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1 3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind ( n N, auch üblich: n N {0} ) : { a n } = a 1, a 2, a 3,, a n. Man unterscheidet endliche Folgen mit n N < und unendliche Folgen mit n. Wir betrachten hier überwiegend unendliche Folgen. Die Vorschrift zur Vorgabe einer Zahlenfolge kann entweder in Form eines analytischen Ausdrucks oder in Form einer Rekursionsformel erfolgen. 1 = n² 1 Beispiel: Der analytische Ausdruck a n n N = a n (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,. 1

2 3.1.1 Arithmetrische Folgen (Rekursionsformel): Die Differenz benachbarter Glieder ist konstant: a n+1 - a n = d n N Beispiel: a n = 2n ergibt eine arithmetrische Folge 2, 4, 6, 8, 10, 12,. a n = a 1 + (n - 1) 2 => d = 2 2

3 3.1.2 Geometrische Folgen (Rekursionsformel): Der Quotient benachbarter Glieder ist konstant: a n+1 : a n = q n N a n+1 a n = q Beispiel: a n = 1 2 n ergibt eine geometrische Folge. 1 2, 1 4, 1 8, 1, a n = a 1 ( 1 2 ) n-1 => q = 1/2 3

4 3.1.3 Eigenschaften unendlicher Folgen: streng monoton fallend a n+1 < a n monoton fallend a n+1 a n streng monoton steigend monoton steigend konstant a n+1 > a n a n+1 a n a n+1 = a n x ist untere Schranke der Folge x a n n y ist obere Schranke der Folge y a n n beschränkte Folge alternierende Folge x a n y n Werte sind abwechselnd positiv und negativ 4

5 Beispiele a) a n = n 2 mit 1, 4, 9, 16, 25, 36,. ist unbeschränkt und streng monoton steigend. 1 ist die untere Schranke. b) a n = 1 mit 1, 1, 1, 1, ist eine beschränkte und streng n monoton fallende Folge. Die obere Schranke ist 1, die untere Schranke ist 0. c) a n = 1 n (-1)n mit -1, + 1 2, 1 3, + 1 4, 1 5, + 1 6, 1 7, ist eine alternierende (nicht monotone) Folge. Die obere Schranke ist 1/2, die untere Schranke ist -1. 5

6 3.2 Konvergenz von Folgen Die Werte der Folgen aus den Beispielen b) und c) nähern sich mit zunehmenden n immer mehr der Null an. 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1,0 b) c) Wenn sich eine Folge a n für n beliebig nahe an einen Wert a annähert, dann ist a der Grenzwert der Folge, d.h. die Folge konvergiert gegen a. Zur exakten Definition der Begriffe Grenzwert und Konvergenz 6 wird ε > 0 eingeführt (ε ist eine beliebig kleine, positive Zahl).

7 3.2.1 Grenzwert von Folgen Definition Grenzwert: Eine Zahlenfolge {a n } hat den Grenzwert a, wenn für alle ε > 0 eine Zahl n 0 N existiert, die die folgende Bedingung erfüllt: Für alle n n 0 gilt: a n a < ε. Der Grenzwert wird auch als Limes bezeichnet. Die gebräuchliche Schreibweise ist lim n a n = a. 7

8 8

9 3.2.2 Konvergente und divergente Folge: Eine Folge, für die ein Grenzwert existiert, heißt konvergente Folge. Eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a = 0 heißt Nullfolge. Konvergente Folgen sind immer beschränkt. Allerdings ist nicht jede beschränkte Folge konvergent! z.b. : 1 und -1 bilden sogenannte Häufungspunkte, d.h. in der Epsilon-Umgebung um 1 bzw. -1 liegen unendlich viele Glieder der Folge. Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert. 9

10 Divergente Folge: Eine divergente Folge ist eine nicht konvergente Folge. Beispiele: a n = (-1) n und a n = n². Arithmetrische Folgen sind divergent. Geometrische Folgen sind konvergent für q < 1 und divergent für q > 1. 10

11 3.2.3 Rechnen mit Grenzwerten Mit lim n a n = a und lim n b n = b gilt für lim n (a n bn ) = a b. 11

12 12

13 3.3 Reihen Definition: Eine Reihe ist die Summe der Elemente einer Folge. a n n=1 = a 1 + a 2 + a 3 + Eine Summationen von unendlich vielen Summanden ist in der Realität nicht möglich. n Man kann aber Partialsummen s n = n=1 a n an der Reihe betrachten: s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + a s n = a 1 + a 2 + a a n. 13

14 3.3.1 Harmonische Reihen 4,5 4,0 Harm.Reihe c) 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,

15 3.3.2 Geometrische Reihen q = 0,5 q = 0,9 4 2 q = 1 q = 1,

16 3.3.3 Eulersche Zahl ( spezielle Reihen ) 3,0 2,5 2,0 1,5 Euler-Reihe 1,0 0,5 0,

17 3.3.4 Potenzreihen Um eine Potenzreihe auf Konvergenz zu untersuchen, kann das Wurzelkriterium verwendet werden. Zuerst wird der folgende Grenzwert berechnet: 17

18 Bemerkung: Eine Sequenz von Produkten kann durch die folgende Kurz-Schreibweise dargestellt werden: 18

19 3.4 Konvergenz von Reihen Die Teilsummen s n bilden eine Folge. Wie wir zuvor gesehen haben, gibt es zwei Möglichkeiten: a) Die Folge mit den Gliedern a n konvergiert gegen einen Grenzwert S. In dem Fall ist evtl. auch die Reihe n=1 a n konvergent. Der Grenzwert der Reihe ist S und man schreibt: lim a n = S n n=1 = S. b) Die Folge mit den Gliedern a n ist divergent. In dem Fall ist auch die Reihe n=1 divergent. a n a n 19

20 3.4.1 Konvergenzkriterien Konvergenzkriterien für eine Reihe n=1 a n : a) Die Folge a n ist eine Nullfolge (Trivial Kriterium): d.h. lim n a n = 0. b) Majoranten - Kriterium: Gilt a n b n für alle n und ist n=1 b n konvergent, so ist auch n=1 a n konvergent. c) Quotientenkriterium: n=1 a n ist konvergent, wenn gilt: lim n a n+1 a < 1. n d) Wurzelkriterium: n=1 a n ist konvergent, wenn gilt: lim n n an < 1. e) Leibnizkriterium: Wenn a n eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergiert die alternierende Reihe 1 n a n n=1. 20

21 Hinweis: Mit dem Trivialkriterium können wir nur die Divergenz, aber im Allgemeinen nicht die Konvergenz einer Reihe nachweisen. Denn das Kriterium ist nur notwendig, nicht hinreichend. Die Voraussetzung, dass die Reihe konvergent ist, ist wichtig. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Dazu betrachte man das Gegenbeispiel der harmonischen Reihe. Die Reihe k=1 1/k ist divergent, obwohl die Folge 1/k eine Nullfolge ist. 21

22 Beispiel: n=1 a n mit 1 : n n n=1 a n = 1 n=1 = n n n n Mit Wurzelkriterium: n=1 a n ist konvergent, wenn gilt: lim n n a n = lim n 1 n n n = lim lim n n 1 n = 0 < 1 n an < 1. 22

23 3.4.2 Absolute Konvergenz n=1 Eine Reihe n=1 a n ist absolut konvergent, wenn a n konvergent ist. Absolute Konvergenz ist ein strengeres Kriterium als Konvergenz. Quotienten- und Wurzelkriterium zeigen absolute Konvergenz, das Leibniz-Kriterium nicht. 23

24 3.4.3 Divergenz - Kriterien 24

25 25

26 Wenn a = ist, ist die Reihe divergent. Wenn a hingegen eine endliche reelle Zahl ist, gilt: Gemäß des Wurzelkriteriums konvergiert die Reihe für r = 1/a wird der Konvergenzradius der Potenzreihe genannt. Eine Potenzreihe konvergiert für x < a und divergiert für x > a. 26

27 Wichtige Konvergenzkriterien für Folgen sind: Monotoniekriterium: Eine monotone Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist. Cauchy-Kriterium: Eine Folge reeller oder komplexer Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Wichtige Konvergenzkriterien für Reihen sind: Direkte Kriterien, die aus Eigenschaften der Partialsummenfolge der Reihe auf Konvergenz schließen, Vergleichskriterien 1. Art, die den Absolutbetrag bzw. die Norm der Reihenglieder mit einer bekannten Reihe vergleichen und Vergleichskriterien 2. Art, die die Quotienten der Absolutbeträge aufeinanderfolgender Glieder mit den entsprechenden Quotienten einer bekannten Reihe vergleichen. Quelle für die Übersichten auf diese rund der folgenden Seite: wikipedia 27

28 28

= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,.

= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,. 2 Folgen, Reihen, Grenzwerte 2.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind (n N; auch

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