BSc: Waldmesslehre Waldinventur I

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1 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur Stratifizierte Sticprobe Stratifizierte Zufallsauswal In mancen Fällen ist es vorteilaft, eine Population in Unter- Populationen zu unterteilen (Straten) und in jeder Unterpopulation eine eigene unabängige Sticprobenerebung durczufüren. Statistisce Gründe? Praktisce Gründe? Statistisce Gründe: Stratifizierte Sticprobe Man kann für jedes Stratum Sticproben- und Plot-Design spezifisc optimieren. Meist kann die Genauigkeit der Scätzungen für die Gesamtpopulation verbessert werden. Für jedes Stratum werden eigene Scätzungen erzeugt. Es ist gewärleistet, dass in jedem Stratum Beobactungen genommen werden (wie ist das bei der uneingescränkten bezogen auf Sub-Populationsn?). Praktisce Gründe: Vereinfacung der Durcfürung der Inventur (vor allem Feldarbeiten): unabängige Aufnamen in jedem Stratum. Es muss nict in jedem Stratum dasselbe Sticprobenverfaren angewendet werden. Beispiele für Stratifizierungskriterien: Geograpisc Ökozonen. Waldtypen. Standortstypen. Topograpisce Bedingungen. Politisce Grenzen, Eigentumsgrenzen.... Saclic Baumarten. Baumartengruppen (z.b. wirtscaftlic/nict-wirtscaftlic). Kraft sce Klassen.... S.

2 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur Wiederolung: etwas Statistik Hat man zwei unabängige Zufallsvariablen Y und Y und ist an der Summe Y +Y der beiden interessiert, dann gilt E(Y +Y ) = E(Y ) + E(Y ) var(y +Y ) = var(y ) + var(y ). immt man Y und Y als die Scätzungen (z.b. die Mittelwerte aus den Straten und, dann können wir dies auf die stratifizierte Sticprobe anwenden. Sind die Straten untersciedlic groß, dann muss eine Gewictung eingefürt werden, um die Untersciede in den Populationsgrößen und zu berücksictigen, aus denen die Scätzungen Y und Y stammen. Gilt z.b. =, dann wird der Gesamtmittelwert mit den Gewictungen ½ berecnet nac ( Y + Y ) = Y + Y = cy + cy. Die Gewicte c i müssen proportional zur Größe der Populationen sein, aus denen die Scätzungen stammen (Stratengrößen), so dass c i =. Der Erwartungswert ergibt sic dann nac: E ( c Y + cy ) = E( cy ) + E( cy ) = ce( Y ) + ce( Y ) oder E ( cy i ) = i ( i) i ce Y mit der Varianz var c Y + cy = var cy + var cy = c var Y + c var oder var cy = c var Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( Y ) ( i i) i ( i) Dies gilt allgemein für die Summe unabängiger Zufallsvariablen und ist die Grundlage für die Scätzer stratifizierter Sticproben. Zu versteen (und merken): Die stratifizierte Sticprobe ist eigentlic kein neues Sticprobenverfaren, sondern es werden lediglic Scätzungen kombiniert, die aus stratenweisen Sticproben stammen. S.

3 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur otation (Die Gesamtpopulation ist in Straten unterteilt und in jedem wird eine unabängige Sticprobenname durcgefürt). Anzal Straten, =,,. Gesamtpopulationsgröße. Größe Stratum ( = ). y Gescätzter Populationsmittelwert. y Gescätzter Mittelwert Stratum. n Gesamt-Sticprobenumfang. n Sticprobenumf. in Stratum ( n = n ). s Sticprobenvarianz in Stratum. τ Gesamtwert. τ Gesamtwert in Stratum. Gescätzter Gesamtwert in Stratum. τˆ Gewicte c i ergeben sic aus W = / = Anteil der Gesamtpopulation, der sic in Stratum befindet, = Relative Größe des Stratums. Stratifizierte Zufallsauswal = Uneingescränkte Zufallsauswal in jedem Stratum Scätzer für Mittelwert: (Vgl. mit den o.a. Formeln für die lineare Kombination von Zufallsvariablen mit den Gewicten c i = / ). y = vâr = y = y = = vâr y = = ( y) ( )... und für den Gesamtwert: = τˆ = y = τˆ = y = = vâr( ˆ τ ) = vâr( y) = vâr( y) = = n n s n s n Beispiel (Aus: Siver and Borders 996) 0*.6 + 9*.8 y =.57 4 = + *0.6 Stratum n y s ˆ var( y) = 0(0 5) 9(9 3) ( 4) = vâr( ˆ) τ = 4 *0.9 ˆ τ = 4*.57 = 64.4 S. 3

4 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur Drei Faktoren beeinlussen die Verteilung der Sticproben auf die Straten Stratengrößen : Varianz inneralb der Straten σ : Kosten c für die Datenerebung: Je größer, desto mer Sticproben. Je größer, desto mer Sticproben. Je teurer, desto weniger Sticproben. Gleicmäßige Zuordnung: Proportionale Zuordnung : eyman Zuordnung : Optimale Zuordnung : n Die unbekannten σ werden gescätzt mit s. n = Die o.a. Formel für n gilt für alle Arten der n = n = n Zuordnung. i Allgemein: i= var( yeyman ) σ n = n var( yproportional) iσ i var( y ) n i= = n σ c iσ i c i= i Gleicm. Die optimale Zuordnung passt nict in diese Reienfolge. Warum? Weitere Bemerkungen zur Stratifizierung: Stratifizierung kann ser effizient sein (unter welcen Bedingungen?) A priori Information der Population muss vorliegen. Erfarung: nict mer als 6 Straten. Es muss nict in allen Straten dasselbe Sticprobenverfaren verwendet werden. Die genannten Scätzer bezieen sic auf eine Zufallsauswal in allen Straten. Wenn nict-statistisce Kriterien für die Einteilung in Straten verwendet wurden, ist ein Genauigkeitsgewinn nict immer gegeben. Es gibt Fälle, wo die Stratengrößen unbekannt sind. Dann kann man sie über Sticproben scätzen; dieses Verfaren eisst: Zweipasige Sticprobe zur Stratifizierung. S. 4

5 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur Beispielspopulation mit = 30 Elementen o. y x Einfürendes Beispiel Mittelwert Varianz Beispiel: Populationaparameter o. y = 30 µ σ y i i= = ( yi µ ) i= = = = 7.89 Parametriscer Standardfeler für n = 0 und uneingescränkte Zufallsauswal: n σ var( y) = * = * = n Beispielspopulation mit = 30 o. y Stratum Daten des einfürenden Beispiels Mean Pop variance Stratum Stratum 3 S. 5

6 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur Beispiel II: Stratifizierte Zufalls-Sticprobe aus der Beispielspopulation von 30 Elementen. o. y Str Stratum n y 3 s : : Str : : Str Berecne den parametriscen 3 : : Mittelwert und den parametriscen 30 3 Standardfeler für die gegebene Stratifizierung und n=0. Stratum Stratum Mittel Gewict (W ) Mittel*Gewict Stratum fpc σ var pro Stratum var * W n ( fpc σ n ) Var (mean y) = S. 6

7 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur Klumpen-Sticproben = Cluster Sampling Obs.: Bei einer uneingescränkten Zufallsauswal wird pro Randomisierungs-Scritt genau eine Beobactung gemact. Ein ganz wesentlicer Punkt : Jedes zufällig ausgewälte Element liefert genau EIE unabängige Information für die Scätzung! Cluster Sticproben: Pro Randomisierungs-Scritt wird mer als ein Element ausgewält. Illustration des Prinzips von Cluster-Sticproben in einer Population von 48 Elementen o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o = 4 Cluster von je zwei benacbarten Elementen (d.. Die Grundgesamteit bestet aus 4 Clustern!). m = Elemente pro Cluster (d.. Cluster gleicer Größe). M= ingesamt 48 Elemente. otation n M = m i i= M = M Anzal Cluster = Population. Anzal Cluster in der Sticprobe. Anzal Element in der Population. Mittlere Clustergröße in der Population. m i Anzal Elemente in Cluster i = Clustergröße m Mittlere Clustergröße in der Sticprobe. y Mittelwert pro Element. y i Total im Cluster i. y = τˆ / Mittelwert pro Element im Cluster i. y i Gescätzter Mittelwert in Cluster i. S. 7

8 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur Üblice Beispiele aus Waldinventuren: - Feste Probefläcen (fixed area plots) sind im Grunde Cluster ungleicer Größe von Einzelbäumen. - Cluster von Probefläcen (versciedene Designs). Korrekterweise wird dann das gesamte Cluster als Probefläce (plot, cluster plot) bezeicnet, und die einzelnen Elemente als Unterfläcen (subplots). Insbesondere für Punkt- und Intervallscätzungen ist ein Cluster zu betracten als ein einziger funny saped plot. In forstlicen Großrauminventuren werden äufig Cluster von Unterfläcen in einem festen geometriscen Design verwendet Einige Beispiele ine -Sape or alf square Square Triangle Cross Scätzer Für Cluster gleicer Größe: Anwendung der Scätzer der Zufallsauswal auf die Cluster-Gesamtwerte oder Mittelwerte. Für Cluster ungleicer Größe: Je nac Größe aben die einzelnen Cluster einen untersciedlicen Informationsgealt. Anwendung des sog. Verältnis-Scätzers mit Verwendung der Clustergöße als Hilfsvariable. S. 8

9 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur Sind alle m i gleic, dann ist die Varianz des Mittelwertes pro n syi Element var ˆ Cl ( y ) = m n ( ) ( ) yi y m yi y mit sy = = i n n Wobei letzteres die gescätzte Varianz des Gesamtwertes pro Cluster ist. Total mit vâr ˆ τ = M vâr y. τˆ = My ( ) ( ) D.: bei Clustern gleicer Größe werden die Statistiken aus den Cluster-Gesamt- oder Mittelwerten berecnet. Das Einbezieen der einzelnen Unterfläcen-Daten eröt nict die Genauigkeit, erlaubt aber eine Analyse der Variabilität inneralb der Cluster. Wictig: Ein äufig begangener Feler: Auswertung der Clustersticprobe über die einzelnen Elemente. Was ist der Effekt? Warum Cluster-Sticproben, wenn doc die Genauigkeit kleiner ist als bei einer unabängigen Sticprobe mit der gleicen Anzal Einzelelemente??. Die Genauigkeit einer Clustersticprobe ängt natürlic vom Sticprobenumfang ab, aber auc von der Änlickeit der einzelnen Elemente inneralb der Cluster: Sind die einzelnen Beobactungen inneralb eines Clusters einander ser änlic, dann mact es wenig Sinn mer als nur ein Element zu beobacten (messen), da durc zusätzlice Messungen kaum zusätzlice Information gesammelt wird. Sind die Elemente inneralb eines Clusters ser untersciedlic, dann ist die Clustersticprobe relativ effizient. S. 9

10 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur Die Änlickeit der Elemente inneralb eines Clusters wird durc den Intracluster Korrelationskoeffizient ICC (= intraclass correlation coefficient) quantifiziert mit ( ) ( yp) var ( yq) ( ) cov yp, yq cov yp, yq ρ Ic = = var var ( y) ρic + m Dies gilt für Cluster gleicer Größe. Für Cluster ungleicer Größe wird ein korrigiertes m (adjusted m) berecnet andere Formel! Man kann Clustersticproben auc im Sinne einer Varianzanalyse interpretieren, wobei die Cluster als Gruppen anzuseen sind. Es gibt dann Variabilität zwiscen und inneralb der Gruppenund der Intracluster Korrelationskoefficient wird gescätzt nac ˆ m* SSwitin ρ. Ic = ( m ) SStotal Mit dem ICC kann die Varianz des Mittelwertes formuliert werden als: ( ) n var y = { + ( m ) } Ic m n σ ρ mit σ = Varianz pro Element in der Population. Interpretation dieser Formel: Die Genauigkeit von Clustersticproben ängt ab von: - Sticprobenumfang n (Anzal ausgewälter Cluster), - Clustergröße m, - σ y pro Populationselement, - ρ Ic. Für Für ρ Ic = 0 ρ Ic 0 Für ρ Ic 0 ( ) var y entsprict der Varianz einer einfacen Zufallsauswal vom Sticprobenumfang mn: Die Beobactungen inneralb eines Clusters sind unkorreliert. Die Beobactungen inneralb eines Clusters sind einander änlic. Wenig Genauigkeitsgewinn durc Einbezieen von m Elementen pro Cluster: geringere Genauigkeit (normale Situation in Waldinventuren). (ungewönlic in Waldinventuren): Die Beobactungen inneralb eines Clusters sind ser untersciedlic: öere Genauigkeit. Wie können wir ggfls. ρ Ic beeinflussen? S. 0

11 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur Planungs-Gesictspunkte bei Clustersticproben, die aus mereren einzelnen Unterfläcen besteen Cluster-Probefläcen Anzal. Räumlice Verteilung / Auswaldesign. Einzelfläcen Clustergröße (=Anzal von Einzelfläcen). Größe und Art der Einzelfläcen. Geometrisce Anordnung der Einzelfläcen. Abstand zwiscen den Einzelfläcen (=räumlice Ausdenung des Cluster-Plots). Transportkosten: zu den Clustern und zwiscen den Einzelfläcen inneralb der Cluster. Beispiel Scätzung des Waldfläcenprozent aus quadratiscen Clustern mit vier Unterfläcen. 3 Welce Optionen gibt es nun, um die Waldfläce zu scätzen? 4 Data (inventory Zona orte of Costa Rica) (Kleinn 993) Sample size of clusters n 899 Clusters wit subplot no. in forest 03 Clusters wit forest subplots 8 wit forest subplot 5 wit forest subplot 60 wit 3 forest subplot 58 wit 4 forest subplot 4 Clusters witout forest plots 67 Option I: Ausnutzen der Beobactungen an allen vier Ecken; d. pro Cluster: y {0.0, 0.5, 0.5, 0.75,.0} Option II: ur die Information an Unterfläce (subplot) wird ausgewertet (aus der Tabelle nict ersictlic!): y {0.0,.0} Auswertung Art der Auswertung Scätzung Feler Option I: ganze Cluster: % Option II: nur der erste Cluster Punkt: 03/899 = % Falsc: Alle 4*899 Unterfläcen als unabängig ausgewälte Elemente anseen: 80/3596 = % Interpretation? S.

12 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur Übung Die Beispielspopulation von 30 Elementen wird zerlegt in 5 Cluster von je Elementen. Für einen Sticprobenumfang con n=5 Clustern: a. Berecne den parametriscen Mittelwert und die parametrisce Varianz des Mittelwertes! b. imm eine Zufallssticprobe und scätze Mittelwert, Varianz, und Standardfeler! Population von Einzelelementen und Clustern der Größe m =. Population wit =30 Population wit individual elements =5 clusters o. Obs. o. Obs. o. Obs Mean per element: Total Example Population of 30 elements o. y x Sums per Cluster Means per Cluster : : : : : : : : : : Mean Pop. Variance Systematisce Sticprobe Rel. große Gruppe von Sticprobenverfaren. Allgemeines Merkmal: es existiert ein festes, systematisces Muster bei der Auswal. Wie passt das zur allgemeinen Forderung nac Randomisierung bei design based sampling? Wie viele Randomisierungsscritte gibt es bei einer systematiscen Auswal? Beispiele Jeder 0te Baum in jeder 5. Reie einer Plantage. Waldfläcenscätzung mit einem Punkteraster. Parallele Transekte mit konstantem Abstand.. Probekreise auf einem Quadratraster. S.

13 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur Vergleic mit der uneingescränkten Zufallsauswal Die Auswal erfolgt nac einem vordefinierten Muster. ict alle Populationselemente aben dieselbe Warsceinlickeit in die Sticprobe zu gelangen. ac Auswal des ersten Elementes sind alle anderen Elemente der Sticprobe implizit festgelegt für die Auswalwarsceinlickeit aller Elemente gilt: P=0. Es steen offenbar für eine statistisce Scätzung kaum Freieitsgrade zur Verfügung. Der Sticprobenumfang ist eine Zufallsvariable: der Sticprobenumfang ist erst dann exakt zu bestimmen, wenn die Sticprobe ausgewält ist. Illustration: Vorteile Einfac in der Anwendung. Auswalmecanismus ist einfac zu versteen und einfac zu erklären. Einfac zu kontrollieren. In den meisten Anwendungen bei Waldinventuren ist die systematisce Sticprobe genauer als die zufällige. Wenn auc Interesse an Untereineiten (Straten) bestet: eine fläcenproportionale Zuordnung erfolgt automatisc (s. Beispielskarte). Slope Slope Slope S. 3

14 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur acteile Es gibt keine statistisc basierten unverzerrten Scätzer für Varianz und Standardfeler. Zur Berecnung eines äerungswertes für den Standardfeler, muss man mit Annamen arbeiten. Meist wird einfac der Scätzer für die Zufallsauswal angewendet. Dieser ist nur dann annäernd gut, wenn die Anordnung der Elemente in der Population zufällig wäre. Dies ist im Falle von Waldinventuren selten der Fall: Die Anwendung der Zufallsformel fürt zu einer (meist deutlicen) Überscätzung des waren Felers sog. konservative Scätzung. In sog. Zykliscen Populationen produziert die systematisce Sticprobe oe Feler die Punktscätzung des Mittelwertes selbst bleibt aber unverzerrt. Typisces Beispiel (äufig zitiert im Waldinventur-Kontext): Ost- West-verlaufendes Gebirge das Raster ist so orientiert, dass die meisten Plots in Tälern zu liegen kommen.... r... M M+ M+... M+r... M (n-)(m+) (n-)(m+) Ein Element pro Stratum in /M Straten Ausgewältes Cluster Die Population wird in einer Matrix angeordnet (s. oben). Jedes M-te Element (beginnend mit Element r M) wird ausgewält. Man kann diese Auswal betracten als: - Stratifizierte Sticprobe: die Zeilen der Matrix sind die Straten und in jedem Stratum wird genau ein Element beobactet, oder als - Cluster Sticprobe: die Spalten sind die Cluster; es wird ein einziges Cluster ausgewält.... in beiden Fällen findet jedoc keine Randomisierung statt: nur ein Element pro Stratum, bzw. ein Cluster wird ausgewält. Optionen zur Durcfürung der systematiscen Sticprobe Art der Auswal Eigenscaften Startelement ist nict zufällig ausgewält. Ein Element (Startelement) zufällig ausgewält: Sticprobenumfang n =. Keine Randomisierung: Streng genommen ist dies keine statistisce Sticprobe. Punkt- und Intervallscätzungen mit Standard statistiscen Verfaren sind nict möglic. Eine einzige unabängige Beobactung: Wir aben keine Freieitsgrade zur statistiscen Scätzung des Standardfelers. Eine Mittelwertscätzung ist tendenzfrei möglic, Scätzungen von Varianzen nict. Zufallsauswal von n m=n > Startelemente und Überlagerung mererer systematiscer Sticproben. Es werden n m Cluster ausgewält (jede Sticprobe stellt ein Cluster dar) und die entsprecenden Scätzer kommen zur Anwendung. S. 4

15 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur Einface statistisce Modelle für die näerungsweise Scätzung der Felervarianz Es gibt keinen tendenzfreien Scätzer. Alle Modelle basieren auf Annamen, die im konkreten Fall mer der weniger (aber in unbekanntem Maße) zutreffen. Die Varianz wird nur angenäert nict jedoc im statistiscen Sinne gescätzt. Es bleibt letztlic unbekannt, wie gut die äerung ist. Frage: Wie könnte man die ware Felervarianz teoretisc bestimmen? Einface statistisce Modelle für die näerungsweise Scätzung der Felervarianz. Wenn wir annemen, dass die Populationselemente sic in einer zufälligen Anordnung befinden: Anwendung der Scätzer der Zufallsauswal. In Waldinventuren ser äufig angewendet. Die Scätzungen sind konservativ.. Post-Stratifizierung und Anwendung der entsprecenden Scätzer (änlice Einscränkungen wie unter Punkt ). 3. Stratifizierung mit zwei benacbarten Elementen pro Stratum = Paar-Differenzen Metode. 4. Andere Modelle (auc aus der Klasse der model based sampling tecniques). Die Paar-Differenzen-Metode Wir betracten die Sticprobe als stratifizierte mit Straten von jeweils zwei Elementen. Darauf werden dann die Scätzer der stratifizierten Sticprobe angewendet (wobei eigentlic die Randomisierung felt!). Die gescätzte Varianz in jedem ( y ) i y Stratum ist dann s ( ) = = y y n und die Felervarianz der s stratifizierten Sticprobe vâr( ysyst ) = w = n Mit n = für alle Straten und Straten (so dass w =/) ergibt ( y y ) sic scließlic vâr( ysyst ) =. = 4 Daer auc der ame Paardifferenzen -Metode. S. 5

16 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur Konsequenz der Tatsace, dass tendenzfreie Scätzungen von Varianzen bei der systematiscen Sticprobe nict möglic sind: Die berecneten Varianzen sind nict tendenzfreie Annäerungen. Das wirkt sic natürlic auf alles aus, was mit statistiscer Inferenz zu tun at: Berecnung des Sticprobenumfanges. Berecnung von Konfidenzintervallen Vergleic mit anderen Sticproben. In Waldinventuren und auc bei ökologiscen Erebungen (wo üblicerweise räumlice Autokorrelation voranden ist) liefert der Felervarianz-Scätzer der Zufallsauswal angewendet auf eine systematisce Sticprobe konservative Scätzungen: Wir überscätzen den für eine definierte Genauigkeit erforderlicen Sticprobenumfang. Wir überscätzen die Weite des Konfidenzintervalles. Die Warsceinlickeit einen Feler erster Art (type I error) zu begeen beim Vergleic mit einer anderen Sticprobe wird kleiner sein als der nominell definierte Feler.. Der entsprecende Test ist konservativ und at eine geringere Teststärke (als wenn die ware Felervarianz bekannt wäre). Sind statistisce, tendenzfreie Varianzscätzungen für die Auswertung erforderlic, dann sollte man auf die systematisce Sticprobe vom n = Typ verzicten! Option: Multiple Zufallsstarts Die n = systematisce Sticprobe wird n m > mal wiederolt, und man erält n m unabängige Beobactungen, die die Scätzung der Felervarianz erlauben. Beispiele? S. 6

17 BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur Illustration: Multiple Zufallsstarts Das Design entsprict dann der Cluster-Sticprobe und die entsprecenden Scätzer kommen zur Anwendung.. Zufallsstarts Systematisce Sticprobe in R Quadratraster: Rectecksraster: Rectecksraster: Dreiecksraster Feler: -4% größer als im Dreiecksraster. Für a:b=:: Feler ca. 0-70% größer als im Dreiecksraster. Übergang zu Transekten. Ab etwa a:b=8:: praktisc kein Vorteil mer gegenüber Zufallsauswal. Mit gleicem Abstand zwiscen allen Punkten. Geringster Feler. Aus Matérn (960), Genauigkeitsangaben bezieen sic auf die Genauigkeit der Scätzung von Fläcen mit Punkterastern. Beispielspopulation: o. y : : : : Systematisce Sticprobe: Elemente in gleicem Abstand ausgewält: k = 3 und n = 0. Wie würde man die Auswal durcfüren? Wie würden wir die parametrisce Varianz berecnen? Wie viele versciedene Sticproben sind möglic? S. 7