Grenzwert einer Folge

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1 Grezwert eier Folge für GeoGebraCAS Letzte Äderug: 29/ März Überblick 1.1 Zusammefassug Ierhalb vo zwei Uterrichtseiheite solle die Schüler/ie zwei Arbeitsblätter mit GeoGebra erstelle, die das Verhalte vo Folge visualisiere, ud die Eigeschafte vo 10 Folge hisichtlich Kovergez utersuche. 1.2 Kurziformatio Schulstufe Geschätzte Dauer Verwedete Materialie Techische Voraussetzuge Schlagwörter Mathematik Schlagwörter GeoGebraCAS Autor/i 10. Schulstufe 2 Uterrichtseiheite siehe Ahag: Arbeitsaleitug 1, Arbeitsaleitug 2, Aufgabestellug, Lösuge GeoGebraCAS, Java Folge, Grezwert, Limes, ε-umgebug Grezwert/Limit Adreas Lider Dowload vo Zusatzmaterialie 1.3 Vorwisse der Lerede Mathematisches Vorwisse Explizite Darstellug eier Folge Eigeschafte vo Folge ε-umgebug Begriffe Kovergez, Divergez 1

2 Techisches Vorwisse Grudlegede Fertigkeite i der Bedieug vo GeoGebra 1.4 Lerihalte ud Lerziele Lehrihalt Explizites Darstelle vo Folge Utersuche vo Folge auf Kovergez Ituitives Erfasse ud Defiiere des Begriffes Grezwert Lerziel Schüler/ie solle Zahlefolge eidimesioal auf der Zahlegerade ud zweidimesioal im Koordiatesystem darstelle köe ud die Aalogie zu Fuktioe erkläre köe. Schüler/ie solle erkee, ob ud ab welchem Idex k sich die Folgeglieder eiem Grezwert äher. Schüler/ie solle aus der grafische Darstellug eier Folge erkee köe, ob sie kovergiert, ud eie Formulierug für de Grezwert eier Folge agebe köe. 1.5 Lerzielkotrolle Eie Möglichkeit zu überprüfe, ob die Lerede die Lerziele erreicht habe, ist die Abgabe ud das Überprüfug der ausgefüllte Aufgabestelluge. Weiters ka i der ächste Uterrichtseiheit eie schriftliche Lerzielkotrolle (siehe Ahag) erfolge. 2 Vorbereitug der Lehrede 2.1 Vorbereitug des Uterrichts Vor Begi der beide Uterrichtseiheite müsse die beide Arbeitsaleitug ud die Aufgabestellug (siehe Ahag) für jede/ Schüler/i kopiert werde. 2.2 Verwedug des GeoGebraCAS Lehrede sollte folgede Befehle ud Fuktioalitäte vo GeoGebra beherrsche: 2

3 GeoGebra Pukte, Strecke, Gerade erstelle Eigeschafte vo Objekte wie Farbe, Größe, äder Liste erstelle Schieberegler erstelle Texte erstelle Asichte veräder, Zoome GeoGebraCAS Grezwert[Ausdruck, Var, Wert] Limit[Expressio, Var, Value] Ifiity Uedlichkeit (uedlich) Verwedete Befehle Befehl Grezwert[Ausdruck, Var, Wert] Limit[Expressio, Var, Value] Erklärug des Befehls berechet de Limes der Folge Verwedete Werkzeuge Werkzeug Name des Werkzeugs (siehe Beispiel ute) Bewege Neuer Pukt Strecke Schieberegler Text eifüge 3 Didaktischer Hitergrud Schüler/ie solle eie ituitive Zugag zum Begriff Grezwert bekomme. Durch das Darstelle mehrerer Folge auf der Zahlegerade ud im Koordiatesystem erhalte die Schüler/ie eie Vorstellug, ob eie Folge kovergiert oder divergiert, je achdem, ob die Pukte sich mit größer werdedem Idex a eie Grezwert aäher oder icht. Durch das Bewege eies Puktes köe Schüler/ie außerdem 3

4 auf eifache Weise feststelle, ab welchem Idex ei Folgeglied ierhalb eier ε-umgebug liegt. Das dazu otwedige algebraische Löse der Ugleichug a()-b < ε ka i eier spätere Phase behadelt werde. Durch die Verwedug eies CAS ist es für Schüler/ie möglich, i kurzer Zeit eie relativ große Azahl vo Folge zu utersuche. Dabei köe im Vergleich zu eier hädische Bearbeitug auch solche Folge betrachtet werde, bei dee ach dem Bereche der erste paar Folgeglieder der weitere Verlauf och icht geau eigeschätzt werde ka. Die Zusammearbeit i Form eier Parterarbeit uterstützt dabei das Spreche über mathematische Ihalte. 4 Eisatz im Uterricht 4.1 Verlaufspla Phase Ihalt Sozial- / Aktiosform Materialie Eiführug Aufgabestellug durch de Lehrer/die Lehreri Lehrervortrag Erarbeitugsphase 1a) Gruppe A: Erstelle des Arbeitsblattes 1 1b) Gruppe B: Erstelle des Arbeitsblattes 2 Eizelarbeit Eizelarbeit Arbeitsaleitug 1 (siehe Ahag) Arbeitsaleitug 2 (siehe Ahag) 2) Utersuche der Kovergez/Diverg ez vo 10 Folge Parterarbeit Aufgabestellug (siehe Ahag) Zusammefassug Vergleich ud Diskussio der Ergebisse Präsetatio Lösug (siehe Ahag) Lerzielkotrolle Kotrolle der ausgefüllte Aufgabestelluge Lehrer/i Schriftliche Lerzielkotrolle Eizelarbeit Lerzielkotrolle (siehe Ahag) 4

5 Phase Ihalt Sozial- / Aktiosform Materialie Awedug / Differezierug / Übug / Vertiefug Vorschläge zur Differezierug siehe ute Eizel- oder Parterarbeit Hausübug Vorschläge zur HÜ siehe ute Eizelarbeit 4.2 Uterrichtsablauf Eiführug Der Lehrede erklärt die Aufgabestellug. Dazu ka evetuell ei fertiges Arbeitsblatt präsetiert werde, um eie geaue Zielvorgabe gebe zu köe. Erarbeitugsphase 1. Uterrichtseiheit: Eie Hälfte der Klasse (Gruppe A) erstellt i Eizelarbeit am PC ach der schriftliche Arbeitsaleitug 1 (auf Papier, siehe Ahag) das Arbeitsblatt (GeoGebra-Kostruktio) Grezwert eier Folge auf der Zahlegerade. Die adere Hälfte der Klasse (Gruppe B) erstellt i Eizelarbeit am PC ach der schriftliche Arbeitsaleitug 2 (auf Papier, siehe Ahag) das Arbeitsblatt (GeoGebra-Kostruktio) Grezwert eier Folge im Koordiatesystem. 2. Uterrichtseiheit: I dieser Uterrichtsstude bilde jeweils ei Mitglied der Gruppe A ud ei Mitglied der Gruppe B ei Team. Sie tausche sich über die i der 1. Uterrichtseiheit erstellte Arbeitsblätter aus ud vergleiche die beide Darstellugsforme eier Folge. Aschließed utersuche sie die Kovergez bzw. Divergez vo 10 Folge. Weiters bestimme sie eie Idex k, ab welchem sich der Pukt (a(k), 0) auf der Zahlegerade bzw. der Pukt (k, a(k)) im Koordiatesystem ierhalb der ε-umgebug um de Grezwert befidet. Die detaillierte Arbeitsaufträge sid im Ahag uter Aufgabestellug agegebe. 5

6 Alterative: Falls Schüler/ie es icht schaffe, i der vorgegebee Zeit das jeweilige Arbeitsblatt (GeoGebra-Kostruktio) zu erstelle, köe sie mit de zur Verfügug gestellte Lösugsdateie i der 2. Uterrichtseiheit die Aufgabestelluge bearbeite. Zusammefassug Ierhalb vo zwei Uterrichtseiheite solle die Schüler/ie zwei Arbeitsblätter mit GeoGebra erstelle, die das Verhalte vo Folge visualisiere, ud die Eigeschafte vo 10 Folge hisichtlich Kovergez utersuche. Awedug / Differezierug / Übug / Vertiefug Vertiefug Iere Differezierug Gute Schüler/ie, die vorzeitig die Aufgabe richtig gelöst habe, köe zusätzlich folgede Verbesseruge ud Erweiteruge des Arbeitsblattes abrige. Erstelle eies Vierecks, das das ε-bad mit eier Farbe hiterlegt. Eifüge eies Textes a b < ε; außerhalb der ε-umgebug, der ur agezeigt wird uter der Bedigug, dass a b > ε ist bzw. eies Textes a b < ε ; ierhalb der ε-umgebug, der ur agezeigt wird uter der Bedigug, dass a() b < ε ist. Formuliere weitere Agabe für Folge, die auf Kovergez/Divergez utersucht werde solle. Hausübug Weitere Folge auf Kovergez/Divergez etspreched der Aufgabestellug aus der 2. Uterrichtseiheit utersuche: 1) a() = 4 ( 1) 3 2) a() = 7 2 3) 1 a() = (1 + ) 4) a() = 45 (1 0,3 ) 5 Ahag Folgede Materialie stehe für die Schüler/ie bzw. Lehrer/ie zur Verfügug. 1) Arbeitsaleitug 1 zum Erstelle eies Arbeitsblatts Grezwert eier Folge auf der Zahlegerade 6

7 2) Arbeitsaleitug 2 zum Erstelle eies Arbeitsblatts Grezwert eier Folge im Koordiatesystem 3) Aufgabestellug zu Grezwert eier Folge 4) Lösuge zu Grezwert eier Folge 5) Lerzielkotrolle 7

8 Arbeitsaleitug 1 zum Erstelle eies Arbeitsblatts Grezwert eier Folge auf der Zahlegerade Defiiere im CAS-Fester die Folge a(k) mit z. B. a() = 3+1/ ud blede de agezeigte Graphe (eigetlich der Fuktio) aus. Diese Defiitio der Folge hat de Vorteil, dass du für eie adere Folge ur diese eie Term i der 1. Zeile im CAS-Fester äder musst. Erstelle im Algebra-Fester eie Liste mit de erste 20 Pukte (a(), 0) auf der Zahlegerade: Folge[(a(), 0),, 1, 20]; Formatierug: Farbe z. B. hellgrau Erstelle zwei Schieberegler für k im Bereich vo 1 bis 20 (Schrittweite 1) ud ε im Bereich vo 0 bis 0.5 (Schrittweite 0.01). Zeiche eie Pukt P=(a(k), 0); Formatierug: Farbe z. B. blau Bereche im CAS-Fester de Grezwert der Folge mit b:=grezwert[a(),, Ifiity] Zeiche die ε-umgebug: G=(b, 0) Dieser Pukt zeigt de Grezwert a. A=(b-ε, 0), B=(b+ε, 0) Pukte A, B Strecke c vo A ach B Diese Strecke zeigt die ε-umgebug a. Blede die beide Pukte A ud B aus ud formatiere die Strecke c z. B. grü. Erstelle eie dyamischem Text, der de Betrag der Differez vo Folgeglied zum Grezwert azeigt: " a_ b = "+(Abstad[P, G]) Das Geometrie-Fester sollte ugefähr das folgede Aussehe habe. Hiweis: Achte bei alle Folge auf die richtige Größe des agezeigte Koordiatesystems. Zoome kast du mit dem Scrollrad oder mit dem Werkzeug Verschiebe Zeicheblatt. Die Skalierug der eizele Achse kast du durch Ziehe der Achse mit Strg - like Maustaste 8

9 veräder. 9

10 Arbeitsaleitug 2 zum Erstelle eies Arbeitsblatts Grezwert eier Folge im Koordiatesystem Defiiere im CAS-Fester die Folge a(k) mit z. B. a() = 3+1/ ud blede de agezeigte Graphe (eigetlich der Fuktio) aus. Diese Defiitio der Folge hat de Vorteil, dass du für eie adere Folge ur diese eie Term i der 1. Zeile im CAS-Fester äder musst. Erstelle im Algebra-Fester eie Liste mit de erste 20 Pukte (, a()): Folge[(, a()),, 1, 20]; Formatierug: Farbe z. B. hellgrau Erstelle zwei Schieberegler für k im Bereich vo 1 bis 20 (Schrittweite 1) ud ε im Bereich vo 0 bis 0.5 (Schrittweite 0.01) Zeiche eie Pukt P=(k, a(k)), Formatierug: Farbe z. B. blau Bereche im CAS-Fester de Grezwert der Folge mit b:=grezwert[a(),, Ifiity] Zeiche drei Gerade zur Darstellug der ε-umgebug: Gerade 1: y = b Diese Gerade zeigt de Grezwert a. Gerade 2: y = b + ε Diese Gerade zeigt de obere Rad des ε-bades a. Gerade 3: y = b ε Diese Gerade zeigt de utere Rad des ε-bades a. Formatiere die drei Gerade färbig. Erstelle eie dyamischem Text, der de Betrag der Differez vo Folgeglied zum Grezwert azeigt: " a_ b = " + (abs(y(p) - b)) Das Geometrie-Fester sollte ugefähr das folgede Aussehe habe. Hiweis: Achte bei alle Folge auf die richtige Größe des agezeigte Koordiatesystems. Zoome kast du mit dem Scrollrad oder mit dem Werkzeug Verschiebe Zeicheblatt. Die Skalierug der eizele Achse kast du durch Ziehe der Achse mit Strg - like Maustaste 10

11 veräder. 11

12 Aufgabestellug zu Grezwert eier Folge Utersuche die i der Liste agegebee Folge auf ihre Kovergez bzw. Divergez. Halte schriftlich fest, welche Folge kovergiert ud begrüde deie Etscheidug. Ab welchem Idex k befidet sich der Pukt (a(k), 0) bzw. (k, a(k)) ierhalb der ε-umgebug? Folge (1) (2) 1 a() = 3 + ε = 0, a() = 1+ ε = 0,25 koverget/ diverget Limes Begrüdug Idex k (3) a() = si() ε = 0, (4) a() = 2 12 ε = 0,40 (5) (6) a() = 1,2 ε = 0,45 a() = ( 1) ε = 0,30 (7) (8) 1 a() = 4 3 ε = 0, a() = ε = 0, (9) a() = ε = 0,50 3 (10) a() = + 0,5 ε = 0,15 12

13 Lösuge zu Grezwert eier Folge Folge (1) (2) (3) 1 a() = 3 + ε = 0, a() = 1+ ε = 0,25 a() = si() ε = 0, (4) a() = 2 12 ε = 0,40 koverget/ diverget Limes Begrüdug Idex k koverget 3 k = 4 koverget 3 k = 4 diverget Folgeglieder ehme Werte zwische +1 ud -1 a. koverget 0 k = 17 (5) a() = 1,2 ε = 0,45 koverget -1 k = 15 (6) a() = ( 1) ε = 0,30 diverget Folgeglieder sprige zwische +1 ud -1 (7) (8) 1 a() = 4 3 ε = 0, a() = ε = 0, (9) a() = ε = 0,50 3 (10) a() = + 0,5 ε = 0,15 koverget 0 k = 4 koverget 3 k = 6 koverget 11 k = 14 diverget Folge ist ab = 3 streg mooto wachsed 13

14 Lerzielkotrolle Utersuche die Folge auf ihre Kovergez bzw. Divergez. Halte schriftlich fest, welche Folge kovergiert oder divergiert ud begrüde deie Etscheidug. (1) 1+ 3 a() = (2) a() 3 ( 1) 1 = 2 14