Anharmonische Schwingungen / Gekoppelte Pendel

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1 Anharmonische Schwingungen / Gekoppelte Pendel Die Charakterisierung periodischer Vorgänge mit Hilfe der Fourieranalyse wird am Beispiel eines physikalischen Pendels, zweier gekoppelten Pendel sowie elektrischer Signale eines Funktionsgenerators demonstriert. Dies wird durch die digitale Messwertaufnahme und die anschließende numerische Auswertung mit Hilfe eines Computers ermöglicht. Es werden die Dämpfung und die Frequenz eines Pendels bei verschiedenen Trägheitsmomenten, das Frequenzspektrum eines anharmonischen Pendels und der Einfluss unterschiedlicher Kopplungsstärke auf die Eigenfrequenzen eines Doppelpendels untersucht. Vorkenntnisse Siehe Versuch: Pohlsches Pendel Zusätzlich: Anharmonische Schwingungen - Berechnung von Frequenzänderung bei großer Amplitude - Fourieranalyse (Bedeutung für die Physik) - Physikalisches Pendel, Berechnung von Trägheitsmomenten - Gekoppelte Pendel, Schwebungen Physikalische Grundlagen Nichtlineare Effekte Die Bewegungsgleichung eines mathematischen Pendels (ohne Reibung) lautet: d 2 Φ dt 2 + g l sinφ = 0 Um eine einfache Lösung zu erhalten, wird sinφ in eine Taylorreihe um die Ruhelage Φ = 0 entwickelt. Bei kleinen Auslenkungen reicht es häufig aus, nur das erste Glied dieser Reihe zu berücksichtigen (sinφ Φ). Dies führt auf den Fall des einfachen linearen harmonischen Oszillators. Eine genauere Lösung, die erste Abweichungen des Pendels vom harmonischen Oszillator berücksichtigt, erhält man durch Hinzufügen eines weiteren Terms der Taylorentwicklung: sinφ Φ 1 6 Φ3 Die Bewegungsgleichung des anharmonischen Oszillators lautet dann: d 2 Φ dt 2 +ω2 0Φ ω2 0 6 Φ3 = 0 mit ω 2 0 = g l Um hierfür eine Näherungslösung zu bekommen, wird die Zeitachse so gewählt, dass gilt: Φ(t = 0) = 0. 1 (1)

2 Anharmonische Schwingungen / Gekoppelte Pendel 2 Die Lösungsfunktion muss dann eine ungerade Funktion sein, d.h. bei einer Fourierentwicklung (s. unten) müssen die Koeffizienten der Cosinusreihe (Der Cosinus ist eine gerade Funktion) verschwinden. Für eine Näherungslösung kann man sich dann auch in diesem Fall auf die ersten zwei Terme der Entwicklung beschränken: Φ(t) = Φ 0 sin(ωt)+ǫ Φ 0 sin(3ωt) (2) mit den Fourierkoeffizienten: a 1 = Φ 0, a 2 = ǫ Φ 0 Für die einzelnen Terme in Gleichung (1) erhält man: (bei Verwendung des Additionstheorems sin(3ωt) = 3sin(ωt) 4sin 3 (ωt) ) d 2 Φ dt 2 = ω 2 Φ 0 sin(ωt) 9ω 2 ǫφ 0 sin(3ωt) (3) ω 2 0Φ = +ω 2 0Φ 0 sin(ωt)+ω 2 0ǫΦ 0 sin(3ωt) (4) 1 6 ω2 0Φ 3 = 3ω Φ3 0sin(ωt)+ ω Φ3 0sin(3ωt) ω2 0 2 Φ3 0ǫ sin 2 (ωt) sin(3ωt)+... (5) Die Terme mit ǫ 2 und ǫ 3 lässt man unter der Annahme, dass ǫ 1 ist, weg. Die Gleichungen (3), (4) und (5) werden nun addiert. Die linke Seite ist nach Gleichung (1) Null. Wenn Gleichung (2) die Näherungslösung sein soll, müssen die Koeffizienten von sin(ωt) und sin(3ωt) jeweils für sich verschwinden. Für die Koeffizientensumme von sin(ωt) folgt: oder ( ω 2 = ω ) 8 Φ2 0 ω 2 +ω ω2 0Φ 3 0 = 0 ( ) bzw. ω ω 0 1 Φ mit der Näherungsformel 1 x 1 1 2x. Für ǫ ergibt sich aus der Koeffizientensumme von sin(3ωt): Setzt man näherungsweise ω 2 ω 2 0 9ω 2 ǫ+ω 2 0ǫ+ ω Φ2 0 = 0 (6), so folgt aus Gleichung (6): ǫ = Φ Eine genauere Lösung bekommt man mit Hilfe des vollständigen elliptischen Integrals (Für Interessierte: siehe z.b. : Greiner, Mechanik). Berechnung des Trägheitsmomentes des Pendels Für das Trägheitsmoment eines homogenen Körpers gilt: Θ = r 2 dm Um das Trägheitsmoment eines Stabes auszurechnen, zerlegt man ihn in kleine Massenelemente dm von der Länge dx und dem Querschnitt q.

3 Anharmonische Schwingungen / Gekoppelte Pendel 3 Mit Hilfe der Dichte sollen bei der Versuchsvorbereitung die Trägheitsmomente von Stab und Gewicht in Abhängigkeit vom Abstand von der Drehachse getrennt berechnet werden. Weiterhin ist die Lage des Schwerpunktes des Pendels wichtig. Für ein physikalisches Pendel gilt nach dem Drehimpulssatz: Θ d2 Φ +M g s sinφ = 0 dt2 (s ist der Abstand zwischen Drehpunkt und Schwerpunkt.) Daraus folgt für kleine Winkel: und hieraus die Eigenfrequenz d 2 Φ M g s + Φ = 0 dt2 Θ ω 0 = M g s Man überlege sich, wo der Schwerpunkt des Systems Stange + Gewicht in Abhängigkeit von der jeweiligen Einstellung des Gewichtes liegt! Gekoppelte Pendel Zwei durch z.b. eine Feder verbundene, gleichartige Pendel (gleiche Länge, gleiche Masse) heißen "gekoppelte Pendel". Die zugehörige Bewegungsgleichung lautet (für kleine Winkel): Θ d2 φ 1 dt 2 +m g l φ 1 D f (φ 2 φ 1 ) = 0 Θ d2 φ 2 dt 2 +m g l φ 2 +D f (φ 2 φ 1 ) = 0 Θ Hierin sind φ 1,φ 2 die Winkelausschläge der beiden Pendel, Θ deren Trägheitsmoment, l,m deren Länge und Masse, g die Erdbeschleunigung und D f (φ 2 φ 1 ) das Drehmoment durch die Kopplungsfeder. Die Lösung dieses Systems liefert: mgl φ 1 = Acos(ωt+δ) Bcos(Ωt+ ), ω = Θ mgl+2df φ 2 = Acos(ωt+δ)+Bcos(Ωt+ ), Ω = Θ ω entspricht dabei der Eigenfrequenz des Pendels im ungekoppelten Fall. Die 4 noch freien Parameter (A, B, δ, ) werden durch die Wahl der Anfangsbedingungen (φ 1 (t = 0), φ 2 (t = 0), φ1 (t = 0), φ2 (t = 0)) festgelegt. Man unterscheidet 3 einfachere Fälle: Beide Pendel werden bei t = 0 von der Lage φ 1 = φ 2 = Φ losgelassen. Dann sind die Anfangsbedingungen: φ 1 (t = 0) = Φ, φ 2 (t = 0) = Φ, φ1 (t = 0) = 0, φ2 (t = 0) = 0 Daraus ergibt sich als Lösung: φ 1 = φ 2 = Φcosωt.

4 Anharmonische Schwingungen / Gekoppelte Pendel 4 Beide Pendel werden bei t = 0 von der Lage φ 1 = Φ,φ 2 = Φ losgelassen. Hier sind die Anfangsbedingungen: φ 1 (t = 0) = Φ, φ 2 (t = 0) = Φ, φ1 (t = 0) = 0, φ2 (t = 0) = 0 Die Lösung lautet: φ 1 = φ 2 = ΦcosΩt. Diese beiden Fälle werden als Fundamentalschwingungen bezeichnet. Pendel 2 wird in die Lage Φ ausgelenkt und Pendel 1 in der Lage 0 belassen. Dann lauten die Anfangsbedingungen: φ 1 (t = 0) = 0, φ 2 (t = 0) = Φ, φ1 (t = 0) = 0, φ2 (t = 0) = 0 Die Lösung lautet: φ 1 = Φ/2 (cosωt cosωt), φ 2 = Φ/2 (cosωt+cosωt) Schreibt man diese mit Hilfe der Additionstheoreme um, so folgt: ( ) ( ) ω +Ω Ω ω φ 1 = Φsin t sin t 2 2 ( ) ( ) ω +Ω Ω ω φ 2 = Φcos t cos t 2 2 Ist die Kopplung schwach, d.h. das Kopplungsmoment klein, dann ist (Ω ω) auch klein gegenüber (Ω+ω). Damit kann die Bewegung der Pendel aufgefasst werden als eine Schwingung der Frequenz (Ω+ω), deren Amplitude sich langsam mit der Frequenz (Ω ω) ändert. Diese Art der Schwingung wird als Schwebung bezeichnet. Entsprechen die Anfangsbedingungen nicht einem dieser Spezialfälle, so treten ebenfalls Schwebungen auf, nur ist die mathematische Behandlung schwieriger. Bei mehreren gekoppelten Resonatoren entspricht deren Anzahl der Zahl möglicher Schwingungsfrequenzen. Die weiterführende Betrachtung führt in der Festkörperphysik zum Bändermodell. Fourieranalyse (siehe z.b.: Berkeley Physik Kurs Bd. 3 Gehrtsen, Kneser, Vogel, Physik Meyberg u. Vachenauer Höhere Mathematik 2, Springer Schulz, Physik mit Bleistift ) Fourierreihe Jedes (unendliche) periodische Signal kann eindeutig in eine Reihe orthogonaler Funktionen entwickelt werden (verallgemeinerte Fourierreihe). Eine besondere Stellung unter diesen Funktionen haben sin(nωt) und cos(mωt), da sie ein Orthonormalsystem bilden. So lässt sich jede (unendliche) periodische Funktion der Zeit f(t) in folgende Reihe ( Fourierreihe ) entwickeln: f(t) = b 0 + a n sin(nωt)+ b m cos(mωt) oder auch n=1 f(t) = c 0 + m=1 c n sin(nωt+ǫ n ) n=1 (Warum sind beide Gleichungen gleichwertig?)

5 Anharmonische Schwingungen / Gekoppelte Pendel 5 Die einzelnen Komponenten der Reihe heißen n = 0 : n = 1 :. n = k : arithmetischer Mittelwert Grundschwingung (k 1). Oberschwingung Die Koeffizienten a n,b n und c n geben dabei den Anteil der n-ten Oberwelle zur Funktion f(t) an. Im allgemeinen geht der Beitrag der Oberwellen für wachsende n gegen Null, so dass man in praxi meist nur endlich viele Glieder zu berücksichtigen braucht. Die Form des periodischen Signals wird durch das Verhältnis der Amplituden der a n,b m von Sinus- und Cosinusreihe bestimmt. Für die wichtigsten dieser Signalformen (Rechteck, Dreieck, Sägezahn) sehe man sich die Fourierentwicklung z.b. im Bronstein, Taschenbuch der Mathematik an! Fourierintegral Ist die Funktion f(t) nicht periodisch und unendlich, sondern geht z.b. für t gegen Null (Dämpfung), dann reichen in der Reihenentwicklung abzählbar endlich viele Glieder nicht mehr aus. Man muss zur kontinuierlichen Darstellung, d.h. zum Integral übergehen. Hier ist es nun üblich, nicht für sin und cos getrennte Integrale zu benutzen, sondern (nach der Eulerschen Beziehung) mit der Exponentialfunktion zu rechnen: f(t) = 1 2π F(ω) e iωt dω Dieses Integral heißt "Fourier-Integral". Man kann zeigen, dass die Funktionen f(t) und F(ω) umkehrbar eindeutig, d.h. eineindeutig miteinander zusammenhängen. Es gilt weiterhin: F(ω) = 1 f(t) e iωt dt (7) 2π Dieser einfache Zusammenhang zwischen f(t) und F(ν) gilt für beliebige Funktionen, die einige Voraussetzungen bezüglich Stetigkeit erfüllen müssen und ist bekannt unter dem Namen Fourier- Transformation. F(ν) heißt Spektrum von f(t). Die Fouriertransformation erlaubt, Funktionen in der Zeit eineindeutig in Funktionen der Frequenz bzw. Funktionen im Ort eineindeutig in Funktionen des Impulses abzubilden, wo manche mathematische Operationen leichter durchzuführen sind. Es lassen sich z. B. Differentiationen in einfache Multiplikationen überführen. Auch die Gitterspektroskopie ist nichts anderes als die Fouriertransformation der Wellenlängen des einfallenden Lichtes in die vom Impuls der Photonen abhängige Intensitätsverteilung. Die Fouriertransformation hat erhebliche Bedeutung in allen Gebieten der Physik. Das Integral in Gleichung (7) hat weiterhin den Vorteil, dass es extrem schnell mit Hilfe von Computern berechenbar ist, wenn man für die Anzahl der Messwerte eine Potenz 2 n benutzt. Das dann anwendbare Verfahren der diskreten Fourier-Transformation heißt Fast Fourier Transform (FFT). Das Ergebnis einer Transformation von f(t) mit 2 n Messwerten ist ein Spektrum F(ν) mit ebenfalls 2 n Stützstellen. Dies lässt sich wieder in ein Amplituden- und ein Phasenspektrum, bzw. in ein Cosinus- und ein Sinusspektrum (= Real- und Imaginärteil) mit jeweils 2 n 1 Stützstellen zerlegen. Die Synthese der ursprünglichen Funktion gelingt nur, wenn sowohl Amplituden- als auch Phasenspektrum (oder sowohl Real- als auch Imaginärteil) berücksichtigt werden. Der Beitrag eines Frequenzintervalls δν zum Signal wird aber bereits durch die Amplitude A(ν) wiedergegeben.

6 Anharmonische Schwingungen / Gekoppelte Pendel 6 Abtasttheorem Für den Zusammenhang zwischen Zeit- und Frequenzskala gilt : n δt δν = 1 (8) Hierin ist δt das Zeitintervall zweier benachbarter Messpunkte und δν das Frequenzintervall zweier benachbarter Stützstellen des Spektrums F(ν). Aus dieser Gleichung folgen unmittelbar zwei wichtige Eigenschaften der Fourier-Transformation : 1. Je größer n δt(= t ges ), desto kleiner ist δν, d. h. umso feiner ist die Auflösung im Spektrum. 2. Je kleiner δt, desto größer ist n δν, d. h. die Gesamtlänge des Spektrums. Weitere Einzelheiten über die Fourier-Transformationsalgorithmen (welche hier jedoch nicht vorausgesetzt werden) entnehme man der einschlägigen Spezialliteratur (zum Beispiel O. E. Brigham, The Fast Fourier Transform). Anwendung der FFT auf anharmonische und gedämpfte Schwingungen Es sei f(t) = α Φ(t), wobei α ein unwichtiger Maßstabsfaktor ist (hier z. B. der Kalibrierfaktor der Winkeldetektion). Bei einer harmonischen Schwingung erhält man im Fourier-Spektrum nur einen Peak an der Stelle der Schwingungsfrequenz. Findet man in diesem Spektrum aber mehrere Peaks, welche zudem in bestimmter Systematik angeordnet sind, folgt sofort, dass Oberschwingungen existieren, die Schwingung also anharmonisch ist. Die Dämpfung eines periodischen Signals führt dagegen zu einer Verbreiterung der Peaks im Frequenzspektrum. Beide Effekte sollen hier untersucht werden. Experiment Zur Datenaufnahme und Auswertung steht ein Rechner zur Verfügung. Die Datenaufnahme erfolgt beim großen Pendel und bei den elektrischen Signalen des Funktionsgenerators über eine Analog-Digital-Wandlerkarte. Der Drehwinkel des großen Pendels wird dabei über den Spannungsabfall an einem Präzisionspotentiometer, das mit dem Pendel verbunden ist, in ein Spannungssignal gewandelt. Die Winkeldetektion der beiden gekoppelten Pendel wird mit Hilfe zweier Schlitzscheiben, deren Drehung durch eine Gabellichtschranke registriert wird, durchgeführt. Dieses Prinzip wird auch bei jeder handelsüblichen Computermaus verwendet, so dass die Datenaufnahme über den Mausport des Rechners erfolgen kann. Als Mess- und Auswerteprogramm stehen Ihnen Origin zur Verfügung. Für die Auswertung wichtig Maße des großen Pendels: Dichte = 7,86 g/cm 3 Stablänge = 1,49 m Stabdurchmesser = 13 mm Gewichtlänge = 12,7 cm Gewichtdurchmesser = 80 mm

7 Anharmonische Schwingungen / Gekoppelte Pendel 7 1. Anharmonisches (großes) Pendel Achtung! Beim Auslenken des großen Pendels sowie während der gesamten Messdauer ist darauf zu achten, dass niemand den Schwenkbereich des Pendels betritt! Zunächst sind vier Messungen mit dem Pendel durchzuführen, bei denen das Pendel mit zwei unterschiedlichen Gewichtseinstellungen und jeweils mit großer und kleiner Amplitude ausgelenkt wird. Es ist jeweils eine Fourieranalyse durchzuführen. Die gemessenen Frequenzen sollen mit den aus dem Trägheitsmoment berechneten verglichen werden. Zu jeder Messung soll die Dämpfung über das logarithmische Dekrement berechnet werden. (Wie äußert sich die Dämpfung im Fourierspektrum?) Dazu kann die Messkurve in logarithmischer Darstellung ausgedruckt werden. Danach ist eine weitere Messung mit größerer Amplitude durchzuführen. Die berechneten Spektren sind zu diskutieren. 2. Gekoppelte Pendel Das Gekoppelte Pendel besteht aus zwei Pendeln, die über eine Kette ein Kopplungsdrehmoment aufeinander ausüben können. Die Kopplungsstärke kann über den Abstand der Feder von der Drehachse variiert werden. Beide Pendel sind zunächst ohne Kopplungskette auf gleiches Trägheitsmoment einzustellen. Die Masse der Pendelgewichte sowie der Abstand der Gewichte von der Drehachse sollen gemessen werden. Die Pendelstäbe sind dabei so zu positionieren, dass oberhalb der Drehachse die Kopplungskette an verschiedenen Stellen angebracht werden kann. Das Frequenzspektrum der beiden Pendel ist zunächst ohne Kopplungskette zu bestimmen. Dazu werden beide Pendel ca. 30 ausgelenkt und die Schwingung beider Pendel gleichzeitig gemessen. Danach ist diese Messung für drei unterschiedliche Kopplungsstärken zu wiederholen. Der Abstand der Kette von der Drehachse ist dabei zu messen. Zu Beginn der Messungen soll hierbei nur jeweils ein Pendel ausgelenkt sein, das andere soll sich in der Ruhelage befinden. Die erhaltenen Spektren sind zu diskutieren. Dazu kann die Schwebungsfrequenz auch direkt aus der Auftragung des Messsignals gewonnen werden. Aus den Frequenzen soll die Kopplungskonstante der Kette für die unterschiedlichen Abstände von der Drehachse bestimmt werden. 3. Funktionsgenerator Es sollen Sinuswelle, Dreieckwelle und Rechtecksignal eines Funktionsgenerators gemessen werden. Die gemessenen Signale sollen einer Fourieranalyse unterzogen und das Ergebnis diskutiert werden (Vergleich mit den berechneten Spektrenreihen siehe z. B. Bronstein, Taschenbuch der Mathematik).