6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung

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1 6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez geeigeter Teilfolge. Der Grezwert oder die Häufugspukte müsse icht agegebe werde. (a) (b) a ( + ), (c) c ( ) , b , (d) d + + ( ). Lösug 6: Ma hat Daraus folgt die beidseitige Abschätzug also ist (a ) beschräkt. Ferer gilt a ( + ) ( + ) +. a für alle N, a + a + ( + )( + ) ( + ) + 5 ( + )( + )( + ) ( + )( + )( + ) < 0, also ist (a ) streg mooto falled. Ma schließt daraus, dass (a ) koverget ist. Für (b ) gilt b < 6, also ist (b ) ach obe durch 6 beschräkt, ach ute ubeschräkt. Isbesodere ist (b ) diverget. Ferer gilt b + b ( )( + ), ( + ) ( + ) also ist ach Betrachtug der Faktore b + b > 0 ur für, sowie b + b 0 für ud b + b < 0 für > : Damit ist die Folge (b ) für N icht mooto, für > aber mooto falled, für > sogar streg mooto falled. Es ist c ( ) also ist (c ) alteriered, icht mooto. Ferer gilt c <, gerade, c >, ugerade, > 0, gerade, < 0, ugerade, isbesodere c <, d.h. (c ) ist beschräkt. Beide Teilfolge (c k ) ud (c k ) sid ausserdem streg mooto, de c + c ( ) ( + ) ( ) + (5 + ) < + + ud damit ist (c k ) streg mooto falled ud (c k+ ) streg mooto steiged. Damit kovergiere beide Teilfolge mit dem Mootoiekriterium. Betrachtet ma die Folge och geauer, so sieht ma die Abschätzug c ( ) + ( ) + < ud da ( ) eie Nullfolge ist, kovergiert (c ) mit beide Teilfolge gemeisam gege 0. Wie zuvor köe wir auch (d ) i zwei Teilfolge zerlege: d Wir utersuche die Mootoie für gerade : ( ) gerade, + ugerade d + d ( + + )( + + ) 8 ( + + )( + + ) < 0

2 Die Teilfolge (d k ) ist also streg mooto falled ud deswege ach obe durch d d k beschräkt. Da aber Zähler ud Neer immer positiv sid, ist auch d k > 0 ud somit ist sie auch ach ute beschräkt ud deswege ach dem Mootoiekriterium koverget. Für ugerade erhalte wir d + d + + > 0, dass diese Teilfolge also streg mooto steiged ist, ud auch immer positiv ist d k > 0, doch hat keie obere Schrake ud damit ist diese Teilfolge diverget. Damit hat (d ) isgesamt zwar ur eie Häufugspukt, ist aber deoch icht koverget, ist also diverget. Aufgabe 7: Bestimme Sie de Grezwert der Folge (a ) mit Lösug 7: (a) Es ist (a) a p +, a p + r (b) a + +, (c) a + + ( ). + ` + ` + + ` Ferer gilt für b /a Ma hat also a b. (b) Wir schätze ab Aus der Vorlesug wisse wir, daß r b ( ). r 5 + a >. + 5 ist. Also ist a zwische zwei Folge b 5 ud c eigeschlosse, die de gleiche Limes habe. Nach dem Eischließugskriterium gilt a. (c) Es gilt Nach de Recheregel gilt a + ( ) ` + ` + ` a ` + Aufgabe 8: Gegebe sei die rekursiv defiierte Folge ` + + ud wir betrachte die zwei Startwerte b, sowie b. + a b, a k+ a k a k, k N +. ` (a) Uter Aahme der Kovergez, gege welche Grezwerte ka die Folge da kovergiere? (b) Für welche der beide Startwerte ist die Folge mooto? (c) Für welche der beide Startwerte ist die Folge beschräkt? (d) Begrüde Sie, ob die Folge kovergiere ud bestimme Sie ggf. die Grezwerte. Lösug 8: (a) We die Folge kovergiert, so existiert ei Grezwert a ud ma ka de Limes auf die Rekursiosformel awede: a k+ a k a k k k a k a k a a Also müsse mögliche Grezwerte die Formel a a a erfülle. Wir habe zwei Fälle: Für a 0 ist a a a, also a 0, ud für a > 0 erhalte wir a a a, also a(a ) 0 ud somit a als zweite Lösug. Als mögliche Grezwerte komme ur 0 ud i Betracht. (b) Ist zuächst b < 0, so ist a b < 0 ud mit vollstädiger Iduktio a k+ a k a k erhalte wir mit a k < 0: a k+ a k a k a k a k a k a k + a k a k Also ist die Folge für b streg mooto steiged. Für a b erhalte wir a, a, sie ist also icht mooto. a k a k > 0 < 0. Für die Differez a k+ a k

3 (c) Da für b < 0 die Folgeglieder wie gezeigt egativ sid, gleichzeitig aber streg mooto wachse, ist b a k < 0 ud sicher a k b erfüllt ud somit ist die Folge für b beschräkt. We b gilt, so ist a ud somit alle folgede Folgeglieder egativ ud ab a wachsed, also gilt hier a k, also gesamt a k ud sie ist beschräkt. (d) Für b ist das Mootoie-Kriterium erfüllt, ud somit kovergiert die Folge da. Da hier a k < 0, ka der Grezwert ur a 0 laute. Für b ist die Folge ab dem zweite Folgeglied mooto, somit kovergiert der hitere Folgeteil ach dem Mootoie- Kriterium, ud damit auch die gesamte Folge. Ma ka auch argumetiere, dass die Folge mit dem Startwert beim zweite Folgeglied erreicht ud ab dort mit der erste Folge übereistimmt, die kovergiert. Aufgabe 9: Numerisch ka die Gleichug x x + 5 für 0 x durch Iteratio gelöst werde. Ma verwede hierzu die Folge x 0 0, x x + 5, N. Zeige Sie, dass (x ) kovergiert ud schätze Sie de Fehler ach k Schritte ab. Hiweis: Bestimme Sie C R so, dass gilt x + x C x x. Lösug 9: Zuächst gilt: Ist 0 x, so ist 0 x + / für N 0. Durch Iduktio folgt: Die Folge ist beschräkt. Zetral ist ferer die Gleichug x + x x x (x x )(x + x x + x ), N. Jetzt folger wir: ist x x 0, so auch x + x, de x + x x + x 0 für 0 x, x /. Mittels Iduktio folgt: Die Folge ist beschräkt ud mooto wachsed, also koverget. Setze x : x. Aus der Gleichug obe folgt außerdem: x + x x x (x + x x + x ) 6 x x. Iduktiv folgt: x + x (/6) x x 0. Wähle u k N fest ud betrachte: x x k x X X «k+ x k x k++ x k+ x k+ x k x k+ x k 6. 6 Eie weitere Abschätzug liefert x x k 0 «k x x 0. 6 Aufgabe 0: Für c R sei die Folge (z ) defiiert durch z 0 0, z + z + c +, N. (a) Stelle Sie für c eie Vermutug für eie geschlossee Form vo (z ) ab auf, beweise Sie diese ud die Kovergez der Folge. Was ist der Grezwert? (b) Zeige Sie, dass die Folge für c mooto wächst, sowie Divergez durch Vergleich mit v (/). Lösug 0: (a) Wir bereche die erste Werte: 0 z 0 0, z, z, z, z, z 5 5,... Kürzt ma die Brüche icht, so liegt die Vermutug ahe, dass z gilt für. Wir zeige dies mit vollstädiger Iduktio ab : : Wir wisse, dass z, zu zeige ist, dass z. Das ist offesichtlich erfüllt. + : Sei N ud für dieses ist z ( ). Zu zeige ist, dass z +. + z + z + ` ( ) Damit habe wir die geschlossee Form bewiese ud köe u de Grezwert bereche: z 0 Es existiert ei Grezwert, also ist die Folge koverget, ud zwar gege 0.

4 (b) Schaue wir us wieder ei paar Werte a: z 0 0, z, z, z 5, z,... Alle Werte sid positiv, ud das ist leicht eisehbar, da i der Rekursiosformel z + z + + ur positive Terme erscheie. Für die Mootoie schaue wir us das Verhältis z + z erste Schritte habe wir scho achgerechet. für a, die Mootoie de z + z + z z + z + ( + ) + z >( ) für >0 Setze wir voraus, dass z für, so ist scho der erste Summad größer, da /( + ) + ud + damit ist die Folge mooto wachsed. Zu zeige ist also mit vollstädiger Iduktio, dass für alle gilt, dass z ud z + z ist: : Gegebe ist ud zu zeige ist z ud z /z. Ausgerechet habe wir z ud z /z 5/, also ist die Behauptug erfüllt. ( ) : Gegebe ist z ud z /z. Zu zeige ist: z ud z + /z. Da z /z, ist z z, de z > 0. Damit ist aber auch z z, also z. De Bruch schaue wir us wie obe a ud erhalte die zweite Aussage: z + z + z z + + >( ) für z {z} + ( + ) + 0 z >0 Vergleiche wir u mit der Folge (v ) so ist v 0 9, 6 v, v, v,... ud somit v z ud v z. Da für gilt, dass /( + ) + (für habe wir Gleichheit, ab ist ) ist + z + z + z + ( + ) z. 0 Somit steigt (z ) midestes so stark wie (v ), de v + v. Somit gilt für alle N, dass v z ud somit ist (v ) eie divergete Miorate ud damit auch (z ) diverget. Diese Folge zeigt für uterschiedliche Parameter c sehr uterschiedliches Verhalte ud es wird och vielfältiger, we ma c x + iy als komplexe Zahl zulässt. Zeichet ma ede Pukt i der komplexe Ebee schwarz, wo die zugehörige Folge kovergiert, so erhält ma das folgede Bild: Abbildug: Das Apfelmäche i der komplexe Ebee i [, ] [, ]

5 Die sogeate Madelbrotmege der Parameter c C, uter der (z ) kovergiert, ergibt i die komplexe Ebee gezeichet das Apfelmäche. Die durchgezogee Liie bezeiche die reelle ud die imagiäre Achse, die gestrichelte Liie habe de Abstad ud i. Bekater ist die Folge a z a + c, a 0 0, hier wird da statt der Kovergez die Beschräktheit betrachtet. Die Farbe i de bekate Bilder bezeiche die Geschwidigkeit der Divergez, ählich wie obe die. Solche Bilder ud eie Software zum Erstelle dieser, fide Sie z.b. uter Auflösug zum Selbsttest: a / ( ) ( ) i / ( ) + a /, a 0 kostat beschräkt ubeschräkt koverget diverget ueigetlich koverget mooto falled streg mooto falled mooto wachsed streg mooto wachsed alteriered Häufugspukt(e) 0,, 0 0, 0 Grezwert a : Folge ist kostat, beschräkt a, koverget gege a, dies ist damit der eizige HP, ud wege a a ud a a moto wachsed ud falled. a : Jede etwaige obere Schrake C wird für > C überschritte, also ist sie ubeschräkt ud somit icht koverget ud sicher icht kostat. Sie steigt streg mooto, da a + a > 0 ud hat de ueigetliche Grezwert. Dies ka ma auch als ueigetliche Häufugspukt asehe, obwohl das icht sehr gägig ist. a /: Die Folge ist ach obe durch beschräkt ud kovergiert gege 0. Sie ist (streg) mooto falled, de a + a /( + ) < 0. Der Grezwert 0 der eizige Häufugspukt. a ( ) : Es gilt die Abschätzug a für alle N, d.h. die Folge ist beschräkt. Weiter gilt a a + < 0, also ist die Folge alteriered. (a ) lässt sich i zwei Folge (g ) ud (u ) aufspalte mit g ud u für alle N. ud - sid zwei Häufugspukte vo (a ), daher besitzt diese Folge keie Grezwert, ist also diverget. a ( ) : Die Folge ist ubeschräkt, de für eie beliebige Schrake C köe wir ei N agebe, sodass a > C gilt. die Folge ist diverget, de a + a ( ) + ( + ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) +. Es ka also keie Grezwert gebe. Wege a + a ( ) + ( + ) ( + ) < 0 ist die Folge alteriered. Die ueigetliche Häufugspukte sid ud. a i /: Ma betrachte de Betrag der Folge: i / /. Die Beschräktheit, die Kovergez der Häufugspukt ud der Grezwert ka ma da aalog zur obige Folge mit de Folgeglieder a / zeige. Beachte, dass es i C (im Gegesatz zu R) keie Relatioe wie oder gibt! Bei komplexwertige Folge köe wir also icht vo Mootoie spreche. a ( ) + : Die Ubeschräktheit zeigt ma aalog wie bei der Folge mit a ( ). Die Divergez erket ma a a + a. Für ugerade ist a 0; für gerade ist a. Wir habe also die Null als Häufugspukt (ud als de zweite, ueigetliche Häufugspukt). a 0, a + a /: Die expl. Darstellug der Folge ist a /, Z 0. Diese ist beschräkt, de 0 a. Sie kovergiert gege 0, ist (strikt) mooto falled, de a + a /( + ) /( ) ( )/( + ) /( + ) < 0. Der Grezwert ist auch der eizige Häufugspukt.

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