1 Folgen von Funktionen

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1 Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen useinnder:. () Wnn wollen wir eine Folge (f n ) konvergent nennen? () Wnn wollen wir zwei Funktionen f und g ls nhe ezeichnen? 2. Wie sieht ds Grenzojekt einer konvergenten Folge (f n ) us? Bevor wir uns n einer Definition versuchen, üerlegen wir uns welche Eigenschften unser Konvergenzegriff erfüllen soll. D wir mit Folgen reeller Zhlen vertrut sind, und wir Zhlen ls konstnte Funktionen uffssen können, liegt es nhe eine Folge konstnter Funktionen konvergent zu nennen flls die Folge ihrer Funktionswerte konvergiert. Auf folgendes wollen wir estehen: () Eine Folge konstnter Funktionen (f n ) konvergiert genu dnn, wenn die Folge ihrer Funktionswerte konvergiert. () Ist (f n ) eine konvergente Folge, so ist ihr Limes n f n wieder eine Funktion mit gleichem Definitionsereich. Punkt () legt einen niven Konvergenzegriff nhe: Definition (Punktweise Konvergenz). Eine Folge (f n ) konvergiert punktweise gegen eine Funktion f genu dnn, wenn f n () f() für lle U. Schreiweise: f n pw f. Genuer: Beispiele: f n pw f U, ɛ > 0 N = N(, ɛ) n N, fn () f() ɛ. (i) Die Folge f n [0, ] R; n konvergiert punktweise gegen f() = { 0 für < für = (ii) Die Folge f n () = { 2n für [ 2n, n ] 0 sonst konvergiert punktweise gegen 0. Punktweise Konvergenz ehndelt lso Folgen von Funktionen ls Fmilien von reellen Zhlenfolgen. Dies ht den Nchteil, dss jegliche Struktur die einzelne Folgenglieder möglicherweise esitzen ignoriert wird. D.h. wir können nicht erwrten dss punktweise Konvergenz Eigenschften wie Regulrität, Limiten oder Integrierrkeit erhält. In der Tt wird dies durch oige Beispiele elegt. Genuer zeigt Beispiel (), dss der punktweise Limes stetiger Funktionen nicht mehr stetig zu sein rucht. Wir untersuchen die punktweise Konvergenz im Beispiel () genuer. Für < gilt n 0. D.h. ɛ > 0 N = N(, ɛ) n N, n ɛ. Ds Prolem hierei ist, dss die Konvergenzrte vom Punkt hängt. Beispiele: ɛ = 0, = 0, 2 N(, ɛ) 2 = 0, 9 N(, ɛ) 22 = 0, 99 N(, ɛ) 230 f n konvergiert nicht gleichmäßig. Dies motiviert die folgende Definition..

2 . Gleichmäßige Konvergenz Definition 2 (Gleichmäßige Konvergenz). Eine Folge (f n ) konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f genu dnn, wenn sup U f n () f() 0. Schreiweise f n f. Genuer: f n f ɛ > 0 N = N(ɛ) n N, sup f n () f() ɛ. U Wir führen folgende Schreiweise ein. Definition 3. Für eine eschränkte Funktion f U R setzten wir f = sup U f(). Beispiel. Die Folge f n [0, ] R; n konvergiert gleichmäßig gegen 0. Proposition. f n f fn pw f. Proof. f n () f() f n f. Stz. Sind lle Folgenglieder f n stetig und gilt f n f, so ist uch f stetig. Proof. Bltt, Aufge 2. Proposition 2. f n [, ) R, f n f, eistiert für lle n der Limes f n () = y n, so eistiert uch f() und es gilt Proof. Üung f n() = f(). n Proposition 3. f n [, ] R, f n f. Für eine konvergente Folge (n ) in [, ] mit n gilt dnn n f n ( n ) = f(). Proof. Üung.2 Reihen von Funktionen Definition 4. Seien f n U R und f U R reell-wertige Funktionen. Wir setzen S N () = N n= f n (). Dnn gilt: (i) n= f n konvergiert punktweise gegen f genu dnn, wenn S N pw f. (ii) n= f n konvergiert gleichmäßig gegen f genu dnn, wenn S N f. Stz 2 (Weierstrß-Kriterium). Seien f n U R eschränkte Funktionen, so dss die Reihe n= f n (solut) konvergiert. Dnn konvergiert die Reihe n= f n gleichmäßig.

3 Proof. Wegen f n () f n impliziert ds Mjornten-Kriterium, dss die Reihe n= f n () für jedes U solut konvergiert und es gilt n=k f n () n=k f n für lle k N. Sei f() = n= f n () der punktweise geildete Limes. Es gilt S N f = sup U n=n+ f n () Also konvergiert n= f n () gleichmäßig gegen f. f n 0. n=n+ Bemerkung. Aus der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe n= f n folgt nicht die Konvergenz der Reihe n= f n. Ein Beispiel hierfür liefert die Tylorreihe der Funktion log( + ). Es gilt log( + ) = n= ( ) n+ n uf [0, ]. n Doch n= f n = n= n divergiert. Die gleichmäßige Konvergenz erhlten wir jedoch us dem Leiniz-Kriterium: log( + ) N n= ( ) n+ n n N + für lle [0, ]. Beispiel 2 (Geometrische Reihe). Wir etrchten die Funktionen f n [ r, r] R; n für festes r ]0, [. Dnn gilt f n = r n und die Reihe n= r n konvergiert solut (Quotienten-Kriterium). Also konvergiert die Reihe n= f n gleichmäßig gegen eine stetige Funktion f. Diese erhlten wir ls punktweisen Limes f() = n= f n () =. Stz 3. Seien f n [, ] R Regelfunktionen mit f n f. Dnn ist uch f Regelfunktion und es gilt n f n = Proof. Bltt, Aufge 3 und f n f ( ) f n f. Korollr. Seien f n [, ] R Regelfunktionen so dss die Reihe n= f n gleichmäßig konvergiert, dnn ist uch ihr punktweiser Limes eine Regelfunktion und es gilt n= f n = n= Proof. n= f n () = N S N () ist Regelfunktion ls gleichmäßiger Limes von Regelfunktionen. Wir erhlten N N n= f n = N f. f n. S N = n= f n.

4 Beispiel 3. (i) Es gilt n= n = uf ], [ und die Konvergenz ist gleichmäßig uf jedem kompkten Teilintervll. Wir ddieren zu eiden Seiten und erhlten n = und die gleichmäßige Konvergenz leit erhlten. Für r ]0, [ können wir eide Seiten integrieren r 0 n = r 0. Dies liefert: r n+ = log( r). n + (ii) Es gilt + 2 = ( ) n 2n gleichmäßig uf kompkten Teilintervllen von ], [. Wir integrieren die Gleichung und erhlten für r ]0, [: rctn(r) = ( ) n r2n+ 2n +..3 Gleichmäßige Konvergenz und Differenzierrkeit Im letzten Aschnitt hen wir gesehen, dss Stetigkeit, Limiten und Integrle unter gleichmäßiger Konvergenz erhlten leien (vgl. Stz, Proposition 2, Stz 3). Nun wollen wir höhere Regulrität ehndeln. Seien f n [, ] R differenzierre Funktionen. Flls f n gleichmäßig gegen f konvergiert können wir frgen:. Ist f differenzierr? 2. Gilt f n f gleichmäßig? (punktweise?) Leider sind eide Antworten Nein. Beispiel 4. (i) Seien f n [, ] R; 2 + n. Dnn konvergiert f 2 n gleichmäßig gegen die Betrgsfunktion, denn f n () + n. (ii) Seien f n [0, 2π] R; sin(n2 ) n. Dnn konvergiert f n gleichmäßig gegen die Nullfunktion, denn f n = n. Es gilt f n() = n cos(n 2 ). Also f n(0) = n und dmit konvergiert f n nicht punktweise. Fordern wie jedoch die gleichmäßige Konvergenz der Aleitungen, erhlten wir: Stz 4. Es seien f n [, ] R stetig differenzierre Funktionen so dss:. Die Folge (f n ) konvergiert punktweise uf [, ]. 2. Die Folge (f n) konvergiert gleichmäßig uf [, ]. Dnn ist die Grenzfunktion f stetig differenzierr uf [, ], und es gilt f () = n f n().

5 Proof. Nch dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung gilt f n () = f n () + f n(t)dt. Wegen der gleichmäßigen Konvergenz der Folge (f n) liefert Stz 3: Wir erhlten n f n(t)dt = f() = f() + n f n(t)dt. n f n(t)dt. D nch Stz n f n stetig ist, folgt die Behuptung us dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung. Bemerkung 2. D der Definitionsereich in oigem Stz eschränkt ist, erhlten wir die gleichmäßige Konvergenz der Folge (f n ): f() f n () = f (y)dy f n(y)dy ( ) f f n. Korollr 2. Es seien f n [, ] R stetig differenzierre Funktionen so dss:. Die Reihe n= f n konvergiert punktweise uf [, ]. 2. Die Reihe n= f n konvergiert gleichmäßig uf [, ]. Dnn ist die Grenzfunktion n= f n stetig differenzierr uf [, ], und es gilt ( f n ()) = n= n= f n(). Proof. Ds Kriterium von Weierstrß impliziert, dss n= f n solut konvergiert..4 Potenzreihen Definition 5. Für eine Zhl R und eine Folge reeller Zhlen (c n ) nennen wir den Ausdruck c n ( ) n eine formle Potenzreihe zentriert in. Wir nennen die Reihe forml, d wir noch keine Annhmen üer eine mögliche Konvergenz der Reihe gemcht hen. Die Reihe konvergiert jedoch utomtisch für = und llgemein gilt, je näher n liegt desto esser sind die Konvergenzussichten. Genuer: Definition 6. Für eine formle Potenzreihe c n ( ) n definieren wir den Konvergenzrdius R durch: R = sup n n c n. Hier folgen wir der Konvention 0 = + und + = 0.

6 Stz 5. Sei c n ( ) n eine formle Potenzreihe und R ihr Konvergenzrdius.. () Ist > R, so divergiert die Reihe ei. () Ist < R, so konvergiert die Reihe solut ei. 2. Ist R > 0, so erhlten wir lso eine Grenzfunktion f ] R, + R[ R mit f() = c n ( ) n. 3. (c) Für lle 0 < r < R konvergiert die Reihe c n ( ) n gleichmäßig gegen f uf dem kompkten Intervll [ r, + r]. Insesondere ist f stetig uf ] R, + R[. (c) f ist differenzierr uf ] R, + R[, und für lle 0 < r < R konvergiert die Reihe nc n ( ) n gleichmäßig gegen f uf dem kompkten Intervll [ r, + r]. Insesondere ist f stetig uf ] R, + R[. (c) Für jedes geschlossene Intervll [y, z] ] R, + R[ gilt y z f()d = (z ) c n+ (y ) n+ n. n + Bemerkung 3. Stz 5 mcht keine Aussge für = ± R. Stz 6 (Ael). Sei c n n eine Potenzreihe zentriert in 0 mit Konvergenzrdius R =. Konvergiert die Reihe im Punkt = lso c n <, so gilt c n n = c n. Für den Beweis enötigen wir folgendes Lemm. Lemm (Prtielle Summtion). Seien ( n ) und ( n ) konvergente reelle Folgen mit n n = A und n n = B. Angenommen die Reihe ( n+ n ) n konvergiert. Dnn konvergiert uch die Reihe n+ ( n+ n ) und es gilt Proof. Üung ( n+ n ) n = AB 0 0 n+ ( n+ n ). Stz von Ael. Wir setzen C = c n und S N = ( N c n ) C. Dnn gilt N S N = 0, S 0 = C und c n = S n+ S n. Wir wollen zeigen, dss c n n = C. gilt. Dzu können wir uns uf den Bereich [0, [ einschränken. Wir summieren prtiell. c n n = (S n+ S n ) n = ( S n ) ( ) n S 0 0 n n S n+ ( n+ n ) =0 =0 = C + S n+ ( n n+ )

7 Die Behuptung reduziert sich zu der Aussge Wegen genügt es S n+ ( n n+ ) = 0. S n+ ( n n+ ) S n+ ( n n+ ) S n+ ( n n+ ) = 0 0 zu zeigen. D hier lle Summnden nicht-negtiv sind folgt die Behuptung us sup S n+ ( n n+ ) = 0. Zu ɛ > 0 eistiert ein N = N(ɛ) so dss S n ɛ für lle n N. Wir erhlten S n+ ( n n+ ) N S n+ ( n n+ ) + n=n+ ɛ( n n+ ). Der zweite Summnd uf der rechten Seite ist eine Teleskopreihe. Ihr Wert ist ɛ N+, denn Es folgt ( n n+ ) = n=n+ k k n=n+ S n+ ( n n+ ) ( n n+ ) = ( N+ k+ ) = N+. k N S n+ ( n n+ ) + ɛ N+. Nun gilt für jedes n {0,,..., N}: ( n n+ ) = 0. D wir Limiten mit endlichen Summen vertuschen können, erhlten wir sup S n+ ( n n+ ) ɛ. Korollr 3. Sei f() = c n ( ) n eine in zentrierte Potenzreihe mit Konvergenzrdius 0 < R <. Konvergiert die Potenzreihe in + R, so ist f stetig in + R, d.h. +R c n ( ) n = c n R n. Konvergiert die Potenzreihe in R, so ist f stetig in R, d.h. R c n ( ) n = c n ( R) n.

8 Beispiel 5 (Vgl. Beispiel 3).. Der Stz von Ael ermöglicht es uns die Identität n+ = ln( ), für ], [ n + uf den Punkt = uszudehnen, denn nch dem Leiniz-Kriterium ist konvergent. Wir erhlten: ( ) ln(2) = n n Genuso erhlten wir us der Identität rctn() = ( ) n 2n+, für ], [. 2n + ( ) n+ n+ durch Fortsetzung uf = π 4 = ( ) n 2n Wir eginnen mit e 2 = ( ) n 2n n!,für R. Integrtion liefert 0 e t2 dt = ( ) n 2n+, für R. n!(2n + ) Mit der Fehlerschätzung us dem Leiniz-Kriterium können wir nun den Wert des Integrls 0 e t2 dt elieig genu estimmen.

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