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1 Prüfung - Technische Mechnik III WS 11/ Februr 2012 FB 13, Festkörpermechnik Prof. Dr.-Ing. F. Gruttmnn Nme: Mtr.-Nr.: Studiengng: Pltznummer Einverständniserklärung: Ich stimme hiermit zu, dss meine Prüfungsergebnisse zusmmen mit meiner Mtrikelnummer (ohne Nmen) im Internet eingesehen werden können. Drmstdt, (Unterschrift) Die Aufgben sind nicht nch ihrem Schwierigkeitsgrd geordnet. Bitte beginnen Sie für jede Aufgbe ein neues Bltt und nummerieren Sie die Blätter. Der Lösungsweg soll klr erkennbr sein, die Ergebnisse müssen deutlich hervorgehoben werden. Bei den Kurzfrgen wird lediglich ds Ergebnis gewertet. Es ist erlubt, eine hndgeschriebene Formelsmmlung im Umfng eines beidseitig beschriebenen DIN A4-Blttes zu benutzen. Andere Hilfsmittel sind nicht erlubt. Es wird usdrücklich druf hingewiesen, dss keinerlei elektronische Hilfsmittel benutzt werden dürfen. Hierzu zählen insbesondere Tschenrechner, Lptops und Hndys. Viel Erfolg! Aufgbe K1 K2 K3 mx. Punkte erreichte Punkte Hndzeichen Note 1

2 Aufgbe 1 [ 23 Punkte ] Ein homogener Zylinder mit der Msse m und dem Rdius r rollt ohne zu rutschen eine schiefe Ebene (Steigungswinkel α) hinuf. Zum Zeitpunkt t = 0 hbe sein Schwerpunkt die Geschwindigkeit v 0 prllel zur schiefen Ebene. Gegeben: m, r, h, α, g t0 ω v0 h μ0 g m r ) Berechnen Sie den minimlen Hftungskoeffizient µ 0, dmit kein Rutschen uf der schiefen Ebene uftritt. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v 0, dmit der Schwerpunkt des Zylinders um h höher steigt. c) Berechnen Sie die Zeit t h bis der Schwerpunkt des Zylinder die Höhe h erreicht ht. d) Berechnen Sie die Zhl der Umdrehungen n, die der Zylinder in der Zeit 0 t t h durchführt. α 2

3 Aufgbe 2 [ 22 Punkte ] m x 1 EA = F = F 0 cos(ωt) Rollen 3 EI = konst. d x 3 3 Ein Schwingungssystem besteht us einem rollenden, homogenen Zylinder (Msse m und Rdius ), einem msselosen Stb (EA = ), einem Dämpfer (Dämpfungskonstnte d) und einem msselosen Blken (EA = GA s =, EI = konst.). Ds System wird durch eine hrmonisch veränderliche Krft F = F 0 cos(ωt) belstet. ) Stellen Sie die Bewegungsgleichung unter Verwendung des Prinzips von d Alembert uf und ermitteln Sie die Eigenkreisfrequenz ω des Systems. b) Berechnen Sie die Amplitude der Prtikulrlösung für Ω = 3 2 ω und d = 1 2 mω. Gegeben: m,, EI, F, d. Hinweis: Die Auslenkungen sind klein. 3

4 Aufgbe 3 [ 23 Punkte ] ω 1 m S m S Stb 1 Stb 2 l g m P Gegeben ist ein System mit zwei Stäben (Länge l, Msse m S ) und einer Punktmsse (m P ). Die Punktmsse und Stb 2 befinden sich zunächst in Ruhe. Nun dreht sich Stb 1 mit der Winkelgeschwindigkeit ω 1 und stößt dbei wie drgestellt vollelstisch gegen die Punktmsse m P. Anschließend stößt die Punktmsse wie drgestellt vollplstisch gegen Stb 2. Es trete keine Reibung uf. ) Mit welcher Geschwindigkeit v 1P bewegt sich die Punktmsse m P nch dem ersten, vollelstischen Stoß? b) Mit welcher Winkelgeschwindigkeit ω 2 dreht sich Stb 2 nch dem zweiten, vollplstischen Stoß? Gegeben: ω 1, m, m S = m, m P = 3m, l 4

5 Aufgbe 4 [ 20 Punkte ] p 0 d 1 v 1 g z 3 z 2 H v 4 d 4 d 3 d 2 Eine Flüssigkeit fließt us einem Behälter durch ein Rohr mit veränderlicher, kreisförmiger Querschnittsfläche us. Die gleiche Flüssigkeitsmenge fließt durch einen Hhn mit Kreisquerschnitt (Durchmesser d 1 ) in den Behälter hinein. Es ist nzunehmen, dss keine Reibungsverluste n den Verengungen uftreten. Die Behälterbmessungen sind sehr groß im Verhältnis zum Durchmesser des Ausflussquerschnitts. ) Berechnen Sie die Ausflussgeschwindigkeit v 4. b) Mit welcher Geschwindigkeit v 1 muss die Flüssigkeit us dem Hhn strömen, dmit die Höhe H im Behälter konstnt bleibt? c) Wie groß sind die Spiegelhöhen z 2 und z 3 in den Steigrohren? Gegeben: d 1, d 2, d 3, d 4 = d 3, H,, p 0,g 5

6 Kurzfrge 1 [ 5 Punkte ] Der drgestellte strre Mechnismus besteht us einem Stb und einem bgeknickten Blken. Es wird ngenommen, dß sich der Stb mit der konstnten Winkelgeschwindigkeit ω 0 dreht. B 45 A y ϕ x ω 0 Kreuzen Sie n! Die Koordinten (x, y) des Momentnpols des Stbes sind: (, 0); (, ); (, 2); (2, 2); (, 3); Die Koordinten (x, y) des Momentnpols des Blkens sind: (, 0); (, ); (, 2); (2, 2); (, 3); Die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich der Blken dreht, beträgt: ω 0 ; 2ω 0 ; 2ω 0 ; ω 0 /2; ω 0 /2 Die Geschwindigkeit v A = (v x, v y ) des Punktes A in der drgestellten Lge beträgt: ( ω 0, 0); ( ω 0, 0); (2 ω 0, 0); (2 ω 0, ω 1 ); (0, ω 0 ); Der Betrg der Geschwindigkeit v B des Punktes B in der drgestellten Lge beträgt: 2ω 0 ; 2ω 0 ; ω 0 / 2; ω 0 ; 6

7 Kurzfrge 2 [ 2 Punkte ] Der Mssepunkt P bewegt sich mit einer konstnten Winkelgeschwindigkeit ω 0 um den Punkt O. Der Abstnd r zwischen O und P ist zeitlich veränderlich; es gilt: r(t) = r 0 (5 + sin(ω 0 t)). y P ω 0 r(t) O x Kreuzen sie n! Die rdile Komponente v r der Geschwindigkeit v beträgt: r 0 ω 0 cos(ω 0 t); r 0 cos(ω 0 t); r 0 sin(ω 0 t); r 0 ω 0 cos(ω 0 t); 0 Die zirkulre Komponente v ϕ der Geschwindigkeit v beträgt: r 0 ω 0 sin(ω 0 t); r 0 ω 0 (5 + sin(ω 0 t)); r 0 ω 0 cos(ω 0 t); r 0 ω 2 0 (5 + sin(ω 0 t)) 7

8 Kurzfrge 3 [ 5 Punkte ] Gegeben ist ds skizzierte Weg-Zeit-Digrmm x(t). Skizzieren Sie ds zugehörigen Geschwindigkeit- Zeit-Digrmm v(t) sowie ds Beschleunigung-Zeit-Digrmm (t). x qudr. Prbeln t v t t 8

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