Musterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09

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1 Musterlösug zu Blatt 8 der Vorlesug Aalysis I WS08/09 Schriftliche Aufgabe Aufgabe. Voraussetzuge: Für alle N setze a : +2 ud b : ( 2. [Amerkug: I der Aufgabestellug heiÿe die Reihe beide gleich. Es steht jedem bei der Bearbeitug frei, die Reihe umzubeee, we er das wüscht. Spätestes i Aufgabe 2 loht es sich, darüber achzudeke.] Behauptug: Die Reihe a ud b kovergiere absolut, ud es gilt a ud b. 2 Beweis: Wir kümmer us zuächst um die Kovergez der erste Reihe. [Amerkug: Für diejeige, die ur die Kovergez überprüft habe, ohe de Wert der Reihe zu bereche, mache wir als erstes eie etsprechede Überlegug; diese ist redudat, da hier die Kovergez auch im Rahme der Berechug des Grezwertes überprüft werde ka.] Es gilt für alle N: a ( + 2 ( ( + 2. Nu gilt für alle N, also ( ( ( Aus dem Majoratekriterium folgt u, daÿ die Reihe über die a absolut kovergiert. Wir bereche u ihre Wert. [Heuristik: Ma schreibe sich die Summe über die erste Folgeglieder eimal auf: a + a 2 + a + a Ma sieht, daÿ sich bestimmt Terme weghebe: ud, 4 ud 4. Es gilt also a + a 2 + a + a 4 + ( Addiere wir mehr Terme auf, so bleibe doch immer ur vier Terme stehe, vo dee die letzte beide immer kleier werde. Die Summe kovergiert oebar gege ]

2 2 Variate : Wir zeige zuächst durch vollstädige Iduktio: Für alle N N gilt N ( a ( 2 N + +. N + 2 Iduktiosafag: Für N gilt N a a 2 2 ( 2 +. Sei u N N ud die Behauptug für dieses N bewiese. Da gilt N+ a N a + A N+ I.V. 2 ( N ( N N + 2 ( N N + N + (N (N Somit ist die Gleichug ( auch für N + bewiese. Nu kovergiere aber N+ ud N+2 für N gege 0. Also kovergiert N a für N gege 2, d.h., die Reihe über (a N kovergiert gege 2. Da alle a positiv sid, kovergiert die Reihe sogar absolut. Variate 2: Es gilt für alle N N: N ( N N N N N + N + 2. Nu macht ma weiter wie obe. Achtug, folgeder Beweis geht icht: Dies liefert zwar das richtige Ergebis, allerdigs stehe im Recheweg Terme der Art, was der Grezwert eier divergete Reihe ist. Hier wäre das och eimal gut gegage, aber das ka auch schief gehe... Wir komme u zur zweite Reihe. Setze q : 2. Da gilt 0 q <. Also kovergiert die Reihe 0 q laut Vorlesug absolut, ud zwar gege q /. Also kovergiert auch b mit b 0 q q 0 q 0 2. Aufgabe 2. Voraussetzuge: Sei k N. Für alle N setze a : (!2 (2!, b : + (, c :!, d :!, e :. ( + k. Behauptug: ( Die Reihe a ist koverget ud absolut koverget. (2 Die Reihe b ist icht koverget (ud somit auch icht absolut koverget.

3 ( Die Reihe c ist icht koverget (ud somit auch icht absolut koverget. (4 Die Reihe d ist koverget ud absolut koverget. (5 Die Reihe e ist icht koverget (ud somit auch icht absolut koverget. Beweis: ( Variate (Lösug mit dem Majoratekriterium: Ei paar Vorüberleguge: Der Term, welcher a deiert, eriert a eie Biomialkoeziete. I der Tat gilt a (. We ma sich also darüber Gedake macht, ob die Reihe über die a kovergiert, 2 da sollte ma prüfe, ob a zügig gege 0 kovergiert, also ob ( 2 zügig wächst. Das tut es i der Tat: Die Zahl ( 2 gibt a, wieviele -elemetige Teilmege es i eier 2-elemetige Mege gibt. Das sid sehr viele, we groÿ ist. Ma ka das wie folgt ach ute abschätze: Ma gebe sich eie 2-elemetige Mege vor ud umeriere die Elemete durch. Da ka ma jede beliebige Teilmege der Mege der erste Elemete och geüged Elemete i der Mege der zweite Elemete de, um daraus eie Teilmege mit Elemete zu mache. Mit adere Worte: Es gibt midestes so viele -elemetige Teilmege i eier 2-elemetige Mege, wie es beliebige Teilmege i eier -elemetige Mege gibt, ud das sid 2. Also gilt ( 2 2, also a 2. Dara sehe wir, daÿ die Reihe über die a absolut kovergiert (ach Majoratekriterium. Ede der Vorüberleguge, jetzt kommt der Beweis. Wir zeige per Iduktio: Für alle N gilt 0 a 2. Für gilt a (!2 2! 2 2. Also gilt die Ugleichug für. Sei u N ud die Ugleichug gelte für. Da gilt a + (( +!2 (2( +! (! ( + 2 (2! (2 + (2 + 2 (! 2 ( + 2 (2!(2 + (2 + 2 a }{{} }{{} 2 2 a I.V (+. Damit gilt die Ugleichug auch für +. Also habe wir für alle N gezeigt: 0 a 2. Somit ist a ach dem Majoratekriterium absolut koverget. Variate 2 (Lösug mit dem Quotietekriterium:

4 4 Sei N. Da gilt (wege obiger Rechug a + a }{{} }{{} 2 2 <. Somit ist a ach dem Quotietekriterium absolut koverget. (2 Wir beobachte zuächst: die Reihe ist diverget ud die Reihe ist ach dem Leibizkriterium koverget (we auch ( icht absolut. Vergleiche die müdliche Aufgabe 2. Somit ist die Reihe über die b die Summe eier kovergete ud eier divergete Reihe. Wäre sie auch koverget, so köte ma eie divergete Reihe als Dierez zweier kovergeter Reihe schreibe, was icht geht. Also ist die Reihe b diverget. Da aus absoluter Kovergez die gewöhliche Kovergez eier Reihe folgt, ka die Reihe auch icht absolut koverget sei (dieses Argumet schlägt och häuger i dieser Aufgabe zu; wir wiederhole es icht. ( Vorüberlegug: Es gilt c!. Das heiÿt, c ist das Produkt vo Zahle, vo dee die meiste gröÿer als sid. Somit ist (c N keie Nullfolge, also ka die Reihe darüber icht koverget sei. Ede der Vorüberlegug. Wir beutze das Quotietekriterium: Ist N, da gilt c + c ( +!! + + >. Somit ist (c N keie Nullfolge ud die Reihe darüber ach dem Quotietekriterium weder koverget och absolut koverget. (4 Vorüberlegug: Aalog zu der voragegagee Nummer gilt d!. Das heiÿt, d ist das Produkt vo Zahle, vo dee die meiste deutlich kleier als sid. Somit ist, im Gegesatz zur voragegagee Nummer, plausibel, daÿ die Reihe über die d kovergiert. Ede der Vorüberlegug. Wir beutze das Quotietekriterium: Für alle N gilt d + d ( +!! ( + ( + + ( + Nach Beispiel 7.8 aus der Vorlesug gilt ( + lim e, + ( +.

5 ud aus de Aussage über Mootoie im Beweis vo 7.8 ka ma sofort ersehe, daÿ e > 2 gilt. Somit gilt d + lim d e < 2 <. Nach dem Quotietekriterium ist die Reihe d also (absolut koverget. (5 Oebar gilt e > für alle N. Also ist (e N keie Nullfolge ud somit e icht koverget. Aufgabe. Voraussetzuge: alle N: Sei x [0,. Deiere c : [0 x] ud, rekursiv, für c + : [0 + ( x ] 0 l. Behauptug (a: Ist x, so gilt c für alle N; ud ist x 8, so gilt c, c 2 2, c 5 ud c 0 für alle 4. Beweis (a: Sei zuächst x. Wir zeige für alle N (per Iduktio: Für gilt 0 ( 0 l. ( Sei u N ud die Gleichug für dieses gezeigt. Da gilt ( l 0 0 ( 0 l 0 + I.V Somit habe wir die obige Gleichug für alle N bewiese. Wir zeige u per Iduktio, daÿ c für alle N. Es gilt c [0 ] [ ]. Sei u N ud die Behauptug für dieses bewiese. Da gilt mit der obige Hilfsbehauptug: ( ] ( ] c + : [0 + [ x 0 l [0 + x 0 l 0 ]. Sei u x 8. Da gilt c [0/8] [/4]. Zweites gilt c 2 [00(x /0] [2/2] 2. Drittes gilt c [000(x /0 2/00] [5] 5. Viertes gilt x /0 + 2/00 + 5/000, ud somit c 4 0. Per Iduktio ergibt sich aus dem gleiche Grude da sofort c 0 für alle 4. Behauptug (b: ( Für alle N gilt c {0,, 2,..., 9}. 5

6 6 (2 Für alle N gilt 0 l x < ( 0 l + 0. ( Die Reihe c 0 ist koverget ud c 0 x. Beweis (b: Wir erledige (, achdem wir (2 bewiese habe. Zuächst überprüfe wir (2 im Falle : Es gilt c 0 x c + 0, de es gilt c 0x c +, da c [0 x]. Sei u N. Wir zeige + 0 l x < ( + 0 l Ziehe wir vo dieser Ugleichugskette de Term ab, so erhalte 0 l wor die äquivalete Ugleichugskette c x 0 l < c Äquivalet dazu ist die Umgleichugskette c + 0 (x + 0 l < c + +. Diese Kette ist aber eie wahre Aussage, was direkt aus der Deitio vo c + ud der Gauÿ-Klammer folgt. Somit habe wir (2 bewiese (Achtug: das war kei Iduktiosbeweis. Wir zeige u (. Sei dazu N. Die Ugleichugskette aus (2 köe wir umformuliere zu 0 x 0 l < 0. Dies ist äquivalet zu (x 0 l < 0. Der gazzahlige Ateil des Terms i der Mitte ist deitiosgemäÿ c +. Somit erhalte wir c + {0,,..., 9}. Für c gilt c [0 x] {0,,..., 9}, da 0 0 x < 0. Somit habe wir ( bewiese. Nu zu (: Wir habe gerade scho gesehe, daÿ für alle N die Ugleichugskette 0 x 0 l < 0 gilt. Dies bedeutet isbesodere, daÿ ( x ( 0 eie ist. Also folgt (. N eie Nullfolge ist, da 0 N l

7 7 Aufgabe 4. Voraussetzuge (a: Setze falls m, a: N N C, (, m a,m : falls m +, 0 sost. [Die Heuristik hiter dieser Deitio ist die folgede: Bei eier uedlich groÿe Matrix mit komplexe Eiträge fülle wir i die Hauptdiagoal lauter Eise ud i eie Nebediagoale Mius-Eise; der Rest seie Nulle. Im Ergebis steht i (fast jeder Spalte ud Zeile geau eie ud geau eie ud sost 0. Dadurch sid fast alle Spaltesumme ud Zeilesumme 0. Nur die erste Zeile oder Spalte ethält evetuell ur eie ud keie -.] Behauptug (a: Für alle k N sid die Reihe m a k,m ud a,k koverget. Ferer sid die Reihe koverget, ud es gilt m a,m 0 m a,m ud m a,m m a,m. Die Fuktio a ist icht summierbar. Beweis (a: Sei zuächst k N. Da gilt a k,k, a k,k+ ud a k,m 0 für alle m N mit m / {k, k + }. Somit ist (a k,m m N überall bis auf zwei Idizes 0, also isbesodere summierbar. Es gilt a k,m a k,k + a k,k+ 0. m Somit ist auch m a,m koverget mit m a,m 0. Adererseits gilt a k,k ud a k,k für k > ; ferer gilt a,k 0 für alle N mit / {k, k }. Es ist also isbesodere a,k koverget, ud es gilt a,k a k,k + a k,k + 0 falls k >. Für k gilt a, ud a, 0 für N mit 2. Also ist auch a, koverget, allerdigs gilt a, a,. Somit gilt m a,m wie behauptet. Die Fuktio a ka icht summierbar sei, weil dies dem Groÿe Umordugssatz bzw. dem Doppelreihesatz widerspräche (Sätze 0.0 ud 0. aus der Vorlesug. Voraussetzuge (b: Gegebe sei eie Folge (c N so, daÿ c kovergiert mit c 0 jedoch icht absolut kovergiert. [Solche Folge koverget existiere: I der Vorlesug wurde etwa gezeigt, daÿ aber icht absolut koverget ist. Setze c : ( 2 ( ( für 2 ud c :. Da hat c die gewüschte Eigeschafte.] Setze { c falls m, a: N N C, (, m a,m : 0 sost.

8 8 [Die Heuristik hiter dieser Deitio ist die folgede: We wir i der durch a deierte uedlich groÿe Matrix vo Null verschiedee Eiträge ur auf der Hauptdiagoale habe, da ist i jeder Zeile ud jeder Spalte die Summe über diese gerade Wert des etsprechede Eitrags auf der Hauptdiagoale. Die Folge der Spaltesumme ud die Folge der Zeilesumme sid da idetisch. Nach obiger Wahl habe wir sichergestellt, daÿ beide kovergiere, ud zwar gege Null. Ma köte alterativ auch die Deitio vo Aufgabeteil (a variiere: Wir köte auf die Hauptdiagoale lauter Eise setze, ud auf de beide Nebediagoale Mius-Eise so placiere, daÿ i jeder Spalte ud jeder Zeile geau eie ud geau eie ist.] Behauptug (b: Für alle k N sid die Reihe m a k,m ud a,k koverget. Ferer sid die Reihe koverget, ud es gilt m a,m 0 m a,m ud m a,m m a,m. Die Fuktio a ist aber icht summierbar. Beweis (b: Für alle m, N gilt ach Deitio vo a: Ist m, so ist a,m 0. Also ist für jedes N die Reihe über (a,m m N (absolut summierbar mit m a,m a, c. Also kovergiert auch m a,m c ud m a,m 0. Vertauscht ma u die Rolle vo m ud, so erhält ma aalog, daÿ für jedes m N die Reihe a,m kovergiert mit Wert c m ud daÿ auch m a,m m c m kovergiert mit Wert m a,m 0. Nach Voraussetzug gilt aber a,m a, c. N (,m N N Also ist a icht summierbar. Voraussetzuge (c: Setze S :. 2 Behauptug (c: Die Reihe es gilt (2 2 4 S ud ud (2 2 (2 2 kovergiere, ud (2 2 4 S. Beweis (c: [I der Vorlesug wurde bereits bewiese, daÿ kovergiert. Das muÿ ma hier icht och eimal zeige. Auch ist der Wert S icht 2 zu bereche; ebebei bemerkt gilt S π2 6.] Zuächst bemerke wir, daÿ für alle N gilt, daÿ gröÿer ist als Null. 2 Mithi ist absolut koverget, also ( summierbar. Wir köe 2 N 2 also de Groÿe Umordugsatz beutze (Satz 0.0. Sei I : { N : gerade} ud I 2 : { N : ugerade}. Da ist ( für jedes I 2 k k {, 2} ach Satz 0.0 ( summierbar. Die Fuktio vo N ach I,

9 9 welche auf 2 abbildet, ist bijektiv. Nach Bemerkug 0.9 gilt also 2 (2 2, I N ( wobei isbesodere gilt, daÿ summierbar ist. Eie aaloge Überlegug( für die Fuktio vo N ach I 2, welche auch 2 abbildet, ergibt, (2 N 2 daÿ summierbar ist mit (2 2 N 2 (2 2. I 2 N [Amerkug: Ma ka auch alterativ für die Kovergezüberleguge das Majoratekriterium beutze, de für jedes N gilt 0 2.] Nu gilt ( S. (2 2 (2 2 [Hier habe wir Lemma 9. der Vorlesug beutzt. Dieses Lemma liefert übriges ebefalls, daÿ die hier berechete Reihe kovergiert.] Aus Satz 0.0 folgt u, da N die disjukte Vereiigug vo I ud I 2 ist: S N S + (2 2. I I 2 Hieraus ergibt sich ach Subtraktio vo 4 S auch der zweite Teil der Behauptug.