Mathematik 1 für Studierende der Biologie Teil II: Limes & Konvergenz

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1 Matematik 1 für Studierende der Biologie Teil II: Limes & Konvergenz Cristian Leibold 7. Oktober 2014 Folgen Allgemeines zu Folgen Monotonie und Bescränkteit Grenzwerte und Konvergenz Summen und Reien Summen Reien Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit

2 Folgen Funktionen, deren Definitionsmenge die natürlicen Zalen IN = {1, 2, 3,... } sind, nennt man Folgen. Definition (reellwertige Folge) Eine Abbildung f : IN IR n f n = f (n) eißt Folge. Oftmals screibt man dafür auc (f n ) n IN = (f n ) = (f 1, f 2,...). Eine matematisce Motivation für die Einfürung von Folgen ist z.b. ire Eignung zur Bescreibung von Grenzprozessen. Dies aben wir bei der Verallgemeinerung der Potenz von rationalen zu reellen Exponenten erlebt. Ein weiteres klassisces Beispiel dafür ist die Konstruktion der Quadratwurzel, die auc als Grenzwert einer Folge rationaler Zalen konstruiert werden kann, oder ebenso die Konstruktion der Kreiszal π. Wictige Folgen 1) Die natürlicen Zalen: (n) n IN = 1, 2, 3,... 2) Die armonisce Folge: (1/n) n IN = 1, 1/2, 1/3,... 3) Die geometrisce Folge: (q n ) n IN0 = 1, q, q 2, q 3,... 4) Die Folge der positiven Brüce p q = 1 1, 1 2, 2 1, 3 1, 2 2, 1 3,... p Die Menge aller rationalen Zalen ist abzälbar unendlic q

3 5) Rekursive Folgen: x n+1 = f (x n ), x 1 = c, c eißt Anfangswert, f eißt Rekursionsvorscrift 1. Beispiel für eine rekursive Folge: Zellteilung In jeder Generation verdoppelt sic die Anzal a der Zellen. Damit lässt sic die Zellanzal a n in der Generation n durc die Anzal a n 1 in der Generation n 1 ausdrücken: a n = 2 a n 1 wobei a 1 = c die Anzal der Zellen in der ersten Generation ist. Die explizite Darstellung dieser Folge lautet a n = 2 n 1 c. 6) Folgen mit Gedäctnis der Länge K: x n = f (x n 1,..., x n K ). Beispiel für eine Folge mit Gedäctnis ist die Fibonaccifolge x n = x n 1 + x n 2 Interpretation: x n bescreibt die Anzal der Kanincen-Paare im Monat n. Ein Kanincenpaar wird im zweiten Monat gesclectsreif und wirft ab dann pro Monat ein weiteres Paar. Historisc beginnt die Fibonaccifolge mit den Anfangswerten x 1 = x 2 = 1. Monotonie und Bescränkteit Um mit Folgen arbeiten zu können, benötigen wir eine Reie von Definitionen, die wictige Eigenscaften von Folgen bescreiben. Zwei davon sind Monotonie und Bescränkteit. Definition (Monotonie) Eine Folge (x n ) eißt n IN. monoton wacsend, wenn x n x n+1 streng monoton wacsend, wenn x n < x n+1 monoton fallend, wenn x n x n+1 streng monoton fallend, wenn x n > x n+1

4 Beispiel: Die geometrisce Folge: (f n ) n IN = (q n ) n IN. 1. Fall: q {0, 1} f n = 0, bzw. f n = 1. Die Folge ist konstant. Sie ist somit sowol monoton wacsend als auc monoton fallend, allerdings nict streng monoton. 2. Fall: q < 0. Die Folge alterniert im Vorzeicen. Sie ist somit nict monoton. 3. Fall: q > 1 f n+1 = q q n = q f n > f n. Die Folge ist somit streng monoton wacsend. 4. Fall: 0 < q < 1 f n+1 = q q n = q f n < f n. Die Folge ist somit streng monoton fallend. Definition (Bescränkteit) Eine Folge (x n ) eißt nac oben (unten) bescränkt, wenn es ein K IR gibt, so dass x n K (x n K) n IN. Eine Folge eißt bescränkt, wenn sie nac unten und oben bescränkt ist. Folgerung: Jede monoton wacsende (fallende) Folge ist nac unten (oben) bescränkt. Beispiel: Die geometrisce Folge: (f n ) n IN = (q n ) n IN. 1. Fall: q > 1 f n+1 = q f n > f n. Die Folge der Beträge ist somit streng monoton wacsend. Gibt es eine obere Scranke K f n = q n? Nein, da für jedes K > 0 die Folgeglieder für Indizes n > n K = ln K/ ln q die Scranke K vom Betrag er überscreiten. 2. Fall: q 1 f n+1 = q f n f n. Die Folge der Beträge ist monoton fallend, daer ist (f n ) bescränkt.

5 Grenzwerte und Konvergenz Folgen können zwar bescränkt sein, aber nie einem eindeutigen Wert zustreben, wie die alternierende geometrisce Folge mit q = 1. Das Zustreben auf einen eindeutigen Wert ist allerdings ein wictiges Konzept in der Matematik. Es eißt Konvergenz. Definition (Konvergenz) Eine reelle Zalenfolge (a n ) n IN konvergiert gegen die Zal a IR, wenn zu jedem ǫ > 0 ein Folgeindex n ǫ existiert, so dass für alle n n ǫ gilt a n a < ǫ. Man screibt lim n a n = a. Eine Folge one Grenzwert eißt divergent. Eine Folge mit Grenzwert 0 eißt Nullfolge. Illustration der Konvergenz-Definition. an a ε n ε n

6 1. Beispiel: Die armonisce Folge ( 1 n ) n IN ist monoton fallend mit 1 dem Grenzwert lim n n = 0. Beweis: i) Monotonie: 1 n + 1 < 1 n n < n + 1 ii) Konvergenz gegen 0: 1 n 0 < ǫ n ǫ = ǫ 2. Beispiel: Die Wurzelfolge. Die rekursiv definierte Folge w 1 = x + 1, w n+1 = 1 w n + xwn 2 konvergiert gegen x. Der Beweis dieser Konvergenz ist elementar aber müsam. Wir wollen in an dieser Stelle nict füren und an Stelle dessen uns zum Ende des Kapitels näer mit der Exponentialfunktion auseinandersetzen. Eigenscaften von Grenzwerten i) Eine konvergente Folge at genau einen Grenzwert. ii) Jede konvergente Folge ist bescränkt. iii) Seien (x n ) und (y n ) konvergente Folgen mit Grenzwerten x, bzw. y, dann gelten folgende Recenregeln: lim n (a x n ) = a x, a IR lim n (x n + y n ) = x + y lim n x n = x iv) Sei (z n ) eine weitere Folge mit x n z n y n für alle Folgeglieder und lim n x n = lim n y n = x, dann konvergiert (z n ) gegen denselben Grenzwert lim n z n = x v) Ist eine Folge monoton wacsend (fallend) und nac oben (unten) bescränkt, so ist sie konvergent.

7 Beispiel: Exponentialfunktion. Die Exponentialfunktion ist der Limes der Folge ((1 + x/n) n ) n IN, lim (1 + n x/n)n = exp(x) Beispiel: Verdünnungsreien. Um einen Stoff in versciedenen Verdünnungsstufen weiterverarbeiten zu können (z.b. für Dosis-Wirkungskurven) setzt man sogenannte Verdünnungsreien an, in denen das Volumen S eines Stoffes der vorergeenden Verdünnungsstufe in jedem Scritt mit einem konstanten Volumen V eines Lösunsmittels verdünnt wird. Die Konzentration im n-ten Verdünnungsscritt berecnet sic demnac als c n = c n 1 S S + V = S S + V n c 0. Da S < S + V folgt lim n c n = 0. S Das Verältnis S+V eißt Verdünnung, z.b. bei einer 1 : 4 Verdünnung ist V = 3 S. Summen Das Summensymbol ist eine Abkürzung, die das Aufscreiben von Summen vereinfact. Definition (Summensymbol) a n = a 1 + a 2 + a a k Beispiel: 3 n2 = = 14. Dabei ist wictig: Der Laufindex at außeralb der Summe keine Bedeutung: a n = m=1 a m

8 Recenregeln (Summen) a n = a n + b n = a n + l n=k+1 a n = b n = l a n speziell : c a n = l a nm m=1 = k+m 1 n=m a n m+1 (a n + b n ) l a n m=1 l a n b m (c a n ) l a nm m=1 Wictige Summen n=0 n = k (k + 1) 2 q n = 1 qk+1, für q = 1. (endl. geometrisce Reie) 1 q n=0 k a n b k n = (a + b) k (Binomisce Formel) n Alle obigen Formeln können elementar (aber bisweilen müselig) mittels vollständiger Induktion bewiesen werden.

9 Die Binomisce Formel entält die Binomialkoeffizienten. Definition (Binomialkoeffizient) k = n k! n! (k n)! wobei k! = k (k 1) (k 2)... 1 und 0! = 1. Recenregeln (Binomialkoeffizient) k k = n k n k k k = n n + 1 n + 1 Reien Ein wictige Art von Folgen sind Reien: Definition (Reie) Eine Reie (r n ) n IN ist eine Folge von Teilsummen r n = n m=1 a m Konvergenz Wenn eine Reie (r n ) konvergiert ist die Folge irer Summanden (a n ) eine Nullfolge! Der Umkerscluß gilt nict.

10 Beispiele: 1) Die geometrisce Reie r n = n m=0 q m = 1 qn+1 1 q Der Grenzwert ist demnac lim r n = n 1 1 q für q < 1 für q 1 2) Die armonisce Reie n (1/k) = > 2 > k=1 Demnac gilt n (1/k) > k= lim n n (1/k) = k=1 Man sagt, die armonisce Reie divergiert gegen unendlic. 3) Die Exponentialreie Damit gilt m=0 lim n n m=1 x m m! = exp(x) 1 m! = = e

11 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Definition (Grenzwert einer Funktion) Sei X IR. Die Funktion f : X IR besitzt genau dann den Grenzwert z an der Stelle x 0, wenn für jede Folge (x n ) X mit x n = x 0 und lim n x n = x 0 folgt lim n f (x n ) = z. Existiert dieser Grenzwert, so screibt man lim f (x) = z x x 0 Hierbei können sowol x 0 als auc z die Werte ± annemen. Der Grenzwert z eißt rects- bzw. linksseitig, wenn die zugelassenen Folgen (x n ) auf die Intervalle (x 0, ) bzw. (, x 0 ) eingescränkt sind. Man screibt lim xցx0 f (x) bzw. lim xրx0 f (x). Definition (Singularität) eine Funktion f eißt singulär an der Stelle x 0 IR, wenn lim x x 0 f (x) =. Bemerkungen: 1) Die Definition des Grenzwerts einer Funktion verlangt nirgendwo, dass die Funktion f an der Stelle x 0 ausgewertet wird. 2) Wenn der Grenzwert einer Funktion an der Stelle x 0 IR existiert, dann existiert auc der links- und rectsseitige Grenzwert und alle drei Grenzwerte sind identisc. 3) Falls der rects- und linksseitge Grenzwert einer Funktion an der Stelle x 0 IR existieren und identisc sind, so existiert auc der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle und ist identisc.

12 Beispiele: 1) f (x) = 0 x IR\{1} 1 x = 1 lim x 1 f (x) = 0 = f (1) 2) f : IR + IR, x x 1 lim x 0 f (x) = Weitere wictige Grenzwerte lim 0 e 1 lim 0 ln(1 + ) Beweis: Da exp() 1 + folgt = 1 = e 1 = 1 e = 1 (1 ) (1 ). Damit gilt 1 e 1 1/(1 ) und somit im Limes 0 die Beauptung. Änlic gilt für den Logaritmus ln(1 + ) und damit ln(1 + ) ln 1 1+ = ln(1 1+ ) (1 + ). Wiederum gilt dadurc 1 ln(1+) 0 die Beauptung. q.e.d. 1 (1+) und somit im Limes

13 Aus der Definition des Grenzwerts lässt sic leict die Eigenscaft der Stetigkeit extraieren. Definition (Stetigkeit) Sei X IR. Die Funktion f : X IR eißt stetig an der Stelle x 0 X, wenn lim x x 0 f (x) = f (x 0 ) Ansonsten eißt f unstetig an der Stelle x 0. Eine Funktion eißt stetig, wenn sie in allen x X stetig ist. Recenregeln Seien f & g stetig in x 0 und a IR, dann gilt 1. a f ist stetig in x 0 2. f + g 3. f g 4. 1/f, wenn f (x 0 ) = 0 5. f, wenn zusätzlic stetig ist in f (x 0 ) 6. f

14 Eigenscaften Stetiger Funktionen Stetigkeit ist eine erausragende Eigenscaft von Funktionen. Sie impliziert sofort merere andere Eigenscaften. Zwiscenwertsatz Sei x 1, x 2 IR, a < b und f : [x 1, x 2 ] IR stetig. Dann nimmt f jeden Wert zwiscen f (x 1 ) und f (x 2 ) mindestens einmal an. f(x) f(x ) 1 f(x 2) x 1 x 2 x Definition (Maximum, Minimum) Nimmt eine reellwertige Funktion f : X IR ire kleinste obere Scranke an, so eißt dieser Funktionswert Maximum von f. Man screibt dafür max x X f (x). Nimmt eine reellwertige Funktion f : X IR ire größte untere Scranke an, so eißt dieser Funktionswert Minimum von f. Man screibt dafür min x X f (x). Satz vom Maximum und Minimum Sei a, b IR, a < b und f : [a, b] IR stetig, dann gibt es mindestens eine Stelle x 1 [a, b], an der die Funktion ir Minimum annimmt und mindestens eine Stelle x 2 [a, b] an der sie ir Maximum annimmt. Bemerkung: Der Satz vom Maximum und Minimum gilt nict für offene oder alboffene Intervalle.

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