Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe. 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya

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1 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya

2 Folgen und Reihen: Beispiele Unter dem Bildungsgesetz einer unendlichen Reihe n i= versteht man einen funktionalen Zusammenhang an = f (n), aus dem sich die Reihenglieder berechnen lassen. a i Beispiel : Aus der arithmetischen Zahlenfolge = n =, 2, 3, 4, 5,... entsteht durch Partialsummenbildung eine sog. arithmetische Reihe n = n Ma 2 Lubov Vassilevskaya

3 Folgen und Reihen: Beispiele Beispiel 2: Aus der unendlichen Zahlenfolge = n =, 2, 3, 4, 5,... entsteht durch Partialsummenbildung die sog. harmonische Reihe n= n = n... Beispiel 3: Aus der geometrischen Folge = a q n = a, a q, a q 2,..., a q n,... erhalten wir durch Partialsummenbildung die sog. geometrische Reihe n = a q n = a a q a q 2... a q n Ma 2 Lubov Vassilevskaya

4 Eine unendliche Reihe: Definition s n = a a 2... Für unendliche große n definiert man daher i= a i = Damit wird die Summe einer unendlichen Reihe als Grenzwert der Folge der Partialsummen erklärt. So kann man die Konvergenz einer unendlichen Reihe (und damit das Problem der Existenz einer Summe dieser Reihe) auf die Konvergenz der Folge der zugehörigen Partialsummen zurückführen Eine unendliche Reihe i= n a i heißt konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert. Der Grenzwert der Partialsumme heißt dann Summe der unendlichen Reihe, und es gilt s n k = a k = s n = s n Existiert s nicht, so heißt die Reihe divergent. 6- Ma 2 Lubov Vassilevskaya

5 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe Wir zeigen, dass die geometrische Reihe q n = q q 2... q n... für q < konvergiert und für q > divergiert. s n = q q 2... q n, q s n = q q 2 q 3... q n s n q s n = q q 2... q n [ q q 2 q 3... q n ] = = q n s n q s n = s n q = q n s n = qn q q : s = s n = n n q n q = q, n q q n = 0 q n = q q 2... q n... = q Die Folge der Partialsummen besitzt für q < diesen Grenzwert. 6-2 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

6 Konvergenzkriterien Konvergenzkriterien ermöglichen eine Entscheidung darüber, ob eine vorgegebene unendliche Zahlenreihe konvergiert oder divergiert. Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer unendlichen Reihe ist die Bedingung n=, > 0 n = 0 Diese Bedingung ist zwar notwendig, aber nicht hinreichend. 7- Ma 2 Lubov Vassilevskaya

7 Konvergenzkriterien: Quotientenkriterium von d'alembert Quotientenkriterium von d'alembert: Erfüllen die Glieder einer unendlichen Reihe die Bedingung n = q so ist die Reihe konvergent. Ist aber q >, so ist die Reihe divergent. Jean-Baptiste d'alembert (77-783) Für q = versagt das Quotientenkriterium, d.h. eine Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz ist dann mit dem Quotientenkriterium nicht möglich. Das Quotientenkriterium liefert eine hinreichende Bedingung für die Reihenkonvergenz. 7-2 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

8 Konvergenzkriterien Eine alternierende Reihe ist eine Reihe, deren Glieder abwechselnd positiv und negativ sind ( ) n+ = a a 2 + a 3 a 4 + a 5... > 0 Der Faktor n bestimmt das Vorzeichen der Glieder. Gottfried Wilhelm Leibniz (646-76) Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen: Eine alternierende Reihe ist konvergent, wenn die Reihenglieder die folgenden Bedingungen erfüllen:. a > a 2 > a 3 >... > > + > n = Ma 2 Lubov Vassilevskaya

9 Konvergenz und Divergenz: Aufgabe Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren oder divergieren a ) b ) c ) A Ma 2 Lubov Vassilevskaya

10 Konvergenz und Divergenz: Lösung a = n= Um zu bestimmen, ob diese Reihe konvergiert oder divergiert, bestimmen wir zuerst eine allgemeine Formel für die Glieder. Im Zähler jedes Reihengliedes steht eine, im Nenner Potenzen von 2. Deswegen besteht unsere Aufgabe darin, die Folge der Exponenten von 2 allgemein darzustellen: = = n= = n= 2 b n Wir haben also die Exponenten Differenz d = 2. b n = 0, 2, 4, 6, 8,... mit der konstanten b = 0, b 2 = 2, b 3 = 4, b 4 = 6,... b 2 = b 2, b 3 = b 2 2 = b 2 3 b n = b 2 n = 0 2 n = 2 n 2 8-a Ma 2 Lubov Vassilevskaya

11 Konvergenz und Divergenz: Lösung a = n= 2 2 n 2 = n=, = 2 2 n 2 n = n n 2 2 n 2 = n 2 2 n 2 2 n = n 2 2 n 2 2 n 2 2 = 4 Die Reihe konvergiert. 8-b Ma 2 Lubov Vassilevskaya

12 Konvergenz und Divergenz: Lösung b b ) = b n =, 2, 3, 4, 5,... b =, d = b n = b + d (n ) = + n = n n= b n c n c n = 2, 3, 4, 5, 6,... c = 2, d = c n = c + d (n ) = 2 + n = n + = b n c n = n (n + ) n + = n n (n + ) (n + ) (n + 2) = In diesem Fall muss man mit anderen Mitteln auf Konvergenz prüfen: = n (n + ) = n n + 8-2a Ma 2 Lubov Vassilevskaya

13 Konvergenz und Divergenz: Lösung b = n (n + ) = n n + n S n = i = n a i = i = i i = n n n n = n n S n = n ( n + ) = Die Reihe konvergiert. 8-2b Ma 2 Lubov Vassilevskaya

14 Konvergenz und Divergenz: Lösung c = n= = n= b n c n b n =, 3, 5, 7, 9,... b =, d = 2 b n = b + d (n ) = + 2(n ) = 2 n c n = 5, 8,, 4, 7,... c = 5, d = 3 c n = c + d (n ) = 5 + 3(n ) = 3 n + 2 = b n c n = 2 n 3 n + 2, n Die Reihe divergiert. = n 2 n 3 n + 2 = Ma 2 Lubov Vassilevskaya

15 Konvergenz und Divergenz: Aufgaben 2-5 Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren oder divergieren Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: n= n 5 n 2 n n= 2 n n + a ) 6 n! a ), b ) n= 3 2 n (2 n)! 9-A Ma 2 Lubov Vassilevskaya a ) a ) n= 3 n n 4, b ) n n, b ) 3 n n, n + 4 (n + ) 5 n + 2 n (n + 3) 3 b ) n n +3 2 n n + 2

16 Konvergenz und Divergenz: Lösungen 2, 3 Lösung 2: n 5 = n = n = n n 5 n 5 n n = n 5 n = 5 Die Reihe konvergiert. Lösung 3: n 2 2 n = = n = n n 2 2 n 2 n n 2 = n 2 n n n n = = n 2 n n = 2 Die Reihe konvergiert. 9- Ma 2 Lubov Vassilevskaya

17 Konvergenz und Divergenz: Lösung 4a n + 6 n= n! = 6 2! ! ! ! +... = n = n 6 n 2 n! n! = n 6 n 6 n! n! = 6 n n! n! = = 6 n n! n!(n + ) = 6 n n + = 0 Die Reihe konvergiert. 9-2a Ma 2 Lubov Vassilevskaya

18 Konvergenz und Divergenz: Lösung 4b n= 3 2 n (2 n)! = 32 2! ! ! ! +... = = n + = n 3 2 (n+) (2 n)! = (2 (n+))! 3 2 n n 3 2 (2 n)! (2 n)! (2 n + ) (2 n + 2) = = n 9 (2 n + ) (2 n + 2) = n 9 n 2 ( 2 + n ) ( 2 + n ) = n 9 4 n 2 = 0 < Die Reihe konvergiert. 9-2b Ma 2 Lubov Vassilevskaya

19 Konvergenz und Divergenz: Lösung 5 a ) = 3 n n 4, n + = n ( 3 n + 4 (n + ) 4 n ) 3 n = = n 3 n 4 (n + ) 4 = 3 ( n ) 4 = 3 > n n + Die Reihe divergiert. b ) = 2 n (n + 3) 3, n + = n ( 2 n + (n + 3) ) 3 (n + 4) 2 n = 3 ( 3 2 (n + 3) ) = n (n + 4) 3 = 2 ( n + 3 ) 3 = 2 > n n + 4 Die Reihe divergiert. 9-3 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

20 Konvergenz und Divergenz: Lösung 6 a ) = n n n + = 2 3 n n n + 2 = = 2 3 n ( + n + 2 ) = 2 3 < Die Reihe konvergiert. 9-4 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

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