Aufl. 1982, Ueberreuter, Nachdruck [TL2] Timischl, Lechner: Angewandte Mathematik 2, 1. Aufl., E. Dorner, 2005.