Stark modulare Gitter mit langem Schatten

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1 Stark modulare Gitter mit langem Schatten von Kristina Schindelar Diplomarbeit in Mathematik vorgelegt der Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen im August 006 angefertigt im Lehrstuhl D für Mathematik bei Prof. Dr. G. Nebe

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3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis iii Einleitung Gitter und Modulformen 5. Symmetrische Bilinearformen Gitter Modulare Gitter Modulformen und Theta-Reihen von Gittern Theta-Reihen Modulformen zu Kongruenzgruppen Das Geschlecht von Gittern 3 3. Quadratische Formen Grundlagen Die Wittgruppe Gitter über diskreten Bewertungsringen Geschlecht von Gittern Knesersche Nachbarschaftsmethode Anwendung der Kneserschen Nachbarschaftsmethode auf die Gitter C k N 45 4 Ungerade Gitter und ihr Schatten Der Begriff des Schattens Stark modulare Gitter und ihr Schatten Bekannte Ergebnisse Unimodulare Gitter von Minimum mit langem Schatten Unimodulare Gitter von Minimum größer als 3 mit langem Schatten Stark modulare Gitter mit langem Schatten Neue Erbebnisse Stark N-modulare Gitter mit langem Schatten Anwendung gerader Gitter zur Klassifikation ungerader Gitter iii

4 iv Inhaltsverzeichnis 6.. Gitter mit ungerader Determinante Gitter mit gerader Determinante Ergebnisse Auftretende Minima im Geschlecht Extremale stark N-modulare Gitter Extremale Gitter mit maximalem Schatten s-extremale Gitter Gefundene Gitter N= N= N= N= N= N= N= N= N=

5 Einleitung Ein Gitter ist eine diskrete Teilmenge des R n, wobei die Punkte gleichmäßig angeordnet sind. Genauer gesagt erhält man ein Gitter durch alle ganzzahligen Linearkombinationen einer Basis des R n. Ein Gitter wird immer bezüglich einer symmetrischen Bilinearform definiert, welche die Abstände und Längen der Gittervektoren bestimmt. Will man um jeden Gitterpunkt jeweils eine Kugel derart legen, dass sich die Kugeln höchstens berühren, nicht aber schneiden, so kann man sich leicht vorstellen, dass je nach Anordnung der Gitterpunkte die Dichte der Kugelpackung variieren kann. Von großem Interesse sind sehr dichte Gitter. Dabei bestimmt sich die Dichte aus dem Minimum und der Determinante des Gitters. Das Minimum eines Gitters ist die minimale Quadratlänge eines Gittervektors ungleich 0, beziehungsweise das Quadrat des minimalen Abstands verschiedener Gittervektoren. Je höher die Dichte eines Gitters, desto dichter die Kugelpackung. Dichte Gitter sind in der Informationübertragung von großem Interesse, denn sie liefern gute fehlerkorrigierende Codes. Ein wichtiges Konzept, um Gitter besser untersuchen zu können, sind Modulformen. Zu jedem Gitter gibt es eine Reihe, die sogenannte Theta-Reihe, deren q-entwicklung die Anzahl von Vektoren einer bestimmten Quadratlänge beschreibt. Diese Theta-Reihen sind Modulformen. Ist ein Gitter beispielsweise gerade und unimodular, so ist seine Theta-Reihe eine Modulform zur vollen Modulgruppe SL (Z) von Gewicht n, wenn n die Dimension des Gitters bezeichnet. Modulformen sind holomorphe Funktionen auf der oberen Halbebene, die unter einer Gruppe von Möbiustransformationen invariant bleiben. Das Besondere an Modulformen ist, dass diese einen durch das Gewicht graduierten Ring bilden, der als C-Algebra endlich erzeugt ist. Die Modulformen von gegebenem Gewicht bilden somit einen endlich-dimensionalen C-Vektorraum. In dieser Arbeit werden stark N-modulare Gitter, die rational äquivalent zu den Gittern C k N sind, betrachtet. Das sind solche, die isometrisch zu allen reskalierten partiellen dualen Gittern sind (siehe Definition.3.8). Der Begriff modular beziehungsweise stark N-modular wurde erstmals von Quebbemann in [Que95] und [Que97] eingeführt. Für N N = {,,3,5,6,7,,4,5,3} hat Quebbemann mit Hilfe von Modulformen gezeigt, dass das Minimum eines geraden, stark N-modularen Gitters kleiner gleich + nσ (N) 4σ 0 (N) (siehe [Que97]). Dabei bezeichnet σ 0(N) die Anzahl der Teiler von N und σ (N) die Summe der Teiler von N. Das allgemeine Prinzip, um solch eine Schranke zu finden, benutzt zwei wesentliche Dinge. Ei-

6 Kapitel : Einleitung nerseits kennt man eine Basis b,...,b t des Raums der Modulformen M n (Γ ger (N)) vom Gewicht n zur geeigneten Modulgruppe Γ ger (N), in welchem die Theta-Reihen der n-dimensionalen stark N-modularen Gitter liegen. Andererseits liefert die Bedingung Minimum von L gleich m genau m lineare Gleichungen, denn θ L hat die Form +0q +0q q m +a m q m Da diese Bedingungen unabhängig sind, ist θ L für m = t eindeutig bestimmt. Das Minimum des Gitters ist also kleiner gleich mal der Dimension von M n (Γ ger ). Gitter, die dieses Minimum erreichen, heißen extremal. Will man nun aber ungerade modulare Gitter betrachten verliert man eine Invarianzeigenschaft. Die Gruppe Γ unger (N), zu der die Theta-Reihen ungerader stark N-modularer Gitter Modulformen sind, wird kleiner und damit die Dimension von M n (Γ unger (N)) größer, das heißt die Schranke an das Minimum wird schlechter. Für ungerade Gitter führten Rains und Sloane daher den Begriff des Schattens ein. Der Schatten eines ungeraden Gitters ist eine Restklasse nach dem dualen Gitter, genauer gesagt Sh(L) := L # ev \ L #, wobei L ev das gerade Teilgitter bezeichnet, in dem alle Vektoren mit geradem Skalarprodukt enthalten sind. Die Theta-Reihe des Schattens eines ungeraden, stark N-modularen Gitters kann aus der Theta-Reihe des Gitters berechnet werden. Es gibt einen Ringhomomorphismus Sh, so dass θ Sh(L) = Sh(θ L ). Die Bedingung, dass die Theta-Reihe des Schattens nur positive Koeffizienten hat liefern genug Bedingungen, um die gleiche Schranke an das Minimum zu bekommen wie für gerade Gitter (siehe [RS98] beziehungsweise Kapitel 4, Satz 4..). Rains und Sloane konnten also den Begriff der Extremalität auf ungerade stark N-modulare Gittern erweitern. Die Basis dieser Arbeit war der Artikel Strongly modular lattices with long shadow von G. Nebe, siehe [Neb04]. In dem Artikel wurden stark N-modulare Gitter von Minimum und zweitlängstem Schatten betrachtet. Nebe konnte eine genaue Schranke angeben, in welchen Dimensionen Gitter mit den genannten Eigenschaften existieren können. In dieser Arbeit wurde versucht eine solche Schranke für stark N-modulare Gitter mit Minimum 3 und drittlängstem Schatten zu finden (diese Gitter sind s-extremal). Dies ist jedoch nicht gelungen, weil sich die Theta-Reihen der Gitter von ungeradem Minimum anders verhalten, als die Theta-Reihen der Gitter von geradem Minimum (vergleiche [NSa]). Dies kann man beobachten, wenn man die Theta-Reihen von s-extremalen Gittern berechnet. S-extremale Gitter sind Gitter, für die die Summe vom Schattenminimum und zwei mal dem Gitterminimum maximal wird. Der Begriff s-extremal wurde von P. Gaborit in [Gab] für unimodulare Gitter eingeführt und in [NSa] verallgemeinert. Die Theta-Reihen solcher Gitter sind eindeutig bestimmt. Berechnet man nun diese Theta-Reihen, so erhält man für Gitter mit geradem Minimum, negative Koeffizienten in der q-entwicklung, wenn die Dimension groß wird. Bei Gittern mit ungeradem Minimum erhält man seltener einen solchen Widerspruch zu der Existenz der Gitter, jedenfalls beim Betrachten der ersten 00 Koeffizienten in der q-entwicklung.

7 3 Weiter wurde in dieser Arbeit versucht in möglichst vielen Dimensionen die stark N- modularen Gitter mit Minimum 3 und drittlängstem Schatten zu klassifizieren. Dazu wurde die Knesersche Nachbarschaftsmethode (siehe [Kne57]) genutzt. Die stark N-modularen Gitter, die rational äquivalent zu C k N sind, liegen im Geschlecht von Ck N. Das heißt die Komplettierung der Gitter ist für alle Primzahlen und für unendlich gleich der Komplettierung von C k N. Mit der Kneserschen Nachbarschaftsmethode kann man das ganze Spinorgeschlecht eines Gitters berechnen und da für C k N das Spinorgeschlecht gleich dem Geschlecht ist, genügt es die Knesersche Nachabrschaftsmethode auf die Gitter C k N anzuwenden. Hat man das Geschlecht bestimmt, so muss man nur noch überprüfen, ob Gitter mit den gewünschten Eigenschaften darin liegen. In hohen Dimensionen wird die Laufzeit zu groß, um das Verfahren so anzuwenden. Man kann jedoch einen geraden Nachbarn von C k N berechnen, dessen Geschlecht bestimmen und die ungeraden Gitter mit den Kanten im Nachbarschatsgraphen der geraden Gitter identifizieren (siehe Borchards [CS99, Chapter7]). Aber auch diese Methode versagt in hohen Dimensionen. In Fällen, in denen Geschlechter schon bestimmt sind und man die Gitter kennt, zu denen das gesuchte Gitter benachbart sein muss, kann man aus dem Nachbar das gesuchte Gitter konstruieren (siehe Kapitel Neue Ergebnisse).

8 4 Kapitel : Einleitung

9 Gitter und Modulformen. Symmetrische Bilinearformen Seien A ein kommutativer Ring mit und E ein A-Modul. Definition.. (a) Eine Abbildung b : E E A heißt symmetrische Bilinearform, falls für alle x,y E und a A gilt, dass (i) b(ax + y, z) = ab(x,z) + b(y,z) (ii) b(x,y) = b(y,x). Dann heißt (E,b) bilinearer A-Modul. (b) Die bilinearen Moduln (E,b), (E,b ) heißen isometrisch, wenn ein A-Modul- Isomorphismus ϕ : E E existiert mit b (ϕ(x), ϕ(y)) = b(x,y) für alle x,y E. Im Zeichen: (E,b) = (E,b ). Dann heißt ϕ eine Isometrie. Definition.. Sei (E,b) ein bilinearer A-Modul. (a) Seien x,y E. Es heißt x orthogonal zu y (bzgl. b), wenn b(x,y) = 0. Ist F E, so heißt F := {x E b(x,y) = 0 y F} der orthogonale Untermodul der Teilmenge F. (Offensichtlich ist F ein A-Untermodul von E.) (b) E heißt orthogonale Summe der Teilmodulen E,,E n, E = E E E n, falls E = n i= E i und E i E j für alle i j, d.h. b(x i,x j ) = 0 x i E i, x j E j. (c) E := Hom A (E,A) = {ϕ : E A ϕ ist A Modulhomomorphismus} heißt der zu E duale Modul. (E ist ein A-Modul durch (a ϕ)(x) := a ϕ(x) x E, a A, ϕ E ) (d) Für x E und F E sei b F (x) : F A definiert durch b F (x)(y) := b(x,y) für alle y F. 5

10 6 Kapitel : Gitter und Modulformen Lemma..3 Sei F E. Dann ist E = F F genau dann wenn b F (E) = b F (F) und F F = {0}. Beweis: Klar! Sei b F (E) = b F (F). Zeige: für alle x E existiert ein y F und y F mit x = y + y. Sei x E. Dann gibt es y F mit b F (x) = b F (y). Daraus folgt, dass für alle z F gilt: b F (x)(z) = b(x,z) = b(y,z) = b F (y)(z) b(x y,z) = 0 z F y := x y F und x = y + y F + F Definition..4 (a) (E,b) heißt nicht ausgeartet, wenn b E : E E injektiv ist. (b) (E,b) heißt regulär, wenn b E bijektiv und E ein endlich erzeugter freier A-Modul ist. Satz..5 Sei F E so dass (F,b F F ) regulär ist. Dann ist E = F F. Beweis: Da F regulär ist folgt, dass b F F : F F bijektiv ist. Daraus folgt: b F (E) = b F (F) und Kern(b F F ) = F F = {0}. Mit..3 folgt die Behauptung. Definition..6 Sei E = n i= Ae i ein freier A-Modul mit Basis e = (e,,e n ). Sei b : E E A eine symmetrische Bilinearform. Die Matrix G(e) := ( b(e i,e j ) ) i, j n An n heißt Gram-Matrix von b bzgl. e. Satz..7 Sei E ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper A. Sei b : E E A eine symmetrische Bilinearform. Dann gibt es eine Zerlegung E = E E r F, wobei E i regulär, dim(e i ) = oder dim(e i ) = für alle i =,,r und F = E. E ist genau dann regulär, wenn F = {0}. Beweis: Beweis durch Induktion nach dim(e): dim(e) = 0 : Klar! dim(e) = n > 0 :

11 . Gitter 7.Fall Ist b(e,e) = 0, so setze F := E..Fall Ist b(e,e) {0}, so unterscheide: Fall. : Es existiert ein e E mit b(e,e) 0. Setze E := e E. Daraus folgt, dass E ist regulär. Mit..5 erhalten wir, dass E = e e, wobei dim( e ) = dim(e) Die Behauptung folgt mit Induktion! Fall. : Für alle e E ist b(e,e) = 0. Dann gibt es e, f E mit b(e, f ) 0. Setze E := e, f E, e := (e, f ) und a := b(e, f ). Da det(g(e)) = a 0 ist E regulär und also E = E E mit dim(e ) = dim(e), nach..5. Die Behauptung folgt mit Induktion! Bemerkung..8 Der Fall. aus dem Beweis von Satz..7 tritt für char(a) nicht auf, denn es ist b(e+ f,e+ f ) = b(e,e)+b(e, f )+b( f, f ), und somit können für char(a) und b(e, f ) 0 nicht alle b(e + f,e + f ), b(e,e), b( f, f ) gleich Null sein. Folgerung..9 Jeder endlichdimensionale Vektorraum über einem Körper der Charakteristik ungleich hat eine Orthogonalbasis.. Gitter Sei V ein Vektorraum der Dimension n über R mit einer positiv definiten Bilinearform (, ). Definition.. (i) Eine Teilmenge L V heißt Gitter von Rang m in V, falls es linear unabhängige Vektoren e,...,e m V so gibt, dass { m } L = Ze Ze m = x i e i x i Z. Gilt n = m, so heißt L volles Gitter. Das Tupel e := (e,...,e m ) heißt Gitterbasis. (ii) Es heißt det(l) := det(g(e)) die Determinante von L. i=

12 8 Kapitel : Gitter und Modulformen In dieser Arbeit werden ausschließlich volle Gitter betrachtet. Es bezeichne L ein Gitter von Rang n mit Basis e := (e,...,e n ). Weiter bezeichne S tr die Transponierte Matrix einer Matrix S. Bemerkung.. Die Determinante eines Gitters ist unabhängig von der Basiswahl, daher ist die vorhergehende Definition wohldefiniert. Beweis: Seien e und e zwei Basen des Gitters L, und sei S die Basiswechselmatrix, die e in e überführt. Es hat S ganzzahlige Koeffizienten, und S existiert. Da det(s) und det(s ) ganze Zahlen sind und zusätzlich det(s) det(s ) = ist, folgt det(s) = ±. Weiter gilt G(e ) = S tr G(e)S und damit folgt det(g(e)) = det(g(e )). Beispiel..3 Sei V = R n. Sei (e,...,e n ) die Standardbasis, und sei das Standardskalarprodukt die zu V gehörige Bilinearform. Dann heißt Z n := Ze Ze n das Standardgitter. Analog zu [Ebe94, Chapter ] führen wir die folgenden Begriffe ein: Definition..4 Das Parallelepiped F(e) := {λ e λ n e n 0 λ i } heißt die Grundmasche von L bzgl. e. Ihr Volumen ist erklärt durch vol(f(e)) = det(g(e)) Die folgende Zeichnung zeigt einen Ausschnitt des Standardgitters Z mit eingezeichnetem Fundamentalbereich F(e): F(e) e 0 e Das Volumen des Gitters L ist wie folgt definiert. vol(l) := vol(r n /L) = (vol(f(e))) Beispiel..5 Sei L das -dimensionale Standardgitter. Es ist vol(l) = det(g(e)) = ((,0), (,0)) ((0,), (0,)) =. Der Quotient R /L ist ein -dimensionaler Torus.

13 . Gitter 9 Bemerkung..6 Sei L L ein Teilgitter von L. Es gilt det(l ) = det(l) [L : L ]. Diese Gleichheit nennt man Determinanten-Index-Formel. Beweis: Nach dem Elementarteilersatz für endlich erzeugte freie Z Moduln gibt es ein Basis (b,...,b n ) von L, so dass (a b,...,a n b n ) eine Basis von L ist. Es bezeiche S die Wechselmatrix von L nach L. Es folgt, dass det(l ) = det(s L) = det(l) det(s). Definition..7 (i) L heißt ganz, wenn (x,y) Z für alle x, y L. (ii) L heißt gerade, wenn (x,x) Z für alle x L. Ein gerades Gitter ist ganz, da (x + y, x + y) = (x,x) + (x,y) + (y,y) (x,y) = (x + y, x + y) } {{ } (x,x) } {{ } (y,y). }{{} Z Z Z Es heißt L ev := {x L (x,x) Z} gerades Teilgitter von L. L ev ist der Kern der linearen Abbildung L F, x (x,x) + Z. Ist L gerade, so ist L = L ev ; ist L ungerade, so ist L ev L, und aus dem Homomorphiesatz folgt, dass L/L ev =. Bemerkung..8 Ein Gitter ist ein freier bilinearer Z-Modul. Definition..9 Für ein Gitter L sei L # := {v V (v,y) Z y L}. Das Gitter L # heißt das zu L duale Gitter. Die obige Definition ist wegen des folgenden Satzes wohldefiniert. Satz..0 Es besitzt L # die Basis e # = (e #,,e# n), wobei e # i := n j= a i j e j mit A := ((a i j )) = G(e). Es gilt außerdem, dass (e i,e # j ) = δ i j. Beweis: Offensichtlich gilt, dass < e # > L #. Außerdem hat der von e # aufgespannte Raum Rang n. Es gilt, dass AI n G(e) I n = I n. Daraus folgt, dass ( n j= a i j e j, e k ) = δ i j für alle i, j. Da außerdem (,) regulär ist, folgt die Behauptung.

14 0 Kapitel : Gitter und Modulformen Folgerung.. Nach Satz..0 gilt, dass G(e # ) = G(e). Daraus folgt, dass det(l # ) = det(l). Bemerkung.. (i) Aus L L folgt, dass L # (L ) #. (ii) Es ist L genau dann ganz, wenn gilt L L #. (iii) Nach der Determinanten-Index-Formel gilt für ein ganzes Gitter: det(l) det(l) = det(l # ) = [ L # : L ]. Definition..3 Die Automorphismengruppe eines Gitters L ist die Menge aller Abbildungen, die das Gitter isometrisch in sich überführen. Analog zu [Ebe94] zeigen wir in einem kleinen Beispiel einen Zusammenhang zwischen binären Codes und Gittern. Dieser erlaubt uns eine schöne Einführung des Wurzelgitters E 8. Beispiel..4 Von Codes zu Gittern Ein Code der Länge n ist eine Teilmenge des F n q für eine Primzahlpotenz q. Ist q =, so heißt der Code binär. Ein linearer Code ist ein Untervektorraum des F n q. Hat man einen binären Code, so kann man aus diesem wie folgt ein Gitter konstruieren. Sei Z n das Standardgitter, so betrachten wir die Reduktion modulo ρ : Z n (Z/Z) n = F n. Ist C ein linearer Code der Dimension k im F n, so ist Fn /C = F n k. C ist eine Untergruppe von Index n k von F n. Also ist das Urbild ρ (C) eine Untergruppe von Index n k von Z n. Es ist ρ (C), wie man leicht sieht, ein Gitter. Somit ist auch L C := ρ (C) ein Gitter. Betrachten wir einen der bekannten Hamming-Code. Dieser ist definiert durch eine Abbildung F 4 F7, (x,x,x 3,x 4 ) (x,x,x 3,x 4, x x 3 x 4, x x x 4, x x 3 x 4 ). Ergänzt man den Code von x 8 := x + + x 7, so erhält man den erweiterten Hamming-Code H. Der erweiterte Hamming-Code hat die Basis ( f, f, f 3, f 4, f 5, f 6, f 7 ) := ((0,,,0,,0,0,), (0,0,,,0,,0,), (0,0,0,,,0,,), (,0,0,0,,,0,), (0,,0,0,0,,,), (,0,,0,0,0,,), (,,0,,0,0,0,)). Klar ist, dass die Vektoren f,..., f 7 in den zugehörigen Gitter L H enthalten sind. Es ist L H ein gerades Gitter im R 8 mit der Basis ( f, ( f f ), ( f 3 f ), ( f 4 f 3 ), ( f 5 f 4 ), ( f 6 f 5 ), ( f 7 f 6 ), (,,0,0,,0,,0)). (Denn: Leicht rechnet man nach, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Das Bild der Vektoren ist offensichtlich in H enthalten.) Man definiert das Gitter E 8 als L H.

15 .3 Modulare Gitter.3 Modulare Gitter Sei p eine Primzahl, Q p der Körper der p-adischen Zahlen und Z p der Ring der ganzen p- adischen Zahlen und Z p Q =: Z (p) = { a b p b}. Weiter sei im Folgendem L ein Gitter dessen Bilinearform nur Werte in Q annimmt. Wir führen analog zu [RS98] modulare Gitter ein. Definition.3. Für ein Gitter L heißt L p := Z p Z L, mit p P die p-komplettierung von L. Definition.3. Sei Π P. Das Gitter L # Π := { v L Q (v,l) Z (p) p Π und (v,l # ) Z (p) p / Π } heißt das Π-Dual von L. Bemerkung.3.3 Offensichtlich ist L # Π wieder ein Gitter. Lemma.3.4 Seien M, L Z-Gitter in V. Es gilt: L = M Z (p) L = Z (p) M für alle p P Beweis: Die Behauptung ist klar, da Z Z (p) für alle p P. Sei B eine Z Basis von L und C eine Z Basis von M. Weiter sei MC B die Basiswechselmatrix von L nach M. Es folgt, dass MC B GL n(z (p) ) für alle p P. Daraus erhalten wir, dass MC B GL n (Z (p) ) = GL n (Z), da (p) = Z. p P p PZ Insgesamt folgt, dass MC B in GL n(z) enthalten ist. Bemerkung.3.5 Sei L ein ganzes Gitter. Dann gilt, dass [ ] L # Π = L # Z p p Π L.

16 Kapitel : Gitter und Modulformen Beweis: Sei p P, so ist { { } v L Q (v,l(p) ) Z (L # (p) = (L(p) ) # = (L # ) (p) falls p Π Π ) (p) = { } v L Q (v,l(p) # ) Z (p) = ((L (p) ) # ) # = L (p) falls p / Π und L # (p) (Z [ p p Π ]L) (p) = { L # (p) (L Q) = L (p) # falls p Π L (p) # L (p) = L (p) falls p / Π. Nach Lemma.3.4 folgt die Behauptung. Bemerkung.3.6 Es ist L # /0 = L und L # P = L #. Definition.3.7 Seien L, L zwei Gitter.. Ein Isomorphismus g von L nach L heißt Ähnlichkeit, falls ein s R existiert, so dass (g(x), g(y)) = s(x, y) für alle x, y L.. Sei L ein ganzes Gitter und Π P. Eine Ähnlichkeit von L # Π nach L heißt Modularität. 3. Eine Modularität σ heißt von der Stufe s (oder auch s-modularität), falls Π aus der Menge aller Primteiler von s besteht und σ die Norm mit s multipliziert, das heißt also Π := {p P p s} und es existiert eine Ähnlichkeit von L # nach L, so dass (σ(x),σ(y)) = s(x,y) für alle x,y L. Definition.3.8 Ein ganzes Gitter L heißt von der Stufe l, falls l die kleinste natürliche Zahl ist, so dass l L # ganz ist. Ist L ein gerades Gitter, so heißt die kleinste Zahl l, so dass ll # wieder gerade ist, die gerade Stufe von L. Sei Π P. Vertauscht man die Rollen von L # und L # Π, so ist die Π-Stufe l π und l π analog definiert. Sei N N. Ein Teiler d von N heißt exakt, falls ggt( N d,d) =. Im Zeichen: d N. Definition.3.9 Sei L ein ganzes Gitter.. Sei M N. Es heißt L M-modular, falls L Modularitäten der Stufe m für alle m aus M besitzt.. Sei N N. Das Gitter L heißt N-modular, falls seine Stufe N teilt und es {,N}-modular ist.

17 .3 Modulare Gitter 3 3. Sei N N. Das Gitter L heißt stark N-modular, falls seine Stufe N teilt und es für jeden exakten Teiler d von N eine d-modularität besitzt. Bemerkung.3.0 Sei NL # ganz, dann ist L # {p p N} = L #. Beweis: Da NL # ganz ist, folgt, dass NL # ( NL #) # = N L. Damit ist L # N ] Z[ L p p N L und wir erhalten, dass L # {p p N} = L #. Bemerkung.3. Ein Gitter L ist genau dann N-modular, wenn gilt, dass L = NL #. Beweis: Sei L N-modular. Dann ist NL # ganz und somit L # = L # {p p N}. Nach Voraussetzung existiert eine Modularität der Stufe N. Sei L = NL #, dann ist NL # ganz und somit L # = L # {p p N}. Nach Voraussetzung existiert eine Modularität der Stufe N. Folgerung.3. Ist L ein N-modulares Gitter, so ist det(l) = N n. Beweis: Nach der vorhergehenden Bemerkung existiert eine Matrix S GL n (Z), mit det(l) = det(s tr NL # S) = det(s) N n det(l). Daraus folgt, dass det(l) = N n. Folgerung.3.3 Ist N quadratfrei und L ein stark N-modulares Gitter, so gilt für jeden Teiler p von N, dass L # p = L # p L. Satz.3.4 Sei N N quadratfrei. Besitzt L für die paarweise teilerfremden Teiler d i, i m von N eine d i -Modularität, so besitzt L auch eine (d... d m )-Modularität. Beweis: Wir führen den Beweis für m = durch und erhalten den Rest analog. Seien d i =: p und d j =: q. Weiter seien σ p : L L #,p eine p-modularität, σ q : L L #,q eine q-modularität und σ pq eine (p q)-modularität. Da man σ p bzw. σ q auf QL fortsetzen kann, zeigen wir, dass σ p (σ q (L)) = σ pq (L). Dazu zeigen wir erstmal die folgende Behauptung. () Sei z p L#,q. Dann ist (z,y ) q Z für alle y L #,q genau dann, wenn gilt, dass (z,y)

18 4 Kapitel : Gitter und Modulformen Z für alle y L. Sei z = p z mit z L #,q, und es gelte, dass (z,y ) q Z für alle y L #,q. Da L L #,q, folgt, dass (z,y) q Z und (z,y) = p (z,y) Z für alle y L. p Daraus folgt, dass (z,y) Z, da ggt (p,q) =. Sei z p L#,q, und es gelte (z,y) Z für alle y L. Es folgt, dass (z,y ) q Z für alle y q L. Damit erhalten wir, dass (z,y ) q Z für alle y L #,q, da L #,q q L. () Nun können wir die Behauptung des Satzes zeigen. σ q (L #,p ) = σ q ( {x p } L (x,y) Z y L ) = {σ q (x) x p } L, (x,y) Z y L { = z } p L#,q p(z,σ q (y)) Z y L = () {z } p L#,q (z,y) Z y L = p ( q L L# ) L # = L #,pq Insgesamt erhalten wir also, dass L eine (p q)-modularität besitzt. Folgerung.3.5 Sei N N quadratfrei. Um nachzuprüfen, dass ein Gitter stark N-modular ist, genügt es für jeden Primteiler eine Modularität zu finden. Definition.3.6 Ein Gitter L heißt unimodular (oder -modular ), falls L = L #. Folgerung.3.7 Ist L unimodular, so gilt det(l) =. Ist L ein ganzes Gitter, so ist dieses genau dann unimodular, wenn det(l) =. Beispiel.3.8 Das in. eingeführte Gitter E 8 ist ganz und hat Determinante. Somit ist es nach der vorhergehenden Folgerung unimodular. Die modularen Gitter sind Verallgemeinerungen von unimodularen Gittern. Sei L ein stark N-modulares Gitter der Dimension k und N = mm für zwei teilerfremde Zahlen. Wir erhalten das folgende Verhältnis.

19 .3 Modulare Gitter 5 L # m (m ) k k L #,m L#,m (m ) k m k L Beispiel.3.9 Sind N {,,3,5,6,7,,4,5,3} und k N, so ist C k N := ( d N d Z) k ein stark N-modulares Gitter. Beweis: Es genügt, die Behauptung für k = zu zeigen, da CN k aus k orthogonalen Kopien von C N entsteht. Es ist C N # = d N Z. Sei (e d,...,e n ) = ( d b,..., d n b n ) eine Basis von C N, wobei (b,...,b n ) die Standardbasis bezeichnet.. Ist N P, so genügt es zu zeigen, dass C N eine N-Modularität besitzt. Da C N von Stufe N ist, ist NC N # C N und somit C #,{N} N = C N #. Definiere σ : C N C # N, b N b, Nb b. Offensichtlich ist σ ein Isomorphismus. Da außerdem (b,b ) = = N N = N(σ(b ),σ(b )) und ( Nb, Nb ) = N = N = N(σ( Nb ),σ( Nb )), folgt die Behauptung.. Sei N 6,4,5. Schreibe N = p q, mit p,q P. Offensichtlich ist C N wieder von der Stufe N. Es besitzt C N eine p- bzw. q-modularität. Sei σ o.b.d.a. eine p-modularität. Es gilt, dass C #,{p} N = C N # p C N = b, p b, p qb 3, q b 4 Z. Definiere σ : C N C {p},# N, b p b, pb b, qb 3 q p b 4 pqb4 qb 3. Offensichtlich ist σ ein Isomorphismus. Leicht rechnet man nach, dass σ auch eine Ähnlichkeit ist. Vertauscht man die Rollen von p und q, so erhält man eine q-modularität und mit Folgerung.3.5 erhält man die Behauptung. Bemerkung.3.0 Sei L ein ganzes Gitter.

20 6 Kapitel : Gitter und Modulformen (i) Sei b die zu L gehörende Bilinearform. Die Abbildung b : L # /L L # /L R/Z, b(x + L, y + L) = (x, y) + Z ist eine wohldefinierte symmetrische Bilinearform. (ii) Die Bilinearform b ist nicht ausgeartet. (iii) Sei L stark N-modular mit N quadratfrei. Seien p,q P, mit p q Teiler von N. Die Gitter L #,{p} und L #,{q} stehen orthogonal zueinander bezüglich b. Beweis: (i) Sei L # x = z + l, mit z L #, und l L. Zu zeigen ist, dass b(x + L,y + L) = b(z + L,y + L). b(x + L,y + L) = b(z + l + L,y + L) = b(z + l,y) + Z = b(z,y) + b(l,y) +Z } {{ } Z, da y L # = b(z,y) + Z = b(z + L,y + L) (ii) Die Behauptung folgt, da b(x + L,y + L) = 0+Z für alle y L # genau dann, wenn (x,y) Z für alle y L # genau dann, wenn x ( L #) # = L. (iii) Sei k := n := dim(l). Um die Behauptung zu zeigen, betrachte L # p L als Untergruppe der Ordnung (N/p) k von L # /L, bzw. L # q L als Untergruppe der Ordnung (N/q)k von L # /L. L # L # p L L# q L (N/p) k (N/q) k L

21 .4 Modulformen und Theta-Reihen von Gittern 7 Seien x L # p L und y L# q L. Zeige, dass b(x + L, y + L) = 0 + Z. ( ) ( ). Da p k x L, folgt, dass b p k x + L, y + L = b p k x, y + Z Z, da y L #. Damit erhalten wir, dass b(x,y) = z für ein z Z und für k k. p ( k ) ( ). Da q k y L folgt, dass b x + L, q k y + L = b x, q k y + Z Z, da x L #. Damit erhalten wir, dass b(x,y) = z q l für ein z Z und für l l. Mit. und. folgt, dass b(x,y) in Z liegt..4 Modulformen und Theta-Reihen von Gittern Bei der Einführung gehen wir analog zu [KK98] vor. ( a b Sei H := {τ C Iτ > 0} die obere Halbebene. Ist M = c d Einträgen aus C, so definieren wir ) eine Matrix mit M τ := aτ + b cτ + d für alle τ C. Somit wird durch φ M : τ Mτ eine meromorphe Funktion auf H definiert. Diese Funktion heißt Möbius-Transformation. Die Möbius-Transformationen sind genau die biholomorphen Selbstabbildungen von H. Es bezeichne Γ die Gruppe SL (Z). Bemerkung.4. Die Gruppe Γ wird von den Matrizen erzeugt. S := ( 0 0 ) (, T := 0 ) Definition.4. Sei f eine meromorphe Funktion auf H. Sei k Z und M SL(;R), dann definieren wir f k M = f M := (cτ + d) k f (Mτ) für τ H.

22 8 Kapitel : Gitter und Modulformen Es sei G eine Gruppe. Ein Charakter von G ist ein Gruppenhomomorphismus in die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen. Definition.4.3 Sei U eine Untergruppe von SL (R), so dass U SL (Z) in U und SL (Z) endlichen Index hat, und χ sei ein Charakter von U. Eine holomorphe Funktion f : H C heißt eine Modulform vom Gewicht k zur Gruppe U mit Charakter χ, falls gilt:. Es ist f k A = χ(a) f für alle A U.. Für alle M SL (Z) ist f k M holomorph bei i. Bemerkung.4.4 Seien f und g Modulformen von Gewicht k zur Gruppe U mit Charakter χ, so ist auch α f + βg, mit α,β C, eine Modulform von Gewicht k zur Gruppe U mit Charakter χ. Modulformen eines Gewichts bilden also einen C-Vektorraum, den man mit M k (U,χ) bezeichnet. Für eine Menge von Charakteren, für die χ k χ l = χ k+l mit l,k Z 0, ist die Operation k multiplikativ. Die Modulformen zur Untergruppe U bilden dann einen durch das Gewicht graduierten Ring M (U,χ) = k= M k(u,χ k ). Bemerkung.4.5 Ist I U und χ der triviale Charakter, so sieht man direkt, dass jede Modulform von ungeradem Gewicht gleich 0 ist..4. Theta-Reihen Definition.4.6 Sei L ein Gitter, so heißt die Funktion in C θ L (τ) := e π i b(x,x)τ = a L ( j) e π i j τ, τ H, die Theta-Reihe von L, x L j=0 wobei a L ( j) = {x L b(x,x) = j} der Anzahl der Vektoren der Länge j bezeichnet. Für die Wohldefiniertheit der Theta-Reihe ist einerseits zu zeigen, dass diese konvergiert und andererseits, dass a L ( j) < für alle j N. Für den ersten Teil verweisen wir auf [Ebe94, Kapitel.], der zweite Teil wird in der folgenden Bemerkung behandelt. Bemerkung.4.7 Es gilt: Für alle α R ist {x L b(x,x) α} endlich.

23 .4 Modulformen und Theta-Reihen von Gittern 9 Beweis: Sei v,...,v n eine beliebige Basis von V. Weiter sei L x = (x,...,x n ) mit x = ni= b i v i für b i R, bzw. x = n i= c i e i bezüglich einer Basis von L mit c i Z. Da je zwei Normen auf V äquivalent, sind erhalten wir, dass x max = max i x i C b(x,x). Daraus folgt, dass c i C α und somit folgt, dass {x L b(x,x) α} ( C α + ) n. Bemerkung.4.8 Ist L gerade, so ist θ L offensichtlich periodisch. Analog zu [Ebe94] führen wir die folgenden Sätze an. Es bezeiche f die Fourier-Transformierte von f, das heißt f := R n f (x)e πib(x,y) dx. Satz.4.9 Poissonsche Summenformel Seien f : R n C eine Funktion und L R n ein Gitter, so dass gilt:. R n f (x) dx <. Die Reihe x L f (x + u) konvergiert gleichmäßig für alle u, die in einer kompakten Teilmenge des R n enthalten sind. 3. Die Reihe x L # f (y) ist absolut konvergent. Dann gilt x L f (x) = f (y). det(l) y L # Beweis: [Ebe94, Theorem.] Satz.4.0 Theta-Transformationsformel Es gilt die Identität θ L ( τ ) = (τ i ) n det(l) θl #(τ). Beweis: Da beide Seiten der Gleichung holomorph sind und H ein Gebiet ist, können wir den Identitätssatz (siehe [Rem9, Kapitel 8,.]) benutzen, um die Behauptung zu zeigen. Nach dem Identitätssatz sind zwei auf einem Gebiet G holomorphe Funktionen f und g genau dann gleich, wenn die Menge {w G f (w) = g(w)} einen Häufungspunkt in G hat. Es genügt also nach dem Identitätssatz zu zeigen, dass die Gleichheit für τ = it mit t R, t > 0 erfüllt ist. Wir wollen als nächstes die Poissonsche Summenformel anwenden. Dazu berechnen wir erstmal die Fouriertransformierte von e π( t x) =: f ( t x), f : R n R. Wegen Fubini können wir erstmal den Fall n = betrachten. Nach partieller Integration mit g(x) = e iπx y und h (x) = πxe ( t x) π erhalten wir, dass f (y) = R πxie ( t x) π e iπx y dx = R i t e t xπ ( πiy)e iπx y dx. Damit erhalten wir, dass f (y) = tπy f (y). Es folgt,