Praktikumsbericht. Gruppe 6: Daniela Poppinga, Jan Christoph Bernack. Betreuerin: Natalia Podlaszewski 11. November 2008

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1 Praktikumsbericht Gruppe 6: Daniela Poppinga, Jan Christoph Bernack Betreuerin: Natalia Podlaszewski 11. November

2 Inhaltsverzeichnis 1 Theorieteil Frage Versuchsteil Messung von Widerständen Messung mit verschiedenen Ohmmetern Strom/Spannungsmessung Wheatstonesche Messbrücke Beurteilung der unterschiedlichen Messmethoden Messung des Innenwiderstandes eines Funktionsgenerators Spezifischer Widerstand von Leitungswasser Brückenschaltung zur Messung von Widerstandsänderungen

3 1 Theorieteil 1.1 Frage 7 Für den Fehler gilt, dass es eine Ableseungenauigkeit l gibt. Diese wirkt sich auf beide Größen aus, sodass sich für den Fehler ergibt: Fehler = 1 2 ( l + l ) = 1 l 1 l 2 2 ( l l + ) (1) l 1 l gesamt l 1 Wählt man einen realistischen Fehler, z.b. 0,05cm, und geht von einer 100cm langen Messbrücke aus, ergibt sich als Graph folgendes Bild: 0.03 F(l) = 0,5 * (0,05/l + 0,05/(100 l) Messfehler / cm Länge l der Messbrücke / cm 1 Abbildung 1: Fehlerfunktion in Abhängigkeit von der gemessenen Länge l 1 Man erkennt, dass das Minimum genau bei 50cm liegt, sodass sich der minimale Fehler für l 1 = l 2 ergibt. 2 Versuchsteil 2.1 Messung von Widerständen In diesem Teil des Versuchs geht es darum einen unbekannten Widerstand mit verschiedenen Verfahren zu messen und dabei die jeweilge Genauigkeit zu ermitteln um später eine Aussage über die Güte der Verfahren machen zu können Messung mit verschiedenen Ohmmetern Bei diesem Verfahren wurde der Widerstand lediglich mit verschiedenen Ohmmetern gemessen. Es wurden einerseits Ohmmeter von verschiedenen Herstellern verwendet und andererseits verschiedene Ohmmeter eines bestimmten Herstellers. Die Ergebnisse werden in folgender Tabelle dargestellt, wobei jeweils 3

4 der in der Betriebsanleitung angegebene Fehler und der resultierende Fehler der Messung errechnet wurde: Ohmmeter R / kω Fehler laut Hersteller Messfehler / kω Fluke ,205 ± 0,9% ± 0,01 Fluke ,204 ± 0,9% ± 0,01 Fluke ,204 ± 0,9% ± 0,01 Kontrom DMM 3021 Nr ,197 ± 0,1% 0,001 Agilent 34405A 1,2027 k.a. k.a. Tabelle 1: Messergebnisse für den unbekannten Widerstand bei Messung durch verschiedene Ohmmeter Nach Mittlung der 5 Messwerte ergibt sich: R = 1 N N R i = 1 5 i=1 10 i=1 R i = 1,203kΩ (2) σ R = 1 N (R i R) N(N 1) 2 = 0,003kΩ (3) i=1 Es ergibt sich also ein Wert für den gesuchten Widerstand von 1,203 kω± 0,003 kω Strom/Spannungsmessung Bei diesem Verfahren wird eine Schaltung gemäß Abb. 2 aufgebaut und jeweils Spannung und Stromstärke am Volt- bzw. Amperemeter abgelesen. Abbildung 2: Schaltung zur Messung eines Widerstands (vgl. Skript S.72 Abb.2) Die Messwerte sind in Tab. 2 zu sehen. Resultierend aus den Messwerten, ergibt sich auch hier ein Wert für den unbekannten Widerstand aus folgendem Zusammenhang: 4

5 R = U, [R] = Ω (4) I Spannung U / V Stromstärke I / ma Widerstand R / kω 4,992 4,16 1,200 6,036 5,03 1,200 7,02 5,87 1,195 9,08 7,57 1,199 3,085 2,57 1,200 1,27 1,05 1,210 0,333 0,27 1,233 9,98 8,33 1,198 12,94 10,82 1,196 14,92 12,49 1,195 Tabelle 2: Messergebnisse für den unbekannten Widerstand bei Messung durch verschiedene Ohmmeter Aus den Messergebnissen für den Widerstand ergibt sich folgender Mittelwert R und die dazugehörige Standardabweichung σ R : R = 1 N N R i = 1 10 i=1 10 i=1 R i = 1,203kΩ (5) σ R = 1 N (R i R) N(N 1) 2 = 0,032kΩ (6) i=1 Somit ergibt sich aus den Messwerten für den unbekannten Widerstand ein Größe von 1,203 kω± 0,032 kω. Die Daten werden außerdem in einem Diagramm aufgetragen, sodass sich folgendes Bild ergibt: 5

6 Spannung U / V Spannung U / V ,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 Stromstaerke I / A Abbildung 3: Die gemessenen Spannugswerte wurden über die gemessenen Stromstärkewerte mit den jeweiligen Fehlern aufgetragen Anschließend können die Messpunkte linear gefittet werden. Die Steigung der Geraden entspricht dabei dem gesuchten Widerstand R. Es ergibt sich folgendes Bild: Spannung U / V Spannung U / V Lineare Anpassung von Spannung U / V 0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 Stromstaerke I / A Abbildung 4: Gemessene Spannungs- und Stromstärkewerte mit linearem Fit Für den Fit wurden dabei folgende Werte erstellt: 6

7 Abbildung 5: Errechnete Werte für den linearen Fit Laut Regression ergibt sich eine Steigung von 1194,38 mit einem Fehler von ±0,99. Die Steigung m stellt einen Wert für den gesuchten Widerstand dar, da folgender Zusammenhang für die gilt: m = U I = R (7) Für den gesuchten Widerstand ergibt sich nach dieser Methode also ein Wert von 1,194kΩ ±0,0009 kω. Zusätzlich muss jedoch gesagt werden, dass der Fit lediglich durch die einzelnen Messpunkte gelegt werden konnte (siehe. Abb. 4) und die bestehenden Fehler nicht berücksichtigt werden konnten. Der ermittelte Fehler ist somit zu gering und deshalb nur gesondert zu betrachten! Wheatstonesche Messbrücke Zuletzt wurde der unbekannte Widerstand durch eine Wheatstonesche Messbrücke bestimmt. Durch die beiden vorangegangen Messungen ist bereits bekannt, dass der Widerstand eine ungefähre Größe von 1,2kΩ hat, sodass an der Widerstandsdekade R 3 ein Widerstand von 1,2 kω eingestellt wurde, da dieser möglichst ähnlich zum gesuchten Widerstand gewählt werden sollte. Dies sollte so gewählt werden, da während des Versuchs die Messbrücke so eingestellt werden muss, dass kein Strom fließt. Sind die Widerstände gleich groß, wird der Draht dabei in zwei gleichlange Hälften geteilt, sodass l 1 und l 2 also gleich groß sind. Zur Veranschaulichung soll folgendes Bild dienen: Abbildung 6: Messbrücke zur Messung eines unbekannten Widerstands (vgl. Skript S.74 Abb.3) 7

8 Bei unserem Versuch ergab sich in der Tat eine identische Länge l 1 = l 2 = 500mm, sodass nach folgenden Zusammenhang gilt: R = R 3 l 2 l 1 = R 3 500mm 500mm = R 3 (8) Der Messfehler ergibt sich hierbei durch das Amperemeter. Bei unserem Versuch wurde das Kontrom DMM 3021 verwendet, das einen Messfehler von ± 0,1% beinhaltet, sodass sich ein Fehler von 0,0012 kω ergibt. Da R bekannt ist, gilt also für den gesuchten Widerstand eine Größe von R = 1,200 kω ± 0,0012 kω Beurteilung der unterschiedlichen Messmethoden Die drei verschiedenen Messmethoden ergeben zusammengefasst folgende Werte: 1. Messung mit verschiedenen Ohmmetern: 1,203 kω± 0,003 kω 2. Strom/Spannungsmessung (rechnerisch): 1,203 kω± 0,032 kω 3. (Strom/Spannungsmessung (graphisch): 1,194kΩ ±0,0009 kω) 4. Wheatstonesche Messbrücke: R = 1,200 kω ± 0,0012 kω Bei Betrachtung der vier Ergebnisse fällt zunächst auf, dass die 2. Methode den größten Fehler enthält. Dieses lässt sich leicht erklären, da hier für die Bestimmung des Widerstandes zwei Werte, Spannung und Stromstärke, gemessen werden mussten und sich so zwei Fehler ergeben. Für die graphische Bestimmung gilt der Vermerk in Kap , der besagt, dass der angegebene Fehler zu niedrig angegeben ist. Wären in die graphische Bestimmung die X- und Y- Fehler eingegangen, hätte sich ein ähnlich hoher Fehler wie in rechnerischen Bestimmung ergeben. Somit kann eine Widerstandsmessung durch Strom- und Spannungsmessungen nicht empfohlen werden. Die erste Methode, das einfache Messen durch ein Ohmmeter ergibt einen 10mal geringeren Fehler als die 2.Methode und ist somit zu empfehlen, da lediglich der Fehler des Ohmmeters entscheidend ist. In unserem Versuch wurden verschiedenen Messgeräte mit verschiedenen Fehlern (± 0,1% und ± 0,9%) verwendet. Würde man lediglich das Ohmmeter mit einem Messfehler von ± 0,1% verwenden, könnte man den eigentlichen Fehler einer Messreihe noch weiter verringern. Ein weiterer Vorteil dieser Methode ist der sehr einfache Aufbau, der z.b. bei der letzten Methode nicht gegeben ist. Die letzte Methode, die Bestimmung über die Wheatstonesche Messbrücke ist ebenfalls sehr genau, jedoch muss die Größe des unbekannten Widerstands ungefähr bekannt sein und dies ist ein entscheidener Nachteil dieser Methode. Ein Vorteil jedoch ist, dass ebenfalls nur eine Messung durch ein Messgerät getätigt werden muss. Die andere Messung ist die Längenmessung mit dem menschlichen Auge, die jedoch ebenfalls fehlerbehaftet ist, sodass sich ingesamt wieder zwei Messungen mit je einem Fehler ergeben. Abschließend kann also gesagt werden, dass die erste Methode, die Bestimmung mit einem Ohmmeter am besten zu beurteilen ist. Sie hängt lediglich von Fehler des Messgeräts ab und dieser kann durch die Wahl des richtigen Geräts minimiert werden. 8

9 2.2 Messung des Innenwiderstandes eines Funktionsgenerators Bei diesem Versuch soll der Innenwiderstand eines Funktionsgenerators bestimmt werden. Dazu wird an einen Funktionsgenerator, der ein sinusförmiges Signal liefert, eine Widerstanddekade angeschlossen. Der Spannungsabfall an jener Dekade wird mit einem Oszilloskop gemessen, indem jeweils die Spannungsamplitude gemessen wird. Zunächst wird an der Dekade ein Widerstand von 100kΩ eingestellt. Es ergibt sich am Oszilloskop eine Spannugsampitude von 4 V. Anschließend werden an der Dekade Werte zwischen 1kΩ und 20Ω eingestellt und jeweils die Spannungsamplitude am Ozsilloskop gemessen. Es ergeben sich folgende Messwerte mit jeweiligen Fehler (Voltmeter Fluke mit einem Fehler von ± 0,9%): R / Ω Spannungsamplitude U / mv Messfehler U / mv , , , , , , , , , ,15 Tabelle 3: Messergebnisse zur Bestimmung des Innenwiderstandes eines Funktionsgenerators mit jeweiligem Fehler Die verschiedenen Amplituden werden nun über die Widerstände auftragen und geeignet gefittet: 9

10 0,40 Spannung U / V HyperbolaGenFit 0,35 Spannung U / V 0,30 0,25 0,20 0,15 0, Widerstand R / Ohm Abbildung 7: Spannungsamplituden über die Widerstände aufgetragen und gefittet Für den Fit erstellt Origin folgende Tabelle: A B C D 1 Modell HyperbolaGen 2 Gleichung y = a - b/(1 + c*x)^(1/d) 3 Chi-Quadr Reduziert 0, Kor. R-Quadrat 0, Wert Standardfehler 6 a 0, , Spannung U / b 0, , V c 0, , d 0, ,07275 Abbildung 8: Von Origin erstellte Tabelle mit Informationen über den Fit Aus der Tabelle ergibt sich folgende Funktion: b f(x) = a (1 + cx) 1 d (9) Setzt man die Parameter ein, ergibt sich letztendlich folgende Funktion die den Verlauf beschreibt: 10

11 f(x) = 0,40 0,39 (1 + 0,02x) 1 0,99 (10) Laut Skript ergibt sich nun der gesuchte Innenwiderstand des Funktionsgenerators aus dem Wert bei dem die Spannung sich halbiert hat. Bei 1kΩ beträgt diese bei uns 0,380V. Es ist also der Widerstand gesucht, bei dem die Spannung 0,190V beträgt. Laut Abb. 7 und Abb. 3 ergibt sich dafür ein R 40Ω. Setzt man diese 40Ω für x in die Gleichung ein, ergibt sich: f(40) = 0,40 0,39 (1 + 0,02 40Ω) 1 0,99 = 0, 184V (11) Die Bestimmung durch Ablesen der Grafik ergibt also einen hinreichend genauen Wert, sodass sich letztendlich für den Innenwiderstand des Funktiongenerators ergibt: R Funktionsgenerator 40Ω (12) 2.3 Spezifischer Widerstand von Leitungswasser In diesem Versuch soll der spezifische Widerstand von Leitungswasser bestimmt werden. Dazu werden zwei rechteckige Kupferplatten in Leitungswasser getaucht und an eine Spannungsquelle angeschlossen. Dabei werden Spannung und Stromstärke abhängig zur Eintauchtiefe d der Platten gemessen. Die Eintauchtiefe wird dabei zwischen 20mm und 50mm variiert und die Spannungsquelle erzeugt eine Spannung U = 2V. Die Messung der Platten ergibt außerdem eine Breite b = 10cm ± 0,05mm und eine Länge l = 2cm ± 0,05mm. Bei folgenden Eintauchtiefen wurden folgende Spannung und Stromstärke gemessen: Eintauchtiefe d / mm Spannung U / V Stromstärke I / ma , ,045 17, ,110 16, ,181 15, ,252 14, ,327 12, ,426 11,15 Tabelle 4: Spannungs- und Stromstärkemesswerte bei verschiedenen Eintauchtiefen zur Bestimmung des spezifischen Widerstands von Leitungswasser Der jeweilige sich ergebene Widerstand wird über 1 d gefittet: aufgetragen und linear 11

12 240 Widerstand R / Ohm Lineare Anpassung von Widerstand R / Ohm Widerstand R / Ohm Eintauchtiefe 1/d / 1/m Abbildung 9: Widerstände auf 1/d aufgetragen Für den linearen Fit ergibt mit Origin folgende Tabelle: A B C D 1 Gleichung y = a + b*x 2 Gewichtung Keine Gewicht ung 3 Fehler der 11,23402 Summe der Quadrate 4 Kor. R-Quadrat 0, Wert Standardfehler 6 Schnittpunkt mi 31,9443 1,87803 Widerstand R / t der Y-Achse Ohm 7 Steigung 3, ,0572 Für die Steigung der Geraden gilt also: Abbildung 10: Daten zum linearen Fit m = R 1 d = R d = 3,73Ωm (13) Um den spezifischen Widerstand von Leitungswasser auszurechnen gilt laut Skript folgender Zusammenhang: l 1 R W = ρ W b d (14) 12

13 Umgestellt nach ρ W ergibt sich somit für den Widerstand: ρ B = Rdb l = 3,73Ωm 0,1m 0,02m = 18, 65Ωm (15) Der Versuch ergibt also einen spezifischen Widerstand von Leitungswasser von 18,65 Ω m. 2.4 Brückenschaltung zur Messung von Widerstandsänderungen Bei diesem Versuch wird eine Brückenschaltung (s. Abb. 11) mit einem 4. Widerstand R 1 =100 Ω (Widerstandsdekade) und einer angelegten Spannung U 0 =5V verwendet. Abbildung 11: Brückenschaltung (vgl Skript S. 76, Abb. 5) Anschließend wird der Widerstand an der Dekade in 1 Ω Schritten verkleinert und die Spannungen für die verschiedenen R notiert. Es ergeben sich folgende Werte: 13

14 R Spannung U / V 10 0, , , , , , , , , ,011 Tabelle 5: Spannungswerten bei verschiedenen Widerstandsverkleinerungen R Trägt man nun die Spannungswerte U gegen R auf, erkennt man einen linearen Zusammenhang, der durch einen Fit bestätigt wird: 0,12 Spannung U / V Lineare Anpassung von S 0,10 Spannung U / V 0,08 0,06 0,04 0,02 0, delta R / Ohm Abbildung 12: Spannungswerte U auf die Widerstandsänderungen R aufgetragen Für den Fit ergeben sich wieder folgende Werte (laut Origin): 14

15 A B C D 1 Gleichung y = a + b*x 2 Gewichtung Keine Gewichtung 3 Fehler der 2,02424E-6 Summe der Quadrate 4 Kor. R-Quadrat 0, Wert Standardfehler 6 Schnittpunkt m 1,33333E-4 3,43629E-4 Spannung U / it der Y-Achse V 7 Steigung 0,0103 5,53808E-5 Abbildung 13: Daten für den linearen Fit Es ergibt sich also eine Steigung m = U ( R) = 0,0103. Laut Skript gilt folgende Gleichung: U U 0 4 Nach Umstellen der Gleichung ergibt sich: R R (16) R U 0 4 R U (17) R U entspricht dabei dem Kehrwert der Steigung, sodass sich als Ergebnis ergibt: R 5V 4 1 0,0103 V Ω 121Ω (18) Der tatsächliche Widerstand hatte eine Größe von R = 100Ω, sodass sich eine Abweichung von 21Ω ergibt. 15

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