3 Konvergenz von Folgen und Reihen

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1 3 KONVERGENZ VON FOLGEN UND REIHEN 3 Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1 Normierte Vektorräume Definition: SeiV ein normierter Vektorraum überr. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden Eigenschaften erfüllt sind. (N1) v = 0 v = 0 (Definitheit); (N2) λ v = λ v für alleλ R,v V (Homogenität); (N3) v+w v + w für allev,w V (Dreiecksungleichung). V zusammen mit heißt dann normierter Vektorraum. 73

2 Beispiele für Normierte Vektorräume. R mit der Betragsfunktion ist ein normierter Vektorraum. Fürn 1 ist derr n, zusammen mit derp-norm,p N, 1/p n x p = x j p, fürx = (x 1,...,x n ) T R n, j=1 ein normierter Vektorraum. Spezialfall: Für p = 2 bekommt man die Euklidische Norm n x 2 = x 2 j fürx = (x 1,...,x n ) T R n. j=1 Weiterhin (p = ): Die Maximumnorm x = max 1 j n x j fürx = (x 1,...,x n ) T R n. 74

3 Weitere Beispiele für Normierte Vektorräume. SeiV = C[a,b] der Vektorraum aller stetigen Funktionen auf[a,b] R. Dann ist diep-norm f p = ( b a f(x) p dx) 1/p, fürf C[a,b], fürp N eine Norm aufv. Wichtiger Spezialfall: Für p = 2 ist die Euklidische Norm b f 2 = a f(x) 2 dx, fürf C[a,b], eine Norm aufv. Weiterhin (p = ): Die Maximumnorm ist gegeben durch f = max a x b f(x), fürf C[a,b]. 75

4 3.2 Folgen Definition: Sei V normierter Vektorraum mit Norm. Eine Folge ist eine Abbildung N V,n a n, kurz(a n ) n N oder(a n ) n 1. Beispiele für Folgen. Reelle Folgen (Folgen reeller Zahlen), d.h.v = R, z.b. ist a n = 1, fürn N, n eine reelle Folge. Komplexe Folgen (Folgen komplexer Zahlen), d.h. V = C, z.b. ist a n = i n, fürn N, eine komplexe Folge. 76

5 Weitere Beispiele für Folgen. Vektorenfolgen (Folgen von Vektoren),V = R n oderv = C n, z.b. ist a n = ( 1 n,n, 1 n 2 ) T R 3, fürn N, eine Folge reeller Vektoren. Funktionenfolgen (Folge von Funktionen), etwav = C[a,b], z.b. ist für[a,b] = [0,1] die Folge eine Funktionenfolge. f(x) = x n, fürx [0,1] undn N, 77

6 Rechenoperationen mit Folgen. Die Menge aller Folgen inv bildet einen Vektorraum,V N, für den die Addition und skalare Multiplikation wie folgt definiert sind. (a n ) n N +(b n ) n N := (a n +b n ) n N λ(a n ) n N := (λa n ) n N Rekursion und Iteration. Folgen lassen sich rekursiv beschreiben durch a n+1 := Φ(n,a n ), fürn N, wobei Φ : N V V eine bestimmte Iterationsvorschrift bezeichnet. 78

7 Das Bisektionsverfahren (Intervallhalbierung). Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer stetigen Funktionf : [a,b] R. Voraussetzung:f(a) f(b) < 0. Iteration: Definiere zwei Folgen(u n ) n N0 und(v n ) n N0 rekursiv mit den Startwerten (u 0,v 0 ) = (a,b) und der folgenden Iterationsvorschrift. FORn = 1,2,... x := (u n 1 +v n 1 )/2 IFf(x) = 0 THEN RETURN IF(f(x) f(v n 1 ) < 0) THEN u n := x; v n := v n 1 ; ELSE u n := u n 1 ; v n := x; OUTPUT:xmitf(x) = 0, Nullstelle vonfin[a,b]. 79

8 Beispiel.f : [1,2] R mitf(x) = x 2 2,a = 1 undb = 2. Beachte:f( 2) = 0, d.h. 2 = ist Nullstelle vonf. n u n v n Graph vonf(x) = x 2 2. Beobachtung: Das Bisektionsverfahren konvergiert relativ langsam! 80

9 Das Newton-Verfahren. Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f : [a, b] R. Verwende Newton-Iteration: mit Startwertx 0. x n+1 := x n f(x n) f (x n ), fürf (x n ) 0, Bemerkung: Verfahren konvergiert, fallsx 0 nahe bei einer Nullstelle vonfliegt. Beispiel: Fürf(x) = x 2 2undx 0 = 1 erhält man n t n Erinnerung:f( 2) = 0, d.h. 2 = ist Nullstelle vonf. 81

10 Konvergenz von Folgen. Definition: Sei(a n ) n N eine Folge in einem normierten VektorraumV. Dann heißt (a nj ) j N fürn j N mit1 n 1 < n 2 <... eine Teilfolge von(a n ) n N. die Folge(a n ) n N beschränkt, falls es einc > 0 gibt mit n N : a n C. die Folge(a n ) n N konvergent mit Grenzwert (Limes)a V, falls ε > 0: N = N(ε) N: n N: a n a < ε. Eine nicht-konvergente Folge heißt divergent. die Folge(a n ) n N Cauchy-Folge, falls ε > 0: N = N(ε) N: n,m N: a n a m < ε. 82

11 Satz: Sei(a n ) n N eine Folge in einem normierten Vektorraum. Dann gilt: (a) (a n ) konvergent= (a n ) beschränkt; (b) (a n ) konvergent= (a n ) Cauchy-Folge; (c) Falls(a n ) konvergiert, so ist der Grenzwert von(a n ) eindeutig bestimmt. Beweis von (a): Sei(a n ) konvergent mit Grenzwerta. Dann gilt für vorgegebenesε > 0 die Abschätzung a n = a n a+a a n a + a < ε+ a für allen N(ε). Damit ist die Folge(a n ) beschränkt mit der Konstanten C = max{ a 1, a 2,..., a N 1, a +ε}. Also n N: a n C. 83

12 Beweis von (b): Sei(a n ) konvergent mit Grenzwerta. Dann gilt für vorgegebenesε > 0 die Abschätzung a n a m = a n a+a a m a n a + a m a < ε 2 + ε 2 = ε für allen,m N = N(ε/2) Beweis von (c): Sei(a n ) konvergent mit verschiedenen Grenzwertenaunda. Dann gelten fürε > 0 die Abschätzungen a n a < ε für allen N(ε) a n a < ε für allen N(ε) Somit folgt fürn max{n,n} die Ungleichung a a = a a n +a n a a n a + a n a < 2ε. Da dies für jedesε > 0 gilt, folgta = a im Widerspruch zur Annahmea a. 84

13 Notationen. Für eine konvergente Folge(a n ) mit Grenzwertaschreiben wir lim a n = a oder a n a (n ). n Uneigentliche Konvergenz bzw. Divergenz gegen den uneigentlichen Grenzwert ±. Für reelle Folgen definieren wir zusätzlich lim a n = C > 0: N N: n N:a n > C n lim a n = C > 0: N N: n N:a n < C n 85

14 Bemerkungen. Die Umkehrung der Aussage im Satz, Teil (b), (a n ) Cauchyfolge = (a n ) konvergent gilt nur in gewissen normierten Räumen, nämlich in vollständigen Räumen bzw. Banachräumen. Einen vollständigen Euklidischen Vektorraum nennt man Hilbertraum. Beispiele: für vollständige Räume:(R, ),(C, ),(R n, ),(C[a,b], ); für einen nicht vollständigen Raum:(C[a,b], 2 ). 86

15 Satz: Seien(a n ) und(b n ) zwei konvergente Folgen. Dann konvergieren die beiden Folgen (a n +b n ) und(λa n ) fürλ R (bzw.λ C), wobei gilt (a) lim n (a n +b n ) = lim n a n + lim n b n, (b) lim n (λa n ) = λ lim n a n. Beweis: Seia = lim n a n undb = lim n b n, d.h.asei Grenzwert von(a n ) und b sei Grenzwert von(b n ). (a): Fürn max{n 1 (ε/2),n 2 (ε/2)} gilt (a n +b n ) (a+b) a n a + b n b < ε 2 + ε 2 = ε. (b): Seiλ 0. Dann gilt fürn N 1 (ε/ λ ) die Abschätzung Der Fallλ = 0 ist trivial. λa n λa = λ a n a < λ ε λ = ε 87

16 Konvergenzgeschwindigkeit. Definition: Sei(a n ) eine konvergente Folge mit Grenzwerta. (a) Die Folge(a n ) heißt (mindestens) linear konvergent, falls eine Konstante 0 < C < 1 und ein IndexN N existiert mit n N: a n+1 a C a n a (b) Die Folge(a n ) heißt (mindestens) superlinear konvergent, falls es eine nicht-negative NullfolgeC n 0 gibt mit lim n C n = 0, so dass n: a n+1 a C n a n a (c) Die Folge(a n ) heißt konvergent der Ordnung (mindestens)p > 1, falls es eine nicht-negative Konstante C 0 gibt mit n: a n+1 a C a n a p. 88