Kapitel 4 Folgen und Reihen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kapitel 4 Folgen und Reihen"

Transkript

1 Kapitel 4 Folgen und Reihen Inhalt Konvergenzkriterien für für Folgen Reihen Achilles und und die die Schildkröte Seite 2

2 4.1 Konvergenzkriterien für Folgen Wiederholung (vgl. (vgl. Abschnitt 3.3): 3.3): Die Die Folge (a (a n ) n ) konvergiert gegen eine eine reelle Zahl Zahl a (ihren Grenzwert), wenn es es für für jede jede reelle Zahl Zahl ε > 0 eine eine Nummer N gibt, gibt, so so dass dass für für alle alle Folgenglieder a n mit n mit n N die die Ungleichung a a n a n a < ε gilt. gilt. Wir Wir schreiben lim lim (a (a n ) n ) = a. a. ( Limes ). Anders gesagt: Die Die Folge (a (a n ) n ) konvergiert gegen den den Grenzwert a, a, wenn für für jedes (noch so so kleine) ε > 0 ab ab einer einer gewissen Nummer N alle alle Folgenglieder höchsten den den Abstand ε von von a haben. Beispiele: (1/n) (1/n) n N, n N,(n/(n+1) n N, n N,(1/2 n n )) n N, n N,( /n) /n) n N, n N,(23) n N, n N,... Seite 3 Ziele und Beobachtungen Ziele: Erkennen, ob ob eine eine Folge konvergent ist. ist Insbesondere: Wie Wie kann kann man man aus aus einer einer oder oder zwei zwei konvergenten Folgen weitere konvergente Folgen machen? Wir Wir beginnen mit mit zwei zwei einfachen Beobachtungen: Sei Sei (a (a n ) n ) eine eine Folge. Dann gilt: gilt: (a (a n ) n ) konvergiert gegen a (a (a n n a) a) konvergiert gegen (Man (Man nennt eine eine Folge, die die gegen 0 konvergiert eine eine Nullfolge.) Jede Jede konvergente Folge ist ist beschränkt. (Sei (Sei ε = Dann sind sind ab ab einem N alle alle Folgenglieder durch a±1 a±1 beschränkt. Aber Aber auch auch die die endlich vielen vorigen Folgenglieder sind sind beschränkt.) Seite 4

3 Multiplikation einer Folge mit einer reellen Zahl Satz. Sei Sei (a (a n ) n ) eine eine Folge, die die gegen den den Grenzwert a konvergiert. Dann ist ist für für jede jede reelle Zahl Zahl k die die Folge (k a (k a n ) n ) eine eine Folge, die die gegen k a k a konvergiert. Beispiele. (a) (a) Die Die Folge (5/n) (5/n) n N (= n N (=(5 (5 1/n) 1/n) n N ) n N ) konvergiert gegen = (b) (b) Die Die Folge (21n/(n+1)) n N konvergiert n N gegen = (c) (c) Insbesondere gilt: gilt: Wenn (a (a n ) n ) eine eine Nullfolge ist, ist, dann dann ist ist für für jede jede reelle Zahl Zahl k auch auch (ka (ka n ) n ) eine eine Nullfolge. Seite 5 Beweistrick Beweis. Wir Wir müssen zeigen, dass dass die die Folge (k a (k a n ) n ) gegen den den Grenzwert ka ka konvergiert. Nach Definition müssen wir wir also also zeigen: Für Für alle alle ε > 0 gibt gibt es es eine eine Nummer N, N, so so dass dass für für alle alle Folgenglieder a n mit n mit n N die die Ungleichung ka ka n ka n ka < ε gilt. gilt. Sei Sei also also ε > 0 beliebig. Wir Wir führen die die Konvergenz der der Folge (k a (k a n ) n ) auf auf die die Konvergenz der der Folge (a (a n ) n ) zurück. Wir Wir nehmen an, an, dass dass k positiv ist. ist. (k (k negativ: ÜA.) ÜA.) Kleiner Trick: Wir Wir verwenden die die Definition der der Konvergenz von von (a (a n ) n ) nicht nicht mit mit ε, ε, sondern mit mit der der Zahl Zahl ε* ε* = ε/k. ε/k. (Es (Es wird wird sich sich gleich zeigen dass dass dies dies ein ein guter guter Trick Trick ist!) ist!) Seite 6

4 Beweisdurchführung Da Da (a (a n ) n ) konvergiert, gibt gibt es es eine eine Nummer N, N, so so dass dassfür für alle alle Folgenglieder a n mit n mit n N die die Ungleichung a a n a n a < ε* ε* = ε/k ε/k gilt. gilt. Nun Nun schalten wir wir auf auf die die Folge (k a (k a n ) n ) um. um. Von Von dieser wollen wir wir zeigen, dass dass sie sie gegen die die Zahl Zahl k a k a konvergiert. Dazu müssen wir wir zeigen, dass dass die die Folgenglieder ab ab einer einer gewissen Nummer näher als als ε an an k a k a liegen. Als Als diese Nummer können wir wir das das gerade gefundene N wählen! Denn für für alle alle Folgenglieder k a k a n mit n mit n N gilt gilt ka ka n ka n ka = k a k a n a n a < k ε* k ε* = k ε/k k ε/k = ε. ε. Das Das bedeutet, dass dass die die Folge (ka (ka n ) n ) gegen ka ka konvergiert. Seite 7 Variante Ganz ähnlich kann kann man man folgenden Satz Satz beweisen: Satz. Sei Sei (a (a n ) n ) eine eine Nullfolge und und (b (b n ) n ) eine eine beschränkte Folge. Dann ist ist auch auch (a (a n b n n ) n ) eine eine Nullfolge. Beweis. Da Da (b (b n ) n ) beschränkt ist, ist, gibt gibt es es eine eine positive reelle Zahl Zahl k mit mit -k -k < b n < n k für für alle alle n N. N. Sei Sei ε > 0 beliebig. Trick: ε* ε* = ε/k. ε/k. Da Da (a (a n ) n ) eine eine Nullfolge ist, ist, gibt gibt es es ein ein N mit mit a a n n = a a n 0 n 0 < ε für für alle alle n N. N. Daraus folgt folgt a a n b n n 0 n 0 = a a n b n n n < k a a n n < k ε* ε* = ε. ε. Also Also konvergiert a n b n n gegen n Seite 8

5 Summensatz Summensatz. Sei Sei (a (a n ) n ) eine eine Folge, die die gegen den den Grenzwert a und und sei sei (b (b n ) n ) eine eine Folge, die die gegen den den Grenzwert b konvergiert. Wir Wir definieren eine eine neue neue Folge (c (c n ) n ) durch c n = n a n + n b n. n. Dann konvergiert auch auch (c (c n ), n ), und und zwar zwar gegen den den Grenzwert c = a+b. a+b. Beispiele: (a) (a) Die Die Folge ((n ((n 2 2 +n)/n 3 3 )) konvergiert gegen Denn (1/n) (1/n) und und (1/n (1/n 2 2 )) konvergieren gegen 0, 0, und und es es ist ist (n (n 2 2 +n)/n 3 3 = 1/n 1/n + 1/n 1/n (b) (b) Die Die Folge ((n+k)/n) konvergiert für für jedes feste feste k gegen Denn (n/n) (n/n) konvergiert gegen 1, 1, und und nach nach konvergiert die die Folge (k/n) (k/n) gegen (c) (c) Die Die Summe zweier Nullfolgen ist ist eine eine Nullfolge. Seite 9 Beweis Beweis. Sei Sei ε > 0 beliebig. Wir Wir führen die die Konvergenz von von (c (c n ) n ) auf auf die die Konvergenz von von (a (a n ) n ) und und (b (b n ) n ) zurück. Kleiner Trick: Wir Wir verwenden die die Konvergenz von von (a (a n ) n ) und und (b (b n ) n ) mit mit ε* ε* = ε/2. ε/2. Dann gibt gibt es es Nummern N und und M, M, so so dass dass für für alle alle Folgenglieder a n n mit mit n N die die Ungleichung a a n a n a < ε ε und und für für alle alle Folgenglieder b n mit n mit n M die die Ungleichung b b n b n b < ε ε gilt. gilt. Seite 10

6 Beweisabschluss Sei Sei N die die größte der der beiden Zahlen M und und N. N. Dann gilt gilt für für alle alle Folgenglieder c n = n a n + n b n mit n mit n > N folgende Ungleichung: c c n c n c = a a n +b n +b n n (a+b) a a n a n a + b b n b n b < 2 ε* 2 ε* = 2 ε/2 2 ε/2 = ε. ε. Also Also konvergiert nach nach Definition die die Folge (c (c n ) n ) gegen c. c. Folgerung aus aus dem dem Summensatz: Sei Sei (a (a n ) n ) eine eine Folge, die die gegen den den Grenzwert a konvergiert. Dann konvergiert die die Folge (a (a n +b) n +b) gegen den den Grenzwert a+b. a+b. Denn wir wir addieren zu zu (a (a n ) n ) die die konstante Folge (b, (b, b, b, b, b,...);...); da da diese gegen b konvergiert, folgt folgt die die Behauptung. Seite 11 Produktsatz Produktsatz. Sei Sei (a (a n ) n ) eine eine Folge, die die gegen den den Grenzwert a und und (b (b n ) n ) eine eine Folge, die die gegen den den Grenzwert b konvergiert. Wir Wir definieren eine eine neue neue Folge (c (c n ) n ) durch c n = n a n n b n. n. Dann konvergiert auch auch (c (c n ), n ), und und zwar zwar gegen den den Grenzwert c = a b. a b. Beispiel. Die Die Folge c n = n (5n+1)(n+1)/n 2 2 konvergiert gegen 5, 5, denn denn wir wir können c n schreiben n als als c n = n a n b n n mit n mit a n = n (5n+1)/n (konvergiert gegen 5) 5) und und b n = n (n+1)/n (konvergiert gegen 1). 1). Seite 12

7 Beweis Beweis. Wir Wir zeigen, dass dass die die Folge (a (a n b n n ab) n ab) eine eine Nullfolge ist. ist. Dazu schreiben wir wir a n b n n ab n ab = (a (a n a)b n a)b n + n (b (b n b)a. n b)a. Da Da (a (a n a) n a) eine eine Nullfolge ist ist und und b n beschränkt n ist, ist, ist ist nach nach auch auch (a (a n a)b n a)b n eine n eine Nullfolge. Da Da (b (b n b) n b) eine eine Nullfolge ist, ist, ist ist auch auch (b (b n b)a n b)a eine eine Nullfolge. Also Also sind sind beide Summanden Nullfolgen. Daher folgt folgt mit mit dem dem Summensatz, dass dass auch auch (a (a n b n n ab) n ab) eine eine Nullfolge ist. ist. Seite 13 Quotientensatz Quotientensatz. Sei Sei (a (a n ) n ) eine eine Folge, die die gegen den den Grenzwert a und und (b (b n ) n ) eine eine Folge aus aus von von Null Null verschiedenen Gliedern, die die gegen den den Grenzwert b 0 konvergiert. Wir Wir definieren eine eine neue neue Folge (c (c n ) n ) durch c n = n a n / n / b n. n. Dann konvergiert auch auch (c (c n ), n ), und und zwar zwar gegen den den Grenzwert c = a/b. a/b. Beispiel. Wir Wir betrachten die die Folge (4n (4n n)/(n )). +1)). Diese kann kann man man schreiben als als ((4 ((4 + 15/n)/(1 + 1/n 1/n 2 2 )). )). Zähler: Da Da (15/n) gegen 0 konvergiert, konvergiert (4 (4 + 15/n) 15/n) gegen Nenner: Da Da (1/n (1/n 2 2 )) gegen 0 konvergiert, konvergiert (1+1/n 2 2 )) gegen Also Also konvergiert die die betrachtete Folge gegen Seite 14

8 Vergleichssatz Satz. Sei Sei (a (a n ) n ) eine eine Folge, die die gegen den den Grenzwert a konvergiert, und und sei sei (b (b n ) n ) eine eine Folge, die die gegen den den Grenzwert b konvergiert. Wenn a n n b n ist n ist (für (für alle alle n), n), dann dann gilt gilt auch auch a b. b. Bemerkung. Aus Aus a n < n b n für n für alle alle n folgt folgt nicht nicht a < b. b. Dazu betrachten wir wir die die Folge (a (a n ) n ) = (0) (0) n N und n N und (b (b n ) n ) = 1/n. 1/n. Dann ist ist a n < n b n für n für alle alle n, n, aber aber es es gilt gilt a = b (= (= 0). 0). Beweis. Angenommen, es es wäre wäre a > b. b. Setze ε = (a b)/2. Dann gibt gibt es es eine eine Zahl Zahl N, N, so so dass dass für für alle alle n N gilt: gilt: b b n b n b < ε, ε, a a n a n a < ε. ε. Dann wäre wäre aber aber a n > n b n für n für alle alle n N: N: Widerspruch! Seite 15 Beschränkte Folgen Definition. Eine Eine Folge (a (a n ) n ) heißt heißt beschränkt, wenn es es eine eine positive reelle Zahl Zahl k gibt, gibt, so so dass dass für für alle alle Folgenglieder a n gilt: n gilt: a a n n k. k. Beispiele: Die Die Folgen (1/n) (1/n) und und (1, (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,...)...) sind sind beschränkt. In In beiden Fällen kann kann man man k = 1 wählen Satz. Jede Jede konvergente Folge ist ist beschränkt. Mit Mit anderen Worten: Jede Jede unbeschränkte Folge ist ist nicht nicht konvergent. Beweis. Wir Wir wählen ein ein beliebiges ε > Dann haben ab ab einem N alle alle Folgenglieder höchstens den den Abstand ε zum zum Grenzwert a. a. Also Also ist ist die die Folge durch a a a N 1 + N 1 a + ε beschränkt. Seite 16

9 Monotone Folgen Definition. Eine Eine Folge (a (a n ) n ) heißt heißt monoton steigend, falls falls a 1 1 a 2 2 a gilt; gilt; sie sie heißt monoton fallend, falls falls a 1 1 a 2 2 a gilt. gilt. Sie Sie heißt heißt monoton, falls falls sie sie monoton steigend oder oder fallend ist. ist. Beispiele. (a) (a) Die Die Folge (n) (n) ist ist monoton steigend, die die Folge (1/n) (1/n) monoton fallend. (b) (b) Die Die Folge (( 1) (( 1) n n /n) /n) ist ist keine monotone Folge. Seite 17 Satz über monotone Folgen Satz. Jede Jede monotone beschränkte Folge hat hat einen Grenzwert. Bemerkung. Man Man kann kann die die Konvergenz einer einer Folge feststellen, ohne ohne den den Grenzwert kennen zu zu müssen. Im Im Gegenteil: Diesen Satz Satz kann kann man man dazu dazu verwenden, reelle Zahlen zu zu definieren! Beweis. Wir Wir zeigen, dass dass jede jede beschränkte, monoton steigende Folge einen Grenzwert besitzt. Methode: Supremumsprinzip. Wir Wir betrachten dazu dazu die die Menge der der Folgenglieder: M = {a {a n n n = 1, 1, 2, 2, 3, 3,...}....}. Da Da (a (a n ) n ) nach nach oben oben beschränkt ist, ist, ist ist auch auch M nach nach oben oben beschränkt. Also Also gibt gibt es es ein ein Supremum a = sup(m). Seite 18

10 Beweis Behauptung: a ist ist der der Grenzwert der der Folge (a (a n ). n ). Sei Sei dazu dazu ε > 0 beliebig. Da Da a das das Supremum von von M ist, ist, ist ist a ε a ε keine obere Schranke von von M. M. Daher gibt gibt es es ein ein a N mit mit a N > a ε. a ε. Da Da (a (a n ) n ) monoton steigend ist, ist, gilt gilt dann dann a n > n a ε a ε für für alle alle n N. N. Da Da a das das Supremum von von M ist, ist, gilt gilt natürlich a n n a. a. Also Also liegen ab ab der der Nummer N alle alle Folgenglieder zwischen a ε a ε und und a. a. Daher konvergiert (a (a n ) n ) gegen a. a. Seite 19 Quadratwurzeln Satz Satz (Existenz der der Quadratwurzel). Sei Sei a eine eine beliebige positive reelle Zahl. Zahl. Dann gibt gibt es es eine eine positive reelle Zahl Zahl b mit mit b 2 2 = a. a. Wir Wir schreiben b = a. a. Kurz: Jede Jede positive reelle Zahl Zahl hat hat eine eine Quadratwurzel! Beweis. Wir Wir definieren eine eine Folge (a (a n ), n ), die die gegen b konvergiert: a 0 ist 0 ist eine eine beliebige positive reelle Zahl. Zahl. Die Die weiteren Folgenglieder werden rekursiv definiert durch a n+1 = n+1 (a (a n + n a/a a/a n )/2. n )/2. Seite 20

11 Beweis Beispiel: Sei Sei a = Wenn wir wir a 0 = wählen, ergeben sich sich als als Folgenglieder 10; 10; 5; 5; 2,5; 2,5; 1,25; 1,25; Die Die Folge (a (a n ) n ) hat hat die die folgenden Eigenschaften: Alle Alle Folgenglieder sind sind positiv a a 2 n 2 für n für n Denn es es gilt gilt a 2 n 2 n a = (a (a n 1 + n 1 a/a a/a n 1 ) n 1 ) 2 2 /4 /4 a = (a (a 2 n n 1 2a 2a + a 2 2 /a /a 2 n 1 2 )/4 n 1 )/4 a = = (a (a 2 n 1 2 n 1 2a 2a + a 2 2 /a /a 2 n 1 2 )/4 n 1 )/4 = (a (a n 1 n 1 a/a a/a n 1 ) n 1 ) 2 2 /4 / Seite 21 Beweisabschluss a n+1 n+1 a n für n fürn Denn aus aus der der definierenden Gleichung folgt folgt mit mit der der Eigenschaft 2: 2: a n+1 = n+1 (a (a n + n a/a a/a n )/2 n )/2 (a (a n + n a 2 n 2 /a n /a n )/2 n )/2 = a n. n. Also Also ist ist (a (a n ) n ) eine eine monoton fallende, nach nach unten (wg. (wg. 1.) 1.) durch 0 beschränkte Folge. Daher hat hat sie sie einen nichtnegativen Grenzwert b. b. Behauptung: b 2 2 = a. a. Das Das folgt folgt so: so: b = lim lima n+1 = n+1 lim lim (a (a n + n a/a a/a n )/2 n )/2 = (lim (lim a n + n a/(lim a n ))/2 n ))/2 = (b (b + a/b)/2. Zusammen: b = (b (b + a/b)/2, und und daraus ergibt sich sich a = b Seite 22

12 3.2 Reihen Frage: Sei Sei (a (a k ) k ) eine eine Folge. Was Was ist ist a 1 +a 1 +a 2 +a 2 +a ?.?. Ist Ist dies dies eine eine endliche Zahl Zahl oder oder...?...? Wir Wir stellen uns uns vor, vor, dass dass man man bei bei a 1 +a 1 +a 2 +a 2 +a alle alle (unendlich vielen!) Glieder der der Folge aufsummiert. Das Das kann kann natürlich kein kein Mensch machen, denn denn fertig fertig wird wird man man damit nie. nie. Definition. Diese unendliche Summe nennt man man eine eine Reihe und und schreibt dafür dafür a 1 +a 1 +a 2 +a 2 +a = a k.. Achtung! Das Das ist ist zunächst nur nur ein ein Symbol, nur nur eine eine Schreibweise für für a 1 +a 1 +a 2 +a 2 +a ;; dieses Symbol bedeutet (zunächst!) nichts anderes. Seite 23 Beispiele Geometrische Reihe: 1+1/2+1/4+1/8+1/ = oder oder allgemeiner 1 + q + q q = =0 k k 1/2 k=0 k q Harmonische Reihe: 1+1/2+1/3+1/4+... = =0 k 1/k Seite 24

13 Partialsummen Sei Sei (a (a k ) k ) eine eine Folge. Wir Wir beobachten den den Summationsprozess in in jedem Schritt. Dazu betrachten wir wir die die Partialsummen (Teilsummen) s n betrachten: n s 1 = 1 a 1, 1, s 2 = 2 a a 2, 2, s 3 = 3 a a a 3, 3, s n = n a a a a n, n, Vorstellung: Die Die Partialsummen nähern sich sich dem dem Wert von von a k immer mehr. Genauer: Seite 25 Konvergenz einer Reihe Definition. Die Die Reihe a k konvergiert, falls falls die die Folge (s (s n ) n ) der der Partialsummen konvergiert. Wenn eine eine Reihe nicht nicht konvergiert, sagt sagt man, man, dass dass sie sie divergiert. Wenn die die Reihe a k konvergiert, schreibt man man auch a auch k für für den den Grenzwert der der Folge der der Partialsummen und und nennt den den Wert Wertder Reihe. Achtung: In In diesem Fall Fall hat hat das das Symbol a k zwei zwei Bedeutungen! a k Seite 26

14 Die geometrische Reihe Eine Eine der der wichtigsten konvergenten Reihen ist ist die die geometrische Reihe Satz. Sei Sei q eine eine reelle Zahl Zahl mit mit 1 1 < q < Dann konvergiert die die Reihe k q (geometrische Reihe) gegen den den Grenzwert k=0 1/(1 1/(1 q). q). Zum Zum Beispiel konvergiert die die Reihe 1/1 1/1 + 1/2 1/2 + 1/4 1/4 + 1/8 1/ gegen die die Zahl Zahl 2 (q (q = 1/2). 1/2). Seite 27 Beweis Beweis. Wir Wir betrachten die die Partialsumme s n = n 1 + q + q q q n n und und erinnern uns uns (Übungsaufgabe), dass dass gilt gilt s n = n 1 + q + q q q n n = (1 q (1 q n+1 n+1 )/(1 q). Wir Wir müssen also also die die Folge (s (s n ) n ) = ((1 q n+1 n+1 )/(1 q)) untersuchen. Behauptung: Für Für jede jede reelle Zahl Zahl q mit mit 1 1 < q < 1 konvergiert diese Folge gegen 1/(1 q).. Dies Dies folgt folgt so: so: Wir Wir betrachten nur nur den den Fall Fall q > Sei Sei ε > 0 beliebig. Wegen q < 1 existiert eine eine Nummer N mit mit q N+1 N+1 < ε. ε. Seite 28

15 Beweisabschluss Daraus folgt folgt 1/(1 q) (1 (1 q n+1 n+1 )/(1 q) = (1 (1 (1 (1 q n+1 n+1 )) ))//(1 q) = q n+1 n+1 //(1 q) (1 q) q N+1 N+1 //(1 q) < q N+1 N+1 < ε für für alle alle n N. N. Also Also ist ist tatsächlich 1/(1 q) der der Grenzwert der der Folge der der Partialsummen. Nach Definition konvergiert also also die die geometrische Reihe k q k=0 gegen den den Grenzwert 1/(1 q). Seite 29 Alternativer Beweis Die Die Folge (s (s n ) n ) = ((1 q n+1 n+1 )/(1 q)) der der Partialsummen konvergiert gegen 1 //(1 (1 q). q). Denn: Für Für 1 < q < 1 ist ist (q (q n+1 n+1 )) eine eine Nullfolge. Also Also konvergiert (1 q (1 q n+1 n+1 )) gegen 1, 1, und und somit ((1 q n+1 n+1 )/(1 q)) gegen 1 //(1 (1 q). q). Seite 30

16 Beispiel Behauptung: Die Die Reihe k= 1 1/k(k + 1) konvergiert. Beweis. Wir Wir berechnen die die Partialsummen s n. n. Es Es gilt gilt s n = n 1/1 2 1/ /2 3 1/ /3 4 1/ /n (n+1) = n/(n+1) (Induktion!). Da Da die die Folge der der Partialsummen gegen 1 konvergiert, konvergiert nach nach Definition auch auch die die Reihe gegen Seite 31 Die harmonische Reihe Satz. Die Die Reihe 1/k divergiert. Bemerkung: Die Die harmonische Reihe wurde von von Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) untersucht. Beweis. Wir Wir zeigen, dass dass die die Folge der der Partialsummen unbeschränkt ist. ist. Dann kann kann diese Folge nach nach nicht nicht konvergieren. Also Also muss sie sie divergieren Dazu fassen wir wir jeweils genügend viele viele Glieder zusammen, so so dass dass deren Summe mindestens ½ ist. ist. Damit ergibt sich sich dann, dass dass die die Partialsummen nicht nicht beschränkt sein sein können. Seite 32

17 Beweis Die Die erste erste Summe ist ist das das erste erste Folgenglied, also also 1/2. 1/2. Die Die zweite Summe besteht aus aus den den zwei zwei nächsten Folgengliedern, also also 1/3 1/3 +1/4. Wir Wir schätzen diese Summe ab: ab: 1/3 1/3 +1/4 +1/4 > 1/4+1/4 = 1/2. 1/2. Also Also ist ist dieser Teil Teil größer als als 1/2. 1/2. Die Die dritte dritte Summe besteht aus aus den den vier vier nächsten Folgengliedern, also also 1/5+1/6+1/7+1/8. Es Es gilt: gilt: 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/8+1/8+1/8+1/8 = 1/2. 1/2. Also Also ist ist auch auch dieser Teil Teil größer als als 1/2. 1/2. Allgemein gehen wir wir bei bei der der i-ten i-ten Summe bis bis 1/2 1/2 i. i. Wir Wir erhalten 2 i 1 i 1 Summanden, die die alle alle größer oder oder gleich 1/2 1/2 i i sind. sind. Also Also können wir wir diesen Teil Teil durch 2 i 1 i 1 1/2 1/2 i i = 1/2 1/2 abschätzen. Seite 33 Beweisabschluss Damit erhalten wir wir eine eine Abschätzung der der harmonischen Reihe nach nach unten durch 1/k > 1/2 1/2 + 1/2 1/2 + 1/2 1/ Da Da die die Summe rechts alle alle Schranken überschreitet, divergiert die die harmonische Reihe. Seite 34

18 Welche Folgen führen zu zu konvergenten Reihen? Satz. Wenn die die Reihe a k konvergiert, dann dann konvergiert die die Folge (a (a i ) i ) gegen 0, 0, sie sie ist ist also also eine eine Nullfolge. Bemerkung: Auch Auch von von diesem Satz Satz ist ist die die Umkehrung wichtig: Wenn die die Folge (a (a i ) i ) nicht nichtgegen 0 konvergiert (d.h. (d.h. entweder überhaupt nicht nicht konvergiert oder, oder, wenn sie sie konvergiert, dann dann nicht nicht gegen 0 konvergiert), dann danndivergiert die die Reihe. Beweis. Wir Wir wenden die die Verdichtungseigenschaft (3.3.1) auf auf die die Folge der der Partialsummen an. an. Sei Sei ε > 0 beliebig. Wir Wir müssen zeigen, dass dass von von einer einer gewissen Stelle N an an alle alle a n betragsmäßig n keiner als als ε sind. sind. Seite 35 Beweis Nach gibt gibt es es eine eine Nummer N, N, so so dass dass für für alle alle m, m, n N die die Ungleichung s s m s s n n < ε gilt. gilt. Insbesondere gilt gilt für für alle alle n N die die Ungleichung s s n+1 s n+1 s n n < ε. ε. Da Da s n+1 s n+1 s n = n a 1 +a 1 +a a 2 n +a n +a n+1 n+1 (a (a 1 +a 1 +a a 2 n ) n ) = a n+1 ist, n+1 ist, bedeutet obige Ungleichung nichts anderes als als a a n+1 n+1 < ε für für alle alle n N. N. Das Das bedeutet, dass dass die die Folge (a (a n ) n ) eine eine Nullfolge ist. ist. Seite 36

19 Konvergenzkriterien Idee: Idee: Man Man möchte die die Konvergenz der der Reihe nicht nicht nur nur an an der der Folge der der Partialsummen ablesen können, sondern an an den den Folgengliedern a k selbst. a k Dafür gibt gibt es es zahlreiche Konvergenzkriterien, die die Bedingungen angeben, unter denen Folgen konvergieren. Majorantenkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium usw. usw. Achtung! Das Das sind sind wenn-dann -Aussagen, keine genau-dannwenn-aussagen! Seite 37 Majorantenkriterium Satz. Sei Sei a k eine eine Reihe, und und sei sei c k eine eine k=0 k=0 konvergente Reihe mit mit positiven Gliedern c i. i. Wenn a a i i c i für i für alle alle i i gilt, gilt, dann dann konvergiert auch auch die die Reihe a k.. k=0 Bemerkung: Die Die Bedeutung dieser wichtigen Kriteriums liegt liegt darin, dass dass man man die die Konvergenz einer einer Reihe auf auf die die Konvergenz einer einer anderen Reihe zurückführt. Außerdem hat hat man man eine eine große Freiheit, die die Reihe c k zu zu wählen: k=0 Man Man braucht nur nur irgendeine konvergente Reihe aus aus positiven Gliedern zu zu finden, die die a k majorisiert. k=0 Beweis. Übungsaufgabe. Seite 38

20 Beispiel Behauptung: Die Die Reihe 1/k Beweis. Wir Wir wissen, dass dass die die Reihe k Also Also konvergiert auch auch 2/k(k+ 1).. k= 1 2 konvergiert. 1/k(k + 1) konvergiert. Da Da 1/k 1/k 2 2 < 2/k(k+1) ist, ist, ergibt sich sich mit mit dem dem Majorantenkriterium die die Behauptung. Bemerkung: Das Das Majorantenkriterium sagt sagt nicht, was was der der Grenzwert ist! ist! = 1 Seite 39 Quotientenkriterium Satz. Sei Sei a k eine eine Reihe, deren Glieder alle alle verschieden k=0 von von Null Null sind. sind. Wenn es es eine eine Zahl Zahl q mit mit 0 < q < 1 gibt, gibt, so so dass dass a a i+1 /a i+1 /a i i q für für alle alle ii gilt, gilt, dann dann konvergiert die die Reihe. Beweis. Zunächst zeigt zeigt man man durch Induktion: Für Für alle alle k 1 gilt gilt a a k+1 k+1 a a 1 q 1 q k k.. Also Also ist ist die die Reihe k a 1 q = a a 1 1 eine eine Majorante von von k q a k.. k= 1 Da Da q < 1 ist, ist, konvergiert die die Reihe a a 1 1 k q nach nach Nach dem dem Majorantenkriterium ergibt sich sich die die Behauptung. Seite 40

21 Beispiel Behauptung: Die Die Reihe =0 k 2 /2 k konvergiert. Beweis. Sei Sei a k = k k 2 2 /2 /2 k k.. Dann gilt gilt für für k 3: 3: a k+1 / k+1 / a k = k (k+1) (k+1) k k // 2 k+1 k+1 k k 2 2 = 1/2 1/2 ((k+1)/k) 2 2 = = 1/2 1/2 (1 (1 + 1/k) 1/k) 2 2 1/2 1/2 (1 (1 + 1/3) 1/3) 2 2 = 1/2 1/2 16/9 16/9 = 8/9 8/9.. Wir Wir setzen q = 8/9 8/9 (< (< 1) 1) und und wenden das das Quotientenkriterium an. an. Dieses sagt, sagt, dass dass die die Reihe k 2 /2 k gegen einen Grenzwert s k=3 konvergiert. Dann konvergiert aber aber die die Reihe s + a a a k =0 k k 2 /2 k gegen den den Grenz wert wert Seite 41 Das Wurzelkriterium Satz. Sei Sei eine eine Reihe, deren Glieder alle alle größer als k= 0 k als Null Null sind. sind. Wenn es es eine eine Zahl Zahl q mit mit 0 < q < 1 gibt, gibt, so so dass dass gilt, gilt, dann dann konvergiert die die Reihe. a k a k q für für alle alle k Seite 42

22 4.3 Achilles und die Schildkröte Die Die Geschichte stammt von von Zenon von von Elea Elea (ca. (ca v. v. Chr.). Zenon stellte alles alles in in Frage. Gerade hatten die die griechischen Mathematiker entdeckt, wie wie man man durch reines Nachdenken Erkenntnisse erzielen kann, da da machte Zenon unwiderleglich klar, klar, dass dass man man durch Nachdenken Ergebnisse erhalten kann, die die ganz ganz offenbar nicht nicht stimmen. Zum Zum Beispiel: Bei Bei einem der der sportlichen Wettkämpfe der der Griechen geht geht auch auch Achilles, der der schnellste aller aller Läufer, an an den den Start. Aber Aber ausgerechnet eine eine Schildkröte will will den den Kampf mit mit Achilles aufzunehmen. Zenon schildert, wie wie Achilles und und die die Schildkröte schon vorab das das Rennen gedanklich durchspielen mit mit einem überraschenden Ergebnis: Seite 43 Achilles und die Schildkröte II II Zunächst bittet bittet die die Schildkröte darum, ihr ihr einen kleinen Vorsprung zu zu gewähren, vielleicht Fuß. Fuß. Achilles meint natürlich, dass dass er er diesen Vorsprung in in Nullkommanichts aufgeholt hat. hat. Darauf wendet die die Schildkröte ein, ein, dein dein Problem besteht darin, dass dass du du diese Strecke eben eben nicht nicht in in Nullkommanichts schaffst, sondern auch auch dafür eine eine gewisse Zeit Zeit brauchst. Und Und in in dieser Zeit Zeit bin bin ich ich ein ein Stück vorangekommen Fuß. Achilles ist ist der der Meinung, dass dass er er auch auch diese Strecke sofort gelaufen sei. sei. Nicht sofort, entgegnete die die Schildkröte, sondern auch auch dafür brauchst du du Zeit; Zeit; und und in in dieser Zeit Zeit bin bin ich ich wieder ein ein Stückchen vorangekommen: 1 Fuß. Seite 44

23 Achilles und die Schildkröte III III Achilles findet, das das sei sei aber aber nun nun eine eine lächerliche Strecke, nicht nicht der der Rede wert. wert. Die Die Schildkröte widerspricht abermals: Auch dafür brauchst du du eine eine gewisse Zeit. Zeit. Und Und in in dieser Zeit Zeit bin bin ich ich wieder ein ein kleines Stückchen weiter. Zwar Zwar nur nur ein ein zehntel Fuß, Fuß, aber aber immerhin. So So könnten die die beiden weiterreden. Sie Sie überlegen jeweils bis bis zum zum vorigen Standort der der Schildkröte; wenn Achill dort dort angelangt ist, ist, ist ist diese ein ein Zehntel der der Strecke weiter. Also Also kann kann Achill die die Schildkröte nie nie einholen! Absurd! Seite 45 Achilles und die Schildkröte: Was ist ist los? Die Die Paradoxie löst löst sich sich auf, auf, wenn man man beachtet, dass dass die die einzelnen Strecken immer kleiner werden, also also Achilles dafür auch auch immer weniger Zeit Zeit braucht. In In Wirklichkeit konstruiert die die Schildkröte genau den den Punkt, an an dem dem sie sie überholt wird: wird: 111, Fuß. Fuß. Wenn Achilles diese Marke überschritten hat, hat, hat hat er er sie sie überholt. Ein Ein wunderschönes Beispiel dafür, wie wie scharfes Denken uns uns verunsichert und und uns uns damit zwingt, den den Dingen noch noch mehr mehr auf auf den den Grund zu zu gehen. Seite 46

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die 3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind ( n N, auch

Mehr

Folgen und Reihen. 1 Konvergenz

Folgen und Reihen. 1 Konvergenz Folgen und Reihen Man betrachte viele Zahlen hintereinander geschrieben. Solche Folgen von Zahlen können durch nummeriert werden. Es entsteht eine Zuordnung der natürlichen Zahlen zu den Gliedern der Folge.

Mehr

Kapitel 5 Reihen 196

Kapitel 5 Reihen 196 Kapitel 5 Reihen 96 Kapitel 5. Definition und Beispiele 97 Das Material dieses Kapitels können Sie nachlesen in: MICHAEL SPIVAK, Calculus, Kapitel 22 DIRK HACHENBERGER, Mathematik für Informatiker, Kapitel

Mehr

Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 +

Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 + 8 Reihen 38 8 Reihen Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe a 0 + a + a 2 + zu bilden. Wir wollen nun erklären, was wir darunter verstehen wollen. Zunächst kann man die

Mehr

Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß.

Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Definition: Sei (a nk ) k N eine konvergente Teilfolge der Folge (a n ) n N.Dannwirdder Grenzwert der Teilfolge (a nk ) k N als Häufungspunkt der Folge

Mehr

x k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert

x k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert 4 Reihen Im Folgenden sei K R oder K C. 4. Definition. Es sei (x k ) Folge in K. Wir schreiben x k s und sagen, die Reihe x k konvergiere, falls die sogenannte Partialsummen-Folge s n x k n, 2,... in K

Mehr

= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,.

= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,. 2 Folgen, Reihen, Grenzwerte 2.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind (n N; auch

Mehr

GRUNDLAGEN MATHEMATIK

GRUNDLAGEN MATHEMATIK Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 2. Folgen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen Mathematik

Mehr

Vorlesung: Analysis I für Ingenieure

Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Dozent: Dr. Michael Karow Thema: unendliche Reihen Definition. Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen: a k = lim k a k, wobei a k C. Falls der

Mehr

3.3. KONVERGENZKRITERIEN 67. n+1. a p und a n. beide nicht konvergent, so gilt die Aussage des Satzes 3.2.6

3.3. KONVERGENZKRITERIEN 67. n+1. a p und a n. beide nicht konvergent, so gilt die Aussage des Satzes 3.2.6 3.3. KONVERGENZKRITERIEN 67 und l n+1 wiederum als kleinsten Wert, so dass A 2n+2 = A 2n+1 + l n+1 k=l n < A. Alle diese Indizes existieren und damit ist eine Folge {A k } k N definiert. Diese Folge konvergiert

Mehr

Dem Anschein nach werden diese Zahlen kleiner und kleiner und streben gegen Null. Was sollen sie sonst auch tun? Aber der Begriff

Dem Anschein nach werden diese Zahlen kleiner und kleiner und streben gegen Null. Was sollen sie sonst auch tun? Aber der Begriff 47 5 Irrationales 5.1 Folgen, Konvergenz und Vollständigkeit Eine Abbildung a : N R definiert eine Folge von reellen Werten a 1 = a(1), a 2 = a(2), a 3 = a(3),... Solche Zahlenfolgen werden uns dazu dienen,

Mehr

n=1 a n mit reellen Zahlen a n einen

n=1 a n mit reellen Zahlen a n einen 4 Unendliche Reihen 4. Definition und Beispiele Ein altes Problem der Analysis ist es, einer Reihe mit reellen Zahlen einen Wert zuzuordnen. Ein typisches Beispiel ist die unendliche Reihe + +..., die

Mehr

10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen

10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen 10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen 10.1 Majoranten- und Minorantenkriterium 10.3 Wurzelkriterium 10.4 Quotientenkriterium 10.9 Riemannscher Umordnungssatz 10.10 Äquivalenzen zur absoluten

Mehr

Ferienkurs Analysis 1, SoSe Unendliche Reihen. Florian Beye August 15, 2008

Ferienkurs Analysis 1, SoSe Unendliche Reihen. Florian Beye August 15, 2008 Ferienkurs Analysis 1, SoSe 2008 Unendliche Reihen Florian Beye August 15, 2008 1 Reihen und deren Konvergenz Definition 1.1. Eine reelle bzw. komplexe Reihe ist eine unendliche Summe über die Glieder

Mehr

Folgen und Reihen. Mathematik-Repetitorium

Folgen und Reihen. Mathematik-Repetitorium Folgen und Reihen 1.1 Vollständige Induktion 1.2 Zahlenfolgen 1.3 Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen 1.4 Konvergenzkriterien 1.5 Unendliche Reihen 1.6 Eigenschaften unendlicher Reihen 1.7 Rechnen

Mehr

Folgen und Reihen. Thomas Blasi

Folgen und Reihen. Thomas Blasi Folgen und Reihen Thomas Blasi 02.03.2009 Inhaltsverzeichnis Folgen und Grenzwerte 2. Definitionen und Bemerkungen............................. 2.2 Konvergenz und Beschränktheit.............................

Mehr

3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung

3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung Kapitelgliederung 3. Folgen und Reihen 3.1 Folgen und Grenzwerte 3.2 Rechenregeln für konvergente Folgen 3.3 Monotone Folgen und Teilfolgen 3.4 Ein Algorithmus zur Wurzelberechnung 3.5 Reihen 3.6 Absolut

Mehr

Kap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R

Kap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R Definition: Zahlenfolge Kap. 10: Folgen und Reihen 10.1 Definition: Zahlenfolge Eine Funktion a : N Ñ R poder Cq heißt reelle (oder komplexe) Zahlenfolge. Man nennt a n apnq das n-te Folgenglied und schreibt

Mehr

KAPITEL 2. Folgen und Reihen

KAPITEL 2. Folgen und Reihen KAPITEL 2 Folgen und Reihen 1. Konvergenz und Divergenz Definition 2.1 (Folgen). Eine Abbildung a : N R (bzw. a : N 0 R) nennt man Folge. Statt a : N R schreibt man meist (a n ) n N und a n statt a(n).

Mehr

Folgen und Reihen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

Folgen und Reihen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden Folgen und Reihen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-0062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Folgen Eine (unendliche) (Zahlen)folge ist eine Abbildung f : N R. Statt f (n) schreibt man

Mehr

2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n)

2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n) 2 Folgen und Reihen 2.1 Folgen in C 2.1.1 Konvergenz von Folgen Eine Folge komplexer Zahlen ist eine Funktion f : N C. Mit a n schreibt man (a n ) n=1, (a n ) oder auch a 1, a 2,.... := f(n) (a n ) heißt

Mehr

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 $Id: folgen.tex,v. 200/2/06 :2:5 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v. 200/2/0 4:4:40 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Cauchyfolgen Wir kommen nun

Mehr

Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele

Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele Ist (a n ) eine Folge von Zahlen, so heißt der formale Ausdruck a ν = a 0 + a 1 + a 2 +... eine Reihe; die einzelnen a ν sind die Glieder dieser Reihe. Um

Mehr

7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt.

7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt. 7 KONVERGENTE FOLGEN 35 und die größe untere Schranke mit bezeichnet haben. inf M = Infimum von M Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt der Limes superior der Folge, und lim

Mehr

10 Aus der Analysis. Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit

10 Aus der Analysis. Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit 10 Aus der Analysis Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit Zahlenfolgen Ein unendliche Folge reeller Zahlen heißt Zahlenfolge. Im Beispiel 2, 3, 2, 2 2, 2

Mehr

INGENIEURMATHEMATIK. 8. Reihen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies

INGENIEURMATHEMATIK. 8. Reihen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik INGENIEURMATHEMATIK 8. Reihen Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester 2016 G. Matthies Ingenieurmathematik

Mehr

Folgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014

Folgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014 Inhalt Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis Vorlesung im Wintersemester 2014 Kurt Frischmuth Institut für Mathematik, Universität Rostock Rostock, Oktober 2014... Folgen und Reihen Reelle Funktionen

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 8 10. November 2009 Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen Definition 27. Eine (reelle bzw. komplexe) Zahlenfolge ist eine R- bzw. C-wertige

Mehr

1 Reihen von Zahlen. Inhalt:

1 Reihen von Zahlen. Inhalt: 5 Kapitel 3 Reihen Reihen von Zahlen Inhalt: Konvergenz und Divergenz von Reihen reeller oder komplexer Zahlen, geometrische Reihe, harmonische Reihe, alternierende Reihen. Cauchy-Kriterium, absolute Konvergenz,

Mehr

a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter.

a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. 7 Folgen 30 7 Folgen Wir betrachten nun (unendliche) Folgen von Zahlen a 0, a, a 2, a 3,.... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. Bezeichnung Wir bezeichnen mit N die Menge der

Mehr

Lösungen Klausur. k k (n + 1) n. für alle n N. Lösung: IA: Für n = 1 ist 1. k k + (n + 1) n+1. k k = k=1. k=1 kk = 1 1 = 1 2 = 2 1.

Lösungen Klausur. k k (n + 1) n. für alle n N. Lösung: IA: Für n = 1 ist 1. k k + (n + 1) n+1. k k = k=1. k=1 kk = 1 1 = 1 2 = 2 1. Lösungen Klausur Aufgabe (3 Punkte) Zeigen Sie, dass n k k (n + ) n k für alle n N. IA: Für n ist k kk 2 2. IV: Es gilt n k kk (n + ) n für ein n N. IS: Wir haben n+ k k k n k k + (n + ) n+ k IV (n + )

Mehr

6 - Unendliche Reihen

6 - Unendliche Reihen Kapitel 2 Folgen und Reihen Seite 1 6 Unendliche Reihen Definition 6.1 (Unendliche Reihen) Sei eine Folge aus C. Unter der unendlichen Reihe mit den Gliedern versteht man das Symbol oder Die Zahl heißt

Mehr

4 Reihen und Finanzmathematik

4 Reihen und Finanzmathematik 4 Reihen und Finanzmathematik 4. Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei

Mehr

5. Reihen. k=1 x k = s. Oft startet man die Folge/Reihe auch bei k =0oder einem anderen Wert. Für Konvergenzfragen macht das keinen Unterschied.

5. Reihen. k=1 x k = s. Oft startet man die Folge/Reihe auch bei k =0oder einem anderen Wert. Für Konvergenzfragen macht das keinen Unterschied. 5 5. Reihen Im Folgenden sei X K n oder ein beliebiger K-Vektorraum mit Norm. 5.. Definition. Es sei (x k ) Folge in X. DieFolge n s n x k n,,... der Partialsummen heißt (unendliche) Reihe und wird mit

Mehr

Konvergenz einer Folge. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Konvergenz einer Folge. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Konvergenz einer Folge 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Konvergenz einer Folge: Inhalt Drei Verhaltensmuster von Folgen. Beispiele 1 ) = 1 n, = n n +1, 2 ) = ( 1)n n +1 n und ihre graphischen Darstellungen.,

Mehr

,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5

,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5 3 Folgen 3.1 Definition und Beispiele Eine Abbildung a : Æ Ê heißt (reelle) Zahlenfolge. Statt a(n) schreiben wir kürzer a n und bezeichnen die ganze Folge mit (a n ) n Æ oder einfach (a n ), was aber

Mehr

Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt

Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit a n := n 2 + 5n + 1 n Es gilt ( ( ) (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n + 1 + n, woraus folgt a n = (n2 + 5n + 1) n 2 n2 + 5n + 1 + n = 5n + 1 n2

Mehr

9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen

9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen 9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen 9.2 Konvergenz von Reihen 9.5 Monotoniekriterium für Reihen 9.6 Konvergenzkriterium von Cauchy für Reihen 9.9 Rechenregeln für konvergente Reihen 9.10 Absolute

Mehr

Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe. 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya

Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe. 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya Folgen und Reihen: Beispiele Unter dem Bildungsgesetz einer unendlichen Reihe n i= versteht man einen funktionalen Zusammenhang

Mehr

2 - Konvergenz und Limes

2 - Konvergenz und Limes Kapitel 2 - Folgen Reihen Seite 1 2 - Konvergenz Limes Definition 2.1 (Folgenkonvergenz) Eine Folge komplexer Zahlen heißt konvergent gegen, wenn es zu jeder positiven Zahl ein gibt, so dass gilt: Die

Mehr

Mathematik I - Woche 10

Mathematik I - Woche 10 Mathematik I - Woche 0 Philip Müller Reihen. Was ist eine Reihe Wir hatten bis jetzt Folgen. Eine Folge (a n ) n N ist eine Vorschrift, die von den natürlichen Zahlen, in die reellen Zahlen abbildet. Ein

Mehr

11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 200/ 2.0.-28.0. Aufgabe G (Grenzwertberechnung)

Mehr

4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen $Id: folgen.tex,v.44 206/2/02 2::8 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v.2 206/2/05 0:28: hk Exp $ 4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 4.2 Reelle Zahlenfolgen In der letzten Sitzung hatten wir den Limes Superior lim

Mehr

$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +.

$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +. Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 $Id: reihen.tex,v.8 202/06/2 0:59:50 hk Exp $ 7 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a + a 2 + a 3 +. Die Summanden a i können dabei reell oder

Mehr

1 Folgen und Stetigkeit

1 Folgen und Stetigkeit 1 Folgen und Stetigkeit 1.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 0/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 3. Übung Übersicht

ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 3. Übung Übersicht ANALYSIS I FÜR TPH WS 206/7 3. Übung Übersicht Aufgaben zu Kapitel 5 und 6 Aufgabe : Untersuchung von Reihen mittels Konvergenzkriterien Aufgabe 2: Konvergenz und Berechnung von Reihen I Aufgabe 3: ( )

Mehr

11. Folgen und Reihen.

11. Folgen und Reihen. - Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a

Mehr

Folgen und Reihen. Katharina Brazda 9. März 2007

Folgen und Reihen. Katharina Brazda 9. März 2007 Katharina Brazda 9. März 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2 1.1 Definition von Folgen - explizite und rekursive Darstellung.............. 2 1.2 Wachstumsverhalten von Folgen - Monotonie und Beschränktheit..........

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 24. Reihen

Mathematik I. Vorlesung 24. Reihen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 24 Reihen Wir betrachten Reihen von komplexen Zahlen. Definition 24.1. Sei ( ) k N eine Folge von komplexen Zahlen. Unter der Reihe versteht

Mehr

4 Reihen. s n = a 1 + a 2 + + a n = Die Folge (s n ) n N der Partialsummen heißt eine (unendliche) Reihe und wird auch als a k. k=1. )n N geschrieben.

4 Reihen. s n = a 1 + a 2 + + a n = Die Folge (s n ) n N der Partialsummen heißt eine (unendliche) Reihe und wird auch als a k. k=1. )n N geschrieben. 4 Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei (a k ) k N eine Folge. Wir definieren

Mehr

Kapitel 3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen

Kapitel 3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen Kapitel 3 Folgen und Reihen 3. Folgen 3.2 Cauchy Folgen 3.3 Unendliche Reihen 3.4 Absolut konvergente Reihen 3.5 Multiplikation von Reihen 3.6 Potenzreihen 3. Folgen In diesem gesamten Abschnitt bezeichnen

Mehr

Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16)

Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16) 1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16) Kapitel 7: Konvergenz und Reihen Prof. Miles Simon Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg.

Mehr

Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren

Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis

Mehr

Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit

Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen

Mehr

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba.

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba. Die Eindeutigkeit nach Satz 3 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und () wegen Aussage (7) ergibt sich aus () und (6). 0 = log b = log b ( a a) = log b a +log ba. 3 Reihen 3. Konvergenz und Divergenz

Mehr

Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen

Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät Mathematisches Seminar Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen von Dipl.-Math. Joscha Prochno Dipl.-Math. Dennis

Mehr

Reihen. Kapitel 3. Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

Reihen. Kapitel 3. Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543 Kapitel 3 Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 160 / 543 Inhalt Inhalt 3 Reihen Absolute Konvergenz Potenzreihen Elementare Funktionen Anwendung:

Mehr

(b) Man nennt die Menge M beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist.

(b) Man nennt die Menge M beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. 8 Punktmengen Für die Menge M = { 1 n ; n N } ist 1 = max(m), denn 1 M und 1 n 1 für alle n N. Die Menge M besitzt aber kein Minimum, denn zu jeder Zahl x = 1 n M existiert ein y M mit y < x, etwa y =

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 7. Folgen in einem angeordneten Körper

Mathematik I. Vorlesung 7. Folgen in einem angeordneten Körper Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 009/010 Mathematik I Vorlesung 7 Folgen in einem angeordneten Körper Wir beginnen mit einem motivierenden Beispiel. Beispiel 7.1. Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen

Mehr

Die alternierende harmonische Reihe.

Die alternierende harmonische Reihe. Die alternierende harmonische Reihe Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe k k + = 2 + 3 4 + konvergiert nach dem Leibnizschen Konvergenzkriterium, und es gilt k k + = ln2 = 06934 für den Grenzwert

Mehr

Folgen und Reihen. Rainer Hauser. Februar 2011

Folgen und Reihen. Rainer Hauser. Februar 2011 Folgen und Reihen Rainer Hauser Februar 2011 1 Einleitung 1.1 Unendliche Prozesse und Approximationen Zählen ist ein unendlicher Prozess, der theoretisch von 1 über die Nachfolgerfunktion plus 1 jede natürlich

Mehr

Alternativ kann man auch die Differenz a n+1 a n betrachten:

Alternativ kann man auch die Differenz a n+1 a n betrachten: Aufgabe 1 Folgen auf Monotonie und Beschränktheit prüfen. a) Beschränktheit? Die Folge ( ) n N mit = n + ( 1) n ist nach unten beschränkt, denn es gilt n + ( 1) n n 1 1 für alle n N. Allerdings ist die

Mehr

Folgen und Reihen. Kapitel Folgen und Grenzwerte

Folgen und Reihen. Kapitel Folgen und Grenzwerte Kapitel 3 Folgen und Reihen Wie bereits in der Einleitung angedeutet, beschäftigt sich die Analysis sehr stark mit Grenzprozessen. Wir werden in diesem Kapitel die wichtigsten Grenzprozesse, nämlich die

Mehr

Folgen und Reihen. Christoph Laabs, n s k und ist Grenzwert dieser Reihe.

Folgen und Reihen. Christoph Laabs, n s k und ist Grenzwert dieser Reihe. Folgen und Reihen Christoph Laabs, christoph.laabs@tu-dresden.de Grundlagen Eine Reihe ist darstellbar durch z. B. = a 0 + a + a 2 + a + a 4 +... Ausgesprochen wird das als Summe von von k bis Unendlich.

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 3.2 Konvergenzkriterien

Mehr

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen $Id: folgen.tex,v.7 200//29 :58:57 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff der Konvergenz einer reellen oder komplexen Folge gegen

Mehr

Spickzettel Mathe C1

Spickzettel Mathe C1 Spickzettel Mathe C1 1 Mengenlehre 1.1 Potenzmenge Die Potenzmenge P (Ω) einer Menge Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω. Dabei gilt: P (Ω) := {A A Ω} card P (Ω) = 2 card Ω P (Ω) 1.2 Mengenalgebra Eine

Mehr

Rechenoperationen mit Folgen. Rekursion und Iteration.

Rechenoperationen mit Folgen. Rekursion und Iteration. Rechenoperationen mit Folgen. Die Menge aller Folgen in V bildet einen Vektorraum, V N, für den die Addition und skalare Multiplikation wie folgt definiert sind. (a n ) n N + (b n ) n N := (a n + b n )

Mehr

1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen

1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen 1 Einleitung Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis 1 aus dem Wintersemester 2008/09

Mehr

Vorkurs Mathematik. Übungen Teil IV

Vorkurs Mathematik. Übungen Teil IV Vorkurs Mathematik Herbst 009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil IV. Folgen und die Konstruktion von R Im vorherigen Kapitel haben wir Z und Q über (formale) Lösungsmengen von Gleichungen der Form

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Dr. B. Ackermann, M. Borgart, Dr. I Rybak, M. Kutter, J. Veenman 14. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 1 Wintersemester 010/11 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den

Mehr

Kapitel 5 KONVERGENZ

Kapitel 5 KONVERGENZ Kapitel 5 KONVERGENZ Fassung vom 21. April 2002 Claude Portenier ANALYSIS 75 5.1 Metrische Räume 5.1 Metrische Räume DEFINITION 1 Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X X! R + heißt Metrik oder Distanz

Mehr

Folgen und Reihen. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt

Folgen und Reihen. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Folgen und Reihen Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band, 7. Auflage,

Mehr

ist streng monoton fallend.

ist streng monoton fallend. Beispiel 3.5 Betrachte die Folgen aus Beispiel 3.1 Die Folgen a und d mit a n = n 2 und d n = 2 n sowie die Fibonacci-Folge sind streng monoton wachsend. Die Folge b mit b n = 1 n ist streng monoton fallend.

Mehr

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden

Mehr

Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD

Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD Tag 6 Folgen Konvergenzkriterien Reihen Potenzreihen 2322004 Gerd Rapin grapin@mathuni-goettingende Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung

Mehr

Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I

Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 NWF I - Mathematik 9..9 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Frage 1 Vervollständigen Sie die folgenden

Mehr

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 26 1. Folgen R. Steuding (HS-RM)

Mehr

Lösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version A)

Lösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version A) Lösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, 10.1.009 (Version A) Kennwort: Übungsgruppe: (Sie können ein beliebiges Kennwort wählen, um Ihre Anonymität zu wahren! Da die Probeklausur

Mehr

$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade.

$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade. $Id: folgen.tex,v. 202/05/3 2:40:06 hk Exp $ 6 Folgen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir Folgen in einer Menge X als Abbildungen a : N X definiert, die dann typischerweise in der Form (a n ) n N, also

Mehr

Folgen und Reihen. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)

Folgen und Reihen. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Fragen und Antworten Folgen und Reihen (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis 1 Folgen und Reihen 2 1.1 Fragen............................................... 2 1.1.1 Folgen...........................................

Mehr

Das Newton Verfahren.

Das Newton Verfahren. Das Newton Verfahren. Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f :[a, b] R. Verwende die Newton Iteration: x n+1 := x n f x n) f x n ) für f x n ) 0 mit Startwert x 0. Das Verfahren

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Oliver Matte Max Lein Zentralübung Mathematik für Physiker 2 Analysis ) Wintersemester 200/20 Lösungsblatt 5 2..200) 32. Häufungspunkte Sei a

Mehr

Analysis I. Vorlesung 9. Reihen

Analysis I. Vorlesung 9. Reihen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 20/204 Analysis I Vorlesung 9 Reihen Wir haben in der siebten Vorlesung gesagt, dass man eine Dezimalentwicklung, also eine (unendliche) Ziffernfolge mit Ziffern zwischen

Mehr

Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion

Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Ferienkurs Seite 1 Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Wintersemester 2011/12 Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 20.03.2012 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2

Mehr

Kapitel 4. Folgen und Reihen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38

Kapitel 4. Folgen und Reihen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38 Kapitel 4 Folgen und Reihen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38 Folgen Eine Folge ist eine Anordnung von reellen Zahlen. Die einzelnen Zahlen heißen Glieder

Mehr

Vollständigkeit. 1 Konstruktion der reellen Zahlen

Vollständigkeit. 1 Konstruktion der reellen Zahlen Vortrag im Rahmen des Proseminars zur Analysis, 17.03.2006 Albert Zeyer Ziel des Vortrags ist es, die Vollständigkeit auf Basis der Konstruktion von R über die CAUCHY-Folgen zu beweisen und äquivalente

Mehr

Folgen und Reihen Folgen

Folgen und Reihen Folgen Folgen und Reihen 30307 Folgen Einstieg: Wir beginnen mit einigen Beispielen für reelle Folgen: (i),, 4, 8, 6, (ii) 4,, 6, 3, 7, (iii) 0,,,, 3,, (iv), 3, 7,,, Aufgabe : Setzt die Zahlenfolgen logisch fort

Mehr

20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen

20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen 20 Gleichmäßige Konvergenz für Folgen und Reihen von Funktionen 20.1 Folgen und Reihen von Funktionen 20.3 Die Supremumsnorm 20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen 20.7 Das Cauchy-Kriterium

Mehr

Thema 3 Folgen, Grenzwerte

Thema 3 Folgen, Grenzwerte Thema 3 Folgen, Grenzwerte Definition Eine Folge von reellen Zahlen ist eine Abbildung von N in R d.h. jedem n N ist eine Zahl a n zugeordnet. Wir schreiben für eine solche Folge. Beispiele. (a n ) n N

Mehr

Die Topologie von R, C und R n

Die Topologie von R, C und R n Die Topologie von R, C und R n Für R haben wir bereits eine Reihe von Strukturen kennengelernt: eine algebraische Struktur (Körper), eine Ordnungsstruktur und eine metrische Struktur (Absolutbetrag, Abstand).

Mehr

3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen

3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen 3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen Satz: Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge a n ) n N ist konvergent mit Grenzwert lim a n = sup{a n n N} Beweis: Sei a n ) n N nach oben

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2015/16 Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Grundlagentest Polynome! Testfrage: Polynome 1 Die Summe

Mehr

Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen

Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen Axel Wagner 18. Juli 2009 1 Voraussetzungen Zunächst wollen wir festhalten, was wir als bekannt voraussetzen: Es sei (Q, +, ) der Körper der rationalen

Mehr

Konstruktion der reellen Zahlen

Konstruktion der reellen Zahlen Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert

Mehr

9 Metrische und normierte Räume

9 Metrische und normierte Räume 9 Metrische und normierte Räume Idee: Wir wollen Abstände zwischen Punkten messen. Der Abstand soll eine reelle Zahl 0 sein (ohne Dimensionsangabe wie Meter...). 9.1 Definition Sei X eine Menge. Eine Metrik

Mehr

Cauchy-Folgen und Kompaktheit. 1 Cauchy-Folgen und Beschränktheit

Cauchy-Folgen und Kompaktheit. 1 Cauchy-Folgen und Beschränktheit Vortrag zum Seminar zur Analysis, 10.05.2010 Michael Engeländer, Jonathan Fell Dieser Vortrag stellt als erstes einige Sätze zu Cauchy-Folgen auf allgemeinen metrischen Räumen vor. Speziell wird auch das

Mehr

Analysis I. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014. Arbeitsblatt 7. Übungsaufgaben. Aufgabe 7.1. Zeige, dass das Quadrieren

Analysis I. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014. Arbeitsblatt 7. Übungsaufgaben. Aufgabe 7.1. Zeige, dass das Quadrieren Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analysis I Arbeitsblatt 7 Übungsaufgaben Aufgabe 7.1. Zeige, dass das Quadrieren R 0 R 0, x x 2, eine wachsende Funktion ist. Man folgere daraus, dass auch die

Mehr