-2 Das einfache Regressionsmodell 2.1 Ein ökonomisches Modell
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- Viktor Kranz
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1 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell - Das enfache Regressonsmodell. En ökonomsches Modell Bespel: De Bezehung zwschen Haushaltsenkommen und Leensmttelausgaen Befragung zufällg ausgewählter Haushalte ener Populaton, z.b. de Bewohner New Yorks, nach. dem wöchentlchen Haushaltsenkommen (). den Leensmttelausgaen pro Woche und pro Haushaltsmtgled (y). Quelle: Hll, Grffths, Lm (008), S.0. Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0
2 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell Der edngte Erwartungswert und de edngte Varanz für = 000 werden eschreen durch: E(y 000) y Var(y 000) Aufstellung enes ökonomschen Modells, aus dem en ökonometrsches Modell hergeletet wrd, das Fragen eantworten kann we zum Bespel We ändern sch de Leensmttelausgaen m Durchschntt, wenn das wöchentlche Enkommen enes Haushalts um $00 stegt? We hoch snd schätzungswese de Leensmttelausgaen für enen Haushalt mt enem wöchentlchen Enkommen von $.000? Unter der verenfachenden Annahme ener lnearen Bezehung lautet das ökonomsche Modell für Leensmttelausgaen: E (y ) y (..) Der edngte Erwartungswert, E(y ), wrd auch enfache Regressonsfunkton genannt. De Parameter β und β helfen, den genauen Zusammenhang n der Populaton zu quantfzeren. Deshal werden se auch Populatonsparameter genannt (populaton parameters). Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0
3 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell Quelle: Hll, Grffths, Lm (008), S.. Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 3
4 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell. En ökonometrsches Modell.. Enletung Quelle: Hll, Grffths, Lm (008), S.3. Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 4
5 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell.. Der Fehlerterm Kern der Regressonsanalyse st de Zerlegung der ahänggen Varale y n enen systematschen und enen zufällgen Tel. Der systematsche Tel st E(y). Zufällg st de Dfferenz zwschen dem Erwartungswert und dem tatsächlch eoachteten Wert, de auch als Fehlerterm oder Resduum e ezechnet wrd: e y E(y) y (..) Zentrale Annahme des Modells st, dass für jedes der Mttelwert von y estmmt wrd durch E(y) Annahme SR:. Durch Umformen ergt sch das enfache lneare Regressonsmodell: y e (..) y st here de ahängge (endogene, left-hand sde) Varale und de unahängge (erklärende, rght-hand sde) Varale, auch Regressor genannt. SR steht für Smple Regresson (= enfaches Regressonsmodell). (..) zegt, dass sch y und e nur um den konstanten Term E(y) unterscheden. Da y ene Zufallsvarale st, muss es der Fehlerterm somt auch sen. D.h., dass de Egenschaften von y de Egenschaften von e edngen und umgekehrt. Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 5
6 ..3 Wetere Annahmen des enfachen lnearen Regressonsmodell Kaptel : Das enfache Regressonsmodell SR: E(y) = β + β E(e) = 0 SR3: var(y) = var(e) = σ SR4: cov(y, y j ) =cov(e, e j ) = 0 Alternatv: Statstsche Unahänggket SR5: De Varale st kene Zufallsvarale und nmmt mndestens zwe verschedene Ausprägungen an. SR6: Optonal: De Werte von y zw. e snd um hren Mttelwert normalvertelt: y ~ N(β + β, σ ) zw. e ~ N(0, σ ) Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 6
7 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell.3 Schätzung der Regressonsparameter.3. Enletung Bespel: Befragung von 40 3-Personen-Haushalten nach hren Leensmttelausgaen n der vergangenen Woche und dem wöchentlchen Enkommen, d.h. wr verfügen üer 40 Beoachtungen mt (, y ), =,,...,N=40. st der Inde für de enzelne Beoachtung, N st de Gesamtzahl der Beoachtungen. Das Enkommen wrd n $00 gemessen. Annahme: De Daten erfüllen SR-SR5. Darstellung der Beoachtungen n enem Punktdagramm, Fg..6. Prolem: We estmmen wr am snnvollsten Lage und Stegung der Regressonsgeraden? Gesucht st ene allgemene Regel zur Bestmmung von β und β. Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 7
8 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell Quelle: Hll, Grffths, Lm (008), S. 9. Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 8
9 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell.3. Das Prnzp der Methode der klensten Quadrate Mt und werden jewels de Schätzer für β und β ezechnet, de nach der Methode der klensten Quadrate (KQ-Methode) estmmt werden. Prnzp: Mnmerung der Summe der quadrerten vertkalen Awechungen der tatsächlchen Werte y vom geschätzten Wert, d.h. der Fehlerterme. Fgure.7 a): The relatonshp among y, ê and the ftted regresson lne Quelle: Hll, Grffths, Lm (008), S. 0 Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 9
10 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 0 Angepasste Regressonsgerade: ŷ (.3.) Fehlerterm: y ŷ y ê (.3.) Mnmerung der quadrerten Fehlerterme: N N ) ŷ (y ê!sse Mn N ) (y ), S( (.3.3) Bedngungen. Ordnung: 0 y S 0 N y S (.3.4)
11 Durch Auflösung und Umformung ergt sch der KQ-Schätzer für : oder alternatv N ( ) Kaptel : Das enfache Regressonsmodell N y y (.3.5a) ( kann geschätzt werden durch: )(y y) ( ) (.3.5) y woe y,. N N y, (.3.5c) Be und handelt es sch um Zufallsvaralen! Im Englschen wrd unterscheden zwschen: Estmator: allgemene Formel, st ene Zufallsvarale; Estmate: konkrete Werte erechnet mt Hlfe der allgemenen Formel, Realsatonen der ZV Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0
12 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell Bespel: Leensmttelausgaen Ensetzen der Daten der 40 Beoachtungen ergt: ( )(y y) ( ) y 83,4 0, De angepasste Regressonsgerade lautet somt: ŷ 83,4 0, (.3.6) Im enfachen Regressonsmodell verläuft de Schätzgerade der KQ-Schätzung mmer durch de Mttelwerte von und y, (, y). und Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0
13 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell Quelle: Hll, Grffths, Lm (008), S. 3 Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 3
14 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell.3.3 Interpretaton der Schätzwerte Der Wert =0, st en Schätzwert für β : Wr schätzen, dass sch de wöchentlchen Leensmttelausgaen um $0, erhöhen, wenn das wöchentlche Enkommen um $00 stegt. =83,4 en Schätzwert für de wöchentlchen Leensmttelausgaen enes Haushalts ohne Enkommen. Prolem: Im Datensatz kommen kene Beoachtungen n der Nähe von =0 vor. Interpretaton als Elastztät: y / y y Elastztät: / y (.3.7) In lnearen ökonomschen Modellen glt: E(y) (.3.8) Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 4
15 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell De Elastztät der durchschnttlchen Ausgaen n Bezug auf das Enkommen st somt: E(y) / E(y) / E(y) E(y) E(y) Zur Schätzung der Elastztät können wr β durch = 0, ersetzen und und E(y) werden häufg durch de Mttelwerte ersetzt, her: (, y) (9,60;83,57) : 9,60 ˆ 0, y 83,57 0,7.3.4 Vorhersage Wr möchten de durchschnttlchen wöchentlchen Leensmttelausgaen für enen Haushalt mt enem wöchentlchen Enkommen von $.000 vorhersagen = 0: ŷ 83,4 0, 83,4 0,(0) 87,6 Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 5
16 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell.4 Stchproenegenschaften des KQ-Schätzers.4. Der Schätzer ( Formulerung als lnearer Schätzer: )(y y) ( ) (.3.5) N wy (.4.) w woe ( ) (.4.) Durch Umformung von (.4.) ergt sch: (.4.3) w e Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 6
17 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell.4. Der Erwartungswert von und E( ) E( w e ) E( w E(e ) ) E(w e ) (.4.4) Wenn E( )=ß glt, dann sprcht man von enem erwartungstreuen zw. unverzerrten (unased) Schätzer. Erwartungstreue edeutet, dass e wederholter Zehung glech großer Stchproen m Durchschntt rchtg st, also glech dem unekannten Parameterwert ß st. Erwartungstreue glt nur, wenn de Annahmen, de wr üer den KQ-Schätzer treffen, zutreffen. Wenn Annahme SR ncht glt, also E(e ) 0, st E( ) ß und somt st der KQ-Schätzer verzerrt. Wenn de Annahmen üer den KQ-Schätzer gelten, st auch en erwartungstreuer Schätzer von ß. Wederholte Stchproen m Bespel Leensmttelausgaen In Taelle. fnden sch de Schätzergensse für 0 Stchproen (samples) mt jewels N =40 zufällg gezogenen Haushalten. Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 7
18 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell De Schätzwerte von und unterscheden sch für verschedene Stchproen deutlch, de Mttelwerte etragen 78,74 und 9,68. Quelle: Hll, Grffths, Lm (008), S. 8. Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 8
19 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell.4.3 Varanzen und Kovaranz von und Das Ausmaß der Streuung (also der Varanz) gt Auskunft üer de Verlässlchket oder Präzson enes Schätzers. Je gernger se st, desto höher st de Wahrschenlchket, dass der KQ-Schätzer nahe am wahren Wert legt. Mthlfe der Glechung (.4.3) und unter Berückschtgung von SR3 und SR4 kann man de Varanz von herleten: Für de Varanz von und de Kovaranz von und glt: var( ) ( ) (.4.5) var( cov( ( ) N ) ) ( ) Von allen erwartungstreuen Schätzern st der mt der gerngsten Varanz der este., (.4.6) (.4.7) Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 9
20 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell Welche Größen estmmen de Varanzen/Kovaranz?. De Varanz σ. ( ) (s. Fgure.) 3. De Stchproengröße N Der Mttelwert Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 0
21 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell Quelle: Hll, Grffths, Lm (008), S.3. Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0
22 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell.5 Das Gauss-Markov Theorem Gauss-Markov Theorem: Wenn de Annahmen SR-SR5 des lnearen Regressonsmodells gelten, haen de Schätzfunktonen und de klenste Varanz aller lnearen, erwartungstreuen Schätzer für β und β. Se werden daher Best Lnear Unased Estmator (BLUE) genannt..6 De Wahrschenlchketsvertelung des KQ-Schätzers Wenn der Fehlerterm e normalvertelt st, st auch y normalvertelt. Da = w y und de Summe normalvertelter Zufallsvaralen eenfalls normalvertelt st, st der KQ-Schätzer auch normalvertelt. ~ N, N ( ) (.6.) Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0
23 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell ~ N, ( ) (.6.) Solange de Annahmen SR-SR5 gelten, st de Vertelung der KQ-Schätzer e ausrechend großer Stchproengröße N appromatv de Normalvertelung, auch wenn der Fehlerterm ncht normalvertelt st..7 Schätzung der Fehlertermvaranz und der KQ-Schätzer Unter SR, E(e )=0, glt, dass de Varanz der Zufallsvarale e lautet: var(e ) E(e ) E(e ) E e Da en Erwartungswert en Durchschnttswert st, kann man als Schätzer den Durchschntt der quadrerten, eoachtaren Fehlerterme/Resduen aus der Schätzung nehmen: Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 3
24 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell ê ˆ N (.7.) Deser Schätzer st allerdngs verzerrt und muss modfzert werden, ndem m Nenner noch de Anzahl der geschätzten Parameter (her : und ) agezogen wrd. ˆ Man erhält: N ê Glechung (.7.) eschret enen erwartungstreuen, unverzerrten Schätzer, so dass glt: E( ˆ (.7.) ) (.7.3) Schätzung von Varanzen und Kovaranz der KQ-Schätzer vâr( ˆ ), se() vâr() N ( ) (.7.4) Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 4
25 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell ˆ vâr( ), se( ) vâr( ) ( ) (.7.5) côv(, ) ˆ ( ) se( ) und se( ) snd de Standardfehler der KQ-Schätzer. se steht für standard error. (.7.6) Bespel: Leensmttelausgaen Taelle.3 zegt de Resduen der ersten fünf Haushalte. Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 5
26 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell Quelle: Hll, Grffths, Lm (008), S.35. Nutzt man alle 40 Beoachtungen kommt man zu folgender Varanz: ˆ ê , 803,9 N 38 Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 6
27 Kaptel : Das enfache Regressonsmodell Varanzen und Kovaranzen werden n der Regel n ener Matr dargestellt: vâr() côv(, ) côv( vâr(, ) ) 884,44 85, ,9036 4,3875 De entsprechenden Standardfehler snd: se( ) se( ) vâr() vâr( ) 884,44 43,40 4,3875,093 Lehrstuhl für Wrtschaftspoltk - SS 0 7
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Nomenklatur - Überscht Name der synthetschen Varable Wert der synthetschen Varable durch synth. Varable erklärte Gesamt- Streuung durch synth. Varable erkl. Streuung der enzelnen Varablen Korrelaton zwschen
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Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv
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