Thema 8 Konvergenz von Funktionen-Folgen und - Reihen

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1 Them 8 Kovergez vo Fuktioe-Folge ud - Reihe Defiitio Sei (f ) eie Folge vo Fuktioe vo D R i R. Wir sge, dß f puktweise gege eie Fuktio f kovergiert, flls gilt: f () f() für jedes D. Dies ist der türliche Kovergezbegriff für Fuktioe. Allerdigs, wie wir sehe werde, ist für viele Zwecke ei subtilerer ud stärkerer Begriff uerläßlich: Defiitio 2 Seie (f ) ud f wie obe. D gilt: f kovergiert gleichmäßig gege f, flls: Zu jedem ǫ > 0 eistiert ei N, so dß f () f() < ǫ für lle D ud lle N. Beispiele. Es ist klr, dß jede gleichmäßig kovergete Folge puktweise kovergiert. Die folgede sid Beispiele vo Folge, die zwr puktweise kovergiere, icht ber gleichmäßig. { (0 f () = ) 0 ( ). f () = (0 ). { (0 < < f () = ) 0 = 0 oder ], ]). Die Defiitio vo gleichmäßiger Kovergez k m folgedermße umschreibe: Defiitio 3 Sei f eie beschräkte Fuktio uf D. Wir defiiere f = sup{ f() : D}. Flls f ubeschräkt ist, d setze wir f =. Stz 4 f kovergiert geu d gleichmäßig gege f, we gilt:. f f 0 Stz 5 Sei (f ) eie Folge vo stetige Fuktio uf D, die gleichmäßig gege f uf D kovergiert. D ist f stetig. Beweis. Fiiere eie Pukt 0 us D ud ǫ > 0. Es gibt ei N N mit f f < ǫ 3, flls N. D f N stetig, eistiert ei δ > 0, so dß f N () f N ( 0 ) < ǫ 3, flls 0 < δ. Es gilt d, für 0 < δ, f() f( 0 ) f() f N () + f N () f N ( 0 ) + f N ( 0 ) f( 0 ) ǫ.

2 Kovergezkriterium vo Weierstrß. Sei f : D R eie Folge vo Fuktio uf D mit der Eigeschft, dß f <. D kovergiert die Reihe f bsolut ud gleichmäßig gege eie Fuktio f. Dher gilt: Flls jedes f stetig ist, d uch f. Beweis. Übug. Potezreihe: Eie Potezreihe ist eie Fuktioereihe der Gestlt ( 0 ). =0 Um die Schreibweise eifch zu hlte, werde wir meistes ehme, dß 0 = 0. Typische Beispiele sid die Reihe, die wir verwedet hbe, um die Epoetilfuktio bzw. si ud cos zu defiiere. Stz 6 Sei =0 eie Potezreihe, die für 0 0 kovergiert. D kovergiert die Reihe bsolut für jedes mit < 0. Außerdem kovergiert die Reihe gleichmäßig uf jedem Itervll der Form [, ] mit < 0. Dmit ist die Fuktio uf ] 0, 0 [ defiiert ud stetig. g() = =o Beweis. D 0 kovergiert, ist die Folge ( 0 ) beschräkt. Sei K > 0 so, dß 0 K für jedes. Für die Reihe mit < 0, k m de Term wie folgt bschätze: ( ) = 0 K. Dmit kovergiert die Reihe bsolut (Vergleich mit eier geometrische Reihe). Der Beweis der zweite Behuptug ist ählich. 0 0 Defiiere wir R = sup{ > 0 : kovergiert}, so gilt: kovergiert für jedes mit < R. Außerdem ist die Kovergez bsolut ud gleichmäßig uf jedem Itervll [, ] mit < R. Für > R divergiert die Reihe. (Für de Fll = R bekommt m i.a. keie Auskuft). R heißt der Kovergezrdius der Reihe. Aus dem Wurzelkriterium bekommt m die folgede eplizite Formel für R: R = lim sup /. Beispiele vo Potezreihe: Wir hbe scho die Potezreihedrstelluge vo ep, si ud cos keegelert. Weitere Beispiele sid: die biomische Reihe ( ) α ( + ) α = ( < <, α R) =0 2

3 bzw. die hyperbolische Fuktioe: sih = cosh = m=0 2m+ (2m + )!. m=0 2m (2m)!. Stz 7 Sei (f ) eie Folge vo stetige Fuktio uf [, b], die gleichmäßig gege f kovergiert. D gilt: b f() d = lim b f () d. Beweis. Die Aussge folgt sofort us der Abschätzug: b b f() d f () d (b ) f f. Die obe geführte Beispiele zeige, dß eie ählich Aussge für puktweise Kovergez icht gültig ist. Stz 8 Sei (f ) eie Folge vo stetig differezierbre Fuktioe uf [, b], die puktweise gege f kovergiert. Weiters sei die Folge (f ) der Ableituge gleichmäßig koverget. D gilt: f is (stetig)-differezierbr ud f () = lim f (). Beweis. Wir setze g = lim f ud fiiere [, b]. Wir hbe die Beziehug: f () = f () + Wir lsse gege gehe ud bekomme D g stetig, gilt: f() = f() + f (t) dt. g(t) dt. f () = g() = lim f (). Beispiel. Ds Beispiel f () = si zeigt, dß eie Fuktioefolge gleichmäßig kovergiere k, ohe dß die bgeleitete Fuktioe kovergiere. Aus diesem Stz folgt: Korollr 9 Sei =0 eie Potezreihe mit positivem Kovergezrdius R. D ist die Fuktio f : =0 uf ] R, R[ (uedlich oft) differezierbr ud es gilt: f () =. = 3

4 Beweis. Der Kovergezrdius der Reihe stimmt mit dem vo überei (wrum?) Tylor Etwickluge: Wir kehre zurück zum Them der Tyloretwickluge. Wir erier dr, dß eie ( + )-ml stetig differezierbre Fuktio uf dem Itervll I die Drstellug f() = f() + f ()! ( ) + + f() () ( ) + R + ()! ht, wobei ei Pukt im Iere vo I ist. Hier ht ds Restglied die Gestlt f(+) (ξ) (! ) (+). I der Pris iteressiert m sich für Abschätzuge des Restgliedes. Dher ist die folgede Formel für R + oft ützlich: Stz 0 Es gilt: R + () =! ( t) f (+) (t) dt. Beweis. Iduktiosbeweis: = : Es gilt f() = f() + f (t) dt. : Es gelte R () = ( )! Mit prtieller Itegrtio, sieht m, dß ( t) f () (t) dt. R () = f () ( t) (t)! + ( t) f (+) (t) dt! = f() () ( ) ( t) + f (+) (t) dt!! = f() () ( ) + R + ().! Bemerkug. M sieht sofort, dß ds Restglied die Wchstumsbedigug erfüllt. R + () lim ( ) = 0 4

5 Defiitio Sei f : I R eie uedlich oft differezierbre Fuktio, I. D heißt f () () T f () = ( )! die Tylor-Reihe vo f. =0 Zuächst mche wir keie Aussge, die Kovergez dieser Reihe betreffed. I der Tt k pssiere dß die Reihe icht kovergiert (ußer im Pukt, wo sie j immer kovergiert); dß die Reihe kovergiert, ber icht gege f. 5