6 - Unendliche Reihen

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1 Kapitel 2 Folgen und Reihen Seite 1 6 Unendliche Reihen Definition 6.1 (Unendliche Reihen) Sei eine Folge aus C. Unter der unendlichen Reihe mit den Gliedern versteht man das Symbol oder Die Zahl heißt nte Partialsumme der Reihe. Konvergiert die Folge gegen, so heißt die Reihe konvergent gegen und man schreibt Falls ) nicht konvergiert, heißt die Reihe divergent. Reihen sind der Definition nach also unendliche Summen, die ebenfalls, wie Folgen konvergieren können oder nicht. Summiert man die Glieder der Reihe bis zu einem bestimmten ten Glied auf, so nennt man dies die te Partialsumme der Reihe. Lässt man dabei das gegen unendlich laufen, so erhält man als Ergebnis den Wert der unendlichen Reihe. Konvergiert die Partialsumme dabei nicht, so ist die Reihe divergent. Die nachfolgenden Beispiele sind wieder essentiell für viele weitere komplexere Aufgaben. Komplexere Reihen lassen sich genauso wie komplexere Summen auf einfache Beispiele zurückführen und berechnen, weswegen man sich die einfachen Reihen gut einprägen sollte. Beispiel 6.1 ist divergent, da 2er, 4er, 8er, Gruppen gebildet werden können, die > 0,5 sind i Sei (geometrische Reihe) Wie auch bei Summen und Folgen kann mit Reihen gerechnet werden. Die Rechenregeln der Reihen kann man dabei von denen für Folgen ableiten, da die Partialsumme, welche durch eine Folge repräsentiert wird, gewisserweise das Ergebnis der Reihe darstellt: Bemerkung 6.2 (Rechenregeln für Reihen) Die Rechenregeln für Reihen folgen aus den Regeln für Folgen.

2 Kapitel 2 Folgen und Reihen Seite 2 dann gilt i Festzustellen, ob eine Reihe konvergiert oder nicht ist weniger trivial, weswegen einige Möglichkeiten erläutert werden sollen, um dieses Problem zu lösen. Zu beachten ist, dass bei sämtlichen Kriterien die Vorraussetzungen erfüllt sind! Nicht jedes Kriterium ist auch wirklich für jede Reihe gedacht und auch nicht jedes Kriterium weißt Konvergenz und Divergenz gleichermaßen nach! Satz 6.3 (Konvergenz und Divergenzkriterien) Cauchykriterium: i Divergenzkriterum: ii Majoranten und Minorantenkriterium: Falls für fast alle (d. h. und falls konvergent, so konvergiert auch heißt dabei Majorante für Falls für fast alle und falls divergent, so divergiert auch heißt dann Minorante für iv) Monotoniekriterium

3 Kapitel 2 Folgen und Reihen Seite 3 v) Leibnizkriterium Sei monoton fallend und Nullfolge. Außerdem gelte, dann lässt sich sagen: Das Cauchykriterium lässt sich aus der Definition der Cauchyfolge herleiten. Die Reihe konvergiert, wenn ab einem bestimmten Summenglied beginnend die Partialsumme dem Cauchykriterium genügt. Dies lässt sich wie folgt veranschaulichen: Die blauen Punkte symbolisieren den Wert der nten Partialsumme, der mit zunehmendem n immer weiter zunimmt. Die Folge, über die die Reihe geht, ist eine Cauchyfolge, wodurch der Abstand der Folgenglieder mit zunehmendem n abnimmt, was durch die grünen Punkte symbolisiert wird. Das heißt, es werden immer geringere Werte zur Summenreihe hinzugefügt, wobei der Wert der Zunahme gegen Null geht (Cauchyfolge). Daher muss auch die unendliche Reihe gegen einen festen Wert konvergieren. Das Divergenzkriterium besagt, dass die Reihe divergiert, wenn die Folge der Partialsumme keine Nullfolge ist. Dieser Sachverhalt lässt sich ebenfalls veranschaulichen: Wie man sieht steigt der Wert der Reihe immer weiter an (blaue Punkte), da ihre Folge keine Nullfolge ist. Selbst wenn die Folge gegen einen relativ kleinen Wert konvergieren würde, wie im oberen Bild angedeutet werden sollte, würde die Reihe niemals konvergieren, da ihr Wert immer größer werden würde, wenn auch nur um einen minimalen Betrag. Zu beachten ist, dass eine Reihe nicht unbedingt konvergieren muss, wenn ihre Folge eine Nullfolge ist. Das Divergenzkriterium besagt nur, dass sie divergiert, wenn es keine ist. Man sollte bei solchen mathematischen Formulierungen genau Acht geben! Majoranten und Minorantenkriterium argumentieren wie folgt: Die Reihe über konvergiert, wenn es eine andere Reihe über gibt, die ebenfalls konvergiert und deren Folge größer ist, als der Betrag der Folge der betrachteten Reihe (Majorantenkriterium).

4 Kapitel 2 Folgen und Reihen Seite 4 Folge größer ist, als der Betrag der Folge der betrachteten Reihe Die Reihe über nennen wir in diesem Fall Majorante. (Majorantenkriterium). Die blauen Punkte stehen für die Folge der zu betrachtenden Reihe und die grünen Punkte für ihre Folge der Majorante. Die Majorante ist laut Vorraussetzung konvergent. Warum konvergiert nun auch die zu betrachtende Reihe? Die einzelnen Partialsummen und der Zuwachs der Majorante ist stets größer oder gleich, als der Zuwachs der Reihe über und dennoch konvergiert sie. Die Reihe über ist also niemals in der Lage den Wert der konvergierenden Reihe über zu erreichen, weswegen sie ebenfalls gegen einen festen Wert konvergieren muss. Das Minorantenkriterium besagt, dass eine Reihe über divergiert, wenn es eine andere Reihe über gibt die divergiert und deren kleiner oder gleich dem Betrag der Folge ist. In diesem Diagramm werden abermals die Folgen der Reihen notiert. Hierbei stehen die blauen Punkte für die Folge der Minorante und die grünen Punkte für die Folgenwerte der zu betrachtenden Reihe. Divergiert die Minorante, so geht ihre Folge keinenfalls gegen Null. Da die Folge ab einem bestimmten dauerhaft größer ist als und die Minorante divergiert, muss die Reihe über ebenfalls divergieren. Laut dem Monotoniekriterium genügt es um die Konvergenz einer Reihe nachzuweisen, wenn man beweisen kann, dass ihre Partialsumme beschränkt ist. Haben wir es allerdings mit einer alternierenden Reihe zu tun, so scheitern die bisherigen Kriterien. Das Leibnizkriterium setzt sich aber mit genau diesen Reihen auseinander. Ist die Folge monoton fallend, eine Nullfolge und immer größer oder gleich 0, so lässt sich folgern, dass die alternierende Reihe konvergiert, Beweis 6.3 (Konvergenz und Divergenzkriterien) folgt aus dem Cauchykriterium für Folgen

5 Kapitel 2 Folgen und Reihen Seite 5 i Ist konvergent, so gilt ist eine Nullfolge. Kehrt man die Aussage um und negiert sie, so folgt daraus das Divergenzkriterium ii Cauchykriterium ist ür erfüllt und daher konvergiert die Reihe da divergent ist, divergiert auch iv) ist monoton steigend, da das Monotoniekriterium. Mit dem Satz für monotone Konvergenz folgt v) Beweis mit dem Intervallschachtelungsprinzip ist monoton steigend, denn: ist monoton fallend, z. z. wie bei Neben der bisher betrachteten Konvergenz gibt es noch eine weitere Form: Die absolute Konvergenz. Sie gibt das Konvergenzverhalten der Betragsreihe an. Eine Betragsreihe ist dabei eine Reihe, deren Funktionenfolge durch einen Betrag eingeschlossen wird. Definition 6.4 (Absolute Konvergenz) Eine Reihe heißt absolut konvergent, falls ihre Betragsreihe Konvergiert eine Reihe absolut, so konvergiert sie. Konvergiert sie, so heißt es allerdings nicht, dass sie absolut konvergiert. Aus dieser Tatsache heraus, können die nachfolgenden Kriterien für absolute Konvergenz auch zum Nachweis der normalen Konvergenz benutzt

6 Kapitel 2 Folgen und Reihen Seite 6 Kriterien für absolute Konvergenz auch zum Nachweis der normalen Konvergenz benutzt werden. Satz 6.5 (Kriterien für absolute Konvergenz) Wurzelkriterium Für gilt: konvergiert divergiert keine Aussage möglich i Quotientenkriterium Sei für fast alle k konvergiert divergiert oder keine Aussage möglich Beweis 6.5 (Kriterien für absolute Konvergenz) Sei Falls wähle kleines, so dann für fast alle Die Reihe konvergiert (geom. Reihe) und ist Makorante für Falls, dann ist unendlich oft größer als 1 und deshalb lässt sich sagen und deshalb ist divergent i Beweis ähnlich zu

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