Musterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Musterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09"

Transkript

1 Musterlösug zu Blatt 8 der Vorlesug Aalysis I WS08/09 Schriftliche Aufgabe Aufgabe. Voraussetzuge: Für alle N setze a : +2 ud b : ( 2. [Amerkug: I der Aufgabestellug heiÿe die Reihe beide gleich. Es steht jedem bei der Bearbeitug frei, die Reihe umzubeee, we er das wüscht. Spätestes i Aufgabe 2 loht es sich, darüber achzudeke.] Behauptug: Die Reihe a ud b kovergiere absolut, ud es gilt a ud b. 2 Beweis: Wir kümmer us zuächst um die Kovergez der erste Reihe. [Amerkug: Für diejeige, die ur die Kovergez überprüft habe, ohe de Wert der Reihe zu bereche, mache wir als erstes eie etsprechede Überlegug; diese ist redudat, da hier die Kovergez auch im Rahme der Berechug des Grezwertes überprüft werde ka.] Es gilt für alle N: a ( + 2 ( ( + 2. Nu gilt für alle N, also ( ( ( Aus dem Majoratekriterium folgt u, daÿ die Reihe über die a absolut kovergiert. Wir bereche u ihre Wert. [Heuristik: Ma schreibe sich die Summe über die erste Folgeglieder eimal auf: a + a 2 + a + a Ma sieht, daÿ sich bestimmt Terme weghebe: ud, 4 ud 4. Es gilt also a + a 2 + a + a 4 + ( Addiere wir mehr Terme auf, so bleibe doch immer ur vier Terme stehe, vo dee die letzte beide immer kleier werde. Die Summe kovergiert oebar gege ]

2 2 Variate : Wir zeige zuächst durch vollstädige Iduktio: Für alle N N gilt N ( a ( 2 N + +. N + 2 Iduktiosafag: Für N gilt N a a 2 2 ( 2 +. Sei u N N ud die Behauptug für dieses N bewiese. Da gilt N+ a N a + A N+ I.V. 2 ( N ( N N + 2 ( N N + N + (N (N Somit ist die Gleichug ( auch für N + bewiese. Nu kovergiere aber N+ ud N+2 für N gege 0. Also kovergiert N a für N gege 2, d.h., die Reihe über (a N kovergiert gege 2. Da alle a positiv sid, kovergiert die Reihe sogar absolut. Variate 2: Es gilt für alle N N: N ( N N N N N + N + 2. Nu macht ma weiter wie obe. Achtug, folgeder Beweis geht icht: Dies liefert zwar das richtige Ergebis, allerdigs stehe im Recheweg Terme der Art, was der Grezwert eier divergete Reihe ist. Hier wäre das och eimal gut gegage, aber das ka auch schief gehe... Wir komme u zur zweite Reihe. Setze q : 2. Da gilt 0 q <. Also kovergiert die Reihe 0 q laut Vorlesug absolut, ud zwar gege q /. Also kovergiert auch b mit b 0 q q 0 q 0 2. Aufgabe 2. Voraussetzuge: Sei k N. Für alle N setze a : (!2 (2!, b : + (, c :!, d :!, e :. ( + k. Behauptug: ( Die Reihe a ist koverget ud absolut koverget. (2 Die Reihe b ist icht koverget (ud somit auch icht absolut koverget.

3 ( Die Reihe c ist icht koverget (ud somit auch icht absolut koverget. (4 Die Reihe d ist koverget ud absolut koverget. (5 Die Reihe e ist icht koverget (ud somit auch icht absolut koverget. Beweis: ( Variate (Lösug mit dem Majoratekriterium: Ei paar Vorüberleguge: Der Term, welcher a deiert, eriert a eie Biomialkoeziete. I der Tat gilt a (. We ma sich also darüber Gedake macht, ob die Reihe über die a kovergiert, 2 da sollte ma prüfe, ob a zügig gege 0 kovergiert, also ob ( 2 zügig wächst. Das tut es i der Tat: Die Zahl ( 2 gibt a, wieviele -elemetige Teilmege es i eier 2-elemetige Mege gibt. Das sid sehr viele, we groÿ ist. Ma ka das wie folgt ach ute abschätze: Ma gebe sich eie 2-elemetige Mege vor ud umeriere die Elemete durch. Da ka ma jede beliebige Teilmege der Mege der erste Elemete och geüged Elemete i der Mege der zweite Elemete de, um daraus eie Teilmege mit Elemete zu mache. Mit adere Worte: Es gibt midestes so viele -elemetige Teilmege i eier 2-elemetige Mege, wie es beliebige Teilmege i eier -elemetige Mege gibt, ud das sid 2. Also gilt ( 2 2, also a 2. Dara sehe wir, daÿ die Reihe über die a absolut kovergiert (ach Majoratekriterium. Ede der Vorüberleguge, jetzt kommt der Beweis. Wir zeige per Iduktio: Für alle N gilt 0 a 2. Für gilt a (!2 2! 2 2. Also gilt die Ugleichug für. Sei u N ud die Ugleichug gelte für. Da gilt a + (( +!2 (2( +! (! ( + 2 (2! (2 + (2 + 2 (! 2 ( + 2 (2!(2 + (2 + 2 a }{{} }{{} 2 2 a I.V (+. Damit gilt die Ugleichug auch für +. Also habe wir für alle N gezeigt: 0 a 2. Somit ist a ach dem Majoratekriterium absolut koverget. Variate 2 (Lösug mit dem Quotietekriterium:

4 4 Sei N. Da gilt (wege obiger Rechug a + a }{{} }{{} 2 2 <. Somit ist a ach dem Quotietekriterium absolut koverget. (2 Wir beobachte zuächst: die Reihe ist diverget ud die Reihe ist ach dem Leibizkriterium koverget (we auch ( icht absolut. Vergleiche die müdliche Aufgabe 2. Somit ist die Reihe über die b die Summe eier kovergete ud eier divergete Reihe. Wäre sie auch koverget, so köte ma eie divergete Reihe als Dierez zweier kovergeter Reihe schreibe, was icht geht. Also ist die Reihe b diverget. Da aus absoluter Kovergez die gewöhliche Kovergez eier Reihe folgt, ka die Reihe auch icht absolut koverget sei (dieses Argumet schlägt och häuger i dieser Aufgabe zu; wir wiederhole es icht. ( Vorüberlegug: Es gilt c!. Das heiÿt, c ist das Produkt vo Zahle, vo dee die meiste gröÿer als sid. Somit ist (c N keie Nullfolge, also ka die Reihe darüber icht koverget sei. Ede der Vorüberlegug. Wir beutze das Quotietekriterium: Ist N, da gilt c + c ( +!! + + >. Somit ist (c N keie Nullfolge ud die Reihe darüber ach dem Quotietekriterium weder koverget och absolut koverget. (4 Vorüberlegug: Aalog zu der voragegagee Nummer gilt d!. Das heiÿt, d ist das Produkt vo Zahle, vo dee die meiste deutlich kleier als sid. Somit ist, im Gegesatz zur voragegagee Nummer, plausibel, daÿ die Reihe über die d kovergiert. Ede der Vorüberlegug. Wir beutze das Quotietekriterium: Für alle N gilt d + d ( +!! ( + ( + + ( + Nach Beispiel 7.8 aus der Vorlesug gilt ( + lim e, + ( +.

5 ud aus de Aussage über Mootoie im Beweis vo 7.8 ka ma sofort ersehe, daÿ e > 2 gilt. Somit gilt d + lim d e < 2 <. Nach dem Quotietekriterium ist die Reihe d also (absolut koverget. (5 Oebar gilt e > für alle N. Also ist (e N keie Nullfolge ud somit e icht koverget. Aufgabe. Voraussetzuge: alle N: Sei x [0,. Deiere c : [0 x] ud, rekursiv, für c + : [0 + ( x ] 0 l. Behauptug (a: Ist x, so gilt c für alle N; ud ist x 8, so gilt c, c 2 2, c 5 ud c 0 für alle 4. Beweis (a: Sei zuächst x. Wir zeige für alle N (per Iduktio: Für gilt 0 ( 0 l. ( Sei u N ud die Gleichug für dieses gezeigt. Da gilt ( l 0 0 ( 0 l 0 + I.V Somit habe wir die obige Gleichug für alle N bewiese. Wir zeige u per Iduktio, daÿ c für alle N. Es gilt c [0 ] [ ]. Sei u N ud die Behauptug für dieses bewiese. Da gilt mit der obige Hilfsbehauptug: ( ] ( ] c + : [0 + [ x 0 l [0 + x 0 l 0 ]. Sei u x 8. Da gilt c [0/8] [/4]. Zweites gilt c 2 [00(x /0] [2/2] 2. Drittes gilt c [000(x /0 2/00] [5] 5. Viertes gilt x /0 + 2/00 + 5/000, ud somit c 4 0. Per Iduktio ergibt sich aus dem gleiche Grude da sofort c 0 für alle 4. Behauptug (b: ( Für alle N gilt c {0,, 2,..., 9}. 5

6 6 (2 Für alle N gilt 0 l x < ( 0 l + 0. ( Die Reihe c 0 ist koverget ud c 0 x. Beweis (b: Wir erledige (, achdem wir (2 bewiese habe. Zuächst überprüfe wir (2 im Falle : Es gilt c 0 x c + 0, de es gilt c 0x c +, da c [0 x]. Sei u N. Wir zeige + 0 l x < ( + 0 l Ziehe wir vo dieser Ugleichugskette de Term ab, so erhalte 0 l wor die äquivalete Ugleichugskette c x 0 l < c Äquivalet dazu ist die Umgleichugskette c + 0 (x + 0 l < c + +. Diese Kette ist aber eie wahre Aussage, was direkt aus der Deitio vo c + ud der Gauÿ-Klammer folgt. Somit habe wir (2 bewiese (Achtug: das war kei Iduktiosbeweis. Wir zeige u (. Sei dazu N. Die Ugleichugskette aus (2 köe wir umformuliere zu 0 x 0 l < 0. Dies ist äquivalet zu (x 0 l < 0. Der gazzahlige Ateil des Terms i der Mitte ist deitiosgemäÿ c +. Somit erhalte wir c + {0,,..., 9}. Für c gilt c [0 x] {0,,..., 9}, da 0 0 x < 0. Somit habe wir ( bewiese. Nu zu (: Wir habe gerade scho gesehe, daÿ für alle N die Ugleichugskette 0 x 0 l < 0 gilt. Dies bedeutet isbesodere, daÿ ( x ( 0 eie ist. Also folgt (. N eie Nullfolge ist, da 0 N l

7 7 Aufgabe 4. Voraussetzuge (a: Setze falls m, a: N N C, (, m a,m : falls m +, 0 sost. [Die Heuristik hiter dieser Deitio ist die folgede: Bei eier uedlich groÿe Matrix mit komplexe Eiträge fülle wir i die Hauptdiagoal lauter Eise ud i eie Nebediagoale Mius-Eise; der Rest seie Nulle. Im Ergebis steht i (fast jeder Spalte ud Zeile geau eie ud geau eie ud sost 0. Dadurch sid fast alle Spaltesumme ud Zeilesumme 0. Nur die erste Zeile oder Spalte ethält evetuell ur eie ud keie -.] Behauptug (a: Für alle k N sid die Reihe m a k,m ud a,k koverget. Ferer sid die Reihe koverget, ud es gilt m a,m 0 m a,m ud m a,m m a,m. Die Fuktio a ist icht summierbar. Beweis (a: Sei zuächst k N. Da gilt a k,k, a k,k+ ud a k,m 0 für alle m N mit m / {k, k + }. Somit ist (a k,m m N überall bis auf zwei Idizes 0, also isbesodere summierbar. Es gilt a k,m a k,k + a k,k+ 0. m Somit ist auch m a,m koverget mit m a,m 0. Adererseits gilt a k,k ud a k,k für k > ; ferer gilt a,k 0 für alle N mit / {k, k }. Es ist also isbesodere a,k koverget, ud es gilt a,k a k,k + a k,k + 0 falls k >. Für k gilt a, ud a, 0 für N mit 2. Also ist auch a, koverget, allerdigs gilt a, a,. Somit gilt m a,m wie behauptet. Die Fuktio a ka icht summierbar sei, weil dies dem Groÿe Umordugssatz bzw. dem Doppelreihesatz widerspräche (Sätze 0.0 ud 0. aus der Vorlesug. Voraussetzuge (b: Gegebe sei eie Folge (c N so, daÿ c kovergiert mit c 0 jedoch icht absolut kovergiert. [Solche Folge koverget existiere: I der Vorlesug wurde etwa gezeigt, daÿ aber icht absolut koverget ist. Setze c : ( 2 ( ( für 2 ud c :. Da hat c die gewüschte Eigeschafte.] Setze { c falls m, a: N N C, (, m a,m : 0 sost.

8 8 [Die Heuristik hiter dieser Deitio ist die folgede: We wir i der durch a deierte uedlich groÿe Matrix vo Null verschiedee Eiträge ur auf der Hauptdiagoale habe, da ist i jeder Zeile ud jeder Spalte die Summe über diese gerade Wert des etsprechede Eitrags auf der Hauptdiagoale. Die Folge der Spaltesumme ud die Folge der Zeilesumme sid da idetisch. Nach obiger Wahl habe wir sichergestellt, daÿ beide kovergiere, ud zwar gege Null. Ma köte alterativ auch die Deitio vo Aufgabeteil (a variiere: Wir köte auf die Hauptdiagoale lauter Eise setze, ud auf de beide Nebediagoale Mius-Eise so placiere, daÿ i jeder Spalte ud jeder Zeile geau eie ud geau eie ist.] Behauptug (b: Für alle k N sid die Reihe m a k,m ud a,k koverget. Ferer sid die Reihe koverget, ud es gilt m a,m 0 m a,m ud m a,m m a,m. Die Fuktio a ist aber icht summierbar. Beweis (b: Für alle m, N gilt ach Deitio vo a: Ist m, so ist a,m 0. Also ist für jedes N die Reihe über (a,m m N (absolut summierbar mit m a,m a, c. Also kovergiert auch m a,m c ud m a,m 0. Vertauscht ma u die Rolle vo m ud, so erhält ma aalog, daÿ für jedes m N die Reihe a,m kovergiert mit Wert c m ud daÿ auch m a,m m c m kovergiert mit Wert m a,m 0. Nach Voraussetzug gilt aber a,m a, c. N (,m N N Also ist a icht summierbar. Voraussetzuge (c: Setze S :. 2 Behauptug (c: Die Reihe es gilt (2 2 4 S ud ud (2 2 (2 2 kovergiere, ud (2 2 4 S. Beweis (c: [I der Vorlesug wurde bereits bewiese, daÿ kovergiert. Das muÿ ma hier icht och eimal zeige. Auch ist der Wert S icht 2 zu bereche; ebebei bemerkt gilt S π2 6.] Zuächst bemerke wir, daÿ für alle N gilt, daÿ gröÿer ist als Null. 2 Mithi ist absolut koverget, also ( summierbar. Wir köe 2 N 2 also de Groÿe Umordugsatz beutze (Satz 0.0. Sei I : { N : gerade} ud I 2 : { N : ugerade}. Da ist ( für jedes I 2 k k {, 2} ach Satz 0.0 ( summierbar. Die Fuktio vo N ach I,

9 9 welche auf 2 abbildet, ist bijektiv. Nach Bemerkug 0.9 gilt also 2 (2 2, I N ( wobei isbesodere gilt, daÿ summierbar ist. Eie aaloge Überlegug( für die Fuktio vo N ach I 2, welche auch 2 abbildet, ergibt, (2 N 2 daÿ summierbar ist mit (2 2 N 2 (2 2. I 2 N [Amerkug: Ma ka auch alterativ für die Kovergezüberleguge das Majoratekriterium beutze, de für jedes N gilt 0 2.] Nu gilt ( S. (2 2 (2 2 [Hier habe wir Lemma 9. der Vorlesug beutzt. Dieses Lemma liefert übriges ebefalls, daÿ die hier berechete Reihe kovergiert.] Aus Satz 0.0 folgt u, da N die disjukte Vereiigug vo I ud I 2 ist: S N S + (2 2. I I 2 Hieraus ergibt sich ach Subtraktio vo 4 S auch der zweite Teil der Behauptug.

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004 Lösuge zu Aufgabeblatt 7

Mehr

5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 5. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 2: Bestimme Sie alle Häufugspukte der komplexe) Folge mit de Glieder a) a = ) 5 + 7 + 2 ) b) b = i Lösug 2: a) Die Folge a ) zerfällt vollstädig i die beide Teilfolge

Mehr

n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)

n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n) Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem

Mehr

2 Konvergenz von Folgen

2 Konvergenz von Folgen Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge

Mehr

Analysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt

Analysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt Aalysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr. Robert Haller-Ditelma 05.05.200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergez vo Folge) Beweise Sie:

Mehr

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit

Mehr

ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS

ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT/MAT3 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 00 PROF. DR. AMILLO DE LELLIS Aufgabe. Etscheide Sie für folgede Folge (wobei N \ {0}), ob diese koverget sid, ud bereche sie gegebeefalls ihre

Mehr

Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr

Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:

Mehr

Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Übungsblatt

Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Übungsblatt Aalysis I für M, LaG/M, Ph 8Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr Robert Haller-Ditelma 0206200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergezkriterie/Kovergezradie) (a)

Mehr

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung 6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez

Mehr

n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =

n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 = Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:

Mehr

Wir wiederholen zunächst das Majorantenkriterium aus Satz des Vorlesungsskripts Analysis von W. Kimmerle und M. Stroppel.

Wir wiederholen zunächst das Majorantenkriterium aus Satz des Vorlesungsskripts Analysis von W. Kimmerle und M. Stroppel. Uiversität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dr. D. Zimmerma MSc. J. Köller MSc. R. Marczizik FDSA 4 Höhere Mathematik II 30.04.2014 el, kyb, mecha, phys 1 Kovergezkriterie

Mehr

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,

Mehr

4 Konvergenz von Folgen

4 Konvergenz von Folgen 4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder

Mehr

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele

Mehr

Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk,

Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, Musterlo suge zu Blatt 0 Kleigruppe zur Service-Verastaltug Mathematik I fu r Igeieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS/3 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 9.. Theme: Kovergez vo Folge Aufgabe P (i) Sei a : k kk.

Mehr

Lösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015

Lösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015 Lösuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 04/05 Fabia Hafer, Thomas Baldauf I Richtig oder Falsch Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche Aussage. Gebe Sie

Mehr

Aufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I Aufgabe ud Lösuge Weihachtsgescheke zur Vorlesug Aalysis I Der Witersemester 008/009 Übug am 4.., 5..008 sowie 0.0.009 Aufgabe. Folge Aufgabe Ma bestimme, ob die Folge (a ) mit a = + 3 + 4 kovergiert ud

Mehr

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Aufgabe ud Lösuge Ausarbeitug der Übugsstude zur Vorlesug Aalysis I Witersemester 2008/2009 Übug am 09.2.2008 Übug 8 Eileitug Es soll och eimal auf die agebotee Sprechstude higewiese werde, sowie auf mögliche

Mehr

Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion. Musterlösung

Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion. Musterlösung Feriekurs Seite Techische Uiversität Müche Feriekurs Aalysis Haah Schamoi Folge, Reihe, Potezreihe, Expoetialfuktio Musterlösug 0.0.0. Folge I Utersuche Sie die Folge a N auf Kovergez bzw. Divergez ud

Mehr

Aufgabe G 1.1. [Vollständige Induktion, Teleskopsumme] n k 3 = n N : k(k + 1) = 1 1

Aufgabe G 1.1. [Vollständige Induktion, Teleskopsumme] n k 3 = n N : k(k + 1) = 1 1 Istitut für Aalysis ud Algebra Mathematik I für Studierede der E-Techik Prof Dr Volker Bach WiSe 06/7 M Sc Birgit Komader M Sc Christoph Brauer Theme: Groe Übug - Lösuge Vollstädige Iduktio - Teleskopsumme

Mehr

4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa

4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa 20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1 Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt Hausaufgabe Aufgabe. Bestimme Sie de Kovergezbereich M der folgede Reihe für

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004) Aufgabe 7. Ubeschräktes

Mehr

Übungen zur Analysis I WS 2008/2009

Übungen zur Analysis I WS 2008/2009 Mathematisches Istitut der Uiversität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorste Heidersdorf Übuge zur Aalysis I WS 008/009 Blatt 3, Lösugshiweise Die folgede Hiweise sollte auf keie Fall als Musterlösuge

Mehr

Tutorium Mathematik I, M Lösungen

Tutorium Mathematik I, M Lösungen Tutorium Mathematik I, M Lösuge 16. November 2012 *Aufgabe 1. Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez (a) ( 1) (1 ) (b) ( ) 2 +1 (c) (!) 3 10 (3)! (d) (e) (f) 2 +3 3 2 +1 3 ( 2 +1) 2 + 3 ( 2 +3) (g)

Mehr

KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...

KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung... KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge.............................. 30 7.2 Grezwertbestimmug............................... 32 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug..................... 35 7.4

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe

Mehr

Aufgaben zur Analysis I

Aufgaben zur Analysis I Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.

Mehr

KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen

KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen KAPITEL 8 Zahlereihe 8. Geometrische Reihe................................. 53 8.2 Kovergezkriterie................................. 54 8.3 Absolut kovergete Reihe............................ 64 Lerziele

Mehr

Kapitel 2 Differentialrechnung in einer Variablen. 2.1 Folgen und Grenzwerte

Kapitel 2 Differentialrechnung in einer Variablen. 2.1 Folgen und Grenzwerte Kapitel 2 Differetialrechug i eier Variable 2. Folge ud Grezwerte 2.. Defiitio Eie Folge ist eie Zuordug N R, a, geschriebe als Liste (a,a 2,...) oder i der Form (a ) N. Hier sid ei paar Beispiele: 2,4,6,8,...

Mehr

Tutorial zum Grenzwert reeller Zahlenfolgen

Tutorial zum Grenzwert reeller Zahlenfolgen MAE Mathematik: Aalysis für Igeieure Herbstsemester 206 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Witerthur Tutorial zum Grezwert reeller Zahlefolge I diesem Tutorial lere Sie, die logische Aussage i der Defiitio des

Mehr

KAPITEL 2. Zahlenfolgen

KAPITEL 2. Zahlenfolgen KAPITEL Zahlefolge. Kovergete Zahlefolge...................... 35. Grezwertbestimmug....................... 38.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug............. 4.4 Mootoe Folge..........................

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 6

Aufgaben zu Kapitel 6 Aufgabe zu Kapitel 6 Aufgabe zu Kapitel 6 Verstädisfrage Aufgabe 6. Gegebe sei die Folge x ) 2 mit x 2)/ + ) für 2. Bestimme Sie eie Zahl N N so, dass x ε für alle N gilt, we a) ε 0, b) ε 00 ist. Aufgabe

Mehr

6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $

6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum

Mehr

Lösungen 7.Übungsblatt

Lösungen 7.Übungsblatt Karlsruher Istitut für Techologie (KIT) WS 20/202 Istitut für Aalysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math.tech. Raier Madel Lösuge 7.Übugsblatt Aufgabe 25 (K) Bestimme Sie de Kovergezradius der folgede

Mehr

$Id: komplex.tex,v /04/13 15:09:53 hk Exp $

$Id: komplex.tex,v /04/13 15:09:53 hk Exp $ Mathematik für Igeieure IV, SS 206 Mittwoch 3.4 $Id: komplex.tex,v.2 206/04/3 5:09:53 hk Exp $ Komplexe Zahle I diesem Kapitel wolle wir erst eimal zusammestelle was aus de vorige Semester über die komplexe

Mehr

6 Grenzwerte von Zahlenfolgen

6 Grenzwerte von Zahlenfolgen 6 Grezwerte vo Zahlefolge Ei zetraler Begriff der Aalysis ist der des Grezwertes. Wir begie mit der Betrachtug vo Grezwerte vo Zahlefolge. 6. Zahlefolge 6.. Grudbegriffe Defiitio 6... Eie Fuktio f : Z

Mehr

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man: Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes

Mehr

3. Taylorformel und Taylorreihen

3. Taylorformel und Taylorreihen Prof Dr Siegfried Echterhoff Aalysis Vorlesug SS 9 3 Taylorformel ud Taylorreihe Sei I R ei Itervall ud sei f : I R eie Fuktio Ziel: Wolle utersuche, wa sich die Fuktio f i eier Umgebug vo eiem Pukt I

Mehr

Index. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17

Index. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17 Folge, Reihe Idex Kovergezkriterie Hauptkriterium, Leibiz-Kriterium, Majoratekriterium, 4 Mioratekriterium, otwediges Kriterium, 0 Quotietekriterium, teleskopierede Summe, Wurzelkriterium, Majorate, 4

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 3..05 Höhere Mathemati für die Fachrichtug Physi Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Vorbemerug

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 12. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 12. Übungsblatt UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz. Dr. P. C. Kustma Dipl.-Math. M. Uhl WS 8/9 Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum. Übugsblatt

Mehr

13. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik

13. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sve Herrma Dipl.-Math. Susae Pape 3. Übugsblatt zur Vorlesug Mathematik I für Iformatik Witersemester 009/00 6./7. Jauar 00 Gruppeübug Aufgabe G (Reihe)

Mehr

Höhere Mathematik I (Analysis) für die Fachrichtung Informatik

Höhere Mathematik I (Analysis) für die Fachrichtung Informatik Karlsruher Istitut für Techologie (KIT) Istitut für Aalysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog M. Sc. Adreas Hirsch WS 204/5 24.0.204 Höhere Mathematik I (Aalysis) für die Fachrichtug Iformatik Lösugsvorschlag

Mehr

Wir weisen die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potenzmenge einer endlichen Menge A nach!

Wir weisen die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potenzmenge einer endlichen Menge A nach! Lösug zu Übug 4 Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: grabowski@htw-saarlad.de Zu Aufgabe ) Wir weise die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potezmege eier edliche Mege A ach! ) Die leere Mege ud

Mehr

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 8. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 36: Bestimme Sie alle z C, für die die folgede Potezreihe kovergiere: z z a, b! +, c z +. = = Lösug 36: Wir bezeiche de Kovergezradius mit r. a Wir wede das Quotietekriterium

Mehr

Resultate: Vertauschbarkeit von Grenzprozessen, Konvergenzverhalten von Potenzreihen

Resultate: Vertauschbarkeit von Grenzprozessen, Konvergenzverhalten von Potenzreihen 26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe 129 26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe Lerziele: Kozepte: Puktweise ud gleichmäßige Kovergez Resultate: Vertauschbarkeit vo Grezprozesse, Kovergezverhalte vo

Mehr

Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie

Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie Aalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Mootoie Datei Nr. 40051 Friedrich Buckel Juli 005 Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt 1 Eiführugsbeispiele 1 Mootoie bei arithmetische Folge Defiitioe 3 3 Welche Beweistechik

Mehr

Grenzwerte von Folgen. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Grenzwerte von Folgen. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Grezwerte vo Folge -E Ma Lubov Vassilevskaya Berechug vo Grezwerte: Aufgabe Die Berechug vo Grezwerte ka oft ziemlich umstädlich sei. Die etwickelte Regel vereifache oft solche Berechuge. Diese Regel beruhe

Mehr

Lösungsskizzen Mathematik für Informatiker 5. Aufl. Kapitel 3 Peter Hartmann

Lösungsskizzen Mathematik für Informatiker 5. Aufl. Kapitel 3 Peter Hartmann Lösugsskizze Mathematik für Iformatiker 5. Aufl. Kapitel 3 Peter Hartma Verstädisfrage. Ka ma ei Axiom beweise? Nei!. Ka ei Beweis eier Aussage richtig sei, we im Iduktiosschluss die Iduktiosaahme icht

Mehr

Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37

Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37 Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw.

Mehr

D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 2

D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 2 D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler Musterlösug 2 1. a) Per Defiitio ist A = {x : x berührt A}. I der Vorlesug wurde die Formel (X A) = ( A ) c gezeigt, also A = ( X A ) c. Daher ist A = A A = A (A ) c

Mehr

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10. 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.000, 1 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Defiitio: Eie

Mehr

Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w

Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w Prof. Dr. Moritz Kaßma Fakultät für Mathematik Witersemester 04/05 Uiversität Bielefeld Übugsaufgabe zu Aalysis Lösuge vo Blatt XII vom 5.0.5 Aufgabe XII. 3 Pukte) Beweise Sie, dass für alle R ud N die

Mehr

Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen

Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen . Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.

Mehr

Analysis I. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Analysis I. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Aalysis I 5. Übugsstude Steve Battilaa steveb@studet.ethz.ch battilaa.uk/teachig March 9, 07 Erierug Satz. Quotietekriterium (bei!,,...) Das Quotietekriterium zeigt absolute Kovergez. lim a +

Mehr

Übungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx

Übungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx Übuge zur Ifiitesimalrechug, H.-C. Im Hof 9. März Blatt 4 Abgabe: 6. März, Nachmittag Aufgabe. Zeige e x dx π. Beweis. Wir bemerke als erstes, dass e x dx e x dx + e x dx e x dx formal sieht ma dies per

Mehr

Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln

Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln 6 Kovergete Folge Lerziele: Kozepte: Grezwertbegriff bei Folge, Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge Resultat: Mootoe beschräkte Folge sid koverget. Methode: Hero-Verfahre, Erweiterug vo Differeze vo Quadratwurzel

Mehr

α : { n Z n l } n a n IR

α : { n Z n l } n a n IR 1 KAPITEL VI. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN 1) REELLE ZAHLENFOLGEN: i) Jede Abbildug α : IN a IR heiÿt 'reelle Zahlefolge' bzw. 'Folge i IR'. Ma otiert diese i der Form α = a ) IN = a ) =0 = a 0, a 1, a 2,...)

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 2 Grenzwerte, Folgen und Reihen. 2.1 Intervalle in R. 2.2 Umgebungen (in R und C)

Inhaltsverzeichnis. 2 Grenzwerte, Folgen und Reihen. 2.1 Intervalle in R. 2.2 Umgebungen (in R und C) Ihaltsverzeichis 2 Grezwerte, Folge ud Reihe I diesem Kapitel führe wir de zetrale Begriff der Kovergez eier Folge vo Zahle (x ) N gege eie Grezwert x ei. Aschaulich bedeutet dies, dass i jeder och so

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen Vorkurs Mathematik ür Iormatiker -- 8 Folge -- 11.10.2015 1 Folge: Deiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reiheolge wichtig,

Mehr

1 Aussagenlogik und vollständige Induktion

1 Aussagenlogik und vollständige Induktion Dr. Siegfried Echterhoff Aalysis 1 Vorlesug WS 08 09 1 Aussagelogi ud vollstädige Idutio Die Mathemati basiert auf eier Reihe vo Axiome, d.h. auf mathematische Aussage, die als (offesichtlich? wahr ageomme

Mehr

Folgen und Reihen. 23. Mai 2002

Folgen und Reihen. 23. Mai 2002 Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge 2 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge.................. 2 1.1.1 Rekursive Defiitio eier Folge......................... 3 1.2

Mehr

( 1) n 1 n n n + 1. n=1

( 1) n 1 n n n + 1. n=1 Prof. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst Fakultät Mathematik TU Dortmud Musterlösug zum 6. Übugsblatt zur Höhere Mathematik I P/ET/AI/IT/IKT/MP) WS 20/2 Aufgabe mittels Zeige Sie die Kovergez der Reihe )

Mehr

5.7. Aufgaben zu Folgen

5.7. Aufgaben zu Folgen 5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils

Mehr

1. Zahlenfolgen und Reihen

1. Zahlenfolgen und Reihen . Zahlefolge ud Reihe We ma eie edliche Mege vo Zahle hat, ka ma diese i eier bestimmte Reihefolge durchummeriere: {a,a 2,...,a }. Ma spricht vo eier edliche Zahlefolge. Fügt ma immer mehr Zahle hizu,

Mehr

Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 2

Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 2 Aalysis I Ei Lerbuch für de safte Wechsel vo der Schule zur Ui Lösuge der Übugsaufgabe vo Kapitel zu... Ma zeige: Jede Teilfolge eier Umordug eier Folge ka als Umordug eier Teilfolge geschriebe werde.

Mehr

Indizieren Sie die folgenden Summen und Produkte gemäß der Vorgabe um und schreiben Sie sie einmal explizit aus: 5

Indizieren Sie die folgenden Summen und Produkte gemäß der Vorgabe um und schreiben Sie sie einmal explizit aus: 5 FU Berli: WiSe 13-14 (Aalysis 1 - Lehr.) Übugsaufgabe Zettel 9 Aufgabe 37 Idiziere Sie die folgede Summe ud Produte gemäß der Vorgabe um ud schreibe Sie sie eimal explizit aus: 5 (a) + 1) 0( Lösug. Die

Mehr

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Zusmmefssug Folge ud Kovergez Ihltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele für

Mehr

Aufgrund der Körperaxiome ist jedoch

Aufgrund der Körperaxiome ist jedoch Hiweise: Der Doppelstrich // steht für eie Kommetarzeile. Tipp- ud Rechtschreibfehler köe trotz mehrfacher Kotrolle icht hudertprozetig vermiede werde. Die selbst erstellte Lösugsasätze orietiere sich

Mehr

Proseminar: Mathematisches Problemlösen. Ungleichungen 2. Pierre Schmidt. Vortragstermin: 19. Juni Fakultät für Mathematik

Proseminar: Mathematisches Problemlösen. Ungleichungen 2. Pierre Schmidt. Vortragstermin: 19. Juni Fakultät für Mathematik Prosemiar: Mathematisches Problemlöse Ugleichuge Pierre Schmidt Vortragstermi: 19. Jui 015 Übugsleiteri: Dr. Natalia Griberg Fakultät für Mathematik Karlsruher Istitut für Techologie Ihaltsverzeichis 1

Mehr

Beweistechniken Vollständige Induktion - Beispiele, Erweiterungen und Übungen

Beweistechniken Vollständige Induktion - Beispiele, Erweiterungen und Übungen Beweistechike Vollstädige Iduktio - Beispiele, Erweiteruge ud Übuge Alex Chmelitzki 15. März 005 1 Starke Iduktio Eie etwas abgewadelte Form der Iduktio ist die sogeate starke Iduktio. Bei dieser Spielart

Mehr

5 Folgen. 5.1 Konvergenz von Folgen. Definition: Zu jedem 0 existiert ein N so, daß. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt

5 Folgen. 5.1 Konvergenz von Folgen. Definition: Zu jedem 0 existiert ein N so, daß. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Prof. Dr. Berd Dreseler 5 Folge 5.1 Kovergez vo Folge Defiitio: Eie Folge a heißt koverge t, we es eie Zahl a mit folgeder Eigeschaft gibt: Zu jedem 0 existiert ei N so, daß a a für alle > N Die Zahl a

Mehr

Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 4: Aufgaben zu den Kapiteln 7 und 8

Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 4: Aufgaben zu den Kapiteln 7 und 8 1 Lösuge ausgewählter Übugsaufgabe zum Buch Elemetare Stochastik (Spriger Spektrum, 2012) Teil 4: Aufgabe zu de Kapitel 7 ud 8 Aufgabe zu Kapitel 7 Zu Abschitt 7.1 Ü7.1.1 Ω sei höchstes abzählbar, ud X,

Mehr

Dritter Zirkelbrief: Ungleichungen

Dritter Zirkelbrief: Ungleichungen Matheschülerzirkel Uiversität Augsburg Schuljahr 014/015 Dritter Zirkelbrief: Ugleichuge Ihaltsverzeichis 1 Grudlage vo Ugleichuge 1 Löse vo Ugleichuge 3 3 Mittel 4 4 Mittelugleichuge 5 5 Umordugsugleichug

Mehr

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz SS 5 7.9.5 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Bachelor-Modulprüfug

Mehr

Klausur Analysis I (WS 2010/11) mit Lösungen

Klausur Analysis I (WS 2010/11) mit Lösungen Humboldt-Uiversität zu Berli Istitut für Matematik Prof. Dr. B. Kummer Klausur Aalysis I (WS 00/) mit Lösuge Vorbemerkuge: Wäle Sie aus de vorgegebee Ausgabe 8 aus! Trage Sie am Ede i der folgede Tabelle

Mehr

12. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik

12. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Se Herrma Dipl.-Math. Susae Pape. Übugsblatt zur Vorlesug Mathematik I für Iformatik Witersemester 009/00 9./0. Jauar 00 Gruppeübug Aufgabe G (Logarithmus-Fuktio)

Mehr

6.3 Folgen und Reihen

6.3 Folgen und Reihen 63 Folge ud Reihe Folge sid ichts aderes als Fuktioe f vo der Mege N {,,, 3, } der atürliche Zahle oder vo eiem ihrer Edabschitte N m { m, m +, m +, } i irgedeie Mege Ma schreibt i diesem Fall meist f

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 8

Aufgaben zu Kapitel 8 Aufgabe zu Kapitel 8 Aufgabe zu Kapitel 8 Verstädisfrage Aufgabe 8. Ist es möglich, eie divergete Reihe der Form a zu kostruiere, wobei alle a > 0 sid ud a 0 gilt. Beispiel oder Gegebeweis agebe. Aufgabe

Mehr

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:

Mehr

Angabe Analysis 1 - Beweise, Vollständige Induktion, Folgen

Angabe Analysis 1 - Beweise, Vollständige Induktion, Folgen Agabe Aalysis - Beweise, Vollstädige Idutio, Folge 4. März 0 Aufgabe : Zum Aufwärme i Zeige durch geschictes Umforme, dass + + gilt. +!!!!!! +!! +! + + + + + ii Zeige durch vollstädige Idutio, dass 6 +

Mehr

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Aufgabe ud e Ausarbeitug der Übugsstude zur Vorlesug Aalysis I Witersemester 008/009 Übug am 8..008 Übug 5 Eileitug Zuerst soll auf de aktuelle Übugsblatt ud Stoff der Vorlesug eigegage werde. Dazu werde

Mehr

Die vollständige Induktion - Lösungen 1. Aufgabe: Sind die folgenden Aussageformen in N allgemeingültig?

Die vollständige Induktion - Lösungen 1. Aufgabe: Sind die folgenden Aussageformen in N allgemeingültig? Start Mathematik Lektioe i Aalysis Aufgabe zur vollstädige Iduktio Die vollstädige Iduktio - Lösuge. Aufgabe: Sid die folgede Aussageforme i N allgemeigültig? a) We ei Vielfaches vo ist, da ist eie gerade

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 14

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 14 Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt 4 Hausaufgabe Aufgabe 4. Sie sid 0 Miute zu spät i die Vorlesug gekomme ud stelle

Mehr

4. Reihen Definitionen

4. Reihen Definitionen 4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a 3 +... := Σ a

Mehr

4. Die Menge der Primzahlen. Bertrands Postulat

4. Die Menge der Primzahlen. Bertrands Postulat O. Forster: Eiführug i die Zahletheorie 4. Die Mege der Primzahle. Bertrads Postulat 4.1. Satz (Euklid. Es gibt uedlich viele Primzahle. Beweis. Wir zeige, dass es zu jeder edliche Mege p 1, p 2,..., p

Mehr

4 Andreas Gathmann. x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2

4 Andreas Gathmann. x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2 4 Adreas Gathma 1. Komplexe Zahle Bevor wir mit der komplexe Aalysis begie, wolle wir uächst die grudlegede Defiitioe ud Eigeschafte der komplexe Zahle och eimal kur wiederhole. Defiitio 1.1. Die Mege

Mehr

Tests statistischer Hypothesen

Tests statistischer Hypothesen KAPITEL 0 Tests statistischer Hypothese I der Statistik muss ma oft Hypothese teste, z.b. muss ma ahad eier Stichprobe etscheide, ob ei ubekater Parameter eie vorgegebee Wert aimmt. Zuerst betrachte wir

Mehr

Klausur 1 über Folgen

Klausur 1 über Folgen www.mathe-aufgabe.com Klausur über Folge Hiweis: Der GTR darf für alle Aufgabe eigesetzt werde. Aufgabe : Bestimme eie explizite ud eie rekursive Darstellug! a) für eie arithmetische Folge mit a = 6, ;

Mehr

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:

Mehr

7. Potenzreihen und Taylor-Reihen

7. Potenzreihen und Taylor-Reihen 7. Potezreihe ud Taylor-Reihe 39 7. Potezreihe ud Taylor-Reihe Mit Hilfe der Cauchysche Itegralformel wolle wir u i diesem Kapitel ei weiteres sehr zetrales Resultat der Fuktioetheorie herleite, ämlich

Mehr

Kapitel VI. Reihen. VI.1 Definitionen und Beispiele. Definition VI.1. Sei (a n ) n=1 K N eine Zahlenfolge. Dann heißt die Folge (s m ) m=1 K N, mit

Kapitel VI. Reihen. VI.1 Definitionen und Beispiele. Definition VI.1. Sei (a n ) n=1 K N eine Zahlenfolge. Dann heißt die Folge (s m ) m=1 K N, mit Kapitel VI Reihe VI.1 Defiitioe ud Beispiele Defiitio VI.1. Sei (a K N eie Zahlefolge. Da heißt die Folge (s m K N, mit m s m : a, (VI.1 Reihe i K. Ist (s m koverget, so schreibe wir { a : lim {s m m}

Mehr

Musterlösung Vortragsübung Blatt 14 Vorwort. Variante der harmonischen Reihe.

Musterlösung Vortragsübung Blatt 14 Vorwort. Variante der harmonischen Reihe. Musterlösug Vortragsübug Blatt 4 Vorwort. Variate der harmoische Reihe. Folgede Aussage wird i der achfolgede Musterlösug ab ud a gebraucht ud öte sich für Sie auch außerhalb der HM durchaus als ützlich

Mehr

1.1 Mengensysteme. Ω Grundmenge, 2 Ω Potenzmenge, A 2 Ω Mengensystem. Definition 1.1: a) A stabil ( stabil, \-stabil), wenn für A, B A auch A B A

1.1 Mengensysteme. Ω Grundmenge, 2 Ω Potenzmenge, A 2 Ω Mengensystem. Definition 1.1: a) A stabil ( stabil, \-stabil), wenn für A, B A auch A B A 1.1 Megesysteme Grudmege, 2 Potezmege, A 2 Megesystem Defiitio 1.1: a) A stabil ( stabil, \-stabil), we für A, B A auch A B A (A B A, A\B A). b) A heißt Halbrig, we i) A ii) A ist stabil iii) A, B A es

Mehr

1. Folgen ( Zahlenfolgen )

1. Folgen ( Zahlenfolgen ) . Folge ( Zahlefolge Allgemeies Beispiel für eie regelmäßige Folge: /, /3, /4, /5, /6,... Das erste Glied ist a =/ Das ist das Glied mit dem Ide Das zweite Glied ist a =/3 Das ist das Glied mit dem Ide

Mehr

5-1 Elementare Zahlentheorie

5-1 Elementare Zahlentheorie 5- Elemetare Zahletheorie 5 Noch eimal: Zahletheoretische Fuktioe 5 Der Rig Φ als Rig der formale Dirichlet-Reihe! Erierug: Ei Polyom mit Koeffiziete i eiem Körper K ist ach Defiitio ichts aderes als eie

Mehr