von Hinten: Investitionsplanung und -rechnung, #03

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1 Projek: VWA hema: WS 25/6 Empfänger: Absender: Dimar Nagel Anlage-Daum: Saus-Daum: von Hinen: Invesiionsplanung und -rechnung, # Alle Foliennummern beziehen sich auf die Ursprungs-PDF ohne Lösungen (vgl. invesiion_scrip_x4_ol_5.pdf, invesiion_scrip_2x4_ol_5.pdf ). Der inerne Zinsfuß i * eines Projeks is der Zinssaz, bei dem der Kapialwer des Projeks Null is. Zwar kann man durch Nullsezung 63 V a q A a ( i* ) = = + A = einen mahemaischen Ansaz für die Lösung finden, allerdings handel es sich schon bei fünf beracheen Perioden um einen Polynom vieren Grades, sodaß man nich ohne weieres nach dem gesuchen Zinssaz i * auflösen kann. Der inerne Zinsfuß wird manchmal auch als die mögliche Verzinsung des Anfangskapials bezeichne; diese Inerpreaion is wg. der Wiederanlageprämisse realiäsfremd. In den meisen Fällen is die Aussage Der inerne Zinsfuß gib die Verzinsung des im Projek gebundenen Kapials an besser diese Definiion is allerdings nich mehr auglich, sobald im Projek negaive Zahlungsüberschüsse vorkommen (die man mi Kredien ausgleichen müße). Üblich is auch eine Bewerung nach der Baldwin -Mehode ( Baldwin-Verzinsung ). Der inerne Zinsfuß is in jedem Falle eine Rendieziffer, die eine Beureilung der Voreilhafigkei eines Projeks erlaub. Der Baldwin-Zinssaz is eine heoreisch saubere Forenwicklung des Inernen Zinsfußes. Das Modell is prakisch nachvollziehbar: Ein am Anfang bereigeseller und verzinslich angeleger Berag dien der Deckung aller Auszahlungsüberschüsse, auf einem zweien Kono werden die Einzahlungen einschließlich des Verkaufserlöses gesammel und am Ende bewere. EW Somi werden sowohl Inpu- als auch Baldwin-Zinssaz berechne sich zu: i N N B = KW Oupufakoren ensprechend ihres N = Nuzungsdauer, wobei zeilichen Ineresses ausgewiesen. KW = Kapialwer der Auszahlungsüberschüsse in Es wird immer genau eine Lösung EW N = Endwer der Einzahlungsüberschüsse in N gefunden, Mehrdeuigkeien oder unsinnige Lösungen sind ausgeschlossen. [Dr. Seffen Mezner] Ng., wopsa.de Seie / 6

2 Beim Projek A ergäbe sich (wenn man vorher per aschenrechner oder Excel s XINZINSFUSS den inernen Zinsfuß zu 4% besimm häe...): V = ,4, 42, 43,44 = 322,8+ 338, , ,99.2 = -.2, 368, 44, 398, 456, ,4 64 Nuz man die EZÜ der Zahlungsreihe bei Inanspruchnahme eines Kredis (zum inernen Zinsfuß) konsequen für Zinsen und ilgung, so ergib sich in jedem Zeipunk : 65 KB = KB S für die Kapialbindung Z * = KB i für die Zinsen S = a Z für die ilgung (selemen) Diese Annahmen sellen also Verwendungsregeln dar, wie das Kapial einzusezen is. So is auch die Definiion von Wiederanlageprämissen überflüssig. Nacheil: bei negaiven ZÜ is das Verfahren nich mehr auglich. Zur Sensiiviäsanalyse 2 kann der inerne Zinsfuß genuz werden: Der izf is der Maximalzinssaz eines Kredis, mi dem ein Projek finanzier wird bei höheren Finanzierungskosen würde das Projek unvoreilhaf Der izf is der Maximalzinssaz einer Alernaivanlage eines selbsfinanzieren Projeks, oberhalb dessen das Projek besser nich realisier, sondern das eigene für das Projek vorgesehene Kapial in die Alernaivanlage geseck wird. Zur Definiion einer Kapialwerfunkion 3 geh man von einer Normalinvesiion aus, die wie folg definier is: 68 a) Im Projek gib es eine oder mehrere (negaive) Anfangsauszahlung(en), alle anderen Auszahlungen sind posiiv. a < a > wobei: b) Die Summe der Zahlungsreihe is posiiv: a > 2 3 Eine Sensiiviäsanalyse erlaub die Sensibiliä eines Enscheidungsmodells im Bezug auf unerschiedliche Parameer feszusellen. So können z.b. im Falle einer Invesiionsrechnung die Reakionen auf Veränderungen von Basisgrößen wie Invesiionssumme oder Nuzenhöhe unersuch werden. Eine umfassende Beureilung eines Projeks wird insbesondere durch Ersellung eines Risikoprofils möglich. Zur sparenunabhängigen Sensiiviäsanalyse vgl. insb. das Sensiiviäsmodell nach Prof. Dr. Veser (hp:// Die Kapialwerfunkion ordne jedem Kalkulaionszinsfuß i bei gegebenem Zahlungssrom den zugehörigen Kapialwer zu. Ng., wopsa.de Seie 2 / 6

3 Die Kapialwerfunkion des Projeks A ergib sich (uner Anwendung der Excel-Funkion XKAPIALWER...) als V = f(i) nach V = a q A zu nebensehendem Grafen; dabei is bereis der Nulldurchgang der Abszisse als inernem Zinsfuß i * = 4% und Kapialwer V 5, 4, 3, 2,,, -, i (Kalkulaionszinsfuß) in % Ordinae = 462 als Kapialwer bei i = erkennbar. Da und a (bei ) immer posiiv sind, is die Seigung der Kapialwerfunkion im Bereich > i > negaiv, die Kapialwerfunkion fäll monoon (d.h., sie ha keine Sprünge ). Um die Kapialwerfunkion rein qualiaiv zu beureilen wird sie zu V i = a q (+ ) = a ( + i) + abgeleie. Mi der Ableiung lassen sich die Fälle i Wenn i gg. - geh, geh q gg. Null und dami der Kapialwer gg. unendlich. Der Graf geh asympoisch gegen -. i = (Nulldurchgang der Ordinae) Wenn i Null is, is q gerade. Dami wird der Kapialwer nun a A oder a. i Wenn i gg. unendlich wächs, geh auch q gg. unendlich. Dami sink der Kapialwer seig gg. -A der Graf näher sich asymoisch -A an. analysieren. Der zweie Nulldurchgang erfolg beim Kapialwer Null genau dann, wenn der Zins i dem inernen Zinsfuß i * ensprich. Ng., wopsa.de Seie 3 / 6

4 Es lohn sich also immer dann, in ein Projek zu invesieren, wenn der inerne Zinsfuß größer is als der Kalkulaionszinsfuß 4 : i * > i >. Das gil für alle Zahlungsreihen mi einem Vorzeichenwechsel und negaiven Auszahlungen am Anfang ( ). Dem Grafen folgend schein auch ein lohnendes Projek denkbar, bei dem der inerne Zinsfuß im Negaiven, aber immer noch größer als der Kalkulaionszinsfuß exisier. Ein negaiver Kalkulaionszinsfuß is aber unsinnig und dieser Bereich is daher von vorneherein auszuschließen. In Formeln läß sich dieser Zusammenhang darsellen: Gil für eine Zahlungsreihe a < in =... (nur Auszahlungsüberschüsse) und a > in = +... (nur Einzahlungsüberschüsse) daß a > (Erfüllung des Deckungskrieriums ) so folg i * >. 72 Gil darüber hinaus i * > i so folg V > und das Projek is wg. des posiiven Kapialwers voreilhaf. a < (vgl. Grafik) und eine Unersuchung is obsole. kann nich voreilhaf sein In der Praxis komm auch der Fall vor, daß AZÜ s von EZÜ s gefolg werden und das Projek danach mi AZÜ abschließ ( ). Das is z.b. für Bergbau ypisch, bei dem zunächs Kosen durch das Freilegen ensehen und man danach eine Zei lang Gewinne durch das Ernen ha. Danach ensehen durch das Rekulivieren der Grube zum Projekende wieder Kosen. In einem solchen Fall nimm die Kapialwerfunkion nebensehende Gesal an. Das Maximum muß dabei nich auf der Ordinae, sondern kann im ersen oder zweien Quadranen liegen. Zerleg man die Formel für die Kapialwerberechnung V = a q A bzw. V = a q in ihre Einzelsummanden und berache den Fall, daß q gegen Null geh (sprich: i geh gegen -), so ergib sich: lim V = lim (a a q... a q ( ) a q ) q = lim (a a q... a q a q ) = lim [ q (a q a q... a q a )] 4 Markzins Ng., wopsa.de Seie 4 / 6

5 Für den Fall, daß q gegen Null geh, werden alle Summanden in der Klammer außer dem lezen zu Null. Es ergib sich: a lim V = lim und da a q (wg ) immer negaiv is: lim V = Zudem ergib sich aus dem Grafen: für den Fall < i * < i gil V < für den Fall < i < i * gil V > Auch im Falle eines Invesiionsprojeks nach dem Muser führ es also zu einem posiiven Kapialwer und der Voreilhafigkei des Projeks, wenn der inerne Zinsfuß den Kalkulaionszinssaz überseig und zu einem negaiven Kapialwer, wenn der Kalkulaionszinssaz größer als der inerne Zinsfuß is. Enscheidungen zwischen einander ausschließenden Projeken 8 Beispielauswahl von Projeken: Projek A: a = {-.2, 368, 44, 398, 456} i * =,4 Projek B: a = {-., 33, 34, 278, 452} i * =,3 Projek C: a = {-.4, 268, 356, 432, 896} i * =,2 Projek D: a = {-8, 22, 25, 39, 345} i * =,5 Vergleich zwischen A und B: Ersell man die Kapialwerfunkion, so zeig sich, daß A für jeden Kalkulaionszinssaz einen höheren Kapialwer als B ha: A dominier B und deshalb kann für die weieren Überlegungen B ausgeschlossen werden. Da es aufwändig is, für eine solche Überlegung die Kapialwerfunkion zu ersellen, kann man sich für eine Berachung auf die beiden Schnipunke der Achsen beschränken: der Abszissenschnipunk wird durch den inernen Zinsfuß und der Ordinaenschnipunk durch die Summe der a i* Zahlungen fesgeleg. In diesem Falle also Projek A 462,4 wie in nebensehender abelle dargesell. Projek B 364,3 Vergleich zwischen A und C: Berache man bei diesem Vergleich die beiden Schnipunke, zeig sich keine Dominanz. Sadessen gib es einen Schnipunk bei k der beiden Kapialwerfunkionen; seig der Kalkulaionszinssaz darüber, is A voreilhafer, sink er daruner, is C voreilhafer. Wie finde man diesen kriischen Zinssaz k? a i* Projek A 462,4 Projek C 552,2 Man könne die beiden Kapialwerfunkionen gleichsezen, was aber aufwändige Rechnereien zur Folge häe. Sadessen besimm man besser den inernen Zinsfuß des (viruellen) Differenzprojeks, der genau diesen Punk darsell. Ng., wopsa.de Seie 5 / 6

6 Man sell sich also im Grunde die Frage, ob sich neben dem Projek A (das die kleinere Anfangsauszahlung und den höheren inernen Zinsfuß ha) eine Mehrinvesiion zur Finanzierung von C lohn: sie lohn sich dann, wenn der inerne Zinsfuß i * der Differenzinvesiion größer is als der Kalkulaionszinssaz i. Besimm man die Differenzinvesiion C-A, so ergib sich ein inerner Zinsfuß dafür von * i C-A = 6,7%. Der Zinssaz am Mark sei 6%. Es lohn sich, das Projek C durchzuführen. Regel: i C * A > i C f A i C * A = i C A i C * A < i C p A Für die weieren Überlegungen berage der Kalkulaionszinssaz 9%. Dann mach es keinen Sinn, C zu realisieren. Es bleib also nurmehr A gegen D zu vergleichen. Vergleich zwischen A und D: Anhand der beiden Achsenschnipunke erkenn man wieder, daß sich die beiden Kapialwerkurven schneiden müssen. a i* Projek A 462,4 Projek D 36,5 Bei diesem Vergleich ha nun das Projek D die kleinere Anfangsauszahlung und den höheren inernen Zinsfuß. Darum is hier die Frage zu sellen, ob eine Mehrinvesiion von D auf A lohn, also die Differenzinvesiion A-D zu bilden. Es ergib sich ein inerner Zinsfuß der * Differenzinvesiion von i A-D =,4%. Bei einem Markzins von 6% is also die zusäzliche Invesiion ebenso sinnvoll wie bei einem Zinssaz von 9%. Aus i * A-D > i folg, daß Projek A dem Projek D vorzuziehen is. Dieses Ergebnis gil, obwohl der inerne Zinsfuß von D größer als derjenige von A is(!!). Dies erklär sich dami, daß die Invesionssumme geringer is und deshalb die Verzinsung weniger erräg. Diese Ergebnisse lassen sich nur erzielen, wenn auch die Differenzinvesiion wieder eine Normalinvesiion 5 is. Sons gelen diese Regeln nich. 5 Normalinvesiion is eine Invesiion, die genau einen Vorzeichenwechsel ha, mi Auszahlung(en) beginn und deren Summe der Zahlungen größer Null is. Ng., wopsa.de Seie 6 / 6

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