Lösungen Grundaufgaben Folgen und Reihen

Transkript

1 Folgen und Reihen Grundaufgaben Lösungen Grundaufgaben Folgen und Reihen Formeln arithetische Folge mit Anfangsglied a und Differenz d: a n = a +(n )d (explizite Darstellung) a n+ = a n + d (rekursive Darstellung) s n = n (a + a n ) (Summe der ersten n Glieder) geometrische Folge mit Anfangsglied a und Differenz d: a n = a q n (explizite Darstellung) a n+ = a n q (rekursive Darstellung) s n = a q n q (Summe der ersten n Glieder) Aufgaben zu allgemeinen Folgen. Berechne die ersten 5 Glieder der untenstehenden Folgen! a) a n = n n+3 a = +3 = 0.5,a = 0.8,a 3 =,a 4 = 8/7,a 5 =.5. b) a n = 5+( ) n a = 5+( ) = 3,a = 7,a 3 = 3,a 4 = 7,a 5 = 3.. Berechne jeweils das fünfte Glied der untenstehenden Folge! a) a =,a n+ = 3a n a =,n = : a = 3a = 3 = 3,n = : a 3 = 3a = 3 3 = 9,n = 3 : a 4 = 3a 3 = 3 9 = 7,n = 4 : a 5 = 3a 4 = 3 7 = 8. b) a 7 = 0,a n+ = a n + n a 7 = a = a a 6 = 4;a 6 = a = a a 5 = 9 3. Gib die explizite Darstellung der untenstehenden Folge an! a) 3,5,7,... a n = n+ b) 9, 4 3, 6 7,... a n = 4n+5 n 4. Gib die rekursive Darstellung der untenstehenden Folgen an! a) 3,6,,4,... a n+ = a n b) 5,9,7,33,65,... a n+ = a n c) 6,4,36,54,8,... a n+ =.5a n d) 5,7,,7,5,... a n+ = a n + n

2 Folgen und Reihen Grundaufgaben Grundaufgaben zu arithmetischen Folgen 5. Bei den unterstehenden Folgen handelt es sich um arithmetische Folgen. Bestimme die ersten 6 Glieder dieser Folgen. a) 3,,... 3,,9,7,35,43 b) a = 4,d = 3 5.5,4,.5,,-0.5,- c) a = 7,a 6 = 3 5.5,7,8.5,0,,5,3 6. Handelt es sich bei den untenstehenden Folgen um eine Arithmetische Folge? a) b) 3, 4, 6 4 ( ) 3 ( ) ja 4, 5, ( 0 ) 4 0 ( 0 ) 0 nein. 7. Für eine arithmetische Folge gilt: a 5 = 7.9 und a = Berechne a. Es gilt: a = a 5 + 7d 7d = d = 4.5 Es gilt die Formel: a n = a +(n )d a = a +( )d 59.4 = a a = Für eine arithmetische Folge gilt: a = 404,d = 7 und a n = 9. Berechne n. a n = a +(n )d 9 = 404+(n )( 7) n = 59 n = Für eine arithmetische Folge gilt: a = 400 und a 4 = 00. Berechne s 4. s n = n (a + a n ) s 4 = 4 (400+00)= Berechne die Summe der geraden Zahlen von 00 bis und mit 0000! s n = n (a + a n ).a = 00,a n = 0000,n müssen wir herausfinden. 00,0,04,...,0000 d =. a n = a +(n )d 0000 = 00+(n ) n = 4950 n = 495. s 495 = 495 ( )= Heinz zersägt eine Dachlatte von 4m Länge in zehn Teile. Dabei ist jeder Teil 6cm länger als der zuvor abgesägte. Es bleibt kein Reststück übrig. Wie lang ist das kürzeste Stück? s 0 = 400cm,d = 6cm. a n = a +(n )d a n = a +(0 )6 a n = a s 0 = 0 (a + a n ) 400 = 0 (a + a n ). a n einsetzen: 400 = 0 (a +(a + 54)) 80 = a + 54 a = 3 Das kürzeste Stück ist 3cm lang.

3 Folgen und Reihen Grundaufgaben 3 Grundaufgaben zu geometrischen Folgen. Bei den untenstehenden Folgen handelt es sich um geometrische Folgen. Bestimme die ersten 5 Glieder dieser Folgen. a) 7,4,... 7,4,8,56, b) a =.5,q = -0.75,.5,-3,6,- c) a = 0,a 3 = 5-0,0,-5,.5,-.5 d) a 3 = 8,a 4 = 7 8,,8,7, Entscheide, ob eine geometrische Folge vorliegt! a) 0.,0.,0.4,... ja ja b) 0.9,0.99,0.999,... nein nein 4. Für eine geometrische Folge gilt a = 0 und a 5 = 0.4. Berechne a! a 5 = a q = 0 q 3 q = 0.8. a = a q a = a /q a = 0/0.8 = Für eine geometrische Folge gilt a = 6,q = 3 und a n = 3. Berechne n. a n = a q n 3 = 6 3 n 87 = 3 n n = 7 n = Für eine geometrische Folge gilt a = 6 und q =.. Berechne s. s n = a qn q s = 6.. = Für eine geometrische Folge gilt a =, q = 3 und s n = Berechne a n. s n = a qn q 7746 = 3n = 3n = 3n n =. a = 3 0 = Wieviele Glieder der geometrischen Folge 5,6,... muss man mindestens addieren, wenn die Summe grösser als eine Milliarde werden soll? q = 6/5 = = 5.07n = 5.07n =.07 n =.07 n n = 6.96 Mindestens 7 Glieder. 9. Ein quadratisches Zeichenblatt von m Seitenlänge und 0.3mm Dicke wird in vier Quadrate zerschnitten. Jedes dieser vier Quadrate wird weiter geviertelt. Insgesamt macht man das sechsmal. a) Welche Seitenlänge haben die letzten Quadrate?,,0.5,... a =,q = 0.5. a 7 = = m. b) Wie hoch wird der Stoss der aufeinandergelegten Blätter?,4,6,... a =,q = 4. a 7 = 4 7 = 4096 h S = mm = 8.8mm =.3m.

4 Folgen und Reihen Grundaufgaben 4 0. An einem Spielnachmittag findet folgender Wettkampf statt: Der Spielleiter hat 00 Tannzapfen und einen Harass längs einer geraden Strecke so hingelegt, dass je zwei benachbarte Tannzapfen m Abstand haben. Der erste Tannzapfen liegt 3m vom Harass entfernt. Die Aufgabe besteht nun darin, die Zapfen einzeln einzusammeln und in den Harass zu legen. Startpunkt ist der Harass. Wie lang ist der Weg, den ein Teilnehmer dieses Spiels zurücklegt? a = 6,d =,n = 00,a n = n+4 a 00 = 00+4 = 04 w = s 00 = n a + a 00 = = Ein Sparplan sieht folgendes vor: Zu Beginn eines jeden Jahres werden 000 Franken auf ein Konto einbezahlt. Der Zins beträgt 3%. Welches Kapital würde auf diese Weise am Ende des dreissigsten Jahres erreicht? Die ersten 000Fr werden 30 Jahre lang verzinst Die zweiten 000Fr werden 9 Jahre lang verzinst Die letzten 000Fr werden Jahr lang verzinst , ,..., ergibt eine geometrische Folge mit q =.03,a = und n = 30. ( 30 Die Summenformel anwenden: s 30 = ) = Fr.. Das erste, zweite, und vierte Glied einer AF bilden die ersten drei Gleider einer GF (mit q = ), deren viertes Glied um grösser ist als das 4.Glied der AF. Gesucht sind die ersten vier Glieder beider Folgen. AF: a,a + d,a + d,a + 3d. GF: a,a + d,a + 3d,(a + 3d). Viertes Glied der GF ist um grösser als das 4.Glied der AF. a + 3d = (a + 3d) a + 3d = a + 6d a = 3d (Gl.). Es gibt zwei Unbekannte, wir können aber noch eine zweite Gleichung aufstellen: a = a + d a = d Gl.: a = 3d a = 3a 4a = a = 3 d = 3. AF: 3,6,9,; GF: 3,6,,4 3. Einem Würfel mit der Kantenlänge m wird ein zweiter Würfel so aufgesetzt, dass die Ecken der Grundfläche des zweiten Würfels auf die Kantenmitten der Deckfläche des ersten Würfels zu liegen kommen. Auf gleiche Weise wird dem zweiten Würfel ein dritter aufgesetzt usw. a) Wie hoch wird der Würfel-Turm höchstens? Kantenlänge.Würfel: Kantenlänge.Würfel: (/) +(/) = / = / Kantenlänge 3.Würfel: (/ ) +(/ ) = /4 = / Die Folge der Kantenlängen:,/,/,a =,q = /. lim s n = a q = / = 3.4 b) Berechne den Grenzwert des Turmvolumens.

5 Folgen und Reihen Grundaufgaben 5 Die Folge der Volumeninhalte: 3,(/ ) 3,(/) 3,... =,/ 3,/ 3,..., wobei a = und q = / 3. lim s n = / 3 =.55m3 4. Der spiralförmige Weg beginnt im Ursprung und besteht aus Strecken, deren Längen eine GF bilden. Wie lang ist der gesamte Weg und wo ist sein Ziel? Wir notieren die Längen: 39,6,7.3,.5,7.70. Es gilt also a = 39 und q = /3. l = lim s n = 39 /3 = 7 Um das Ziel herauszufinden, betrachten wir zunächst nur die x-werte: Es sind nur die horizontalen Strecken zu berücksichigen. Die Längen der horizontalen Strecken betragen (mit Berücksichtigung der Richtung): 39, 7.3, 7.70,... Es liegt eine GF vor, mit a = 39,q = 4/9.. Nun betrachten wir die y-werte: lim s 39 n = = 7 (was gerade dem x-wert entspricht) ( 4/9) Es sind nur die vertikalen Strecken zu berücksichigen. Die Längen der vertikalen Strecken betragen (mit Berücksichtigung der Richtung): 6,.5, 5.4,... Es liegt eine GF vor, mit a = 6,q = 4/9. lim s n = Der Punkt hat somit die Koordinaten P(7 8). 6 = 8 (was gerade dem y-wert entspricht) ( 4/9) 5. Der Schlangenweg von A nach B setzt sich aus unendlich vielen Halblkreisbogen zusammen, deren Radien eine GF mit dem Quotienten bilden. a) Ist der Schlangenweg oder der einfache Halbkreisweg von A nach B kürzer? Die Radien der Halbkreise des Schlangenweges betragen: r/, r/4, r/8,... Die Länge der Halbkreisbögen beträgt: πr/, πr/4, πr/8,... Es liegt eine GF mit q = / und a = πr/ vor. lim s n = πr/ / = πr Länge des einfachen Halbkreisweges: πr. b) Berechne den Flächeninhalt des Gebietes, das von sämtlichen Halbkreisen begrenzt wird.[ 5 πr ] Vorgehen: Fläche des grossen Halbkreises minus oder plus die Flächen der kleinen Halbkreise. Der Flächeninhalt des grossen Halbkreises beträgt: 0.5πr Der Flächeninhalt der Halbkreisbögen beträgt (über der x-achse negativ, unter der x-achse positiv): π(r/), π(r/4), π(r/8),... = πr 8, πr 3, πr,... Es liegt eine GF mit q = 8 /4 und a = πr 8 vor.

6 Folgen und Reihen Grundaufgaben 6 Summe: 0.5πr 0.πr = 0.4πr A = lim s n = πr /8 ( 0.5) = 0.πr 6. Einem Quadrat mit der Seite a wird ein Kreis einbeschrieben, diesem ein Quadrat, diesem wieder ein Kreis, usw. Berechne die Summe aller a) Quadratumfänge Das ursprüngliche Quadrat Q hat die die Seitenlänge a. Ein Kreis K wird einbeschrieben. Dieser hat den Radius a/. Ein Quadrat Q wird in den Kreis einbeschrieben. Seine Seitenlänge wird folgendermassen berechnet: Die Diagonale hat die Länge a. Die Seitenlänge sei x. Dann gilt: x + x = a x = a x = a/. Ein Kreis K wird einbeschrieben. Dessen Radius ist die Hälfte der Seitenlänge des Quadrates Q also r = a/. Ein Quadrat Q 3 wird in den Kreis einbeschrieben. Seine Seitenlänge wird folgendermassen berechnet: Die Diagonale hat die Länge a/. Die Seitenlänge sei x. Dann gilt: x + x = (a/ ) x = a / x = a/. Ein Kreis K 3 wird einbeschrieben. Dessen Radius ist die Hälfte der Seitenlänge des Quadrates Q 3 also r = a/4. Die Seitenlängen der Quadrate betragen: a,a/,a/. Die Umfänge der Quadrate betragen: 4a,4a/,4a/.Es liegt eine GF vor, mit a = 4a,q= /. Grenzwert der Reihe: b) Berechne die Summe aller Kreisflächen. lim s n = a q = 4a / = 3.66a Die Kreisradien betragen: a/,a/,a/4. Die Kreisflächen betragen: (a/) π,(a/ ) π,(a/4) π = (a /4)π,(a /8)π,(a/6)π, wobei a = (a /4)π,q = /. Grenzwert der Reihe: lim s n = a q = (a /4)π / = a π 7. Der griechische Philosoph Zenon vertrat die paradoxe Ansicht, dass Achill, der schnellste Läufer der griechischen Sage, eine mit einem gewissen Vorsprung dahinkriechende Schildkröte niemals einholen könne. Denn in der Zeit, in der Achill den vorhandenen Vorsprung aufholt, hat die Schildkröte einen neuen Vorsprung erzielt, so dass sich der Einholungsvorgang über unendlich viele Etappen erstreckt. Es ist offensichtlich, dass hier etwas nicht stimmen kann. Finde heraus, wo der Haken liegt! Die Zeitintervalle, wo die Schildkröte einen Vorsprung hat, werden immer kleiner und streben gegen 0. Die Summe aller Zeitintervalle strebt gegen einen bestimmten Grenzwert. Dieser Grenzwert entspricht genau dem Zeitpunkt, wo die Schildkröte eingeholt wird.