Funktionenfolgen und Funktionenreihen

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1 8 Funktionenfolgen und Funktionenreihen Sei E C eine Menge. Eine Funktionenfolge auf E ist eine Folge {f n } n= von Funktionen f n : E C, und eine Funktionenreihe auf E ist eine Reihe der Gestalt u n (x) n= von Funktionen u n : E C. Beispiel 8.. Die Ausdrücke {x n } n= bzw. x n beschreiben eine Funktionenfolge n= bzw. -reihe mit f n = u n : C C, f n (x) = x n. 8. Punktweise und gleichmäßige Konvergenz Definition 8.. Man sagt, dass eine Funktionenfolge {f n } auf E punktweise gegen eine Funktion f : E C konvergiert, wenn f n (x) f(x) x E gilt, und dass diese Folge gleichmäßig auf E gegen f konvergiert, wenn fn (x) f(x) sup x E gilt. Eine Funktionenreihe u n (x) auf E konvergiert punktweise bzw. gleichmäßig, falls n= dies auf die Folge ihrer Partialsummen {S k } mit S k = u + u + + u k zutrifft. Bei gleichmäßiger Konvergenz schreibt man oft f n f. Satz 8.. Eine auf E gleichmäßig konvergente Funktionenfolge oder -reihe konvergiert auch punktweise.

2 8 Funktionenfolgen und Funktionenreihen Diese Aussage ist trivial, denn gilt sup fn (x) f(x), so gilt fn (x) f(x) insbesondere für jedes einzelne x E. x E Beispiel 8.. () Die Folge {f n } mit f n (x) = x n auf E = [, ] konvergiert punktweise gegen f mit { : x [, ), y y f(x) = : x =. f f 3 x n f(x) Es liegt aber keine gleichmäßige f Konvergenz vor, denn es gilt sup x n f(x) = n. x x x [,] () Für die Folge {f n } mit f n (x) = x + n x auf E = (, ] gilt f n f mit f(x) = x, denn sup f n (x) f(x) x = sup x (,] x (,] n = n. (3) Sei f n wie in der Abbildung auf E = [, ] erklärt: y n n n x Es gilt f n, aber f n ist falsch, denn sup f n (x) = n. x [,] Wir haben f n (x) dx = n n, f(x) dx =.

3 3 8. Punktweise und gleichmäßige Konvergenz (4) Betrachte die Funktionenreihe z n auf E = D := { z C : z < }. Für die n= Partialsummen dieser Funktionenreihe gilt bekanntlich s k (z) = + z + + z k = zk z z z D. Die Reihe konvergiert in D punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen z, denn sup s k(z) z D z = sup z k z D z k ( k ( ) = k ) k. k k }{{} e Für alle z r D := { z C : z < r }, r (, ), liegt aber auch gleichmäßige Konvergenz vor, denn sup s k(z) z r D z = sup z k z r D z rn r = o(). Satz 8. (Majorantensatz). Es seien {c k } k= eine reelle Folge mit c k > für alle k, u k : E C und gelte u k (x) c k für alle x E und alle k. Ist die Reihe c k k= konvergent, so konvergiert die Reihe u k (x) auf E gleichmäßig. k= Beweis. Betrachte die Partialsummen S n := n k= c k und f n (x) := n k= u k (x). Sei ε > gegeben. Da {S n } konvergiert, also eine Cauchy-Folge ist, existiert ein N = N(ε) mit ε > S n S m = c n + + c m+ n, m N : n > m N. Für diese n und m gilt dann also f n (x) f m (x) = u n (x) + + u m+ (x) u n (x) + + u m+ (x) c n + + c m+ < ε. Nach Satz 8. konvergiert { f n (x) }, also die Reihe u k (x), gleichmäßig. sin(n x) Beispiel 8.3. Die Reihe n n= sin(n x) n n= auf ganz R gleichmäßig konvergent. ist infolge n= n < k= x R

4 8 Funktionenfolgen und Funktionenreihen 4 8. Eigenschaften der Grenzfunktion bzw. der Summe Seien die Funktionen f n : E C stetig (integrierbar oder differenzierbar) und gelte f n f. Ist dann f ebenfalls stetig (integrierbar oder differenzierbar)? Zur Stetigkeit Seien die Funktionen f n : E C in x E stetig und gelte f n f. Dann gilt f ist stetig in x lim x x f(x) = f(x ) lim x x x x lim f n(x) = lim f n(x ) n n lim lim f n(x) = lim lim f(x). n n x x Das Problem, ob f in x stetig ist, ist also das Problem, ob zwei Grenzwertprozesse vertauscht werden können. Beispiel 8.4. Wir betrachten f n (x) = x n auf [, ]. Dann gilt f n f punktweise mit { : x [, ), f(x) = : x =, siehe Beispiel 8. (). Es ist f n auf [, ] stetig, f jedoch nicht. Punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge ist also zu schwach, um die Stetigkeit auf die Grenzfunktion hinüber zu retten. Satz 8.3. Seien die Funktionen f n : E C in x E E stetig. Gilt f n f auf E, so ist f in x ebenfalls stetig. Beweis. Seien δ, ε > gegeben. Wir haben f(x) f(x ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x ) + f n (x ) f(x ) mit f(x) fn (x) ε 3 x E und n = n (wegen f n f), fn (x ) f(x ) ε 3 für n = n, f n (x) f n (x ) ε 3 für n = n und x E : x x < δ. Für alle x E mit x x < δ ist somit f(x) f(x ) < ε. Nach dem ε-δ-kriterium der Stetigkeit ist f also in x stetig.

5 5 8. Eigenschaften der Grenzfunktion bzw. der Summe Korollar 8. (zu Satz 8.4). Seien die Funktionen u n : E C in x E E stetig. Konvergiert die Reihe u n (x) gleichmäßig auf E, so ist ihre Summe s in x stetig. n= Beweis. Man wende Satz 8.4 auf die Folge der Partialsummen S n := n u k (x) an. Zur Integrierbarkeit Seien f n R[a, b] und gelte f n f auf [a, b]. Ist dann auch f R[a, b] und gilt b b b lim f n (x) dx = f(x) dx = lim f n(x) dx, n n a a a d. h. kann man Integration und Limesbildung vertauschen? Beispiel 8.5. Betrachte die in der Abbildung dargestellte Funktion f n auf [, ]: y a(n) Es gilt f n punktweise auf [, ]. Es ist aber für n x k= a(n) = n: a(n) = n : a(n) = ( ) n n: f n (x) dx = f n (x) dx = f n (x) dx = ( )n n n = n n = n, f(x) dx =, konvergiert nicht.

6 8 Funktionenfolgen und Funktionenreihen 6 Punktweise Konvergenz ist also wiederum zu schwach. Satz 8.4. Seien f n R[a, b] und gelte f n f auf [a, b]. Dann ist f R[a, b] und es gilt b a f n (x) dx b a f(x) dx. Beweis. Wir zeigen zunächst f R[a, b]. Dazu sei ε > vorgegeben. Nach dem Beweis von Satz 7. reicht es zu beweisen, dass es eine Zerlegung P von [a, b] mit O(f, P ) ε U(f, P ) < ε gibt. Sei hierzu δ := 3(b a). Wegen f n f auf [a, b] gibt es ein n mit fn (x) f(x) < δ für jedes x [a, b], d. h. f n (x) δ < f(x) < f n (x) + δ x [a, b]. Für jede Zerlegung P von [a, b] folgt daraus O(f, P ) O(f n, P ) + δ (b a) = O(f n, P ) + ε 3 und analog U(f, P ) U(f n, P ) ε 3, d. h. O(f, P ) U(f, P ) O(f n, P ) U(f n, P ) + ε 3. Wegen f n R[a, b] gibt es eine Zerlegung P von [a, b] mit O(f n, P ) U(f n, P ) < ε 3, also O(f, P ) U(f, P ) < ε 3 + ε 3 = ε. Damit ist f R[a, b] gezeigt. Schließlich ist b a b f n (x) dx a f(x) dx = b a sup x [a,b] ( fn (x) f(x) ) b dx f n (x) f(x) dx a f n (x) f(x) (b a).

7 7 8. Eigenschaften der Grenzfunktion bzw. der Summe Korollar 8. (zu Satz 8.5). Seien u n Funktionen aus R[a, b] und möge die Reihe u n (x) auf [a, b] gleichmäßig konvergieren. Dann gehört auch ihre Summe s zu R[a, b] n= und es gilt b a s(x) dx = b n= a u n (x) dx. Beweis. Man wende Satz 8.5 auf die Partialsummen der Funktionenreihe an. Zur Differenzierbarkeit Seien die Funktionen f n in E differenzierbar und gelte f n f. Folgt daraus schon die Differenzierbarkeit von f und lim n d dx f n(x) = d dx f(x) = d dx lim n f n(x)? Es geht also um die Vertauschbarkeit eines Grenzwertprozesses mit Differentiation. auf [, ] gilt f n, aber f n(x) = cos(n x) konver- sin(n x) Beispiel 8.6. Für f n (x) = n giert nicht für jedes x [, ]. Hier ist also sogar die gleichmäßige Konvergenz zu schwach. Satz 8.5. Seien f n C [a, b] und gelte a) { f n (x ) } n= konvergiert für ein x [a, b], b) {f n} n= konvergiert gleichmäßig auf [a, b] gegen eine Funktion ϕ. Dann gilt. {f n } n= konvergiert auf [a, b] gleichmäßig gegen eine Funktion f C [a, b],. f n f.

8 8 Funktionenfolgen und Funktionenreihen 8 Beweis. Setze f(x) := x a ϕ(t) dt. Nach Satz 8.4 ist ϕ C[a, b] und nach dem Hauptsatz der Differential- & Integralrechnung gilt f C [a, b] sowie f = ϕ. Damit ist auch. gezeigt. Wir haben f n (x) f(x) x ( = f n (t) ϕ(t) ) x dt f n(t) ϕ(t) dt a a sup f n(t) ϕ(t) (b a) = o(), t [a,b] woraus sich. ergibt. Satz 8.5 gilt auch, wenn man statt der stetigen Differenzierbarkeit nur die Differenzierbarkeit der f n fordert. Dann ist der Beweis aber aufwändiger. Korollar 8.3 (zu Satz 8.5). Seien u n C [a, b] und gelte a) Die Reihe u n (x ) konvergiert für ein x [a, b], n= b) die Reihe u n(x) konvergiert gleichmäßig auf [a, b] und hat die Summe σ. n= Dann gilt. Die Reihe u n (x) konvergiert auf [a, b] gleichmäßig und hat die Summe s. C [a, b], n= u n(x) = s (x) für alle x [a, b]. n= Beweis. Wende Satz 8.6 auf die Partialsummen der Reihe an.

9 9 FOURIER-Reihen J. Fourier L. Fejér J. Gibbs U. Dini G. Dirichlet P. du Bois-Reymond D. Jackson P. Laplace 9

10 9 FOURIER-Reihen 9. Der Begriff der FOURIER-Reihe Definition 9.. Funktionen der Gestalt a n + a k cos(k x) + k= n b k sin(k x) (9.) oder der Gestalt n c k e ik x (9.) k= n mit a k, b k, c k C heißen trigonometrische Polynome (vom Grad n). k= Satz 9.. Die Menge aller Funktionen der Gestalt (9.) ist gleich der Menge aller Funktionen der Gestalt (9.). Beweis. Wir haben cos(k x) = eik x + e ik x, sin(k x) = eik x e ik x i für k Z und e ik x = cos(k x) + i sin(k x), e ik x = cos(k x) i sin(k x) für k. Satz 9.. Ist f(x) durch (9.) bzw. (9.) gegeben, so gilt a k = f(x) cos(k x) dx, π b k = f(x) sin(k x) dx π bzw. c k = f(x) e ik x dx.

11 9. Der Begriff der FOURIER-Reihe Beweis. Es gilt f(x) e ik x dx = n l= n = c k c l dx + Analog zeigt man die Formeln für a k und b k. e ilx e ik x dx = e i(l k)x c l i (l k) l k n l= n c l = c k. e i(l k)x dx Definition 9.. Funktionenreihen der Gestalt oder a + a k cos(k x) + b k sin(k x) (9.3) k= k= k= c k e ik x (9.4) mit a k, b k, c k C heißen trigonometrische Reihen. Die Summen der Reihen (9.3) und (9.4) definiert man als die Grenzwerte von (9.) bzw. (9.) für n. Definition 9.3. Sei f R[a, b]. Die in Satz 9. angegebenen komplexen Zahlen a k, b k und c k nennt man die FOURIER -Koeffizienten von f und die mit diesen Koeffizienten gebildeten Reihen (9.3) und (9.4) nennt man die FOURIER-Reihen von f in reeller bzw. komplexer Darstellung. Man schreibt dann häufig f(x) a + ( ak cos(k x) + b k sin(k x) ), f(x) k= k= c k e ik x. Wir halten folgende Analogien fest: Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83), französischer Mathematiker und Physiker. Beschäftigte sich u. a. mit der Wärmeausbreitung in Festkörpern. In diesbezüglichen Abhandlungen tauchten erstmals seine Fourier-Reihen auf.

12 9 FOURIER-Reihen (algebraische) Polynome trigonometrische Polynome, Potenzreihen trigonometrische Reihen, Taylor-Koeffizienten Fourier-Koeffizienten, Taylor-Reihen Fourier-Reihen. Es stellen sich folgende Fragen:. Für welche x konvergiert die Fourier-Reihe einer Funktion f und in welchem Sinne (punktweise, gleichmäßig, etc.)?. Wenn die Fourier-Reihe konvergiert, was ist ihre Summe? Ist die Summe gleich f(x)? Die Konvergenz von Fourier-Reihen ist weitaus delikater als die von Taylor-Reihen. Konvergenz trigonometrischer Polynome entspricht etwa der Frage nach der Konvergenz einer Potenzreihe auf der Konvergenzkreislinie ( denn a k z k wird für z C mit z = zu a k e ik x).

13 3 9. Orthogonale Funktionensysteme 9. Orthogonale Funktionensysteme Wir bezeichnen mit RL [a, b] den linearen Raum R[a, b] mit dem Skalarprodukt b f, g = f(x) g(x) dx a f, g R[a, b]. Ein System {ϕ k } von Funktionen aus R[a, b] heißt ein Orthogonalsystem bzw. ein Orthonormalsystem, wenn {ϕ k } ein solches in RL [a, b] ist, wenn also ϕ k, ϕ l = für k l bzw. ϕ k, ϕ l = δ kl gilt. Beispiel 9.. () In RL [a, b] sind { e ik x } k= oder auch { } { } π cos(k x), sin(k x) π k= Orthonormalsysteme. () Die Legendre-Polynome { P n (x) } n= mit P n (x) := n n! d n [ (x dx n ) n], x [, ], bilden ein Orthogonalsystem in RL [, ]. Definition 9.4. Sei {ϕ k } ein Orthonormalsystem in RL [a, b]. Für f R[a, b] heißen die Zahlen b f k := f, ϕ k = f(x) ϕ k (x) dx a die FOURIER-Koeffizienten bezüglich des Systems {ϕ k } und die Reihe k nennt man FOURIER-Reihe von f bezüglich des Systems {ϕ k }. f k ϕ k (x) Wir haben also f f, ϕ k ϕ k. k { : i = k, δ ik := bezeichnet das sogenannte Kronecker-Symbol. : i k,

14 9 FOURIER-Reihen Die Approximationseigenschaft der FOURIER-Reihe f d(f, g) d(f, f ) f g V n Sei {ϕ k } k= ein Orthonormalsystem in RL [a, b] und sei V n := span(ϕ,..., ϕ n ) der von {ϕ k } k= erzeugte lineare Unterraum. Für gegebenes f R[a, b] interessiert man sich für die bestmögliche Approximation durch eine Funktion aus V n, d. h. durch eine Linearkombination der {ϕ k } k= (siehe Abbildung) mit d(f, V n ) = f f = inf g V n f g, wobei =,. Beispiel 9.. Sei {ϕ,..., ϕ n+ } = { e ik x / } n. Man interessiert sich für die k= n bestmögliche Approximation einer Funktion f R[a, b] durch ein trigonometrisches Polynom vom Grad n. Satz 9.3. Sei {ϕ k } k= ein Orthonormalsystem in RL [a, b], sei f R[a, b] und setze S n f := n f, ϕ k ϕ k. Ist p n := n δ k ϕ k ein beliebiges Element aus V n, so gilt k= b k= f(x) Sn f(x) dx b f(x) pn (x) dx, a a und Gleichheit tritt genau dann ein, wenn δ k = f, ϕ k für jedes k mit k n ist. In Bezug auf obiges Problem besagt dieser Satz, dass f S n f f p n p n V n gilt, mit Gleichheit genau für p n = S n f. Also existiert f und ist eindeutig bestimmt durch f = S n f.

15 5 9.3 Die Approximationseigenschaft der FOURIER-Reihe Beweis. Mit := b a und := n k= haben wir Folgendes: f p n dx = (f p n ) (f p n ) dx = f dx f p n dx f p n dx = f p n dx = δ k f, ϕ k, p n dx = f δ k ϕ k dx = δ k f p n dx + ( ) ( p n p n dx = δ k ϕ k k l = δ k ϕ k, p n dx, f ϕ k dx = δ k f, ϕ k, δ l ϕ l ) = k,l δ k δ l ϕ k, ϕ l und somit f p n dx = f dx δ k f, ϕ k δ k f, ϕ k + δ k δ k f, ϕk + f, ϕ k f, ϕ k }{{} = = f dx f, ϕ k + [ ][ ] f, ϕk δ k f, ϕk δ k = f dx f, ϕ k + f, ϕ k δ k. Für p n = S n f ist δ k = f, ϕ k für alle k und somit f S n f dx = f dx f, ϕ k. (9.5) Also ist f p n dx = f S n f dx + f, ϕ k δ k f S n f dx mit Gleichheit genau für f, ϕ k = δ k, k n. Aus Gleichung (9.5) folgt sofort

16 9 FOURIER-Reihen 6 Korollar 9.. Für f R[a, b] gilt die Besselsche Ungleichung f k b k= a f dx und damit das Riemannsche Lemma f k für k. Ist das Orthonormalsystem {ϕ k } k= vollständig (was das bedeutet, kommt in der Funktionalanalysis), und die Orthonormalsysteme aus Beispiel 9. () sind vollständig, so gilt in der Besselschen Ungleichung sogar Gleichheit, d. h., dann gilt die Parsevalsche Gleichung b f k = f dx. k= Sie gilt sogar für f L (a, b). Das Riemannsche Lemma gilt auch für f L (a, b) (Riemann-Lebesguesches Lemma). a

17 7 9.4 Elementare Konvergenztheorie 9.4 Elementare Konvergenztheorie Wir betrachten D n (x) := n k= n K n (x) := n + e ik x (DIRICHLETscher Kern), ( D (x) + D (x) + + D n (x) ) (FEJÉR 3 scher Kern). Satz 9.4. Es gilt. D n (x) = sin( (n + ) x) sin x, D n () = n +,. K n (x) = cos ( (n + ) x ), K n () = n +, n + cos x 3. D n (x) dx = 4. K n (x) x [, π], 5. K n (x) n + cos δ K n (x) dx =, für < δ x π. Beweis.. Wir haben (e ix ) D n (x) = (e ix ) (e inx e inx ) = e i(n )x + + e i(n+)x e inx e inx = e i(n+)x e inx, und Multiplikation mit e ix/ liefert Dass D n () = n + gilt, ist trivial. ( e } ix/ {{ e ix/ ) } Dn (x) = e i(x+ )x e (n+ }{{ )x }. =i sin x =i sin((n+ )x) 3 Leopold Fejér (88-959), ungarischer Mathematiker. Forschte auf den Gebieten harmonische Analysis und Fourier-Reihen.

18 9 FOURIER-Reihen 8. Wir haben weiterhin (n + ) K n (x) (e ix ) n = (n + ) D k (x) (e ix ) (e ix ) = n + k= n ( e i(k+)x e ik x) (e ix ) = ( e i(n+)x e inx + e inx e i(n+)x + + e i3x e ix e ix + e ix ) (e ix ) k= = e inx + e i(n )x + + e ix + e ix + e i(n+)x e inx e i3x e ix e ix e i(n+)x e inx e i3x e ix e ix + e inx + e i(n )x + + e ix + e ix + = e i(n+)x e i(n+)x, d. h. K n (x) = ei(n+)x e i(n+)x (n + ) (e ix ) (e ix ) = [ e i(n+)x + e i(n+)x] (n + ) [ (e ix + e ix ) + ] = cos( (n + ) x ) (n + ) [ cos x]. Außerdem ergibt sich mit der Regel von de l Hôspital K n () = n + lim cos ( (n + ) x ) = x cos x n + lim (n + ) sin ( (n + ) x ) x ( ) sin x (n + ) cos (n + ) x = lim = n +. x cos x 3. Mit folgt und somit : e ik x dx = k =, e ikx i sin(kπ) ik = ik = : k, K n (x) dx = n + π D n (x) dx = n k= n k= n e ik x dx = D k (x) dx = n + n =. k= 4. Das ist klar wegen cos ( (n + ) x ), cos x.

19 9 9.4 Elementare Konvergenztheorie 5. Schließlich gilt cos ( (n + ) x ) und cos x cos δ für < δ x π. Wir bezeichnen mit R die Menge der -periodischen Funktionen auf R, die auf [, ] Riemann-integrierbar sind, und mit C die auf R stetigen -periodischen Funktionen, z. B. y y x x f R f C Lemma 9.. Für f R ist a+ a f(x) dx von a unabhängig. Beweis. a+ a f(x) dx = = a a f(x) dx + f(x) dx + f(x) dx + f(x) dx + a+ f(x)dx } {{ } y:=x a f(y + ) dy = }{{} =f(y) f(x) dx. Satz 9.5. Seien f R und (S n f)(x) = n k= n f k e ik x die n-te Partialsumme bezüglich

20 9 FOURIER-Reihen { e ik x / }. Dann gilt k= (S n f)(x) = f(x t) D n (t) dt. Beweis. Wegen f k = f(τ) e ik τ dτ = (S n f)(x) = n k= n = = π f(τ) e ik τ dτ e ik x = f(τ) D n (x τ) dτ x x+π f(x t) D n (t) dt = f(τ) e ik τ dτ (nach Lemma 9.) ist f(τ) n k= n [t := x τ dτ = dt] f(x t) D n (t) dt. e ik (x τ) dτ Satz 9.5 besagt, dass S n f die Faltung von f mit dem Dirichletschen Kern ist: S n f = f D n. Satz 9.6 (Riemannsches Lokalisierungsprinzip). Das Konvergenzverhalten von { (Sn f)(x) } n= für f R hängt nur vom Verhalten von f in einer beliebig kleinen Umgebung von x ab. Präziser: Sind f, g R und gilt f(ξ) = g(ξ) für alle ξ (x ε, x+ε), so konvergieren (S n f)(x) und (S n g)(x) beide, und zwar mit demselben Grenzwert oder beide konvergieren nicht. Diese Tatsache ist erstaunlich, da man ja zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten die Funktion f auch überall außerhalb dieser Umgebung von x kennen muss.

21 9.4 Elementare Konvergenztheorie Beweis. Setze h := f g. Dann ist h(x t) = für t < ε. Nach Satz 9.5 ist (S n f)(x) (S n g)(x) = (S n h)(x) = = = t <ε ε t π h(x t) D n (t) dt h(x t) D n (t) dt + h(x t) D n (t) dt. { : t < ε Setze H(t) := h(x t) ε t π R. Wir erhalten sin(t/) : ε t π = = h(x t) D n (t) dt ε t π H(t) sin ( (n + ) t) dt (nach Satz 9.4) H(t) ei(n+ )t e i(n+ )t i = H(t) e it/ e int dt H(t) e it/ e int dt i i [ ] [ ] H(t) e it/ H(t) e it/ =. i i n dt n h(x t) D n (t) dt Letzteres ist die Differenz des n-ten Fourier-Koeffizienten von i H(t) eit/ und des n-ten Fourier-Koeffizienten von H(t) e it/, die nach dem Riemannschen Lemma gegen strebt. Satz 9.7 (Konvergenzkriterium von Dini 4 ). Es sei f R und für ein δ > gelte δ f(x + t) + f(x t) f(x) dt <. t

22 9 FOURIER-Reihen Dann gilt (S n f)(x) f(x). Beweis. Es gilt (S n f)(x) f(x) = = = = [ f(x t) f(x) ] Dn (t) dt [ ] f(x t) f(x) Dn (t) dt + [ f(x t) f(x) ] Dn (t) dt + [ f(x t) f(x) ] Dn (t) dt } {{ } ( ) [ ] f(x + t) + f(x t) f(x) Dn (t) dt }{{} =:ϕ(x) [ f(x + t) f(x) ] Dn (t) dt ( ( ): Substituiere s := t und nenne s wieder t ). Für ein ε mit < ε < δ ist also mit (S n f)(x) f(x) = ε ϕ(t) D n (t) dt + ϕ(t) D n (t) dt ε ε ϕ(t) D n (t) dt = ε ϕ(t) t und der Betrag hiervon ist nicht größer als ε ϕ(t) δ C t dt = C ϕ(t) t sin t δ dt sin ( (n + ) t) dt, ϕ(t) dt < η t t } ε {{ } für ε mit einer Konstanten C für ein hinreichend kleines ε = ε = ε (η). Setzen wir { : t ε, H(t) := ϕ(t) sin(t/) : ε < t π,

23 3 9.4 Elementare Konvergenztheorie so wird das zweite Integral mit ε = ε ϕ(t) D n (t) dt = ε H(t) sin ( (n + ) t) dt, und da H R, folgt, dass dieses für n gegen geht (Riemannsches Lemma). Dieses Integral ist also für alle n n (η) betragsmäßig kleiner als η. Insgesamt ergibt sich (S n f)(x) f(x) < η + η = η n n (η) für beliebig vorgegebenes η >. Definition 9.5. Eine Funktion f : [A, B] C heißt HÖLDER 5 -stetig, wenn es α (, ] und M (, ) gibt mit f(x) f(y) M x y α x, y [A, B]. Die Zahl α heißt HÖLDER-Exponent. Im Fall α = spricht man von LIPSCHITZ 6 -Stetigkeit. Seien f : [A, B] C und < α < β <. Dann gilt: f Lipschitz-stetig f Hölder-stetig mit β f Hölder-stetig mit α = f stetig. In der Tat, aus f(x) f(y) M x y für alle x, y [A, B] folgt f(x) f(y) M x y β x y β M (B A) β β x y }{{} =:M für alle x, y [A, B]. Analog zeigt man die anderen Implikationen. Genügt f einer Hölder-Bedingung mit α >, so ist f automatisch konstant, denn f(x) f(y) M x y +ε x, y [A, B] = f(x) f(y) x y = f (y) = y [A, B] = f = const. M x y ε für x y ( y [A, B] fixiert ) 5 Otto Hölder ( ), deutscher Mathematiker. Er lieferte grundlegende Beiträge zur Gruppentheorie. 6 Rudolf Lipschitz (83-93), deutscher Mathematiker. Forschte in vielen Gebieten der reinen und angewandten Mathematik.

24 9 FOURIER-Reihen 4 Beispiel 9.3. () Die Funktion f(x) = x, x [, ], ist stetig, aber nicht Lipschitzstetig. Denn würde f einer Lipschitz-Bedingung, etwa x y M x y = M x + y x y für alle x, y [, ], genügen, so folgte daraus der Widerspruch M x + y für x, y. Diese Funktion ist aber Hölder-stetig mit α =, denn für x > y gilt x y (x y) = x x y + y x y = x y. { : x =, () Betrachte f(x) = / log x : < x Diese Funktion ist nicht Hölder-stetig.. Genügte sie einer Hölder-Bedingung, so würde insbesondere f(x) f() M x α, gelten, woraus sich der Widerspruch ergäbe. Aber f ist natürlich stetig. also M xα log x für x log x M xα Satz 9.8. Sei f R in einer (beliebig kleinen) Umgebung von x Hölder-stetig. Dann gilt (S n f)(x) f(x). Beweis. Wir haben f(t ) f(t ) M t t α und damit f(x + t) + f(x t) f(x) f(x + t) f(x) f(x) f(x t) + t t t M tα + M tα = M t t t α. Wir wissen aber, dass δ dt < gilt. Die Behauptung folgt also aus Satz 9.7. t α

25 5 9.4 Elementare Konvergenztheorie Ist also f ein bisschen besser als stetig, so konvergiert die Fourier-Reihe. Stetigkeit allein reicht nicht aus (dies wurde 876 von du Bois-Reymond 7 bewiesen). Ein funktionalanalytischer Beweis dessen: (S n f)() = f( t) D n (t) dt definiert ein Funktional S n : C C für jedes n. Wäre nun { (S n f)() } für alle n= f C konvergent, so würde nach dem Satz von Banach-Steinhaus sup S n < n folgen. Wir haben aber S n = π = π D n (t) dt = π ( sin (n + ) t) t dt (n+ )π sin x x n+ n + dx = π D n (t) dt = π [ x := (n + ) t] (n+ )π sin x x sin ( (n + ) t) sin t dt dx für n. Bei Funktionen, die nur stetig sind, hilft folgender Trick. Anstelle von (S n f)(x) betrachtet man die sogenannten FEJÉRschen Mittel (σ n f)(x) := (S f)(x) + (S f)(x) + + (S n f)(x). n + Der Hintergedanke ist die CESÀRO 8 -Summation: lim a a + a + + a n n = a = lim n n n Beweisidee. Man zeigt zunächst, dass b n := n = a. n a k gegen geht, falls a n. Gelte dann a n a für ein beliebiges a R, und betrachte a n := a n a. Dann folgt b n := 7 David Paul Gustave du Bois-Reymond (83-889), deutscher Mathematiker. Theorie der Differentialgleichungen. Zeigte in einer Arbeit aus dem Jahre 873 die Existenz einer stetigen Funktion, deren Fourier-Entwicklung in einem Punkt divergiert (und widerlegte damit eine Vermutung von Dirichlet). Gab als erster einen strengen Beweis des Mittelwertsatzes der Integralrechnung. 8 Ernesto Cesàro (859-96), italienischer Mathematiker. Abhandlungen zu Themen aus Arithmetik, Funktionentheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie und Differentialgeometrie. Er interessierte sich auch für Zahlentheorie und trug zur Verbreitung der Maxwellschen Elektrodynamik bei. k=

26 9 FOURIER-Reihen 6 n n a k = b n a. k= Es kann aber sein, dass a + a + + a n n {a n } divergiert. für n konvergiert, obwohl die Folge Beispiel 9.4. Wir betrachten die Reihe n= ( ) n = + ±. Die Folge ihrer Partialsummen {,,,,...} divergiert, aber ihre Cesàro-Mittel sind ungefähr n n. Satz 9.9 (Fejér). Für f C gilt (σ n f) f auf R. Beweis. Wir haben (σ n f)(x) = n + n (S k f)(x) = n + k= = (n + ) und damit nach Satz 9.4, Punkt 4 (σ n f)(x) f(x) = n k= n f(x t) D k (t) dt = k= }{{} =(n+)k n(t) [ ] f(x t) f(x) Kn (t) dt Sei ε > gegeben. Dann existiert ein δ > mit f(x t) D k (t) dt f(x t) f(x) < ε für t δ und x R, da f auf R gleichmäßig stetig ist. Es folgt f(x t) K n (t) dt f(x t) f(x) K n (t) dt. δ δ f(x t) f(x) K n (t) dt ε δ δ K n (t) dt < ε = ε.

27 7 9.4 Elementare Konvergenztheorie Nach Satz 9.4, Punkt 5, ist des weiteren f(x t) f(x) Kn (t) dt M t >δ M π M π t >δ t >δ n + K n (t) dt n + mit M := max x R f(x) cos δ dt cos δ ( δ) < ε für alle n n (ε). Somit ist (σ n f)(x) f(x) < ε für jedes x R und für alle n n (ε). Korollar 9. (zu Satz 9.9). Besitzen f, g C die gleichen Fourier-Koeffizienten, so gilt f = g. Beweis. Dies folgt wegen σ n f = σ n g aus Satz 9.9 Korollar 9.3 (zu Satz 9.9). Ist f C und gilt f k = für alle k Z, so ist f =. Beweis. Wende Korollar 9. mit g = an. Korollar 9.4 (zu Satz 9.9). Sind f, g C, so gilt. Konvergenz der Fourier-Reihe im quadratischen Mittel: f(x) (S n f)(x) dx für n,. Parseval 9 sche Gleichung: f(x) g(x) dx = k Z f k g k

28 9 FOURIER-Reihen 8 und insbesondere f(x) dx = f k. k Z Beweis.. Nach Satz 9.3 gilt f(x) (Sn f)(x) dx f(x) (σn f)(x) dx und aus Satz 9.9 folgt. Dies folgt aus und f(x) (σ n f)(x) dx (S n f)(x) g(x) dx = f(x) g(x) dx = n k= n n k= n f k f(x) (σ n f)(x) max x [,] } {{ } für n f k g k e ik x g(x) dx = (S n f)(x) g(x) dx f(x) (S n f)(x) dx n k= n f k dx. }{{} = e ik x g(x) dx f(x) (S n f)(x) g(x) dx } {{ } für n = o() (n ) ( : Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung). g(x) dx } {{ } < 9 Marc-Antoine Parseval ( ), französischer Mathematiker. Veröffentlichte seine Parsevalsche Gleichung ohne Beweis, da er die Aussage für offensichtlich hielt.

29 9 9.4 Elementare Konvergenztheorie Die Korollare 9. und 9.3 gelten sogar für f L (, ), das Korollar 9.4 gilt auch für f L (, ). Schließlich noch zwei Sätze, die wir hier nicht beweisen wollen. Satz 9. (Dirichlet, Jordan). Ist f R stückweise C, so gilt (S n f)(x) f(x ) + f(x + ) x R. Dieser Satz gilt auch für Funktionen von beschränkter Variation. Sei f auf [a, b] definiert und sei a = x < x < < x n = b eine beliebige Zerlegung von [a, b]. Ist nun die Menge aller Zahlen v mit v := n f(x i ) f(x i ) für alle möglichen Zerlegungen i= von [a, b] von oben beschränkt, so heißt f in [a, b] von beschränkter Variation (siehe z. B. Fichtenholz, Nr. 567). Satz 9. (Lipschitz). Ist f R und ist f Hölder-stetig auf [A, B], so konvergiert S n f gleichmäßig gegen f auf jedem Intervall [a, b] (A, B).

30 9 FOURIER-Reihen Beispiele Ist f R gerade, f(x) = f( x), so ist b n = π f(x) a + a n cos(n x), n= π f(x) sin(n x) dx =, d. h. wir haben a n = f(x) cos(n x) dx. π Gerade Funktionen lassen sich also in eine Kosinusreihe entwicklen. Für ungerade Funktionen, f(x) = f( x), aus R ist a n = π π f(x) cos(n x) dx = und wir erhalten eine reine Sinusreihe f(x) b n sin(n x), n= Beispiel 9.5. () f(x) = x für < x π. b n = f(x) sin(n x) dx. π y π π x Die -periodische Fortsetzung f von f ist ungerade und es gilt f R \ C. Sie lässt sich also in eine Sinusreihe entwickeln. Wir haben b n = π = x x sin(n x) dx = cos(n x) x d π n cos(n x) n π π + n π cos(n x) dx } {{ } = ( )n = n π Für < x < π ist die Bedingung aus Satz 9.7 (Dini) erfüllt, δ (x + t) + (x t) x t dt = δ dt =, = ( ) n+ n.

31 3 9.5 Beispiele d. h. die Fourier-Reihe konvergiert für alle x (, π). Wir erhalten ( sin x x = sin(x) + sin(3x) sin(4x) ) ±. 3 4 Für x = π ergibt dies π 4 = ±. Dies zeigte Leibniz 673 (als 7-Jähriger) auf anderem Wege. Dies faszinierte ihn dermaßen, dass er seinen Anwaltsberuf an den Nagel hing, um sich fortan der Mathematik zu widmen. () f(x) = x für < x π. Die -periodische Fortsetzung f von f ist gerade und aus C. Für x π ist (x + t) + (x t) x t y π π x = t, und für x = π ist f(x + t) f(x t) f(x) (π t) + (π t) = t 4π. t t Damit ist das Kriterium von Dini überall erfüllt. Für die Fourier-Koeffizienten gilt und für n ist a n = π a = π x cos(n x)dx = π = n ( )n+ n = ( )n 4 n. x dx = 3 x sin(n x) d = n n π x sin(n x) dx Also gilt ( x = π cos x 3 4 cos(x) + cos(3x) 3 cos(4x) ) 4 ±.

32 9 FOURIER-Reihen 3 Für x = π erhalten wir Die Frage nach der Summe von π = ( π ) π 6 = n= n = trat erstmals 644 bei Pietro Mengoli (66-686, italienischer Mathematiker) auf. Nachdem Leibniz 673 die Summe der Reihe berechnete, behauptete er öffentlich, n= ( ) n n+ jede beliebige Reihe aufsummieren zu können. Dies kam auch John Pell (6-685, englischer Mathematiker) zu Ohren, welcher Leibniz nach der Summe der Reihe fragte. Leibniz konnte das Problem nicht lösen und zog daraufhin seine n n= Ankündigung, jede Reihe aufsummieren zu können, wieder zurück. Erst 733 gelang es dem damals 5-jährigen Euler = π n n= 6 (allerdings auf anderem Wege) zu zeigen. (3) f(x) = x für x π. Man kann f zu einer geraden Funktion f C fortsetzen. Diese genügt überall der Dini-Bedingung (und ist auf ganz R sogar Lipschitzstetig). Die Fourier-Koeffizienten sind und für n a n = π = n π Für x π ist also a = π x cos(n x) dx = π cos(n x) x = π 4 π Für x = π erhalten wir π = f(x)dx = π x dx = π sin(n x) x d = sin(n x) dx n n π { : n gerade, 4 n π : n ungerade. ( cos x + cos(3x) 3 + cos(5x) ) 5 +. π = π 4 π ( 3 5 ), = π 8 =

33 Beispiele Sei S := , also S = 4 Wir erhalten erneut ( + + ) 3 + = ( ) π S S = π π + = 4S = 4 6. Im Folgenden soll dargestellt werden, wie L. Euler = bestimmte n n= 3 ( i. A. nennt man ζ(s) = + s + s 3 + Zeta-Funktion, wir wissen ζ() = ). Wir s versuchen den Wert von ζ() durch Aufsummieren zu erraten. Summiert man die ersten n Glieder, ergibt sich der Fehler (n + ) + (n + ) + n dx x = x n = n. Wollen wir nun ζ() bis auf Stellen nach dem Komma berechnen, so muss n =, d. h. n = sein. Nehmen wir an, dass ein Computer in der Lage ist, pro Sekunde 9 Summanden zu addieren, so benötigt dieser eine Rechenzeit von Sekunden (3 7 Jahre). Da wir nicht so viel Zeit zur Verfügung haben, investieren wir etwas Mathematik. Dazu betrachten wir die Reihe n= Dann haben wir und n (n + ) = = ± =. n= n= ( ) n = n (n + ) ( ) n = ζ() n (n + ) n= ( n n ) = n + n= n (n + ). Brechen wir jetzt die Summation nach dem n-ten Glied ab, ist der Fehler (n + ) 3 + (n + ) 3 + n dx x 3 = x n = n. Mit = ergibt sich n = /.7 und der Computer braucht nur noch n.7 / 9 = 7 Sekunden.

34 9 FOURIER-Reihen 34 Euler besaß aber keinen Computer. Er ging stattdessen so an die Sache heran: n= n = x n dx = n n= = log( x) dx = x x n dx n n= }{{} =+ x + x 3 + / log( x) x dx + / log( x) x dx, } {{ } ( ) unter Verwendung der Taylor-Reihe von log( x) an der Stelle. Das Integral log( x) dx besitzt leider keine elementare Stammfunktion. Führt man aber in x ( ) die Substitution y := x aus und bezeichnet y wieder mit x, so ergibt sich / log( x) x dx = / log x x dx = / = log x log( x) / = ( log / ) + unter Verwendung von : lim log x log( x) = lim log ( x y y log ) y = lim ( log y y ( )) y + y O log x d [ log( x) ] / log( x) x = lim log( x) d log x dx, ( log y y = y y 3y 3 (der letzte Limes ist, da log y für y langsamer als jede Potenz von y gegen strebt). Wir erhalten also n= / n = (log log( x) ) + x = (log ) + n= n n dx = (log ) + n = (log ) + n= / n n. n= x n n dx )

35 Beispiele Soll der Fehler wieder sein, ergibt sich = dx x x n n n ( e log ) x e ( log )x dx = n log n = n log n. Nimmt man hierin statt, so erhält man n log n, was für n = 56 erfüllt ist. Euler summierte also etwa 56 Glieder der Reihe auf und erhielt ζ() = n= n n Er konnte die Berechnung tatsächlich so durchführen, da er die Mittel der Differentialund Integralrechnung (dank Newton und Leibniz) schon zur Verfügung hatte. Das war Vorgeplänkel. Nun zu Eulers Beweis. Bekannt war ihm der Vieta sche Wurzelsatz: Sind a, b die Nullstellen des quadratischen Polynoms x + A x + B, so gilt A + B = a und a b = B, denn x + A x + B = (x a) (x b) = x (a + b) x + a b. Wissen wir also, dass das quadratische Polynom x + A x + B zwei Nullstellen a und b hat, so kennen wir a + b, a b und a + b = (a + b) a b = A B. Euler versuchte, dies auf Polynome unendlichen Grades auszudehnen. Da diese aber keinen höchsten Koeffizienten haben, normieren wir das Absolutglied zu. Für Polynome dritten Grades gelingt das wie folgt. Sind a, b und c (ggf. mehrfache oder komplexe) Nullstellen von x 3 + A x + B x + C, so gilt x + A x + B x + C = (x a) (x b) (x c) und ( a) ( b) ( c) = C. Setzen wir C voraus und dividieren obige Gleichung durch C, so bekommen wir + B C x + A C x + C x3 = x a x b x c ( = x ) ( x ) ( x ). a b c a b c Setzt man noch α := B C, β := A C und γ := C, so ergibt sich a + b + c = α, a b + a c + b c = β, a b c = γ. Das klappt für Polynome beliebigen Grades. Euler nahm den Grad, d. h. er betrachtete + α x + β x + γ x 3 + François Viète (54-63), französischer Mathematiker. Wichtige Beiträge zur Trigonometrie, wertvolle Vorarbeiten zur Infinitesimalrechnung, beschrieb als erster π in Form eines unendlichen Produkts.

36 9 FOURIER-Reihen 36 (wir nennen das heute eine Potenzreihe) und erhielt, dass für die Nullstellen a, b, c,... dieses Polynoms gilt: und damit a + b + c + = a + b + c + = α, a b + a c + b c + = β Als Polynom vom Grad wählte Euler ( a + b + ) ( c + a b + a c + ) b c + = α β. (9.6) sin x = x + x3 3! x5 5! + x7 7!. (9.7) y 3π π 5π x Alle Nullstellen dieses Polynoms unendlichen Grades treten doppelt auf. Nach Gleichung (9.6) ist also ( 4 π ) 7 + = ( ) =, d. h. Wie im Beispiel 9.5 (3) ergibt sich daraus = π 8. n= n = = π 6. Gegen Eulers Beweis sprechen z. B. folgende zwei Einwände:

37 Beispiele. Um den Wurzelsatz von Vieta derart auf Polynome beliebigen Grades erweitern zu können, muss man sicher sein, alle Nullstellen des Polynoms erwischt zu haben. Insbesondere bedeutet das, dass man ggf. auch alle komplexen Nullstellen kennen muss. Aus heutiger Sicht ist das aber kein Problem, denn für alle z = x + i y C gilt sin z = = cos z = eiz + e iz = ei(x+iy) + e i(x+iy) = ey + e y } {{ } =:R = = e y (cos x + i sin x) + e y (cos x i sin x) cos x i ey e y sin x = } {{} =:I Letzteres ist aber genau dann, wenn R = I = gilt. Setzt man nun R =, so ergibt sich wegen ey + e y für jedes reelle y, dass cos x = sein muss. Setzt man nun I =, so ergibt sich wegen sin x = cos cos x= x =, dass e y e y = gelten muss, und das ist nur für y = erfüllt. Damit ist gezeigt, dass (9.7) nur reelle Nullstellen besitzt.. Euler benutzt a + b + c + = = ( a + b + ) ( c + a b + a c + ) b c + mit der Reihe a + b + c + d + = ±, die nicht absolut konvergiert. Ihm war aber noch nicht bekannt, welche schlimmen Ausmaße das Rechnen mit nicht absolut konvergenten Reihen haben kann. Damit beschäftigten sich erst später Cauchy und Weierstraß. Diese (und andere) Einwände ändern aber nichts an der Genialität des Beweises. Euler untersuchte = ζ(s) auch für s > auf gleichem Wege. Es stellt sich heraus, n= n s dass dies nur für gerade s funktioniert. Für ungerade s ist der Wert von ζ(s) bis heute unbekannt. Man weiß nur, dass ζ(3) irrational ist. s = n π π π 6 π 8 π 69 π ζ(n) B n

38 9 FOURIER-Reihen 38 Welche Gesetzmäßigkeit steckt dahinter? Das sind die BERNOULLI -Zahlen B n. Diese tauchen z. B. in der Taylor-Entwicklung von f(x) = x e x auf: Euler zeigte später x e x = x + ( ) n+ x n B n (n)!. n= ζ(n) = ( ) n ()n (n)! B n. Er nahm die Einwände gegen seinen Beweis sehr ernst und reparierte ihn, indem er die Formel ) sin x = x ( x n π bewies. Es gilt x n= n= ) ( x n π = x x 3 n π ±. n= Andererseits ist aber sin x = x 3! x3 ±. Koeffizientenvergleich liefert n= n π = 3! = n = π 3! = π 6. Später lieferte Euler sogar noch einen völlig anderen Beweis. Dazu betrachtete er zunächst die Taylor-Reihe von : x x = ( x ) n= ( / = n n= ) ( x ) n, wobei ( ) / = ( ) ( n + ) = ( )n n n! n n! 3 (n ) = ( )n (n )!!. (n)!! Damit ist = + x n= (n )!! (n)!! x n. Jakob Bernoulli (654-75), schweizer Mathematiker und Physiker. Trug wesentlich zur Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie, Variationsrechnung und zur Untersuchung von Potenzreihen bei. Bearbeitete und verbreitete die Leibnizsche Infinitesimalrechnung zusammen mit seinem Bruder Johann.

39 Beispiele Integration dx = x + x n= (n )!! (n)!! x n dx ergibt arcsin x = x + n= (n )!! (n)!! x n+ n + + C. Setzt man darin x =, erhält man C =. Dividiert man nun durch x und integriert von bis, bekommt man Dabei ist arcsin x x dx } {{ } =:I I = π/ I 3 = = x dx + x } {{ } =:I n= arcsin x d sin x = arcsin x sin n+ t cos t cos t dt = π/ (n )!! (n)!! = π 8, sin n+ t dt n + Bsp. 7.5 = x n+ dx. x } {{ } =:I 3 (n)!! (n + )!! mit der Substitution : x = sin t dx dt = cos t dx = cos t dt. Das Integral I ergibt sich für n = aus I 3. Also gilt π 8 = + (n + ) = n=

40 9 FOURIER-Reihen Glattheit der Funktion und Abfallen der FOURIER-Koeffizienten Satz 9.. Seien f, f,..., f (m ) C und f (m) R, m. Dann gilt ( ) f k = o k m für k. Beweis. Wir haben f k = f(x) e ik x dx = = f(x) e ik x i k }{{} = + i k f(x) d e ik x i k e ik x df(x) = i k f (x) e ik x dx, und für m = liefert das die Behauptung, denn nach dem Riemannschen Lemma gilt Für m ist analog [f ] k = f (x) e ik x dx. f k = i k = = f (x) e ik x dx = (i k) m (i k) f (m) (x) e ik x dx. } {{ } f (x) e ik x dx ( ) Satz 9.3. Seien m und f k = O k C m. für k. Dann ist f, f,..., f (m )

41 4 9.6 Glattheit der Funktion und Abfallen der FOURIER-Koeffizienten Beweis. Setze g(x) := k= f k e ik x. Differentiation ergibt g (x) =. g (m ) (x) = k= k= i k f k e ik x, (i k) m f k e ik x. Wegen ( ) (i k) m f k e ik x = O k konvergiert die letzte Reihe nach dem Majorantensatz von Weierstraß gleichmäßig. Wir erhalten also g, g,..., f m C. Aus g k = f k für alle k Z folgt schließlich f, f,..., f m C. Der Zusammenhang dieser beiden Sätze ist nicht perfekt. Das liegt aber in der Natur der Sache.

42 9 FOURIER-Reihen Das GIBBSsche Phänomen Hat f PC (stückweise C und -periodisch) in x einen Sprung, so gilt (S n f)(x) f(x ) + f(x + ) nach Satz 9. (Dirichlet, Jordan). Es ergibt sich dabei folgendes Bild: Immer entsteht eine Beule von etwa 8 % y mal Sprunghöhe (Überschwinger), die sich mit wachsendem n auf die Sprungstelle zubewegt. Dies nennt man das Überschwinger GIBBS sche Phänomen. Wir machen uns das an einem Beispiel klar. Sei { : x <, f(x) = : x π. a b x Es handelt sich um eine ungerade Funktion. Für ihre periodische Fortsetzung f gilt nun y x b k = π = π = { 4 kπ : f(x) sin(k x) dx sin(k x) dx = π k ungerade, : k gerade, cos(k x) k d. h. f(x) 4 π ). Wir betrachten die Partialsumme ( sin x + sin(3x) 3 + sin(5x) 5 + π T n (x) = 4 π ( sin x + sin(3x) + + sin( (n ) x ) ) 3 n Josiah Willard Gibbs ( ), US-amerikanischer Physiker. Arbeitete in den Gebieten statistische Mechanik, Vektoranalysis, elektromagnetische Theorie des Lichts.

43 Das GIBBSsche Phänomen und bestimmen deren Extremwerte. Wir haben π 4 T n(x) = cos x + cos(3x) + + cos ( (n ) x ) = eix + e ix + e3ix + e 3ix + + e(n )ix + e (n )ix = eix ( + e ix + + e (n )ix) + e ix ( + e ix + + e (n+)ix) = eix e nix e ix e nix + eix e ix = eix e nix e ix (e ix e ix ) + e ix = enix 4i sin x + e nix 4i sin x e nix e ix (e ix e ix ) = enix e nix 4i sin x = i sin(n x) 4i sin x = sin(n x) sin x = genau dann, wenn n x = k π, k. Die erste positive Nullstelle von T n ist damit x = π n, und der Wert von T n an dieser Stelle ist ( π ) T n = π n 4 n sin ( (k ) π ) n = k π k= n sin ( (k ) π ) n (n ) π n Das ist eine Riemannsche Integralsumme. Für n erhalten wir ( π ) T n n π sin x x k= dx.8. Das Gibbssche Phänomen ist damit auch für allgemeine Funktionen α + β f(t x) + g(t x), α, β, t R, f(x) wie oben und (S n g)(t) g(t), die in x = t einen Sprung haben, gezeigt. π n.

44 9 FOURIER-Reihen Die WEIERSTRASSschen Approximationssätze Satz 9.4 (. Weierstraßscher Approximationssatz). Ist f C, so existiert eine Folge {T n } n= trigonometrischer Polynome mit T n f auf R, d. h. max f(x) T n (x). x [,π] Beweis. Man nehme für T n die Fejérschen Mittel σ n f. Satz 9.5 (. Weierstraßscher Approximationssatz). Ist f C [a,b], so existiert eine Folge {P n } n= von Polynomen mit P n f auf [a, b], d. h. max f(x) P n (x). x [a,b] Beweis. Seien zunächst a =, b = π und f() = f(π). Dann kann f zu einer Funktion aus C fortgesetzt werden. Sei ε > vorgegeben. Nach Satz 9.4 existiert ein trigonometrisches Polynom T m (x) = x [, π]. Wir setzen C := m k= m m k= m c k e ik x mit f(x) T m (x) < ε für alle c k. Die Reihe e ix = + i x + (ix)! + konvergiert auf [ m π, m π] gleichmäßig gegen ihre Summe. Ist nun n hinreichend groß, so ist also e ix S n (x) < ε C x [ m π, m π] mit S n (x) := + i x + (ix)! + + (ix)n n!. Es ergibt sich also m T m(x) c k S n (k x) = m ( c k e ik x S n (k x) ) k= m k= m für jedes x [, π]. Setzen wir P n (x) := max x [,π] m k= m f(x) P n (x) < ε. m k= m c k S n (k x), so ist damit c k ε C = ε

45 Die WEIERSTRASSschen Approximationssätze f() + f(π) Seien nun a =, b = π und f() f(π). Wir setzen δ := und f() + f(π) betrachten g(x) := f(x) + δ x. Damit gilt g() = g(π) =. Nach dem eben Bewiesenen gibt es Polynome R n mit R n (x) g(x). Es folgt R n (x) δ x f(x). Seien schließlich a und b beliebig. Die Abbildung ϕ: [, π] [a, b], y (b a) y + (a + b) π, ist bijektiv. Wir finden also Polynome R n mit R n (y) f ( ϕ(y) ) für y [, π]. Die Umkehrabbildung von ϕ ist ϕ : [a, b] [, π], x x (a + b) π, b a womit P n (x) := R n ( ϕ (x) ) f(x) für x [a, b] gilt. Wir bleiben im Kontext von Satz 9.4, d. h. bei trigonometrischen Polynomen. Man definiert E n (f) := inf f T n, T n T n wobei g := max f(x) und Tn der Vektorraum aller trigonometrischen Polynome x [,π] vom Grad n seien. Die Zahlen E n (f) beschreiben also die bestmögliche Approximation von f durch ein trigonometrisches Polynom vom Grad n. Satz 9.4 besagt, dass E n (f) für alle f C gilt. Die Geschwindigkeit, mit der E n (f) gegen strebt, hängt von der Glattheit von f ab (das wird in der Approximationstheorie untersucht). Ohne Beweis führen wir dazu noch folgenden Satz an. Darin bezeichnet C m,α die Menge der -periodischen Funktionen, deren m-te Ableitung zu C gehört (α = ) bzw. deren m-te Ableitung zu C gehört und einer Hölder-Bedingung mit dem Exponenten α, < α, genügt, d. h. f (m) (x) f (m) (y) M x y α x, y R. Satz 9.6 (Jackson 3 ). (. Aus f C m,α, α, folgt E n(f) = O. Aus E n (f) = O ( n m+α ) n m+α ) für n. für n und < α < folgt f C m,α.

46 9 FOURIER-Reihen 46 Satz 9.7. Für f C gilt f S n f (L n + ) E n (f) mit L n := wobei D n (x) den Dirichlet-Kern meint. π Dn (x) dx, Es kann L n = 4 π log n + O() gezeigt werden. Beweis. Man kann zeigen, dass das Infimum in der Definition von E n (f) angenommen wird, also ein Minimum ist. Sei T n T n die bestmögliche Approximation von f. Wir schreiben f = T n + g und haben g = E n (f). Daraus folgt und wegen (S n g)(x) = f S n f = T n + g S n T n S n g g + S n g π g(x t) D n (t) dt ist S n g g Dn (t) dt. } {{ } =L n ( ) Satz 9.8. Sei f C mit f σ n f = o für n. Dann ist f konstant. n Beweis. Wir haben (σ n f)(x) = (S f)(x) + (S f)(x) + + (S n f)(x) n + = f + (f e ix + f + f e ix ) + + (f n e inx + + f + + f n e inx ) n + = (n + ) f + n f e ix + n f e ix + + f n e inx + f n e inx n + n n + k = f k e ik x. n + k= n 3 Dunham Jackson ( ), US-amerikanischer Mathematiker. Seine Forschungsgebiete waren Approximationstheorie und Statistik.

47 Die WEIERSTRASSschen Approximationssätze Es folgt ( f(x) (σn f)(x) ) e ik x dx = f k n + k n + Andererseits ist π ( f(x) (σn f)(x) ) e ik x dx f k = k n + f k. f(x) (σ n f)(x) ( ) dx = o. n Damit ergibt sich ( ) k n + f k = o n (n ) = n k n + f k (n ) = k f k =, d. h. f k = für alle k. Also ist f konstant. Fazit. Die Fejérschen Mittel konvergieren für jede Funktion aus C, aber eben nur langsam. Die Partialsummen der Fourier-Reihen konvergieren nicht für alle f aus C. Ist aber f ein bisschen besser als stetig, so konvergiert S n f, und zwar um so schneller, je glatter f ist.

48 9 FOURIER-Reihen Die schwingende Saite u π u F β F α x x + x π x x Folgende Überlegung stammt von Daniel Bernoulli 4 aus dem Jahre 753. Wir betrachten eine schwingende Saite (siehe Abbildung links). Dabei sei u(x, t) die Auslenkung dieser Saite an der Stelle x [, π] zum Zeitpunkt t. Im schwingenden Zustand wirkt auf die Saite an den Stellen x bzw. x + x die Kraft F (Abbildung links unten). Die Kraft F, mit der die Saite nach oben gezogen wird, ergibt sich also zu F = F sin α F sin β F tan α F tan β = F u x (x + x, t) F u x (x, t) = F u xx (ξ, t) x F u xx (x, t) x. Die Näherung gilt für kleine Winkel α, β. An der Stelle ging der Mittelwertsatz der Differentialrechnung ein. Andererseits ist F = Masse Beschleunigung nach oben. Ist ρ die Dichte des Materials der Saite, so ist also F = ρ x u tt (x, t). Es ergibt sich F u xx (x, t) x ρ x u tt (x, t), und im Grenzübergang u tt (x, t) = F ρ u xx(x, t) =: c u xx (x, t). Wir erhalten also eine partielle Differentialgleichung (die sogenannte Wellengleichung): u tt = c u xx. 4 Daniel Bernoulli (7-78), schweizer Mathematiker, Physiker und Mediziner. Arbeitete u. a. zusammen mit Euler an den nach ihnen benannten Gleichungen.

49 Die schwingende Saite Wir probieren es mit dem Ansatz u(x, t) = v(x) w(t). (9.8) Einsetzen in die Wellengleichung ergibt mit u tt = v(x) w (t), u xx = v (x) w(t) die Gleichung v(x) w (t) = c v (x) w(t) w (t) c w(t) = v (x) v(x). Die linke Seite hängt nicht von x und die rechte Seite nicht von t ab, also existiert eine Konstante λ mit w (t) c w(t) = v (x) =: λ. v(x) Wir betrachten zunächst die erste Differentialgleichung v (x)+λ v(x) =. Die allgemeine Lösung dieser ist v(x) = A cos ( λ x ) + B sin ( λ x ). Nehmen wir an, dass die Saite fest eingespannt ist, so haben wir die Randbedingungen u(, t) =, u(π, t) =. Dies wird nach Gleichung (9.8) für v() = v(π) = realisiert. Wir haben v() = A, d. h. v() = A = und v(π) = B sin ( λ π ), d. h. v(π) = B = oder λ π = n π. Für B = bekommt man nur die triviale Lösung v =, also u =, in der die Saite in Ruhe ist. Im uns interessierenden Fall B und λ = n erhalten wir die nichttriviale Lösung v n (x) = sin(n x). Die zweite gewöhnliche Differentialgleichung ist nun w n(t) + n c w n (t) =. Die allgemeine Lösung dieser ist w n (t) = A n cos(n c t) + B n sin(n c t). Eine spezielle Lösung für die fest eingespannte Saite ist somit u(x, t) = ( An cos(n c t) + B n sin(n c t) ) sin(n x). n= Jetzt kommen noch Anfangsbedingungen zum Tragen: Ausgangslage: Ausgangsgeschwindigkeit: u(x, ) = f(x), u t (x, ) = g(x).

50 9 FOURIER-Reihen 5 Wir haben damit u(x, ) = u t (x, t) = u t (x, ) = A n sin(n x) =! f(x), n= ( An n c sin(n c t) + B n n c cos(n c t) ) sin(n x), n= B n n c sin(n x) =! g(x). n= Setzen wir also f und g ungerade auf [, π] fort, so sind A n und B n n c gerade die Fourier-Koeffizienten.

51 5 9. Integraltransformationen 9. Integraltransformationen Sie verallgemeinern die Philosophie und sind von der Form Zeitbereich Frequenzbereich (T f)(λ) := F (λ) := I f(t) K(λ, t)dt. Dabei ist λ die Frequenz und t die Zeit. Mögliche Integraltransformationen sind beispielsweise. diskrete FOURIER-Transformation: F (n) :=. FOURIER-Transformation: oder f(t) e iλt dt oder (Ff)(λ) := F (λ) = 3. LAPLACE 5 -Transformation: f(t) e iλt (Lf)(λ) := F (λ) = f(t) e int dt, n Z, f(t) e iλt dt, λ R, dt oder Beispiel 9.6. Einige Laplace-Transformationen sind () (L)(λ) = () (Lt)(λ) = e λt dt = e λt λ t e λt dt = = λ. t d e λt λ = t e λt λ f(t) e iλt dt etc., f(t) e λ t dt, λ >. + λ e λt dt = λ. 5 Pierre Simon Marquis de Laplace (749-87), französischer Mathematiker, Physiker und Astronom. Erklärte Entwicklung des Sonnensystems (Kant-Laplace-Theorie). Begründer der Potentialtheorie, Entwicklung der Laplace-Gleichung und der Laplace-Transformation.

52 9 FOURIER-Reihen 5 (3) Allgemein gilt (Lt n )(λ) = n!, wie man z. B. durch vollständige Induktion zeigen λn+ kann. Etwas mehr zu Laplace-Transformation. Definition 9.6. Man sagt, eine Funktion f : R R habe exponentielles Wachstum der Rate höchstens λ >, wenn es ein reelles C > und ein t > mit f(t) C e λ t für alle t t gibt. Satz 9.9. Sei f eine auf [, ) stückweise stetige Funktion von exponentiellem Wachstum der Rate höchstens λ. Dann existiert die Laplace-Transformation (Lf)(λ) für alle λ > λ und ist absolut konvergent. Beweis. Nach Voraussetzung gibt es ein λ > mit f(t) C e λ t für jedes t t. Da f auf [, t ] stückweise stetig, also dort beschränkt ist, gibt es ein K > mit f(t) K für alle t mit < t < t. Infolge der Beschränktheit der Menge { e λ t : t t } gibt es ein M > mit f(t) M e λ t für alle t >. Damit gilt A f(t) e λt A dt M e (λ λ)t dt = Für λ > λ und A gilt somit M e (λ λ )t λ λ f(t) e λt dt Also konvergiert (Lf)(λ) für λ > λ absolut. M λ λ. A = M ( e (λ λ )A ). λ λ Satz 9. (Linearität). Habe f bzw. g die Laplace-Transformation (Lf)(λ) bzw. (Lg)(λ), und konvergiere diese für λ > λ bzw. λ > λ. Dann konvergiert die Laplace-Transformation ( L(α f + β g) ) (λ) von α f + β g, α, β R, für alle λ > max(λ, λ ) und es gilt ( ) L(α f + β g) (λ) = α (Lf)(λ) + β (Lg)(λ).

53 53 9. Integraltransformationen Dies ergibt sich sofort aus der Linearität des Integrals. Satz 9.. Sei f auf [, ) differenzierbar und von exponentiellem Wachstum der Rate höchstens λ, und sei f stückweise C auf [, ). Dann gilt (Lf )(λ) = λ (Lf)(λ) f() λ > λ. Beweis. Wir haben (Lf )(λ) = f (t) e λt dt = e λt df(t) = f(t) e λt f(t) d e λt. Mit f(t) C e λ t für alle t > t ergibt sich lim f(t) e λt = lim f(t) e λt C lim e (λ+λ)t =, t t t also lim t f(t) e λt = und damit (Lf )(λ) = f() + λ + λ f(t) e λt dt = λ (Lf)(λ) f(). Mit vollständiger Induktion kann man außerdem zeigen: Korollar 9.5 (zu Satz 9.). Ist f C n [, ), sind f, f,..., f (n ) von exponentiellem Wachstum der Rate höchstens λ und ist f (n) stückweise stetig auf [, ), so gilt n (Lf (n) )(λ) = λ n (Lf)(λ) λ k f (n k) () für alle λ > λ. k=

54 9 FOURIER-Reihen 54 Satz 9. (Faltungssatz). Die Funktionen f und g seien auf [, ) stückweise stetig und von exponentiellem Wachstum der Rate höchstens λ. Für ihre Faltung (f g)(t) := t f(t x) g(x) dx = t f(x) g(t x) dx gilt dann ( L(f g) ) (λ) = (Lf)(λ) (Lg)(λ). Beweis. Setzt man f und g auf (, ) durch die Nullfunktion fort, so ergibt sich (Lf)(s) (Lg)(t) = = = = f(s) e λs ds g(t) e λt dt = f(s) g(t) e λ(s+t) ds dt = f(s t) g(t) e λs ds dt = t (f g)(s) e λs ds = ( L(f g) ) (s) f(s) e λs ds g(t) e λt dt f(s t) g(t)e λs ds dt f(s t) g(t) dt e λs ds unter Verwendung der Substitution s := s t an der Stelle, der Nullfortsetzung von f auf (, ) bei und der infolge der absoluten Konvergenz von (Lf)(s) und (Lg)(t) erlaubten Vertauschung der Integrationsreihenfolge bei. Beispiel 9.7. Es sei die Differentialgleichung. Ordnung y + y y = 3e x, y() = y () =, zu lösen. Wendet man auf sie die Laplace-Transformation an, so ergibt sich ( L(y + y y) ) (λ) = ( L(3e x ) ) (λ) (Ly )(λ) + (Ly )(λ) (Ly)(λ) = 3(L e x )(λ) (Satz 9.) λ (Ly)(λ) + λ (Ly)(λ) (Ly)(λ) = 3(L e x )(λ) (Satz 9., Korollar 9.5),

55 55 9. Integraltransformationen also wegen (Ly)(λ) = (9.9) = Satz 9. = (L e αx ) = Die Faltung (e x e x ) e x ist x (e y e y ) e x y dy = e x x ( ) 3 λ + λ (L ex )(λ) = λ λ+ (L e x )(λ) ( (L e x )(λ) (L e x )(λ) ) (L e x )(λ), λ > ( L ( (e x e x ) e x)) (λ) e αt e λt dt = e(α λ)t α λ dy e x x α<λ = e 3y dy = x e x e x e 3y 3 λ α. (9.9) x = x e x + e x 3 Also ist y(x) = x e x + 3 e x + 3 ex die gesuchte Lösung der Differentialgleichung. + ex 3.

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