Funktionenfolgen. Kapitel 6

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1 Kpitel 6 Funktionenfolgen Bemerkung 6.1 Motivtion. Dieser Abschnitt betrchtet die Konvergenz von Folgen von uf einem gemeinsmen Intervll definierten Funktionen. Dies ist eine wichtige Grundlge, um eine weitere Eigenschft der Integrlrechnung zu untersuchen, nämlich unter welchen Bedingungen mn Integrtion und Grenzübergng vertuschen knn. Definition 6.2 Funktionenfolge, punktweise Konvergenz, Grenzfunktion. Sind die Glieder einer unendlichen Folge keine Zhlen sondern Funktionen, die in einem Intervl I R definiert sind, so spricht mn von einer Funktionenfolge {f n (x)} n=1. Für jedes x I ist dnn {f n (x )} n=1 eine Zhlenfolge. Die Folge {f n (x)} n=1 heißt im Punkt x I konvergent, flls die Zhlenfolge {f n (x )} n=1 konvergiert. Ist {f n (x)} n=1 konvergent für jedes x I, so heißt {f n (x)} n=1 punktweise uf I konvergent. In diesem Fll gibt es eine Funktion f : I R, so dss f(x) = lim f n(x) für jedes feste x I gilt. Diese Funktion heißt Grenzfunktion. Die Schreibweise ist uch f n (x) f(x) für n. Bemerkung 6.3 Zur punktweisen Konvergenz. Es gilt f n (x) f(x) für n genu dnn, wenn zu jedem ε > und jedem festen x I eine ntürliche Zhl n = n (ε, x) existiert, so dss f n (x) f(x) < ε n > n (ε, x). Definition 6.4 Stetige Funktionenfolge. EineufI R definierte Funktionenfolge heißt stetig, flls jede der Funktionen f n (x) uf I stetig ist. Beispiel 6.5 Stetigkeit der Grenzfunktion. Die Grenzfunktion einer stetigen Funktionenfolge knn stetig sein, sie muss es jedoch nicht. Betrchte {f n (x)} n=1 = {x n } n=1 uf I = [,1/2]. Es gilt für lle x I lim f n(x) = lim xn =. Demzufolge ist die Grenzfunktion f(x) =. Sie ist stetig. 51

2 Betrchte die gleichen Funktionen wie eben, ber uf I = [,1]. Für jedes x [,1) gilt x n für n. Für x = 1 ht mn jedoch 1 n = 1 für lle n, womit f n (1) 1 für n folgt. Die Grenzfunktion ist dmit { für x [,1), f(x) = 1 für x = 1. Sie ist unstetig uf I Betrchte {f n (x)} n=1 = { } nx 1 + n 2 x 2. n=1 uf I = R. Für x = gilt f n () = für lle n, lso lim f n () =. Für x ht mn < nx 1 + n 2 x 2 < nx n 2 x 2 = 1 für n. nx Dmit ist die Grenzfunktion f(x) =. Sie ist stetig uf I. Definition 6.6 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen. Die Funktionenfolge {f n (x)} n=1 heißt gleichmäßig konvergent gegen f(x) uf I, flls zu jedem ε > ein n (ε) n (ε, x) existiert, so dss f n (x) f(x) < ε für lle n > n (ε) und für lle x I gilt. Mn schreibt f n (x) = f(x). Bemerkung 6.7 Wie schon bei der Defintion der gleichmäßigen Stetigkeit, Definition3.23, bedeutet uchdiegleichmäßige KonvergenzvonFunktionenfolgen, dss mn in der Konvergenzdefinition etws unbhängig von einem Prmeter wählen knn, nämlich n unbhängig von x. Stz 6.8 Gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz. Aus f n (x) = f(x) folgt f n (x) f(x). Beweis: Die Aussge folgt direkt us der Definition der gleichmäßigen Konvergenz. Für die punktweise Konvergenz knn mn in der Definition für vorgegebenes ε lle x I den Index n (ε, x) = n (ε) wählen, wobei n (ε) der Index us der Definition der gleichmäßigen Konvergenz ist. Beispiel 6.9 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen. 52

3 Die Funktionenfolge {f n (x)} n=1 = {x n } n=1 ist uf [,], (,1) gleichmäßig gegen f(x) = konvergent. Es gilt nämlich für lle < ε < 1, dss Mn knn lso n (ε) = x n n = n < ε n ln() < ln(ε) n ln() > ln(ε) n > ln(ε) ln(). [ ln(ε) ln() ] n (ε, x) wählen. Die Funktionenfolge {f n (x)} n=1 = {x n } n=1 ist uf [,1) punktweise, ber nicht gleichmäßig gegen f(x) = konvergent. Die punktweise Konvergenz folgt us lim xn = für x [,1). Ds heißt, zu jedem ε > und x [,1) existiert ein n mit x n = x n < ε. Mit ] der gleichen Rechnung wie im vorherigen Beispiel erhält mn n = = n (ε, x). Mn knn insbesondere kein n finden, so dss [ ln(ε) ln(x) x n < ε < 1/2 für lle n > n und lle x [,1) ist. Wähle x = 1 1 2n < 1 mit n > n. Dnn ist ( x n = 1 1 ) n 1 n 2n 2n = = 1 2 > ε. Für die Abschätzung wurde die Bernoulli 1 Ungleichung (1 + ) n 1 + n für > 1, n N, verwendet. Die Folge {f n (x)} n=4 definiert durch { n sin(nx) für x π f n (x) = n, für π n < x 1, ist uf [,1] punktweise gegen f(x) = konvergent. Sie ist jedoch nicht gleichmäßig konvergent. Es wird zunächst die punktweise Konvergenz gezeigt. Für jedes ε > und festes x [,π/n] gilt f n (x ) = n sin(nx ) < ε sin(nx ) < ε n. Wegen sin(nx ) nx gilt für x < δ(ε, n) := ε/n 2, dss f n (x ) = n sin(nx ) n 2 x < n 2 ε n 2 = ε. D ε beliebig klein gewählt werden knn, konvergiert die Funktionenfolge punktweise gegen f(x) =. 1 Jkob Bernoulli ( ) 53

4 Nun wird gezeigt, dss die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert. Wähle ein beliebiges ε < 1. Dnn gibt es ein x := π/(2n) mit ( π ) f n (x ) = n sin(nx ) = n sin = n = n > ε. 2 Dmit gibt es für ε < 1 kein n (ε) mit f n (x ) < ε für lle x [,1]. Stz 6.1 Hinreichende undnotwendige Bedingung fürgleichmäßige Konvergenz. Die Funktionenfolge {f n (x)} n=1 konvergiert uf I genu dnn gleichmäßig gegen die Grenzfunktion f(x), wenn ( ) lim sup f n (x) f(x) x I =. Beweis: = Die Funktionenfolge konvergiere gleichmäßig gegen f(x). Ds ist genu dnn der Fll, wenn für lle ε > ein n (ε) existiert mit f n(x) f(x) < ε n > n (ε) und x I. Dmit ist ε eine obere Schrnke der Menge { f n(x) f(x) : x I}. D ds Supremum die kleinste obere Schrnke ist, folgt sup f n(x) f(x) ε x I für jedes ε > und lle n > n (ε). Dmit folgt lim sup x I f n(x) f(x) =. = Gelte lim sup x I f n(x) f(x) =. Dnn findet mn für lle ε > ein n (ε) mit f n(x) f(x) sup f n(x) f(x) < ε n > n (ε) und x I. x I Ds ist die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge. Bemerkung 6.11 Existiert für lle n sogr mx x I f n (x) f(x), so ist es usreichend zu zeigen, dss mx x I f n (x) f(x) für n. Beispiel 6.12 Hinreichende und notwendige Bedingung für gleichmäßige Konvergenz. Die Folge {f n (x)} n=1 = {x n } n=1, x [,], < < 1 konvergiert gleichmäßig gegen f(x) =. Es gilt nämlich mx x [,] xn = n. 54

5 Die Folge {f n (x)} n=1 = {x n } n=1, x [,1], konvergiert nicht gleichmäßig gegen die Grenzfunktion { für x [,1), f(x) = 1 für x = 1. Mn findet für lle n ein x [,1), so dss x n beliebig nhe n 1 ist. Dmit folgt sup f n (x) f(x) = 1 1. x [,1] Stz 6.13 Mjorntenkriterium. Sei die Funktionenfolge {f n (x)} n=1 uf I definiert. Ferner existiere eine Zhlenfolge {M n } n=1 mit f n (x) < M n für lle n n und mit lim M n =. Dnn konvergiert {f n (x)} n=1 uf I gleichmäßig gegen f(x) =. Beweis: Aus der Nullfolgeneigenschft von {M n} n=1 folgt, dss für gegebenes ε > ein n (ε) existiert mit M n < ε für lle n > n (ε). Drus ergibt sich sofort f n(x) = f n(x) M n < ε n n (ε). Bemerkung 6.14 Beliebige Funktionenfolge. Betrchte eine beliebige Funktionenfolge {f n (x)} n=1 mit Grenzfunktion f(x). Dnn wendet mn ds Mjorntenkriterium uf {f n (x) f(x)} n=1 n, um die gleichmäßige Konvergenz von {f n (x)} n=1 zu überprüfen. Stz 6.15 Cuchy Konvergenzkriterium für gleichmäßige Konvergenz. Die Funktionenfolge {f n (x)} n=1 konvergiert uf I genu dnn gleichmäßig gegen die Grenzfunktion f(x), wenn für lle ε > ein n (ε) n (ε, x) existiert, so dss f n (x) f m (x) < ε für lle m,n > n (ε) und lle x I. Beweis: Der Beweis erfolgt nlog zu Zhlenfolgen. Die gleichmäßige Konvergenz folgt us der Ttsche, dss n (ε) nicht von x bhängt. Übungsufgbe: GrenzfunktioneinerFolge unstetigerfunktionenknnunstetig oder stetig sein. Bemerkung 6.16 Vertuschung von Grenzwerten. Bei uf einem Intervll I definierten Funktionenfolgen knn mn zwei Grenzwerte betrchten, nämlich n und x x mit x I. Mn ht nun zwei Wege. Zum einen knn mn erst den Grenzwert n betrchten, lso zur Grenzfunktion übergehen, und dnch x x bilden. Umgekehrt knn mn ebenflls vorgehen. Beide Wege müssen im llgemeinen nicht den gleichen Wert liefern. Betrchte {f n (x)} n=1 = {x n } n=1 uf [,1] und x = 1. Es gilt für x [,1), erster Weg, lim f n(x) = f(x) =, Für den zweiten Weg erhält mn lim f(x) = lim =. x 1 x 1 lim f n(x) = f n (1) = 1 n = 1, x 1 lim f n(1) = lim 1 = 1. Ds Problem bei diesem Beispiel ist die Unstetigkeit der Grenzfunktion. 55

6 Stz 6.17 Stetigkeit der Grenzfunktion und Vertuschung von Grenzwerten. Die Funktionenfolge {f n (x)} n=1 sei uf I R definiert, sie sei stetig und gleichmäßig gegen f(x) konvergent. Dnn ist die Grenzfunktion stetig und es gilt lim lim f n (x) = lim lim f n(x) = f(x ) x x x x für lle x I. Mit nderen Worten: Die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen ist stetig. Beweis: Nch Vorussetzung gibt es für jedes ε > ein n (ε) mit f n(x) f(x) < ε für lle n > n (ε) und lle x I. Sei x I beliebig. D jede Funktion f n(x) stetig ist, gilt für jedes ε >, insbesondere für ds oben gewählte, f n(x) f n(x ) < ε für lle x I mit x x < δ(ε, x ). Mit Dreiecksungleichung folgt f(x) f(x ) = f(x) f n(x) + f n(x) f n(x ) + f n(x ) f(x ) = 3ε f(x) f n(x) + f n(x) f n(x ) + f n(x ) f(x ) < ε + ε + ε für lle n > n (ε) und lle x x < δ(ε, x ). Dmit ist die Stetigkeit der Grenzfunktion gezeigt. D f n(x) stetig ist, gilt lim x x f n(x) = f n(x ) für lle x I. Mit der Konvergenz von f n(x ) folgt «f(x ) = lim (fn(x)) = lim lim f x x n(x). Andererseits folgt us der Konvergenz von {f(x)} n=1, dss lim f n(x) = f(x) für lle x I. Mit der Stetigkeit der Grenzfunktion ergibt sich f(x ) = lim (f(x)) = lim lim fn(x). x x x x Dmit ist die zweite Aussge des Stzes bewiesen. Folgerung 6.18 Konvergiert eine Folge stetiger Funktionen {f n (x)} n=1 gegen eine unstetige Funktion f(x), so knn die Konvergenz nur punktweise und nicht gleichmäßig sein. Beweis: Wäre die Konvergenzgleichmäßig, dnnwäre die Grenzfunktion stetig. Beispiel 6.19 Die Folge {f n (x)} n=1 = {x n } n=1, x [,1] konvergiert gegen eine unstetige Grenzfunktion. Sie knn dmit nicht gleichmäßig konvergent sein. Stz 6.2 Vertuschung von Grenzwertbildung und Integrtion. Es sei {f n (x)} n=1, f n : [,b] R für lle n, eine Folge Riemnn integrierbrer Funktionen, die uf [,b] gleichmäßig gegen die Grenzfunktion f : [,b] R konvergiert. Dnn ist f(x) ebenflls Riemnn integrierbr und es gilt b f(x) dx = b ( ) lim f n(x) dx = lim b f n (x) dx. Beweis: Sei ε > gegeben. Dnn existiert ein n (ε) N derrt, dss für lle n > n (ε) und lle x [, b] gilt f n(x) ε f(x) fn(x) + ε b b. Bildet mn die Unter und Obersummen, erhält mn für jede beliebige Zerlegung Z von [, b] S (f n, Z) ε S (f, Z) S (f n, Z) + ε, S (f n, Z) ε S (f, Z) S (f n, Z) + ε. 56

7 Hierbei bechte mn, dss die Unter und Obersumme einer Konstnten gleich der Konstnte ml der Intervlllänge sind. D die Funktionen f n(x) nch Vorussetzung integrierbr sind, folgen für δ(z) f n(x) dx ε f n(x) dx ε Dmit ergibt sich für beliebiges ε > f(x) dx f(x) dx D ε beliebig ist, folgt f(x) dx = f(x) dx f(x) dx f n(x) dx + ε, (6.1) f n(x) dx + ε. «f n(x) dx + ε f n(x) dx ε = 2ε. f(x) dx und dmit die Riemnn Integrierbrkeit von f(x). Mit diesem Wissen erhält mn us (6.1) für lle n n (ε) f n(x) dx f(x) dx ε. Ds bedeutet lim f n(x) dx = f(x) dx = lim fn(x) dx, wobei die rechte Gleichungeine Konsequenz derkonvergenzderfunktionenfolgeist. Bemerkung 6.21 Die gleichmäßige Konvergenz ist im llgemeinen eine zu strke Forderung, um Grenzwert und Integrl vertuschen zu können. Ds knn jedoch mittels RiemnnscherIntegrtionstheorie nichtbewiesenwerden, dzubruchtmn beispielsweise Lebesguesche Integrtionstheorie. Dnn knn gezeigt werden, dss punktweise Konvergenz und eine integrierbre Schrnke F(x) mit f n (x) F(x) ls Vorussetzung usreichen. Dmit wird uch klr, wrum zum Beispiel für die Folge {f n (x)} n=1 = {x n } n=1 uf [,1] gilt = 1 f(x) dx = 1 ( ) lim f n(x) dx = lim 1 obwohl diese Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert. 1 f n (x) dx = lim n + 1 xn+1 =, Bemerkung 6.22 Funktionenreihen. Neben Funktionenfolgen knn mn uch Reihen von uf einem gemeinsmen Intervll definierten Funktionen i=1 f i(x) betrchten. Die Untersuchung solcher Funktionenreihen wird uf die Untersuchung der Prtilsummenfolge {s n (x)} n=1 mit s n (x) = n i=1 f i(x) zurückgeführt. Diese Prtilsummenfolge ist eine Funktionenfolge, womit mn die in diesem Kpitel eingeführten Werkzeuge verwenden knn. 57

8 Kpitel 7 Tylor Formel und Tylor Reihen Bemerkung 7.1 Motivtion. NebenderBedeutungderTylor Formel innerhlb der Anlysis, ist sie wichtig, um Funktionswerte von hinreichend oft differenzierbren Funktionen für beliebige Argumente zu pproximieren. Stz 7.2 Tylor 1 Formel mit Restglied in Integrlform. Seien f : (,b) R (k + 1) ml stetig differenzierbr und x (,b). Dnn besitzt f(x) in (,b) die Drstellung f(x) = T k (x,x ) + R k (x,x ) mit dem Tylor Polynom k ter Ordnung von f(x) im Entwicklungspunkt x T k (x,x ) := und dem Restglied in Integrlform R k (x,x ) := 1 k! k j= x 1 j! f(j) (x )(x x ) j x f (k+1) (s)(x s) k ds. Beweis: Mn muss zeigen, dss mit dem ngegebenen Restglied die obige Gleichung erfüllt ist. Dies geschieht durch Induktion. k =. Es gilt mit dem Huptstz der Differentil und Integrlrechnung T (x, x ) + R (x, x ) = f(x ) + Z x x f (s) ds = f(x ) + f(x) f(x ) = f(x). k 1 k. Sei die Tylor Formel für,..., k 1 gültig. Dnn erhält mn mit prtieller Integrtion (bechte die Integrtionsvrible ist s) T k (x, x ) + R k (x, x ) Z x = T k (x, x ) + 1 f (k+1) (s)(x s) k ds k! x = T k (x, x ) + 1 Z x «f (k) (x )(x x ) k + k f (k) (s)(x s) k 1 ds k! x = T k (x, x ) f(k) (x ) (x x ) k + R k 1 (x, x ) = T k 1 (x, x ) + R k 1 (x, x ) = f(x). k! Die letzte Gleichung gilt nch Induktionsvorussetzung. 1 Brook Tylor ( ) 58

9 Bemerkung 7.3 Zur Tylor Formel. Beim Induktionsnfng sieht mn, dss mn für k = den Huptstz der Differentil und Integrlrechnung x x f (s) ds = f(x) f(x ) ht. Die Tylor Formel mitrestgliedinintegrlform ist eine Verllgemeinerung dieses Huptstzes. Ds Restglied in Integrlform ist universell einsetzbr, ber nicht leicht zu merken. Dzu sind ndere Restglieder geeigneter. Stz 7.4 Lgrnge 2 Restglied. Unter den Vorussetzungen von Stz 7.2 gibt es ein ξ (x,x), x < x, so dss R k (x,x ) = f(k+1) (ξ) (k + 1)! (x x ) k+1 gilt. Es gilt die Drstellung ξ = x + θ(x x ) mit einem unbeknnten θ (,1). Eine nloge Drstellung gilt für ds Intervll (x,x ) flls x < x. Beweis: Setze M := mx f (k+1) (t), t [x,x] m := min f (k+1) (t). t [x,x] Mit Stz 7.2 folgen und nlog R k (x, x ) = 1 k! Z x x f (k+1) (s)(x s) k ds M k! R k (x, x ) m Z x (x x)k+1. (k + 1)! x (x s) k ds = M (x x)k+1 (k + 1)! Nch dem Zwischenwertstz nimmt f (k+1) (t) in (x, x) lle Werte in [m, M] n. Also existiert ein ξ (x, x) mit R k (x, x ) = f (k+1) (ξ) (x x)k+1. (k + 1)! Bemerkung 7.5 Mittelwertstz der Differentilrechnung. Für k = erhält mn für ds Lgrngesche Restglied, dss es ein ξ (x,x) gibt mit f (ξ) = f(x) f(x ) x x. Ds ist gerde der Mittelwertstz der Differentilrechnung. Beispiel 7.6 Funktionswertpproximtionen mit Tylor Polynom. Mit Hilfe von Tylor Polynomen knn mn Funktionswerte von Funktionen für eine vorgegebene Genuigkeit pproximieren. 2 Joseph Louis Lgrnge ( ) 59

10 Betrchte die Tylor Entwicklung der Exponentilfunktion um x =. Aus f(x) = k (x x ) j j= folgt für x = und dj dx j (ex ) = e x j! f (j) (x ) + (x x ) k+1 f (k+1) (x + θ(x x )) (k + 1)! f(x) = exp(x) = k j= x j j! + xk+1 (k + 1)! eθx }{{} R k (x,) mit < θ < 1. Dmit ht mn beispielsweise für x 1 die Fehlerbschätzung Hierus folgt für k = 1 R k (x,) = xk+1 1 (k + 1)! eθx (k + 1)! e. R 1 (x,) 1 11! e Mn erhält lso mit elf Summnden schon eine recht gute Approximtion der Exponentilfunktion im Intervll [,1]. Jetzt wird die Tylor Entwicklung der Sinusfunktion um x = betrchtet. Wegen (sinx) = cos x,(cos x) = sinx und sin =, cos = 1 folgt, dss T k (x,) keine gerden Potenzen in x enthält Dmit gilt sinx = (sinx) = cos x cos = 1 (sinx) = sinx sin = (sinx) = cos x cos = 1 (sinx) (4) = sinx sin = (sinx) (5) = cos x cos = 1. 2k+1 j= x j j! d j dx j (sinx) + R 2k+2 (x,) x= = x x3 3! + x5 5!... + ( 1)k x 2k+1 (2k + 1)! + R 2k+2(x,), vergleiche Stz 2.6. D der (2k + 2) te Summnd des Tylor Polynoms verschwindet, gilt R 2k+2 (x,) = R 2k+3 (x,). Drus folgt k+1 cos(θx) R 2k+2 (x,) = ( 1) (2k + 3)! x2k+3, < θ < 1. Für x 1 und k = 3 folgt beispielsweise R 8 (x,) 1 9!

11 Bemerkung 7.7 Asymptotik des Restgliedes. Ist < ã < x < b < b, so ist f (k+1) (x) uf [ã, b] beschränkt (Stz von Weierstrß) und mn ht für lle x [ã, b] ( f(x) = T k (x,x ) + O x x k+1) ( = T k (x,x ) + o x x k), ws usführlich bedeutet R k (x,x ) x x k+1 C mit C R, oder R k (x,x ) x x k für x x. Definition 7.8 Tylor Reihe. Lässt mn k gehen, so erhält mn sttt der Tylor Polynome T k (x,x ) die formle Tylor Reihe von f(x) im Entwicklungspunkt x f (j) (x ) T(x,x) = (x x ) j. j! j= Bemerkung 7.9 Die Tylor Reihe ist eine Potenzreihe. DerKonvergenzrdius einer Tylor Reihe knn ρ = sein. Außer im Punkt x = x brucht die Tylor Reihe nirgends zu konvergieren. Stz 7.1 Konvergenz der Tylor Reihe. Sei f : (,b) R beliebig oft differenzierbr und sei x (,b). Dnn konvergiert die Tylor Reihe von f(x) mit Entwicklungspunkt x genu dnn gegen f(x), wenn lim R k(x,x ) = k ist. Alle Aussgen sind im punktweisen Sinne zu verstehen. Beweis: Dieser Stz ist eine direkte Folgerung us Stz 7.2. Beispiel 7.11 Tylor Reihen. Nicht ohne Grund heißt es konvergiert gegen f(x). Die Ttsche, dss die Tylor Reihe von f(x) konvergiert, muss noch nicht bedeuten, dss sie uch gegen f(x) konvergiert, siehe zweites Beispiel. Die Tylor Reihe zur Exponentilfunktion im Entwicklungspunkt x = ist j= x j j!. Sie konvergiert für lle x R gegen exp(x). Betrchte { e 1 x für x > f(x) = für x, siehe Abbildung 7.1. Diese Funktion ist für lle x R unendlich oft stetig differenzierbr. Für x ist ds klr. Für x < sind lle Ableitungen von f(x) gleich. Für x > hben die Ableitungen die Gestlt f (k) (x) = P k 1 (x) exp( 1/x)/P 2k (x), wobei P k (x) ein Polynom k ten Grdes ist. Ds zeigt mn durch vollständige Induktion. Insbesondere folgt P k 1 (x) exp( 1/x) lim x,x> f(k) (x) = lim =, x,x> P 2k (x) 61

12 ws mn beispielsweise mit der Regel von Bernoulli l Hospitl nchrechnen knn. Also ist f(x) uch in x = unendlich oft differenzierbr und es gilt f (k) () = für lle k N. Dmit folgt T k (x,) = für lle k N. Die Tylor Reihe mit Entwicklungspunkt x = verschwindet und es gilt lim k R k (x,) = f(x). Für x > konvergiert die Tylor Reihe dher nicht gegen f(x). Abbildung 7.1: Funktion zum zweiten Beispiel us Beispiel Ist jedoch eine Potenzreihendrstellung von f(x) beknnt, so ist die Lge klr. Stz 7.12 Tylor Reihe undpotenzreihendrstellung von f(x). Ist f(x) = j= j(x x ) j eine reelle Potenzreihe mit Konvergenzrdius ρ >. Dnn ist f(x) in (x ρ,x + ρ) beliebig oft differenzierbr. Es gilt j = 1 j f(j) (x ) und folglich stimmen die Potenzreihe und die Tylor Reihe von f(x) überein. Sie konvergieren in jedem Intervll (x ρ + ε, x + ρ ε), ε >, gleichmäßig gegen f(x). Beweis: Die Aussgen folgen us llgemeinen Eigenschften von Potenzreihen, beispielsweise us dem Identitätsstz. Stz 7.13 Konvergenzkriterium für Tylor Reihen von Bernstein 3 (1914). Seien x =, r >, f : ( r, r) R beliebig oft differenzierbr und für lle j j, j N, f (j) (x) für lle x ( r, r) oder ( 1) j f (j) (x) für lle x ( r, r). Dnn konvergiert die Tylor Reihe T(x) := T(x,) von f(x) mit dem Entwicklungspunkt x = in ( r, r) gegen f(x). Beweis: Betrchte ds erste Kriterium und dort zunächst den Fll x 1 >. Bezeichne T k (x 1) = kx 1 j! f(j) ()x j 1, R k (x 1) = 1 k! {z } flls j j j= 3 Sergei Ntnowitsch Bernstein ( ) Z x1 f (k+1) (t)(x 1 t) k {z } flls k+1 j dt. 62

13 Die Verwendung des Restglieds in Integrlform ist wichtig für diesen Beweis. Nch der Tylor Formel, Stz 7.2, gilt f(x 1) = T k (x 1) + R k (x 1). Ist k j, so ist T k (x 1) für wchsende k monoton wchsend, d nur nichtnegtive Summnden hinzukommen. Des Weiteren gilt R k (x 1). Wegen der Gleichheit in der Tylor Formel ist deswegen dnn R k (x 1) monoton fllend. Dmit ist die Menge {R k (x 1)} k= beschränkt. Es gibt lso ein C 1 R mit R k (x 1) C 1 für k. Sein nun q (, 1) so, dss x 1/q < r. Betrchte für x ( qr, qr) die Funktion «x g(x) = f. q Dnn gilt (die Abschätzung für j j ) g (j) (x) = 1 «x q j f(j). q Dmit lässt sich forml für lle x ( qr, qr) die Tylor Formel g(x) = T k (x) + R k (x) ufschreiben. Wegen x 1 ( qr, qr) rgumentiert mn nlog zu oben, dss es ein C 2 R gibt, so dss R k (x 1) C 2 für k. Für j j 1 folgt us f (j+1) (x), dss die Funktionen f (j) (x) monoton wchsend sind. Wegen q (, 1) gilt dmit für lle x g (j) (x) = 1 «x q j f(j) 1 q q j f(j) (x). Drus folgt für k j k! R k (x 1) = Z x1 Dmit ergibt sich g (k+1) (t)(x 1 t) k {z } dt Z x1 R k (x 1) q k+1 Rk (x 1) q k+1 C 2, 1 q k+1 f(k+1) (t)(x 1 t) k dt = 1 q k+1 k!r k(x 1). lso lim R k(x 1) = lim k k qk+1 C 2 = = lim T k(x 1) = f(x 1). k Den Fll x 1 < führt mn uf den soeben behndelten Fll zurück, indem mn die Monotonie von f (k+1) (x) für k + 1 j usnutzt, R k (x 1) = 1 k! 1 k! Z x 1 f (k+1) (t)(t x 1) k dt = 1 k! Z x1 Z x1 f (k+1) (t)( x 1 t) k dt = R k ( x 1 ), f (k+1) ( t)( x 1 t) k dt d x 1 >. Dmit ist der Fll des ersten Kriteriums bewiesen. Den Fll des zweiten Kriteriums führtmnuf ds erste Kriterium zurück, indem mn f( x) betrchtet. 63

14 Beispiel 7.14 Binomilreihe. Betrchte für α R \ N f(x) = (1 + x) α, x > 1. Es gilt k f (k) (x) = (α + 1 j) (1 + x) α k. j=1 Die Terme (1 + x) α k sind immer positiv. Für hinreichend große k sind die Exponenten α k jedoch lle negtiv. Dnn sind die Fktoren, die mn beim Ableiten erhält lle negtiv und die Ableitung f (k) (x) beginnt irgendwnn im Vorzeichen zu lternieren. Dmit ist ds zweite Kriterium von Stz 7.13 für r = 1 erfüllt. Es folgt, die Konvergenz der Binomilreihe (1 + x) α = k= ( ) α x k, x < 1, k mit ( ) k 1 α = (α j), α R, k. k j= 64