Hä?! Ich gebe dir zwei Beispiele, schau einfach mal! Kapitel 5: Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit!

Transkript

1 Jetzt kommen wir zum Hauptgang des heutigen Tages! Endlich, ich hab Hunger! Der Bereich zwischen der Kurve und der x-achse kann als Prozentsatz und Wahrscheinlichkeit betrachtet werden beides! Hä?! o dw Un as d ist! en? Ess Ich gebe dir zwei Beispiele, schau einfach mal! 94 Kapitel 5: Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit! Kapitel_5_neu_17x24.indd :49:12 Uhr

2 Beispiel 1 Alle Schüler der 1. Klasse in Stadtteil A haben einen Mathetest geschrieben. Nach der Auswertung hat sich herausgestellt, dass die Ergebnisse einer Normalverteilung folgten mit dem Mittelwert 45 und der Standardabweichung 10. Jetzt wird's interessant: Die folgenden 5 Aussagen sind nicht nur alle richtig, es geht eigentlich auch immer um dasselbe! (1) In einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 45 und der Standardabweichung 10 hat der schraffierte Bereich den Wert 0,5. (2) Der Anteil der Schüler, die 45 oder mehr Punkte haben, ist 0,5 (= 50 %). (3) Wählt man zufällig einen Schüler aus, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Schüler 45 oder mehr Punkte hat, ebenfalls bei 0,5 (= 50 %). (4) Sind die Testergebnisse standardisiert, dann ist in einer Normalverteilung der Anteil der Schüler, die einen Standardwert von 0 oder höher haben, auch bei 0,5 (= 50 %) (5) Wählt man einen Schüler zufällig aus, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass sein Standardwert 0 oder höher ist, ebenfalls bei 0,5 (= 50 %). 95 Kapitel_5_neu_17x24.indd :49:13 Uhr

3 Genau! Der Mittelwert ist doch 45, also könnten wir eine Kurve zeichnen, die bei 45 den höchsten Punkt hat, oder? 45 oder mehr Punkte - das ist genau die rechte Hälfte der Kurve. Klar, dass das 50 % sind! Wahnsinn, ich hab's kapiert! 96 Völlig richtig. Super! Dann kommt jetzt das zweite Beispiel, es hat allerdings auch was mit dem ersten zu tun. Kapitel 5: Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit! Kapitel_5_neu_17x24.indd :49:14 Uhr

4 Beispiel 2 Die Situation ist wie gerade eben: es geht um den Mathetest und die Ergebnisse. Und wieder gibt es 5 Aussagen, die alle richtig sind - und in allen geht es auch wieder um dasselbe. Pass gut auf und - ein kleiner Tipp - lies Satz 4 zuerst! (1) In einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 45 und der Standardabweichung 10 ist der unten schraffierte Bereich 0,5-0,4641 = 0,0359. (2) Der Anteil an Schülern mit 63 oder mehr Punkten liegt bei 0,5-0,4641 = 0,0359 (= 3,59 %). (3) Wählt man einen Schüler zufällig aus, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass er 63 oder mehr Punkte hat, bei 0,5-0,4641 = 0,0359 (= 3,59 %). (4) Sind die Testergebnisse standardisiert, dann ist in einer Normalverteilung der Anteil der Schüler, die einen Standardwert von 1,8* oder höher haben, ebenfalls bei 0,5-0,4641 = 0,0359 (= 3,59 %) - das ist genau der schraffierte Bereich oben. (5) Wählt man einen Schüler zufällig aus, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass sein Standardwert 1,8 oder höher ist, ebenfalls bei 0,5-0,4641 = 0,0359 (= 3,59 %). * (einzelner Datensatz - Mittelwert) : Standardabweichung = (63-45) : 10 = 18 : 10 = 1,8 97 Kapitel_5_neu_17x24.indd :49:15 Uhr

5 Wow! Der Bereich und der Anteil und auch noch die Wahrscheinlichkeit sind wirklich dasselbe! Du hast wirklich alles verstanden! Mann, bin ich schlau! s ni e f Und denk daran: Mach ich! Bereich = Anteil = Wahrscheinlichkeit kann auf jede Dichtefunktion angewandt werden, nicht nur auf die Standardnormalverteilung! Verträgst du noch eine Dichtefunktion? Na klar! Wo ich's jetzt einmal kapiert habe Kapitel 5: Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit! Kapitel_5_neu_17x24.indd :49:17 Uhr

6 4. Chi-Quadrat-Verteilung Jetzt geht's um die sogenannte ChiQuadrat-Verteilung! Hat das irgendwas mit Schnupfen zu tun? War d er schlec ht Nein, ähm, g... guter Versuch. Wenn die Dichtefunktion so aussieht: Freiheitsgrad wenn X > 0 Freiheitsgrad Freiheitsgrad sonst χ2 Dann sagen wir in der Statistik: "x folgt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit dem Freiheitsgrad...". Das ist nicht auszuhalten! D... die Formel brauchst du dir nicht so genau anzuschauen - es sei denn, du möchtest Mathematik studieren... Ganz sicher nicht! Ich wollte dir damit nur ein bisschen Angst machen! Ich zeige dir erst mal ein paar Kurven mit den Freiheitsgraden 2, 10 und 20. G r r r 99 Kapitel_5_neu_17x24.indd :49:19 Uhr