Magnetfeld in Leitern

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1 08-1 Magnetfeld in Leitern Vorbereitung: Maxwell-Gleichungen, magnetischer Fluss, Induktion, Stromdichte, Drehmoment, Helmholtz- Spule. Potentiometer für Leiterschleifenstrom max 5 A Stufentrafo für Leiterschleife Leiterschleife A + ~ A ma V/A Schiebewiderstand A A ma V/A + ~ max 3 A Stufentrafo für Helmholzspule Potentiometer für Helmholzspulenstrom Abb1: Schaltplan für Magnetfeld im Leiter Versuchsteil 1

2 08-2 Grundlagen: 1. Magnetisches Moment im Magnetfeld Eine geschlossene stromdurchflossene Leiterschleife mit magnetischem Moment m erfährt in einem Magnetfeld der magnetischen Flußdichte B ein Drehmoment T: T=m B (1) mit: m= J 2 C r d r =J ds A Dabei sind J die Stromstärke in der Leiterschleife und A ihre Querschnittsfläche, deren Rand C darstellt. Wenn das Magnetfeld ortsabhängig ist, erfahren die einzelnen Teile der Leiterschleife unterschiedliche Drehmomente. Deshalb ist es zweckmäßig, die Leiterschleife in ein homogenes Magnetfeld zu bringen. Zu dessen Erzeugung benutzt man zwei Spulen, deren Radius gleich ihrem Abstand ist (Helmholtz-Anordnung). Für den vorliegenden Fall, in dem die Leiterschleife ein ebener Stromring mit dem Durchmesser d und der Windungszahl n ist, gilt: oder: m =J n A m =J n π 4 d2 (2) Fließt in den Helmholtzspulen der Strom I, so folgt für das auf die Leiterschleife ausgeübte Drehmoment nach Gleichung (1): T =K J n Isin α A (3) wobei α der Winkel zwischen der Magnetfeldrichtung und dem Flächenvektor der Spule ist, K stellt eine Konstante dieser Helmholtzspulen (Geometrie, Windungszahl...) dar.

3 Magnetfeld im Inneren eines Leiters Aus den Maxwell'schen Gleichungen ergibt sich für die magnetische Flussdichte B, die einen langen geraden Leiter umgibt, durch den ein Strom J fließt: B= μ 0 2π J r (4) r ist dabei der Abstand von der Leiterachse. Wir sehen uns den Querschnitt des Leiters an und denken uns eine imaginäre Grenzlinie um den Nullpunkt mit dem Radius r. Die Ströme im Bereich A a bewirken kein resultierendes Feld im Inneren A i, während die Ströme im inneren Bereich ein B-Feld in Form von konzentrischen Kreisen um die Leiterachse bewirken. A a A i r A=A a +A i R Unter Annahme einer homogenen Stromdichte j im Elektrolyten läßt sich der Strom, der durch die Fläche A i, fließt, folgendermaßen angeben (J tot = Gesamtstrom): so dass mit Gleichung (4) gilt: J=J tot r 2 R 2 B= μ 0 2π J tot r R 2 (5)

4 Induktion Zeitlich veränderliche Magnetfelder können mit Induktionsspulen gemessen werden. Die in der Spule induzierte Spannung ist gegeben durch: U ind = - n A db dt wobei n die Windungszahl und A die effektive Fläche der Induktionsspule ist. In diesem Versuch wird die magnetische Flußdichte B durch einen sinusförmigen Strom der Frequenz erzeugt. Daraus folgt für die induzierte Spannung: f= ω 2π U ind =2π n f AB 0 cos ωt (6) Aufgaben: 1. Magnetisches Moment im Magnetfeld: ACHTUNG: Der maximale Strom, der im Dauerbetrieb an die Helmholtz-Spulen angelegt werden darf, beträgt 3 Ampere! Der Strom durch die Leiterschleife darf 5 A nicht überschreiten; Vorsicht die Leiterschleife kann heiss werden. Das Drehmoment, das auf einen Leiter im magnetischen Feld wirkt, wird mit einem mechanischen Torsionskraftmesser gemessen, wobei zu beachten ist, daß dessen Nullage öfters zu kontrollieren ist, da schnelle Drehbewegungen ein Verschieben der Stromzuführungsdrähte bewirken können. Die Stromzuführungsdrähte am Spulenträger sollen locker durchhängen. Sie sind untereinander so zu verdrillen, daß kein zusätzliches Drehmoment erzeugt wird. Verwenden Sie für die Aufgaben a) c) die Leiterschleife mit n = 3 und d = 12 cm. a.) Bestimmen Sie die Abhängigkeit des Drehmoments T von der Orientierung der Leiterschleife im homogenen Magnetfeld, indem Sie für = 0, 45 und 90 messen. b.) Bestimmen Sie die Abhängigkeit des Drehmoments T von der äußeren Magnetfeldstärke B, indem Sie den Strom I in den Helmholzspulen durch Anlegen verschiedener Spannungen variieren. c.) Bestimmen Sie die Abhängigkeit des Drehmoments T von der Stromstärke J in der Leiterschleife, indem Sie die Stromstärke durch einen Schiebwiderstand variieren.

5 08-5 d.) Bestimmen Sie die Abhängigkeit des Drehmoments T vom Durchmesser d der Leiterschleife; verwenden Sie die Leiterschleifen mit n=3. Tragen Sie Ihre Ergebnisse graphisch auf (mit Fehlerbalken) und diskutieren Sie anhand Gleichung (3). Fehlerbetrachtung! 2. Magnetfeld im Inneren eines Leiters Das Magnetfeld im Inneren eines Leiters soll ausgemessen werden. ~ AC DC x100 NF-Verstärker Generator Eingang max Ausgang 10 V 100V Channel Als elektrischer Leiter dient ein Elektrolyt (Kupfer(II)-sulfat) in einem Hohlzylinder. Durch den Elektrolyten fließt ein hochfrequenter Wechselstrom mit f= 10 khz ( Warum hochfrequent? ). Das Magnetfeld wird durch eine in den Elektrolyten eintauchende Induktionsspule gemessen. Die zu messenden magnetischen Feldstärken liegen im Bereich von einigen µt. Das Magnetfeld, welches stromführende Kabel erzeugen würden, liegt ebenfalls in der gleichen Größenordnung. Bei der Feldstärkemessung im Elektrolyten erfolgt deswegen die Stromrückleitung über ein Drahtnetz, weil durch den Strom in der Hohlzylinderwandung im Gefäßinneren keine magnetischen Felder erzeugt werden (Warum?). Die sehr kleine Spannung, die in der Induktionspule induziert wird, kann nach Verstärkung durch einen Messverstärker am Oszilloskop zusammen mit der angelegten Spannung dargestellt werden. a.) Leiten Sie Formel (4) her. b.) Tauchen Sie die Induktionsspule vollständig in den Elektrolyten ein und suchen Sie bei konstanter Eintauchtiefe die Orientierung, bei der die induzierte Spannung maximal ist. Zeigen Sie, dass das Magnetfeld in Richtung der Zylinderachse verschwindet. c.) Bestimmen Sie bei konstanter Eintauchtiefe und geeigneter Orientierung der Induktionsspule das Magnetfeld (durch Messung der Induktionsspannung) im Inneren des Elektrolyten als Funktion der an den Leiter angelegten Spannung. Messen Sie wie sich die Induktionsspannung ändert bei einer Variation der Wechselstromfrequenz f (1 khz 10 khz) im Leiter.

6 08-6 d.) Bestimmen Sie das Magnetfeld im Inneren des Elektrolyten als Funktion des Abstandes von der Mittelachse des Leiters (in 1 cm Schritten), d.h. bei verschiedener Eintauchtiefe der Spule in den Elektrolyten. Tragen Sie Ihre Ergebnisse graphisch auf (mit Fehlerbalken) und diskutieren Sie anhand der Gleichungen (5) und (6). Fehlerbetrachtung! 00.Word 97

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