Technische Mechanik III Aufgabensammlung 2. Aufgabensammlung 2

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1 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Augbenslung Augbe : Kinetik Zwei Hltestellen sind 5 oneinnder enternt. Eine Strßenbhn ährt gerdlinig it einer konstnten Beshleunigung A on der einen Hltestelle n und erreiht ihre Fhrgeshwindigkeit on 54 k/h nh s. Unittelbr nh erreihen der Fhrgeshwindigkeit betätigt der Fhrer die Bresen, u die Bhn it einer ebenlls konstnten Breserzögerung B n der nähsten Hltestelle zu Stehen zu bringen. Bestien Sie.) die Anhrbeshleunigung A und den Anhrweg A, b.).) den Bresweg B, die Breserzögerung B und die Breszeit t B. Stellen Sie den Bewegungsorgng zwishen den beiden Hltestellen in den Digren (t), (t) und (t) dr. Augbe : Kinetik Die Breserzögerung eines Fhrzeugs ist durh ds olgende Digr gegeben. [/s²] t t 4 t [s] Wie groß ist, wenn ds Fhrzeug zur Zeit t noh it ährt und zur Zeit t zu Stillstnd gekoen ist? Die Anngsgeshwindigkeit beträgt 7k/h. Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik

2 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Augbe 3: Kinetik Austellen der Bewegungsgleihung Vor einer u die Streke zusengedrükten Feder it der Federkonstnte liegt ein Mssenpunkt it der Msse. Die Punktsse wird us der Ruhelge losgelssen. Bis u welhe Höhe h rutsht der Mssenpunkt die shiee Ebene hinu? Behten Sie den Bewegungswiderstnd µ ür den gesten Vorgng! µ α h Augbe 4: Kinetik Shieer Wur Ein horizontl beginnender Wur (Lutwiderstnd ernhlässigbr) soll so usgeührt werden, dss der geworene Bll (Msse ) orthogonl durh einen Ring liegt, der den horizontlen Abstnd on der Abwurstelle ht und unter de Winkel α gegen die Horizontle geneigt ist. g b α z.) Wie üssen dbei der ertikle Abstnd b und die Anngsgeshwindigkeit gewählt werden? b.) Welhe Geshwindigkeit ht der Bll bei Pssieren des Rings? Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik

3 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Augbe 5: Kinetik Ipulsstz Die Luktze eines Krnes ht kg Eigengewiht und soll it einer Lst on t us de Stillstnd in 4 s u eine Fhrgeshwindigkeit on /in beshleunigt werden. Welhe Antriebskrt F ist bei eine Fhrwiderstnd on µ, erorderlih? Augbe 6: Kinetik Ipulsstz Ein Golspieler shlägt einen Bll b. Der drus resultierende Krtstoß wird dbei in der Zeit on T 6 s ugebrht. Die ile Krt während des Stoßes beträgt F 4 N. Mn nehe den i Digr drgestellten zeitlihen Krterlu n. Der Bll besitzt eine Msse on 5 g. Bestien Sie die Geshwindigkeit it der der Golbll wegliegt. F(t) F π F( t) F sin t T t T t Augbe 7: Kinetik Stoß Eine Kugel it der Msse wird us der Ruhelge on einer Höhe h llengelssen und trit o u die unter eine Winkel ϕ 3 geneigte strre, gltte Pltte. Bestien Sie die Geshwindigkeit der Kugel direkt nh de Stoß und den Winkel α, ür eine Stoßzhl e,5. h α ϕ Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik 3

4 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Augbe 8: Kinetik - Energiestz Vor einer u die Streke zusengedrükten Feder it der Federkonstnte liegt ein Mssenpunkt o Gewiht G..) b.) Wie groß ist seine Geshwindigkeit A bei Ablösen on der Feder? Wie weit rutsht er die shiee Ebene hinu? Die Bewegungswiderstände sind zu ernhlässigen, (μ ). Berbeiten Sie die Augbe it Hile des Energiestzes. Augbe 9: Kinetik - Arbeitsstz Berbeiten Sie die obige Augbenstellung it Hile des Arbeitsstzes und berüksihtigen Sie die Reibung, (Reibungskoeizient μ). Augbe : Kinetik Energiestz Ein Fdenpendel besteht us eine sselosen Fden der Länge l und einer Punktsse. Ds Pendel wird us der horizontlen Ruhelge losgelssen. Bestien Sie it de Energiestz:.) die ile Geshwindigkeit, die der Mssenpunkt erreihen knn. b.) die Funktion der Winkelgeshwindigkeit ϕϕ & ( )..) den Winkel ϕ, bei de der Fden reißen wird, wenn er nur eine begrenzte Trgähigkeit S,5 g besitzt. l ϕ y g l Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik 4

5 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Musterlösungen Augbe 5 ) s A,5 (Anhrbeshleunigung) t s s ( s) A,5 9 (Anhrweg) s b) B (Bresweg) gesuht: ( ) B ( ) + d 5 + B 5 9 s ( ) 5 s B,875 6 s (Breserzögerung) t 5 s 8 s (Breszeit),875 s B s + 8s s (Gestzeit) Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik 5

6 Tehnishe Mehnik III Augbenslung ) Beshleunigung: s,5 s s t [ s],875 konst. s Geshwindigkeit: 5 liner t [ s] Streke: [ ] qudrtish t [ s] Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik 6

7 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Augbe Austellung der Funktion t ( ) z.b. it Hile der Zwei-Punkte-For der Gerdengleihung: tt t t it Bei t und t 4s erhält n, t () + t. 4 d & d dt dt t t t dt t t Gegeben:, t, 7k h s, t 4s s 8 ( ) + 4s+ 4s 3s Die Breserzögerung beträgt. 3s Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik 7

8 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik 8 N F Feder g R Augbe 3 Bewegungsgleihung: ( ) N R F Feder µ && : () N g y + & & : () Es gilt y& &, d der Körper n die Ebene gebunden ist. Dit olgt us () g N Einsetzen in () lieert ( ) g µ & & ( ) g µ & & Integrtion: ( ) dt d dt d d d dt d d d ( ) d g d µ g µ g µ g µ

9 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Bewegungsgleihung: : & g sinα R (3) : y& g osα + N (4) Der Körper ist wieder n die Ebene gebunden. y& & N g osα α R g osα g g sinα In (3) eingesetzt & g sinα µ g osα & & g ( sinα µ osα ) Integrtion: ( ) d dt d h ( g sinα g µ osα ) d [ g sinα g µ osα] h g h sinα g µ osα h h g ( sinα + µ osα ) h sinα h sinα h h α h Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik 9

10 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Dit erhält n ür die gesuhte Höhe sinα h g sin + os ( α µ α) oder it der Geshwindigkeit µ g sinα h g ( sinα + µ osα ) Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik

11 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Augbe 4.) Bewegungsgleihungen: & & z G g Integrtionen: (it unbestiten Integrlen) & C z & g t + C3 C t C z + C3 t+ C4 + Anngsbedingungen: Gegeben sind Dierentilgleihungen. Ordnung. Bei der Integrtion treten dit 4 Integrtionskonstnten u. Sie olgen us den 4 Anngsbedingungen: g t &( ) C ( ) C z& ( ) C 3 z ( ) C Einsetzen lieert die Lösung in Preterdrstellung (Preter t): 4 &( t) z &( t) g t ( t) t g t z ( t) Die Bewegung ist unbhängig on der Größe der Msse. Rndbedingungen bei Pssieren des Rings (Zeitpunkt t R ): & ( t R ) sin α sin α () ( t R ) tr () z& ( tr ) osα g t R osα (3) g t z( tr ) b R b (4) Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik

12 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Bestiung des Abstndes b und der Anngsgeshwindigkeit : Durh uoren und einsetzen der Gleihungen () (4) ineinnder, olgt und b tnα g tnα. b.) Bestiung der Geshwindigkeit (bei Pssieren des Rings): Gl. () ugestellt ist. (5) sin α Gl. () ugeort nh und in Gl. (5) eingesetzt, lieert (6) sin α t R und (3) ugeort nh t R und eingesetzt in Gl. (6), ist die Lösung g. osα sin α Einheiten zur Kontrolle: s s Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik

13 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Augbe 5 Anngsgeshwindigkeit: Endgeshwindigkeit: in in in 6s 3 s N g R µ N µ g R µ N g F N Ipulsstz: t F dt t 4 s kg µ 3 s ( F g) dt F kg 4 s 3 s +, kg 9,8 s F 3,8N ˆ 3, kn Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik 3

14 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Augbe 6 Ipulsstz: Fdt t t T π F sin( t) dt T T π F os t π T T F T ( ) π 4N s 8,64,5kg 6 π s Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik 4

15 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Augbe 7 : y& g y& g ( ) d d d d d d dt d dt dt g d h g d [ g ] h g h g h Geshwindigkeit direkt or de Auprll u die Pltte. os ϕ sin y ϕ ˆ Stoßnorle α ϕ D in y -Rihtung kein Krtstoß wirkt (gltte Pltte), gilt y y e os e e ϕ,5 g h osϕ g h osϕ Für den Winkelα erhält n tnα e e und it e, 5 und ϕ 3 olgt α 4, 89. tnϕ y y Geshwindigkeit nh de Stoß: 7 + y gh 8 Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik 5

16 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Augbe 8.) Energiestz: E + E E + E K P K P ( ) A + + it A b.) Energiestz: E + E E + E K P K P A + + g A g sin α sin α Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik 6

17 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Augbe 9.) Bewegungsgleihungen: & F X F Feder R & y F GN (d in y-rihtung keine Vershiebung) y N G F X ( ) µ g Arbeitsstz: EK EK W Fd W A ( ( ) µ g) d µ g A µ g b.) Bewegungsgleihungen: & FX Gsin α R & y Fy G os α N F X N G osα G sin α µ G osα Arbeitsstz: A F X d ( G sin α µ G osα) g A ( sin α + µ osα) Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik 7

18 Tehnishe Mehnik III Augbenslung l Augbe : Lge.) Energiestz: ϕ E + E E + E k p k p kinetisheenergie potentielleenergie kinetisheenergie potentielleenergie in Lge in Lge in Lge in Lge l + gh + gh + g + gl y Lge gl gl g l Merke: Energiestz nur nwenden, wenn kein Bewegungswiderstnd (Reibung) utritt. b.) l Lge Lge ϕ l sinϕ y ( ) l l sinϕ l sinϕ Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik 8

19 Tehnishe Mehnik III Augbenslung Energiestz: E + E E + E k p k p + g l ( sinϕ ) + g l g l sinϕ g l sinϕ () Sonderll Kreisbewegung: r ω r ϕ& lϕ& gsinϕ glsinϕ l ϕ& ϕ& ( ϕ) ϕ& () l.) Bewegungsgleihung in Polrkoordinten: (Sonderll Kreisbewegung: r r ω r ϕ& ) r l ϕ g S gsinϕ ϕ gosϕ g S Bewegungsgleihung in Polrkoordinten: : Sg sinϕ (3) r & sinϕ l ϕ S g & + sinϕ (4) S l ϕ g Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik 9

20 Tehnishe Mehnik III Augbenslung 3 ile Seilkrt S g und Gl. () in Gl. (4) eingesetzt und n erhält 3 g sinϕ g l l + g sinϕ 3 sinϕ + sinϕ 3 sin ϕ ϕ ϕ 3 ( + ) Uniersität Siegen FB Lehrstuhl ür Busttik