3.2 Analyse von Drehstromwicklungen Seite 1. Die Fourierschen Koeffizienten sind durch folgende Integrale bestimmt:

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1 3. Analyse von Drehstromwicklungen Seite 1 Srungstellenverfahren Jede Funktion f ( x)mit der Periode kann durch die unendliche Fourier-Reihe 10 f ( x) = a + acosx + b sin x (3.-1) dargestellt werden. = 1 = 1 Die Fourierschen Koeffizienten sind durch folgende Integrale bestimmt: 0 1z a = f ( x) dx, (3.-) 0 z 1 a = f ( x)cos( x) dx, (3.-3) 0 z 1 b = f ( x)sin( x) dx. (3.-4) 0 Für die Berechnung von elektrischen Maschinen hat es sich als vorteilhaft erwiesen, komlexe Fourierreihen einzuführen: ± = 0, ± 1 f ( x) = c ex j[ x], (3.-5) mit f ( x) Re f ( x) = l q und c = R S T 0 a, = 0 1c a j bh, > 0. (3.-6) 1 c a + j bh, < 0 Bei den zu untersuchenden Felderregerkurven von Wicklungen ist er Definition der Mittelwert 0 a nach Gleichung (3.-) immer Null.

2 3. Analyse von Drehstromwicklungen Seite Die Integrale für a und b lassen sich für treenförmige Funktionen in endliche Summen überführen: Z 1 a = Ss sin xs, (3.-7) S = 1 Z 1 b = + Ss cos xs. (3.-8) S = 1 S s ist die Srunghöhe des Funktionswertes an der Stelle x s, Z die Zahl der Srungstellen innerhalb der Periode. Luftsaltfeld einer Sule Der Strang k einer symmetrischen, m = 3 strängigen Drehstromwicklung wird von dem Strom I 1, k = I 1 ex j ωt ( k 1) m (3.-9) durchflossen ( : Umfang der Maschine). Der Augenblickswert ergibt sich durch Bildung des Realteils. Unter der Annahme eines glatten, um den Carterfaktor und Sättigungsfaktor vergrößerten Luftsalts erzeugt eine Sule dieses Stranges ein Luftsaltfeld gemäß Bild y τ x B y y τ τ Bild 3.-1: Luftsaltfeld einer gesehnten Sule

3 3. Analyse von Drehstromwicklungen Seite 3 Das Feld nach Bild 3.-1 lässt sich als komlexe Fourier-Reihe darstellen: ± =± 1 [ jx] B ( x) = c ex (3.-10) Die Fourier-Koeffizienten ergeben sich mit dem Srungstellenverfahren zu B y c = sin, (3.-11) τ worin die Srunghöhe B der Flussdichte 0 0 L O B = NI1 k = NI1 j ωt k 1 δ δ NM, ex ( ). (3.-1) m QP beträgt. Der Term y ks = sin (3.-13) τ wird Sehnungsfaktor genannt und beschreibt den Einfluss der Sulensehnung auf die Amlituden der Feldwellen. Bei Durchmesserwicklungen ist der Sehnungsfaktor für alle gleich eins. Durch Einsetzen der Gleichungen (3.-11,1,13) in (3.-10) ergibt sich für die -te Feldwelle einer Sule im Strang k=1 das Drehfeld 0N ks BSule = I 1 ex j ω t x. (3.-14) δ Die Ordnungszahlen treten aarweise ositiv und negativ auf, d. h. es existiert zu jedem ositiv umlaufenden Drehfeld immer auch ein negativ umlaufendes Drehfeld mit gleicher Amlitude. Die Summation dieser beiden Drehfelder ergibt ein Wechselfeld. Die Feldwelle mit der Ordnungszahl hat Perioden am Umfang. Sie wirkt also wie eine Wicklung mit der Polaarzahl. Aus diesem Grund wird die Ordnungszahl der Fourierreihe auch als Polaarzahl der Wicklungsoberwelle bezeichnet. Es ist unmittelbar einsichtig, dass Oberwellen nur als Vielfache der Grundwelle = auftreten können, also = ± 1, ±, ± 3,... (3.-15)

4 3. Analyse von Drehstromwicklungen Seite 4 Luftsaltfeld einer Sulengrue Werden die Windungen einer Sule auf q Sulen in q Nuten verteilt (Sulengrue mit q Sulen), so müssen die Feldanteile geometrisch addiert werden (Bild 3.-). Bild 3.-: Verteilung der Windungen einer Sule auf q Sulen und geometrische Addition der Einzelfelder Die Anwendung der Formel für die endliche geometrische Reihe α n sinn [ + ] = α ex j β ξα ex j β + ( n + 1) (3.-16) ξ = 1,,3,... α sin ergibt die -te Feldwelle einer Sulengrue mit q Sulen: 0N kw BGrue( x1) = q I 1 ex j ω t x 1. (3.-17) δ Der Ursrung des Koordinatensystems x 1 liegt nun im Schwerunkt der Sulengrue. Der sogenannte Wicklungsfaktor k k w = S kz ergibt sich als Produkt aus Sehnungsfaktor k s und Zonenfaktor sin m kz =. (3.-18) q sin mq Der Zonenfaktor beschreibt den Einfluss der Verteilung der Sulen ro Grue auf die Amlituden der Feldwellen.

5 3. Analyse von Drehstromwicklungen Seite 5 Luftsaltfeld eines Stranges Eine Wicklung eines Stranges einer Drehstromwicklung besteht aus Sulengruen (Zweischichtwicklung), die räumlich jeweils um eine Polteilung versetzt sind. Alle Oberwellen sind nach Gleichung (3.-15) eriodisch mit der Polaarteilung der Maschine. Berücksichtigt man jedoch, dass die um eine Polteilung verschobene Sulengrue bei der Zweischichtwicklung negativ geschaltet ist, so kann die Summe der Felder der einzelnen Sulengruen nur dann von null verschieden sein, wenn die Feldwelle nicht eriodisch mit der Polteilung ist. Es muss also für die möglichen Polaarzahlen der Feldwellen gelten: = ± 1, ± 3, ± 5,... (3.-19) Die Summation aller Einzelfelder der Sulengruen eines Stranges kann mit dieser Bedingung algebraisch erfolgen. Für die -te Oberwelle des Feldes des Stranges k=1 ergibt sich dann 0N kw Bk = 1( x1) = q I 1 ex j ω t x 1 (3.-0) δ Noch immer treten aarweise ositiv und negativ umlaufende Drehfelder ± mit gleicher Amlitude auf. Die Feldwellen eines Stranges einer Drehstromwicklung sind also reine Wechselfelder! Die Einschichtwicklung ( Sulengruen ro Strang) kann mit Gleichung (3.-0) beschrieben werden, wenn sie als Zweischichtwicklung mit halber Windungszahl ro Sule interretiert wird.

6 3. Analyse von Drehstromwicklungen Seite 6 Luftsaltfeld einer Drehstromwicklung Das Gesamtfeld einer Drehstromwicklung ergibt sich aus der geometrischen Summation der drei Einzelstränge. Es ist hierbei die zeitliche Phasenlage der Strangströme nach Gleichung (3.-9) und der räumliche Versatz der Stränge um 10 elektrisch zu berücksichtigen: m L B1 x1 Bk 1 x1 j k 1 k 1 O ( ) = = ( )ex ( ) ( ) (3.-1) k = 1 NM m mqp Die Anwendung der Formel für die endliche Geometrische Reihe ergibt für die -te Welle des Feldes einer symmetrischen Drehstromwicklung 0N kw B1( x1) = mq I 1 ex j ω t x 1 (3.-) δ oder B x m w k 0 w 1( 1) = I1 ex j ωt x1 (3.-3) δ mit der Bedingung 1 F I a mhg K J =, ±, ±, ±,... = (3.-4) und der Windungszahl aller in Reihe geschalteten Sulen eines Stranges (Zweischichtwicklung!) w = qn. (3.-5) Aus den Gleichungen (3.-4) und (3.-19) kann die allgemeine Wellenformel für eine symmetrische Drehstromwicklung (m=3) angeschrieben werden als = ( ma + 1), a = 0, ± 1, ±, ± 3,... (3.-6) Während jeder Strang für sich ein Wechselfeld, d. h. ein in der Amlitude veränderliches aber räumlich konstantes Feld erzeugt, ergibt die Summe der Stränge reine Drehfelder, d. h. räumlich umlaufende Felder mit zeitlich konstanter Amlitude. Die Amlituden der Drehfelder sind m/ mal größer als die Amlituden der zugehörigen Wechselfelder.

7 3. Analyse von Drehstromwicklungen Seite 7 Die auf die Grundwelle bezogene Polaarzahlen der Feldwellen sind = 1, 5, 7, 11, 13,... Die Umlaufgeschwindigkeiten ergeben sich zu ω = ω (3.-5) Wicklungsfaktor Zur qualitativen Beurteilung des Wicklungsaufbaus reicht es aus, die Amlituden der Oberwellen mit der Grundwelle = zu vergleichen. Dies wird mit der Funktion des Wicklungsfaktors sin m y kw = sin (3.-6) τ q sin mq beschrieben. Beisiel: =4 olige, m=3 strängige Wicklung: / ε = 0 1 q= 1 1 Z 1 = k w k w / k w k w / k w k w / k w k w /

8 3. Analyse von Drehstromwicklungen Seite 8 Der Wicklungsfaktor des "n-ten nutharmonischen Paares" mit den Ordnungszahlen = n Z1 ± (3.4/6) ist gleich dem der Grundwelle, d. h. der Einfluss der Nutharmonischen lässt sich nur durch eine möglichst hohe Nutzahl reduzieren. Meist müssen weitere Maßnahmen unternommen werden um eine brauchbare Maschine zu erhalten, z. B. Schrägung der Nuten (Kaitel Asynchronmaschine). Doelt verkettete Streuung Sollen die relativen Auswirkungen der Wicklungsoberwellen auf das Maschinenverhalten beurteilt werden, so ist weniger die Amlitude der Wellen als vielmehr die Energie W aller Wicklungsoberwellen W ~ B ~ L (3.-7) in Bezug auf die Grundwelle von entscheidender Bedeutung. In der klassischen Maschinenberechnung wird hierfür der Koeffizient der doelt verketteten Streuung eingeführt. σ d = F HG F HG k k w wi KJ I KJ = L L 1, ρ 1, ρ. (3.-8) Im Gegensatz zur üblichen Definition von Streuung (nur einmal mit der erzeugenden Sule verkettet) sind die Luftsaltfelder der Wicklungsoberwellen mit den Wicklungen von Stator und Rotor verkettet (doelt verkettet). Der Begriff Streuung wird hier im Sinne "nicht nutzbringend" verwendet.

9 3. Analyse von Drehstromwicklungen Seite 9 Bild 3.-3: Erläuterungen zur hysikalischen Bedeutung der doelt verketteten Streuung.

10 3. Analyse von Drehstromwicklungen Seite 10 Bild 3.-4: Koeffizient der doelt verketteten Streuung d σ als Funktion der relativen Sulenweite y/τ.