Die Schrödingergleichung für das Elektron im Wasserstoffatom lautet Op2 e2 Or. mit

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1 4 Stak-Effekt Als Anwendung de Stöungstheoie behandeln wi ein Wassestoffatom in einem elektischen Feld. Fü den nichtentateten Gundzustand des Atoms füht dies zum quadatischen Stak-Effekt, fü die entateten angeegten Zustände zum lineaen Stak-Effekt. ie Schödingegleichung fü das Elekton im Wassestoffatom lautet Hjnlmi"njnlmi O H O O e O mit (4.) me ie Eigenfunktionen und Eigenwete hjnlmi unl./ Ylm.;/; "n e n (4.) dieses ungestöten Systems sind aus Kaitel 9 bekannt. as Atom befinde sich nun in einem extenen, homogenen elektischen Feld. ieses FeldE jejz Eexten wid duch das elektostatische Potenzial e beschieben. Eine Ladungq hat in diesem Potenzial die Enegieq e. Fü das Elekton mitq e lautet de Stöoeato OV ejejoz VejEjz (4.3) Tatsächlich übt das Feld entgegengesetzt gleich goße Käfte auf das Elekton (e) und das Poton () aus. ies wid koekt beücksichtigt, wenn (4.) als eduzietes Einteilchenoblem mit de eduzieten Masse me=.cme=m/ und de Relativkoodinatee aufgefasst wid. In (4.3) ist dannz ez, und das elektische Feld wikt auf eine elative Veschiebung zwischen Poton und Elekton hin. Quadatische Stak-Effekt Wi betachten zunächst den nichtentateten Gundzustand des Wassestoffatoms. as Elekton hat dann die Quantenzahlenn;l;m; ; und die Wellenfunktion ex (4.4) hji./ u Y 33 a3= B

2 34 ie EnegieveschiebungE./ E./ in este Odnung veschwindet: ejejhjozji ejej d3zex. =/ (4.5) a3 B Z Fü die. Odnung benötigen die MatixelementehnlmjOzji. Wi weten sie im Otsaum aus, wobei wiy = 4 undz cos.4=3/=y einsetzen: hnlmjozji Z d3 unl./ Y lm.;/ 4Y.;/ u./ 4 3 ml 3 Z dun./u./ (4.6) a nu die Zustände mitl undm beitagen, lautet die Enegiekoektu in. Odnung: E./ ee X n jhnjozjij " "n jhjozjij ee " " (4.7) Zu diese Summe übe die disketen Zustände müsste noch de Beitag de Kontinuumszustände addiet weden. Als eine einfache Näheung haben wi nu den esten Tem de Summe beücksichtigt. Hiefü benötigen wi das Matixelement hjozji ex. =/.4:6;9:/ 3 Z 3 d Z " Hiemit und mit".3=8/e= wid (4.7) zu E./ BE 8 :48a3 3 d4 a3 6 ex. / ex. 3=/ (4.8) BE (4.9) iese Enegieveschiebung ist quadatisch in de Feldstäke; de Effekt wid dahe quadatische Stak-Effekt genannt. Nimmt man in (4.7) alle gebundenen Zustände mit, so ehält man folgenden Wet : E./ 9 4a3 BE (4.) Unsee einfache Näheung (4.9) egibt beeits etwa /3 dieses Wets. Wie in Abbildung 4. skizziet, füht das angelegte elektische Feld dazu, dass die Aufenthaltswahscheinlichkeit des Elektons gegenübe dem Ken veschoben wid. Im Atom wid daduch ein iolmoment in Feldichtung induziet; L. I. Schiff, Quantum Mechanics, MacGaw-Hill Inc. 968, section 33.

3 Kaitel 4 Stak-Effekt 35 e e Ohne Feld Mit Feld Abbildung 4. Wenn ein Wassestoffatom in ein äußees elektisches Feld E gebacht wid, veschieben sich das Poton und das Elekton e elativ zueinande. aduch wid ein zu E ootionales iolmoment di induziet. ies füht zu eine Enegieabsenkung, die ootional zum Quadat des Felds ist (quadatische Stak-Effekt). E quantenmechanisch wid dieses iolmoment duch Beimischung angeegte Zustände zum ungestöten Gundzustand beschieben. Ein festes iolmomentdi hat im FeldE E R de die Enegie di E, ein induzietes iolmomentdi dagegen E= dijej=. amit ehalten wi aus (4.) das induziete iolmoment di E./ jej 9 B (4.) jeja3 Wi weten dies fü eine Feldstäke vonjej 3 V=cm aus: di 9 e ejej e ev 6e (4.) e= 7 ev Veglichen mit de natülichen Einheite ist dieses iolmoment seh klein; die effektive Veschiebung des Elektons (Abbildung 4.) betägt nu etwa den 6 - ten jejteil des Bohschen Radius. ies liegt daan, dass die extene Feldstäke klein ist gegenübe de duch das Poton hevogeufenen. ie Gößedi=e gibt auch die Amlitude de angeegten Zustände an, die aufgund des Felds dem Gundzustand beigemischt weden. Wegen ihe Kleinheit ist die Anwendung de Stöungstheoie geechtfetigt. P ie induzieten iolmomente bedeuten eine elektische Polaisation de Mateie. Fü eine Teilchendichte%N=V (Anzahl o Volumen) gilt P %diejej (4.3) abei iste die dimensionslose elektische Suszetibilität ode Polaisiebakeit. ie Suszetibilitäte ode die ielektizitätskonstante können etwa aus de Kaazität eines Kondensatos mit dem betachteten Medium als ielektikum bestimmt ie fomale Begündung de Anwendbakeit ist tatsächlich nicht tivial: as Potenzial (4.3) wid fü z! beliebig stak negativ. ahe sind die exakten Zustände ga nicht gebunden, und deshalb konvegiet die Stöungstheoie nicht. e Gundzustand ist abe aktisch stabil, da die Tunnelwahscheinlichkeit in den Beeich mit V " venachlässigba klein ist. ie vogestellte Rechnung ist dahe hysikalisch sinnvoll.

4 36 weden. Fü Wassestoffgas (bei Zimmetemeatu und Nomalduck) ist die ichte de H -Moleküle gleich% 6 3=. Lite/. Mit de Atomdichte%% unde%di=jej.9=/%a3 B ehalten wi C4e C4.9=/.%/a3 B :46 (4.4) e exeimentelle Wet fü Wassestoffgas ist":6. Bei diesem Vegleich ist zu beücksichtigen, dass die Elektonenkonfiguation im H -Molekül andes ist als im Atom (auf das sich unsee Rechnung bezieht). Lineae Stak-Effekt Wi betachten nun die Enegieveschiebung des esten angeegten Zustands mit dem ungestöten Enegiewet " e (4.5) 4 iese Enegiewet ist viefach entatet. ie zugehöigen Eigenfunktionen wuden in (9.9) und (9.) angegeben: hji./ q a3 B hjmi m./ q 4a3 B Wi nummeieen die Zustände von bis 4: jii 8 >< >: ex ex jiji jiji j3iji j4ij i Fü (39.34) benötigen wi die Matix V i OV i i ejejoz i ie iagonalelemente Y Ym.;/ (4.6) (4.7) (4.8) i OV i / Z C cosj cos nlmj (4.9) d veschwinden, weilj nlmj eine geade Funktion in cos ist. Außedem gilt hnlmj OVjnlmi / Z d ex i.m m/ mm (4.)

5 Kaitel 4 Stak-Effekt 37 amit sind nu folgende Matixelemente ungleich null (und eell): OV OV ejejoz V (4.) V V CA c c c 3 as zu lösende Eigenwetoblem (39.34) lautet also c 4 CA " c c c 3 c 4 CA ode Vc "c (4.) ieses Poblem hat die tivialen Eigenvektoen CA "3 ; zu av hemitesch ist, sind die beiden andeen Eigenvektoen othogonal hiezu, also c.c;c; ; /T. amit eduziet sich das Poblem auf V V ie Bedingung fü eine nichttiviale Lösung c " c c " V egibt "; V. ie zugehöigen Eigenvektoen sind V " CA zu "V; CA zu "4 (4.3) c (4.4) (4.5) CA zu " V (4.6) ie vie Saltenvektoen (4.3) und (4.6) legen die gestöten Zuständej i P c ijii fest. In de betachteten Odnung Stöungstheoie lauten damit die Eigenzustände und Eigenwete von O HC OV : ji C ji zu "CV; j i ji ji zu "; j i zu " zu " V (4.7) ie Wahscheinlichkeitsveteilungenj undj ;; j/ ;;j sin sind siegelsymmetisch zux-y-ebene. Inj j /. ::: sin/ ist dagegen de

6 38 ji ji ji; ji j i 4 entatete Niveaus Ohne Feld 3ejEj 3ejEj Mit Feld ji; j i ji C ji Abbildung 4. Aufsaltung des esten angeegten Zustands (n ) des Wassestoffatoms im äußeen elektischen Feld E. ie Aufsaltung ist linea im Feld und wid dahe lineae Stak-Effekt genannt. Schweunkt in z-richtung, also in Feldichtung veschoben. ie Göße de Veschiebung ist duch die adiale Ausdehnung de beteiligten Wellenfunktionen (Abbildung 9.) bestimmt. ie Göße de Enegieveschiebung ist duch das Matixelement (4.) gegeben: VejEj Oz ejejz d3./ cos./ (4.8) Fü die Auswetung im Otsaum setzen wi (4.6) mit Y und cos Y.3=4/= ein: ejej Z Z d V d 3 ex cos 4 3a3 B 4 Z x ejej dxx4 ex. x/ 3ejEj (4.9) e esultieende Effekt heißt lineae Stak-Effekt, jvj weil die Aufsaltung linea im Feld ist. ie Aufsaltung ist elativ klein, Eat, zum BeisieljVj=Eat 6 füjej 3 V=cm. as iolmoment de Veteilungenj j= ist abe mit 3e nicht klein (im Gegensatz zum quadatischen Stak-Effekt). ie Stuktu de Aufsaltung ist in Abbildung 4. gezeigt. as äußee Feld hebt teilweise die Symmetie auf, die de Entatung im ungestöten Atom zugunde liegt: WegenTV;`U 6 ist eine Mischung veschiedenel-zustände möglich. WegenTV;`zU veschwinden die Matixelemente vonv zwischen Zuständen mit veschiedenemm..=4/=

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