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1 Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum eigeführt, ud auch scho eiige kleie Tatsache über diese Begriff eigesehe. Allerdigs habe wir bisher recht weig Beispiele für Folgegrezwerte behadel köe, hauptsächlich wisse wir das die Folge (/) i R gege Null kovergiert. Dass die Behadlug vo Beispiele och recht schwer ist, liegt im wesetliche dara, dass wir mometa ur die Defiitio eies Grezwerts zur Verfügug habe, aber keie Recheregel für Grezwerte kee. We ma aber immer auf die Defiitio der Kovergez zurückgehe muss, ist die Behadlug vo Beispiele uötig aufwädig. Wir werde daher jetzt eie Satz über die Grezwerte vo Summe, Produkte ud Quotiete kovergeter Folge herleite. Zuächst halte wir eimal die explizite Form der Grezwertdefiitio für X = R fest. Lemma 6.3 (Kovergez reeller Folge) Eie Folge (a ) N reeller Zahle kovergiert geau da gege eie reelle Zahl a R, we die folgede Aussage gilt: ( > 0) ( 0 N) ( 0 ) : a a < Beweis: Dies ist klar ach Lemma 4, da die Metrik auf R durch d(x, y) = x y für alle x, y R defiiert ist. Damit komme wir zu de Grezwertsätze für X = R. Lemma 6.4 (Recheregel für Folgegrezwerte) Seie (a ) N ud (b ) N zwei kovergete reelle Folge. Da gelte: (a) Die Folge (a + b ) N ist koverget mit (a + b ) = a + b. (b) Für jede Kostate λ R ist auch die Folge (λa ) N koverget mit (λa ) = λ a. 4-

2 Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 (c) Die Folge (a b ) N ist koverget mit (a b ) = ( a ) ( b ). (d) Ist b 0 für alle N ud b 0, so ist auch die Folge (a /b ) N koverget mit a a = b b. Beweis: Wir weise die Kovergez jeweils i der Form vo Lemma 3 ach. Schreibe a := a ud b := b. (a) Sei > 0 gegebe. Da gibt es, N mit a a < für ud b b < für. Setze 0 := max{, }. Für jedes N mit 0 gilt da ud, also auch (a + b ) (a + b) = (a a) + (b b) a a + b b < + =. Dies zeigt, dass (a + b ) N gege a + b kovergiert. (c) Diese Aussage ist scho etwas komplizierter. Zuächst ist die kovergete Folge (a ) N ach Lemma 0 beschräkt, also existiert ei M > 0 mit a M für alle N. Weiter existiere, N mit a a < b + für alle ud b b < M für alle. Setze 0 := max{, }. Ist da N mit 0, so habe wir auch a b ab = a b a b+a b ab a b a b + a b ab = a (b b) + (a a)b = a b b + a a b < M M + b + b < + =. Damit kovergiert die Folge (a b ) N gege ab. (b) Sei λ R. Da die kostate Folge (λ) N gege λ kovergiert, folgt dies aus Teil (c). (d) Sei > 0. Es gibt, N mit a a < b 4 für ud b b < mi { b 4 a +, b } Setze 0 := max{, }. Sei N mit 0. Da gilt zuächst für. b = b b + b b b + b < b + b, also auch b > b. 4-

3 Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 Weiter folgt a a b b = a b b a b b = a b ab + ab b a a a b + a b b b b b b b b = a a + a b b < b b b b 4 b + a b b 4 a + < + =. Also kovergiert die Folge (a /b ) N gege a/b. Die Aussage (a) gilt auch für die Subtraktio astelle der Additio. Dies köe wir leicht auf die adere Regel zurückführe. Zuächst gilt ämlich ( a ) = (( ) a ) = ( ) a = a ach Regel (b) ud mit der Additiosregel (a) folgt da auch (a b ) = (a + ( b )) = a + ( b ) = a b. Als eie erste Awedug dieser Recheregel wolle wir de Grezwert der Folge (( + )/(3 + )) N bereche. Die Recheregel sid hier icht direkt awedbar da sowohl Zähler als auch Neer diverget sid, aber dieser Umstad läßt sich durch Erweiter mit / behebe: = ( + ) = (3 + ) = = 3. Es gibt auch och eie Recheregel für die Grezwerte vo Betragsfolge. Hierzu sollte wir us zuächst a eiige kleie Formel aus dem letzte Semester erier. Seie x, y R, oder auch x, y C, das macht hier keie Uterschied. Wir habe die Dreiecksugleichug x + y x + y. Damit folgt weiter x = x y + y x y + y = x y x y. Vertausche wir x ud y, so ist auch ( x y ) = y x y x = (y x) = x y. Der Betrag der Differez x y ist jetzt eie der beide Zahle x y oder ( x y ) ud da beide höchstes x y sid, ist somit auch x y x y. 4-3

4 Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 Damit ist es leicht de Grezwert eier Betragsfolge zu bereche. Lemma 6.5: Sei (a ) N eie kovergete reelle Folge. Da ist auch die Folge ( a ) N der Beträge koverget ud es gilt a = a. Beweis: Schreibe a := a. Sei > 0. Da existiert ei 0 N mit a a < für alle 0. Für jedes N mit 0 gilt da auch a a a a <. Damit kovergiert ( a ) N gege a. Aus der Kovergez der Betragsfolge ( a ) N folgt umgekehrt aber icht die Kovergez der Origialfolge (a ) N, wie scho das Beispiel a = ( ) zeigt. Es gibt aber eie wichtige Soderfall i dem diese Umkehrug doch wahr ist. Zuächst ist eie reelle Folge (a ) N geau da eie Nullfolge, also gege 0 koverget, we ( > 0) ( 0 N) ( 0 ) : a < gilt ud wege a = a für jedes N ergibt sich die Äquivalez a = 0 a = 0. Es gibt och eie weitere ähliche Aussage, das Eischürugslemma oder Sadwich- Lemma. Hier sid drei reelle Folge (a ) N, (b ) N ud (c ) N mit a b c für alle N gegebe, die Folge (b ) N ist zwische de beide Folge (a ) N ud (c ) N eigeschürt. Kovergiere da die beide äußere Folge (a ) N ud (c ) N gege deselbe Grezwert a R, so kovergiert auch die mittlere Folge (b ) N gege a. Dies ist gerade Aufgabe (40). Ausgerüstet mit diese Formel köe wir jetzt eiige Beispiele reche. Diese beruhe größteteils auf dem scho früher gerechete Grudbeispiel = 0. Weiter ist für jede Expoete k N auch k = 0, da es sich hier um eie Teilfolge vo (/) N hadelt. Mit de Grezwertsätze ka ma jetzt auch kompliziertere Ausdrücke behadel, beispielsweise = = = 3 + 5, 4

5 Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 wobei wir diesmal eie Zwischeschritt ausgelasse habe. Wir wolle och ei weiteres solches Beispiel reche, bei dem sich Zähler- ud Neergrad voeiader uterscheide. Betrachte Wir wolle wieder so erweiter, dass i Zähler ud Neer ach der Erweiterug kovergete Folge auftauche. Hierzu erweiter wir mit dem Kehrwert der höhere auftretede Potez vo, also i diesem Beispiel mit / 3. Da habe wir = = 0. Als ächstes Beispiel wolle wir eimal de zuächst recht kompliziert wirkede Grezwert si( 4 + ) bereche. Es stellt sich heraus, dass derartige Grezwerte eifach zu bereche sid, obwohl der Zähler recht kompliziert ist. Der Sius immt ja ur Werte zwische ud a, es ist also si( 4 + ) für alle N. Damit ist auch si( 4 + ) = si(4 + ) = si(4 + ), ud das scho obe erwähte Sadwich Lemma, Aufgabe (40), liefert auch si( 4 + ) Derartige Überleguge ka ma da mit userer Erweiterugstechik kombiiere, wie etwa im Beispiel des folgede Grezwerts + si( ) ( ) = 0. + si(4 5+3+) = = ( ) 3. Hier habe wir verwedet das geau wie obige Beispiel auch si( ) si( ) ud somit = 0 ud aalog auch gelte. ( ) = 0 4-5

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