6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

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1 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 $Id: folgen.tex,v. 200/2/06 :2:5 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v. 200/2/0 4:4:40 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Cauchyfolgen Wir kommen nun zum letzten Thema dieses Kapitels. Ein Problem unserer Konvergenzdefinition ist, dass man zum Nachweis einer Konvergenzaussage (a n ) n N a immer bereits einen Kandidaten a für den Grenzwert der Folge kennen muss. Nur für monotone reelle Zahlenfolgen konnten wir mit Satz die Konvergenz der Folge einsehen ohne den Grenzwert kennen zu müssen. In diesem Abschnitt werden wir mit dem Begriff einer Cauchyfolge eine weitere Möglichkeit kennenlernen, die Konvergenz einer Folge ohne Kenntnis ihres Grenzwerts zu beweisen. Formal ist die Definition einer Cauchyfolge recht ähnlich zur Konvergenzdefinition, man fordert nicht mehr das die Folgenglieder einem Grenzwert a nahekommen, sondern das sich alle Folgenglieder mit ausreichend großen Index einander nahekommen. Definition 6.6 (Cauchyfolgen) Sei K {R, C}. Eine Folge (a n ) n N in K heißt eine Cauchyfolge wenn es für jedes ɛ > 0 ein n 0 N mit a n a m < ɛ für alle n, m N mit n, m n 0 gibt. In logischen Quantoren geschrieben wird diese Definition zu (ɛ > 0) (n 0 N) (n, m N, n, m n 0 ) : a n a m < ɛ. Ganz genauso wie bei der Definition der Konvergenz, kann man das < hier auch gegen ein ersetzen, die Folge ist also auch genau dann eine Cauchyfolge wenn (ɛ > 0) (n 0 N) (n, m N, n, m n 0 ) : a n a m ɛ gilt. Wir werden gleich sehen, dass jede konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist und damit kennen wir dann bereits recht viele Beispiele von Cauchyfolgen. Zuvor wollen wir aber ein explizites Beispiel einer Cauchyfolge diskutieren. Wir definieren rekursiv eine reelle Zahlenfolge (a n ) n N indem wir a 0 := 0 und a n+ := a2 n für alle n N setzen. Beispielsweise sind a = /, a 2 = 8/27 und a = 665/287. Die Folge ist weder monoton steigend noch monoton fallend, auch nicht ab irgendeinem noch so großen Startindex. Es ist auch nicht sofort zu sehen, ob die Folge (a n ) n N konvergent ist. Wir werden im Folgenden einsehen, dass (a n ) n N eine Cauchyfolge ist. Wir beginnen mit -

2 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 einer einfachen Beobachtung. Ist x R mit 0 < x < /, so gelten auch 0 < x 2 < / und 8/ < x 2 <, also insgesamt 8/27 < ( x 2 )/ < /, also haben wir (x R) : 0 < x < = 0 < 8 27 < x2 <. Insbesondere bedeutet dies das für jedes n N aus a n (0, /) auch a n+ = ( a 2 n)/ (0, /) folgt. Da a 2 = 8/27 (0, /) gilt, folgt per vollständiger Induktion auch 0 < a n < / für alle n N mit n 2. Für jedes n N mit n ergibt sich weiter a n+ a n = a 2 n a2 n Ist wieder n N mit n, so sind damit auch und so fortfahrend folgt auch = a2 n a 2 n = a n + a n a n a n a n + a n a n a n < 2 a n a n. a n+2 a n+ < 2 ( ) 2 2 a n+ a n < a n a n, a n+ a n+2 < 2 ( ) 2 a n+2 a n+ < a n a n, a n+k a n+k ( ) k 2 a n a n, für alle k N. Strend genommen ist dies ein Beweis durch vollständige Induktion auf deren exakte Durchführung wir hier verzichten. Um zu sehen, dass hieraus die Cauchy- Bedingung folgt, brauchen wir ein allgemeines Lemma, das mit der konkreten Situation nichts zu tun hat. Lemma 6.2 (Die geometrische Summe) Seien q C und n N. Dann gilt q k = qn+ q für q, und q k = n + für q =. Beweis: Die Aussage für q = ist klar, wir nehmen also q an. Schreibe s := n qk. Dann ist q s = q k+ = q n+ + q k = q n+ + s, -2

3 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 also und dies ergibt die Behauptung. ( q)s = s qs = q n+, Kommen wir mit diesem Lemma ausgerüstet zu unserem Beispiel zurück. Sei wieder n N mit n 2 gegeben. Für jedes k N erhalten wir dann mit Lemma 2 k a n+k a n = (a n++i a n+i ) k k ( ) i 2 a n+i+ a n+i a n+ a n i=0 i=0 i=0 ( = ( ) ) k 2 a n+ a n < 7 7 a n+ a n ( ) n 2 2 a a 2 7 = 7 ( ) n 2 2 =: A n. 70 Damit können wir leicht einsehen, dass (a n ) n N eine Cauchyfolge ist. Nach Aufgabe (22) sowie den Rechenregeln für Grenzwerten wissen wir nämlich lim 7 70 ( ) n 2 2 = 0, ist also ɛ > 0 gegeben, so existiert ein n 0 N mit n 0 2 und A n < ɛ für alle n N mit n n 0. Sind dann n, m N mit n, m n 0, so können wir durch eventuelles Vertauschen von n und m auch m n annehmen, und haben m = n + k für ein k N. Damit ist dann a m a n = a n+k a n < A n < ɛ. Somit ist (a n ) n N tatsächlich eine Cauchyfolge. Die Grundeigenschaften von Cauchyfolgen sind schnell eingesehen. Lemma 6. (Grundeigenschaften von Cauchyfolgen) Sei K {R, C} und sei (a n ) n N eine Folge in K. (a) Ist (a n ) n N konvergent, so ist (a n ) n N auch eine Cauchyfolge. (b) Ist (a n ) n N eine Cauchyfolge, so ist (a n ) n N auch beschränkt. (c) Sind (a n ) n N eine Cauchyfolge und (a nk ) k N eine konvergente Teilfolge von (a n ) n N mit dem Grenzwert a K, so ist auch (a n ) n N a. Beweis: (a) Bezeichne a K den Grenzwert von (a n ) n N. Sei ɛ > 0 gegeben. Dann existiert ein n 0 N mit a n a < ɛ/2 für alle n N mit n n 0. Sind dann n, m N mit n, m n 0 so folgt auch a n a m = a n a + a a m a n a + a m a < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. -

4 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 Damit ist (a n ) n N eine Cauchyfolge. (b) Es gibt ein n 0 N mit a n a m < für alle n, m N mit n, m n 0. Setze c := max{ a 0, a,..., a n0, a n0 + } > 0. Ist dann n N, so gilt im Fall n < n 0 sofort a n c und im Fall n n 0 haben wir ebenfalls a n = a n a n0 + a n0 a n a n0 + a n0 < a n0 + c. Damit ist a n c für alle n N und (a n ) n N ist beschränkt. (c) Sei ɛ > 0 gegeben. Dann existieren ein n 0 N mit a n a m < ɛ/2 für alle n, m N mit n, m n 0 und ein k 0 N mit a nk a < ɛ/2 für alle k N mit k k 0. Sei n N mit n n 0. Setzen wir k := max{k 0, n 0 }, so ist a nk a < ɛ und wegen n k k n 0 ist auch a n a nk < ɛ/2. Insgesamt ist damit a n a = a n a nk + a nk a a n a nk + a nk a < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, und wir haben (a n ) n N a bewiesen. Damit eine Folge (a n ) n N eine Cauchyfolge ist, reicht es nicht aus, das sich aufeinanderfolgende Folgenglieder immer näher kommen, die Cauchybedingung ist wesentlich stärker. Beispielsweise ist die durch a n = n gegebene Zahlenfolge nicht nach oben beschränkt, es ist sogar ( n) n N +, also ist ( n) n N insbesondere keine Cauchyfolge. Andererseits gilt für jedes n N stets a n+ a n = n + n = ( n + n) ( n + + n) n + + n = n + + n n +, und nach Lemma 4.(e,f) ist (a n+ a n ) n N eine Nullfolge. Satz 6.4 (Cauchy-Kriterium) Sei K {R, C}. Eine Folge (a n ) n N in K ist genau dann konvergent wenn (a n ) n N eine Cauchyfolge ist. Beweis: = Dies ist Lemma.(a). = Nach Lemma.(b) ist (a n ) n N beschränkt, hat also nach dem Satz von Heine- Borel Satz einen Häufungspunkt beziehungsweise eine konvergente Teilfolge. Nach Lemma.(c) ist (a n ) n N selbst konvergent. Wir kommen schließlich wieder zum Beispiel der rekursiv definierten Folge a 0 := 0 und a n+ := a2 n für alle n N -4

5 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 zurück. Wir haben bereits eingesehen, dass (a n ) n N eine Cauchyfolge mit 0 < a n < / für alle n N mit n 2 ist. Nach dem eben bewiesenen Satz ist (a n ) n N damit konvergent, und nach Lemma 5.(a) gilt [ a := lim a n 0, ]. Wenden wir die Rechenregeln für Grenzwerte an, so folgt weiter ( ) 2 a 2 lim a n n a = lim a n+ = lim = = a2, also ist a 2 + a = 0. Fassen wir dies als eine quadratische Gleichung für a auf, so ergibt sich da a 0 ist. a = 2 ± 4 + = ± 2 = a = 2 7 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a 0 + a + a 2 +. Die Summanden a i können dabei reell oder komplex sein. Historisch sind Reihen sehr viel älter als Folgen, und im Gegensatz zu den Folgen sind sie auch von eigenständigen Interesse. Wir hatten gesagt das Folgen und ihr Konvergenzbegriff ein Hilfsbegriff sind, auf den viele andere Grenzwertbegriffe zurückgeführt werden und dementsprechend werden wir unendliche Summen in Termen von Folgengrenzwerten definieren. Angenommen die Folge (a n ) n N ist gegeben. Dann betrachten wir die sogenannten Partialsummen s 0 := a 0, s := a 0 + a, s 2 := a 0 + a + a 2, und allgemein s n := a k, also die endlichen Summen die jeweils durch Summation der ersten n + Summanden unserer unendlichen Summe gebildet werden. Damit können wir definieren: Definition 7.: Sei K {R, C} und sei (a n ) n N eine Folge in K. Bezeichne ( ) (s n ) n N := a k -5 n N

6 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 die Folge der zugehörigen Partialsummen. Wir nennen die Reihe a n konvergent wenn die Folge (s n ) n N der Partialsummen konvergent ist und schreiben in diesem Fall Andernfalls heißt die Reihe divergent. a n := lim s n = lim a k. Oftmals bezeichnen wir mit dem Symbol a n auch die Folge der Partialsummen, selbst wenn die Reihe divergent ist. Dass das Symbol a n sowohl die Folge der Partialsummen als auch den eventuellen Grenzwert bezeichnet, ist normalerweise unproblematisch. Die jeweilige Bedeutung ist immer aus dem Kontext heraus klar. Außerdem schreiben wir mit einem weiteren Bezeichnungsmißbrauch auch einfach Sei a n eine Reihe, dies soll dann bedeuten, dass (a n ) n N eine Folge ist und wir beabsichtigen die zugehörige Folge der Partialsummen zu untersuchen. Genau wie bei Folgen betrachtet man auch Reihen mit einem beliebigen Startindex n 0 N anstelle des Startindex 0, zum Beispiel die Reihe n= /n2 mit dem Startindex n 0 =. Die Partialsummen sind in diesem Fall s n = n 0 +n k=n 0 a k für n N. Oft ist es in diesem Zusammenhang dann etwas bequemer auch für die Folge der Partialsummen einen anderen Startindex zu verwenden, beispielsweise s n = n k=n 0 a k für n N mit n n 0. Die hiermit verbundene Willkür ist dabei unproblematisch, da die Wahl des Startindex auf Konvergenz und eventuelle Summe der Reihe keinen Einfluß hat. Genau wie im vorigen Abschnitt formulieren wir die meisten Aussagem mit dem Startindex 0 oder, es sind aber implizit auch immer alle Reihen mit einem anderen Startindex mit gemeint. Lassen wir endlich viele Summanden am Beginn der Reihe einfach weg, so ändert sich nichts am Konvergenzverhalten der Reihe aber seht wohl am Grenzwert. In der Tat, ist a n eine Reihe und n 0 N, so hängen die Partialsummen s n = n a k der Originalreihe und t n = n 0 +n k=n 0 a k der verkürzten Reihe über die Beziehung s n = a k = 0 a k + k=n 0 a k = 0 a k + t n n0 für alle n N mit n n 0 zusammen, und somit konvergiert die Folge (s n ) n N genau dann wenn die Folge (t n ) n N konvergiert und in diesem Fall ist a n = 0 a n + n=n 0 a n. Wir wollen jetzt zwei einfache Beispiele von Reihen besprechen, und beginnen mit der Reihe n(n ). n=2-6

7 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 In diesem Beispiel können wir die Partialsummen s n explizit berechnen, dies haben wir bereits am Anfang von 6 getan. Im einleitenden Beispiel (4) von 6 hatten wir s n = k(k ) = n k=2 für alle n N mit n 2 nachgerechnet. Damit ist die Reihe konvergent und ihr Grenzwert ist ( n(n ) = lim ) =. n n=2 Das zweite Beispiel ist die sogenannte geometrische Reihe, dies ist die aus den Potenzen einer festen Zahl q C gebildete Reihe. Dieses Beispiel wird sich als derart wichtig herausstellen, dass wir es in einem Satz festhalten wollen. Satz 7. (Die geometrische Reihe) Sei q C. Dann ist die geometrische Reihe qn genau dann konvergent wenn q < ist, und in diesem Fall gilt q n = q. Beweis: Nach 6.Lemma 2 ist die n-te Partialsumme für jedes n N als { q n+ s n := q k, q, q = n +, q = gegeben. Für q = ist die Folge der Partialsummen (s n ) n N = (n + ) n N divergent. Nun sei q. Dann ist die Folge (s n ) n N nach 6.Satz 6.(a,b) genau dann konvergent wenn die Folge (q n+ ) n N konvergent ist und nach Aufgabe (22) ist dies genau dann der Fall wenn q < gilt. Ist q <, so ist nach Aufgabe (22) und 6.Satz 6.(a,b) auch q n = lim q n+ q = lim q n+ q = q. Wir wollen kurz einige konkrete Beispiele geometrischer Reihen durchgehen.. Die Folge 2 n = ist eine geometrische Reihe mit q = /2, nach dem Satz ist sie also konvergent mit der Summe 2 = n =

8 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag Wir berechnen die Zahl 0,. Nach der Definition der Dezimalschreibweise, die wir zwar streng genommen in dieser Vorlesung nie definiert haben aber trotzdem benutzen wollen, ist 0, = = ( ( In der Klammer steht im wesentlichen eine geometrische Reihe mit q = /0, und der Satz über die geometrische Reihe ergibt ( ) ( n ( ) n ( ) 0, = = ) = 0 0 = =. 0 n=. Als drittes und letztes Beispiel behandeln wir die Reihe 2 n = Dies ist eine geometrische Reihe mit q = /2, also ergibt sich ( ) n 2 n = ( 2 7. Grundeigenschaften von Reihen ) = 2. Über die Partialsummen sind Reihen vollständig auf den Folgenbegriff zurückgeführt, und wir können jetzt den ganzen in 6 entwickelten Apperat auf Reihen loslassen. Dies führt zu einer ganzen Sequenz von grundlegenden Sätzen, Lemmata und Beobachtungen über Reihen und ihre Konvergenz. Wir beginnen mit einer einfachen Beobachtung über den Zusammenhang von reellen und komplexen Reihen. Lemma 7.2 (Real- und Imaginärteil komplexer Reihen) Eine komplexe Reihe z n ist genau dann konvergenz wenn die beiden reellen Reihen Re(z n) und Im(z n) konvergent sind, und in diesem Fall gilt z n = Re(z n ) + i Im(z n ). Weiter ist eine reelle Reihe genau dann in R konvergent wenn sie in C konvergent ist. ). Beweis: Klar nach 6.Lemma.(d,e). Wie bei Folgen ist der komplexe Fall damit auch bei Reihen der allgemeine Fall. Nun wollen wir einsehen, dass die Summanden einer konvergenten Reihe eine Nullfolge -8

9 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 bilden müssen. Leider stellt sich heraus, dass die Umkehrung dieser Tatsache nicht gilt, eine Reihe deren Summanden gegen Null konvergieren ist im allgemeinen nicht selbst konvergent. Ein Beispiel hierfür werden wir bald sehen. Lemma 7.: Sei K {R, C} und sei a n eine konvergente Reihe. Dann ist (a n ) n N eine Nullfolge und die Folge (s n ) n N der Partialsummen der Reihe ist beschränkt. Beweis: Nach 6.Lemma 2.(a) ist die Folge (s n ) n N beschränkt, und nach 6.Satz 6.(a,b) ist die Folge (a n ) n = (s n s n ) n N eine Nullfolge, also ist auch die Folge (a n ) n N selbst eine Nullfolge. Im allgemeinen muss eine Reihe mit beschränkten Partialsummen nicht konvergent sein, es gibt aber einen wichtigen Spezialfall in dem dies doch zutrifft, nämlich wenn alle Summanden der Reihe reell und nicht negativ sind. Wir können für reelle Reihen sogar noch etwas weiter gehen und wie in 6.2 zusätzlich noch den Begriff der Konvergenz in den erweiterten reellen Zahlen R einführen, und dann können auch ± als Summen von Reihen auftauchen. Für Reihen mit konstanten Vorzeichen ergibt sich dann der folgende Satz: Satz 7.4: Es gelten: (a) Sind a n und b n zwei in R konvergente reelle Reihen mit a n b n für alle n N, so gilt auch a n (b) Eine reelle Reihe a n mit a n 0 für alle n N ist in R konvergent, und sie ist genau dann in R konvergent wenn a n < ist, wenn also die Folge der Partialsummen der Reihe beschränkt ist. b n Beweis: (a) Für jedes n N gilt auch für die Partialsummen der beiden Reihen die Ungleichung n a k n b k und mit 6.Lemma 5.(a) folgt die Behauptung. (b) Die Folge der Partialsummen der Reihe ist monoton steigend, also folgt dies mit 6.Satz.(a). Eine (b) entsprechende Aussage gilt natürlich auch für Reihen mit negativen Summanden. Wir können den Satz Satz 4 sofort zur Behandlung einiger weiterer Beispiele verwenden, wir wollen zeigen, dass die Reihe n= /n2 konvergiert. Nach dem Satz ist hierzu zu zeigen, dass ihre Partialsummen beschränkt bleiben, beziehungsweise das n= /n2 < gilt. Nun haben wir für jedes n N mit n 2 die Abschätzung /n 2 /n(n ) und damit folgt n= n = + 2 n=2 n n=2 n(n ) = 2 <.

10 Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 Dies beweist die Konvergenz der Reihe. Die Berechnung der Summe ist schwerer, und für uns an dieser Stelle noch nicht direkt möglich. Bereits Euler hat gezeigt, dass die Formel n = = π2 6 n= gilt. Etwas allgemeiner ist jetzt auch für jeden Exponenten k N mit k 2 n= n k n 2 <, 2 n= d.h. auch n= /nk konvergiert. Eine explizite Formel für diese Summe ist nur bei geraden k bekannt, und auch diese wurde bereits von Euler berechnet. -0

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