Vorbereitung: elektrische Messverfahren

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1 Vorbereitung: elektrische Messverfahren Marcel Köpke

2 Inhaltsverzeichnis 1 Ohmscher Widerstand Innenwiderstand des µa Multizets Innenwiderstand des AVΩ Multizets nbekannter Widerstand Wheatstone'sche Brückenschaltung Ohmmeter Kompensationsschaltung Innenwiderstand der Trockenbatterie Spule und Kondensator Gleichstromwiderstand einer Spule Induktivität und Verlustwiderstand einer Spule bei kleiner Frequenz Resonanzverhalten eines Parallelschwingkreises Wechselstromwiderstand von Spule und Kondensator Innenwiderstand des Sinusgenerators

3 1 Ohmscher Widerstand 1.1 Innenwiderstand des µa Multizets m den Innenwiderstand des µa Multizets zu messen wird ein 1kΩ Widerstand R und einen 10kΩ Regelwiderstand R(reg) mit dem µa Multizets in Reihe geschaltet. Zudem wird ein weiteres AVΩ Multizets parallel zum µa Multizets geschaltet. Die äuÿere Spannungsquelle liefert 6V. Abbildung 1.1: Innenwiderstand des µa Multizets Nun soll mit Hilfe des Regelwiderstandes ein Strom von I i = 1mA am µa Multizets eingestellt werden. Das Voltmeter zeigt dabei die am µa Multizets anliegende Spannung an. Der Innenwiderstand Ri I berechnet sich dann wie folgt: R I i = I i 1.2 Innenwiderstand des AVΩ Multizets Hier soll der Innenwiderstand des AVΩ Multizets mit den zuvor in 1.1 gemessenen Werten berechnet werden. Dabei wird angenommen, dass die Parallelschaltung des AVΩ Multizets den Gesamtstrom nur vernachlässigbar ändert. Der Innenwiderstand Ri des AVΩ 3

4 Multizets berechnet sich dann zuerst aus: R i = I I 0 mit I 0 dem Strom ohne AV Ω Multizet In einem zweiten Schritt wird dieser Wert nun verbessert. Dafür berechnet man zuerst den neuen Gesamtwiderstand R ges = R + R(reg) + RI i R i R I i + R i und berechnet mit diesen nun einen neuen Wert für den Gesamtstrom I i+1 = R ges sodass sich der Innenwiderstand jetzt wie folgt ergibt: R i = I i+1 I i = R + R(reg) + RI i R i R I i +R i I i Dieser Vorgang kann beliebig oft wiederholt werden. 1.3 nbekannter Widerstand m einen nbekannten Widerstand R x zu messen wird dieser mit einem weiteren 10kΩ Widerstand R in eine Messschaltung (siehe Abbildung 1.2 und 1.3) eingefügt. Abbildung 1.2: Spannungsrichtige Schaltung 4

5 Abbildung 1.3: Stromrichtige Schaltung Mann misst nun mit der spannungsrichtigen Schaltung und mit der stromrichtigen Schaltung. Dabei ergibt sich der Widerstand R x wie folgt: Spannungsrichtige Schaltung: I = R x = 1 1 R x + 1 R i 1 I 1 R i Stromrichtige Schaltung: I = R x + R I i R x = I RI i Damit man den Innenwiderstand des Spannungsmessgeräts vernachlässigen kann sollte dieser also möglichst groÿ sein. Entsprechend sollte der Innenwiderstand des Strommessgeräts möglichst klein sein. Vernachlässigt man diese beiden Werte so berechnet sich der gesuchte Widerstand für beide Messschaltungen einfach wie folgt: R x = I 5

6 1.4 Wheatstone'sche Brückenschaltung Abbildung 1.4: Wheatstone'sche Brückenschaltung Bei diesem Versuch wird der gesuchte Widerstand R x mit Hilfe einer Wheatstone'schen Brückenschaltung gemessen. Dabei wird zudem ein Strombegrenzungswiderstand R = 220kΩ zugeschaltet. m mit der Brückenschaltung zu messen müssen drei von vier Widerständen bekannt sein. Hier sind es R 1, R 2 und R 3 = 1kΩ, wobeir 1 und R 2 über ein lineares 1kΩ Potentiometer realisiert sind. Zudem muss der Strom I durch das Strommessgerät exakt Null sein! Dabei verhalten sich nun die Widerstände wie folgt: R x R 3 = R 2 R 1 mit R 1 oben und R 2 unten in der Schaltung R x = R 3 R2 R 1 Das Verhältnis R 2 R 1 lässt sich aus dem Längenverhältnis am Potentiometer bestimmen. Der Vorteil dieser Messmethode liegt in der stromlosen Messung. Dadurch spielt der Innenwiderstand des Messgeräts keine Rolle. Auÿerdem kann das eben angesprochen Verhältnis aus R 2 R 1 gut bestimmt werden und R 3 ist laut Aufgabentext ebenfalls gut bekannt, sodass das Messergebnis wohl eine entsprechende Genauigkeit zeigen wird. 1.5 Ohmmeter In diesem Versuch wird mit dem µa Multizet direkt ein Widerstand R gemessen. Dabei legt das Multizet eine Spannung an den Widerstand an und misst den resultierenden Strom I. Der Ausschlag ist damit proportional zu I. Mit Hilfe R x = I wird dann der Widerstand angegeben. So sieht man leicht ein, dass die Skala also proportional zu 1 R x sein muss. 6

7 Ein Ohmmeter mit linearer Skala verwendet zur Messung eine Wheatstone'sche Brückenschaltung mit einem linearen Potentiometer wie in 1.4! 1.6 Kompensationsschaltung Abbildung 1.5: Potentiometer m mit Hilfe einer konstanten Spannungsquelle s eine regelbare Spannung H zu realisieren kann man wie in Abbildung 1.5 gezeigt ein Potentiometer verwenden. Dabei berechnet sich die Klemmenspannung dieser Ersatzquelle wie folgt: H = R 2 R 1 + R 2 S Für den Versuch wird nun diese Ersatzquelle entgegengesetzt gepolt mit einer zu messenden Spannungsquelle 0 (hier die Trockenbatterie) in Reihe geschaltet. Abbildung 1.6: Kompensationsschaltung 7

8 Man regelt nun H so, dass die gemessene Dierenzspannung Null wird. Damit sind H und 0 gerade betragsmäÿig gleich groÿ. Tatsächlich existieren in der Realität keine wirklich konstanten Spannungsquellen, sondern die Spannung jeder Quelle nimmt bei einer Belastung (also Stromuss) meist auf Grund des Innenwiderstands ab. Der Vorteil an dieser Messmethode ist wiederum, dass hier stromlos gemessen wird, da eben keine Potentialdierenz zwischen den Anschlüssen der Quellen vorliegt. Somit erweist sich dieses Messverfahren bei Spannungsquellen, deren Innenwiderstand nicht vernachlässigbar klein ist, als sehr nützlich! 1.7 Innenwiderstand der Trockenbatterie m nun den Innenwiderstand R i der Trockenbatterie zu messen wird zusätzlich in die Schaltung aus Abbildung 1.6 eine Lastwiderstand R parallel zur Trockenbatterie ( 0 ) geschaltet, nachdem zuvor H und 0 abgeglichen wurden. Dadurch stellt sich eine gewissen Spannungsdierenz ein, sodass gilt: = R i I 0 = R I nd damit: R i = 0 R 8

9 2 Spule und Kondensator 2.1 Gleichstromwiderstand einer Spule Mit Hilfe des µa Multizets wird nun nach dem in 1.5 eingeführten Prinzip der Gleichstromwiderstand einer Spule gemessen. 2.2 Induktivität und Verlustwiderstand einer Spule bei kleiner Frequenz Abbildung 2.1: Spule in Reihe mit einem Widerstand Zur Messung der Induktivität L und des Verlustwiderstandes R L einer Spule werden wie in Abbildung 2.1 gezeigt eine Spule und eine Vorwiderstand R 1 (bzw. R V ) in Reihe geschaltet. Der Spannungsgenerator liefert einen sinusförmigen Wechselstrom mit f = 30Hz. Durch die Messung aller drei Spannungen 1 an Generator ( 0 ), Spule ( S ) und Vorwiderstand ( V ) kann nun die Induktivität und der Verlustwiderstand bestimmt werden. Das Zeigerdiagramm 2 in der komplexen Ebene sieht dann wie folgt aus (Abbildung 2.2): 1 Mit Spannung ist hier die Eektivspannung gemeint. 2 Zu nden auf: 9

10 Abbildung 2.2: Zeigerdiagramm (Quelle: Musterprotokoll Tobias Abzieher) Es liefert folgenden Zusammenhang (Kosinussatz): 2 S = V 2 0 V cos(ϕ) Auÿerdem gilt: cos(ϕ) = V 2 S 2 0 V (2.1) I = V R V (2.2) und cos(ϕ) = V + RL = V + R L I (2.3) 0 0 Damit erhält man mit Gleichungen (2.1), (2.2) und (2.3): R L = 0 2 V 2 S 2 2 V 2 R V Der Betrag der Impedanz der Spule ist gegeben durch: Z S = RL 2 + X2 L mit X L = ωl = 2πf L X L = ZS 2 R2 L mit Z S = S I = S R V V Hierbei ist X L die Impedanz der idealisierten Spule ohne Vorwiderstand. Damit folgt für die Induktivität: R V L = S 2 2πf ( 0 2 V 2 S 2)2 V 4 V 2 10

11 2.3 Resonanzverhalten eines Parallelschwingkreises Abbildung 2.3: Parallelschwingkreis (Quelle: Aufgabenblatt) In diesem Versuch wird das Resonanzverhalten eines LCR-Schwingkreises wie er in Abbildung 2.3 zu sehen ist untersucht. Dabei sollen die Eigenfrequenz ω 0, die Halbwertsbreite ω und der Resonanzwiderstand R r bestimmt werden. Resonanz tritt genau dann auf, wenn Spule und Kondensator gleiche Impedanz haben, da dann die Gesamtimpedanz des Schwingkreises vollständig (reell) durch die Impedanz des Widerstandes R gegeben ist und damit sich der Blindwiderstand vollkommen aufhebt. Für einen Wirkwiderstand = 0 und Blindwiderstand > 0 sperrt der Stromkreis, umgekehrt ist er oen und es tritt Resonanz auf. Anders ausgedrückt tritt genau dann Resonanz auf, wenn und I in Phase sind. ω 0 L = ω 0 = 1 ω 0 C 1 LC Die Halbwertsbreite ω ist genau derjenige Frequenzabstand zweier Frequenzen ω 1 und ω 2 bei denen die Hälfte der im Resonanzfall gemessen Spannung auftritt. Sie ist gegeben durch: ω = 3 R L Der Resonanzwiderstand ist derjenige Widerstand, der als Scheinwiderstand beim Anlegen der Resonanzfrequenz auftritt. Er ist endlich für normale Bauteil, da durch Wärmeverlustleistung der Bauteile der Schwingkreis einen Dämpfungsfaktor besitzt. Für 11

12 idealisierte Bauteile strebt er jedoch gegen unendlich. Es gilt: Damit erhält man schlussendlich: R r = r I R r = L RC = r R V 0 R = ω L 3 = ω2 R r 3 ω 2 0 L = 1 ω 2 0 C = ω R r 3 ω 2 0 C = 3 ω R r 2.4 Wechselstromwiderstand von Spule und Kondensator Nun soll mit direkter Messung von Spannung und Stromstärke I jeweils der Wechselstromwiderstand von Spule (R W S ) und Kondensator (R W K ) bei Resonanzfrequenz bestimmt werden. Hierbei gilt für die Spule: Z S = R 2 + ω0 2 L2 = R W S = I nd für den Kondensator: Z K = 1 ω 0 C = R W K = I Damit lassen sich Induktivität und Kapazität wie folgt bestimmen: RW 2 S L = R2 C = 1 ω 0 ω 0 R W K Es wird nicht das Verfahren wie in Abschnitt 2.2 gewählt, da die Frequenz nicht im Bereich von 30Hz sondern höher liegt. Dadurch kann der Verlustwiderstand der Bauteile vernachlässigt werden. 12

13 2.5 Innenwiderstand des Sinusgenerators Abbildung 2.4: Innenwiderstand des Sinusgenerators m den Innenwiderstand R i des Generators zu bestimmen wird das Potentiometer so eingestellt, dass an ihm gerade die Hälfte der Maximalspannung anliegt, denn dann ist der Widerstand des Generators gleich groÿ wie der des Potentiometers. Allgemein gilt für die Ausgangsleistung: P = G I = G R p + R i = ( R i I) R p + R i = ( R i ) R p + R i R p + R i = R p 2 (R p + R i ) 2 Damit die Ausgangsleistung maximal wird muss P R p P = 2 R i R p R p (R p + R i ) 3! 0 = = 0 gelten! Also gilt für die Maximalleistung: R i = R p P max = 2 4 R i 13