PI-, PD- und PID-Regler

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1 FELJC 2_PI_PD_PID_Rglr.odt 1 PI-, PD- und PID-Rglr 1. Widrholung: Statischs Führungs- und Störvrhaltn Untr wlchn Bdingungn rgibt sich in möglichst klin Rglabwichung? ZV ZL W Y Strck X Aufgab 1 Lit für dn obign Rglkris mit Vrsorgungs- und Laststörung di Forml für dn statischn Wrt dr Rglgröß hr, in Abhängigkit von w, z V und z L. Vorghnswis: Glichungn für Strck, Rglr und Vrglichr aufstlln Glichungssstm nach x auflösn Ergbnis: x b = K PR K PS K PS 1 w z 1 K PR K PS 1 K PR K V z PS 1 K PR K L PS Zur Erinnrung: Dis Forml läßt sich licht mrknt: untr dm Bruchstrich stht bi jdm Trm 1 + Ringvrstärkung übr dm Bruchstrich sht das btrachtt Signal mal di Vrstärkung dr Blöck di s durchläuft. Führungsvrhaltn: kin Störung z V =0, z L =0 x b = K K PR PS w 1 K PR K PS Wir möchtn in möglichst klin Rglabwichung habn, also im Idalfall x b =w. Dis kann rricht wrdn durch inn möglichst hohn Proportionalbiwrt ds Rglrs, dnn lim x b =w K PR

2 2 Störvrhaltn (Vrsorgungsstörung): kin Ändrung dr Führungsgröß, kin Laststörung w=0, z L =0 K PS x b = z 1 K PR K V PS Wir möchtn in möglichst gut Ausrglung dr Störung, also im Idalfall x b =0. Dis kann auch hir rricht wrdn durch inn möglichst hohn Proportionalbiwrt ds Rglrs, dnn lim x b =0 K PR Störvrhaltn (Laststörung): kin Ändrung dr Führungsgröß, kin Vrsorgungsstörung w=0, z V =0 1 x b = z 1 K PR K L PS Wir möchtn in möglichst gut Ausrglung dr Störung, also im Idalfall x b =0. Dis kann rricht wrdn durch inn möglichst hohn Proportionalbiwrt ds Rglrs, dnn lim x b =0 K PR Zusammnfassung: Für in möglichst klin Rglabwichung und in möglichst gut Ausrglung dr Störung wird in hohr Proportionalbiwrt ds Rglrs gfordrt. Problm: Bi PTn-Strckn odr Strckn mit Totzit führt in hohr Proportionalbiwrt ds Rglrs zu starkm Übrschwingn odr sogar zu Instabilität. Dr Einsatz ins I-Antils im Rglr kann diss Problm lösn. Man kann in I-Glid als P-Glid mit klinm K PR für plötzlich Ändrungn (hoh Frqunzn) und großm K PR für langsam Ändrungn btrachtn. Wnn gnügnd Zit zur Vrfügung stht, kann in Rglung mit I-Antil dn Sollwrt gnau rrichn bzw. in Störung kompltt ausrgln.

3 FELJC 2_PI_PD_PID_Rglr.odt 3 2 I-Rglr Rin I-Rglr wrdn sltn angwandt, dnn si habn 2 Nachtil: Di Raktion rfolgt langsam Dr Rglr bringt in zusätzlich Vrzögrung in dn Rglkris, wnn in rinr I- Rglr vrwndt wird. Dis kann (wi in Vrzugszit dr Strck) zu Instabilität führn. Mit dr Frqunzgangmthod kann man zign dass in I-Rglr in frqunzunabhängig Phasndrhung von -90 hat. Zusammn mit dr Phasndrhung dr Strck, di bi PTn bnfalls -90 rrichn kann, wird di Ggnkopplung ds Rglkriss in in Mitkopplung vrwandlt und das Sstm wird instabil. Um dis Nachtil zu vrmidn bnutzt man in dr Praxis PI- odr PID-Rglr. Dadurch wird dr Rglr schnllr und dr Rglkris stabilr. (Bim PI-Rglr ist di Phasnvrschibung frqunzabhängig und klinr als 90, so dass Instabilität wnigr wahrschinlich ist). Bispil: Störvrhaltn im Vrglich mit I-Rglr / P-Rglr x 0.8 PTN t /s Aufgab 2 Idntifizir di Kurvn für dn I- und für dn P-Rglr im Diagramm. Aufgab 3 Untrsuch in BORIS das Störvrhaltn (Laststörung) ins Rglkriss mit inr Ptn- Strck drittr Ordnung (K PS = 1, Ts = 10s) mit P-Rglr Ab wlchm Wrt für KPR wird das Sstm instabil? Mit I-Rglr Ist dr Rglkris stabil? Wird di Störung vollständig ausgrglt?

4 4 3 PID-Rglr als Industristandard (Allgmins) Industrill Rglr sind praktisch immr als PID-Rglr aufgbaut, d.h. di Stllgröß Y rgibt sich aus dr Addition ins P-, ins I- und ins D-Antils. So wrdn di Vortil dr inzlnn Rglr kombinirt. Zusammngfasst: P-Rglr + - I-Rglr + D-Rglr schnll blibnd Rglabwichung kin blibnd Rglabwichung Dr Sollwrt wird rricht, di Störung wird nach gnügnd langr Zit vollständig ausgrglt. langsam, Stabilitätsproblm bi trägn Strckn ragirt stark auf schnll Abwichungn vom Sollwrt allin nicht anwndbar da Y=0 wnn X=const Ein trffnd Bschribung dr inzlnn Antil lifrt Schlütr: P-Antil: J größr di Rgldiffrnz, dsto stärkr di Raktion I-Antil: J längr di Rgldiffrnz anstht, dsto stärkr di Raktion D-Antil: J schnllr di Rgldiffrnz sich ändrt, dsto stärkr di Raktion Wir wolln nun dr Rih nach PI-, PD- und PID-Rglr gnaur btrachtn.

5 FELJC 2_PI_PD_PID_Rglr.odt 5 4 PI-Rglr a) Glichung im Zitbrich (Prinzip) = P I P =K PR 1 T I dt I b) Sprungantwort Aufgab 4 Zichn für das Bispil: = 1V, K PR = 2, T I = 10s in inm Diagramm di Signal, P, I in inm zwitn Diagramm di Stllgröß ds PI-Rglrs Es gibt in disn Diagrammn zwi wichtig Zitn: di Intgrirzit T I ist di Zit, bi dr dr I-Antil dr Stllgröß glich dm Eingangssignal ist, di Nachstllzit T N ist di Zit, bi dr dr I-Antil dr Stllgröß glich dm P-Antil ist. Achtung: dis Dfinitionn bzihn sich nur auf di Sprungantwort! Aufgab 5 Lit ausghnd von dr Dfinition dr dr Nachstllzit in Forml hr, mit dr T N aus K PR und T I brchnt wrdn kann. Übrprüf di Brchnung am Bispil. Ergbnis: T N =K PR T I Achtung: Bi Industrirglrn wrdn nicht K PR und T I, sondrn K PR und T N ingstllt. Aufgab 6 Auf wlchn Wrt müsst bi inm Industrirglr di Nachstllzit ingstllt wrdn, wnn man inn rinn P-Rglr habn will und sich dr I-Antil nicht abschaltn lässt? Übrlg mit dr Sprungantwort.

6 6 c) Glichung im Zitbrich mit K PR und T N =K PR + 1 T I dt mit T I = T N K PR =K PR (+ 1 T N dt) d) Frqunzgang ins PI-Rglrs Mit dr Frqunzgang-Mthod (sih T3EE "Ancin régim") kann das Frqunzvrhaltn licht hrglitt und in inm sognanntn Boddiagramm dargstllt wrdn. Bispil: A m p l i t u d n g a n g B t r a g v o n F f / H z P h a s n g a n g p h i / f / H z Das obr Diagramm zigt dn Btrag dr Vrstärkung. Dis ist für Frqunzn obrhalb von ca. 1Hz konstant und durch dn P-Antil ds Rglrs bstimmt. J tifr di Frqunz (langsam Ändrungn), dsto höhr di Vrstärkung. Das untr Diagramm nthält dn Phasngang. Bi Frqunzn obrhalb von ca. 1Hz hat dr Rglr kin Phasnvrschibung. Das hißt dass r unvrzögrt auf schnll Ändrungn dr Rglgröß ragirn kann. J tifr di Frqunz, dsto mhr nährt sich di Phasnvrschibung dm Wrt für inn I-Rglr, nämlich -90.

7 FELJC 2_PI_PD_PID_Rglr.odt 7 Aufgab 7 a) Bstimm aufgrund dr obign Übrlgungn dn Proportionalbiwrt ds P-Antils ds Rglrs mit obigm Frqunzgang. b) Knoblaufgab: In dism Bispil bträgt di Nachstllzit 0.5s Kann man dis Information auch im Frqunzgang findn? ) Blockschaltbild ins industrilln PI-Rglrs Am nahligndstn ist di nicht intraktionsfri Paralllstruktur. Si ntspricht dr Glichung =K PR 1 T I dt Dis ist nicht di praktisch vrwndt Schaltung! KPR Hir wrdn K PR und T I ingstllt. Dis ist unpraktisch, dnn bi industrilln Rglrn möcht man K PR und T N instlln könnn. TI Man kann auch nicht infach am Einstllknopf für T I in Skala mit inr Bschriftung für T N anbringn Dis würd für jdn Wrt von K PR andrs ausshn, da T N von K PR und T I abhängt: T N =K PR T I Di bi industrilln Rglrn angwndt intraktionsfri Struktur ght von dr Glichung mit T N aus: =K PR 1 T N dt KPR Di hir am I-Glid ingstllt Intgrirzit T I * ist di Nachstllzit ds PI-Rglrs. TI* = TN T N und K PR könnn unabhängig voninandr (intraktionsfri ) ingstllt wrdn. Das Proportionalglid kann auch am Eingang statt am Ausgang dr Schaltung lign. Aufgab 8 Entwrf in Schaltung mit OPV bi dr man K PR von 1 bis 10 und T N von 2 bis 5s instlln kann.

8 8 f) Invrtirndr PI-Rglr mit inm OPV Dis Schaltung wird hr sltn angwndt, da si nicht intraktionsfri ist. Si kann abr wgn ihrr Einfachhit intrssant sin, wnn T N und K PR nicht instllbar sin müssn. R2 C R1 Für schnll Ändrungn ds Eingangssignals (hoh Frqunzn) wirkt C wi in Kurzschluss, so dass di Schaltung wi in Invrtirndr Vrstärkr mit inr Vrstärkung von -R 2 /R 1 wirkt. Dr Proportionalbiwrt ds P-Antils ist als K PR = R 2 /R 1 Bi langsamn Ändrungn (tif Frqunzn) wird dr Blindwidrstand ds Kondnsators so groß, dass R 2 vrnachlässigt wrdn kann. Nun wirkt di Schaltung als invrtirndr Intgrator mit inr Intgrirzit T I =R 1 C g) Bispil für das dnamisch Führungsvrhaltn x 1.6 PTN t /s Aufgab 9 Das Diagramm zigt das Führungsvrhaltn ins Rglkriss, inmal mit P- und inmal mit PI-Rglr. Wlchr Sollwrt war ingstllt? Wlch Kurv ghört zum PI- und wlch zum P-Rglr? Warum?

9 FELJC 2_PI_PD_PID_Rglr.odt 9 5. PD-Rglr a) Vortil PD-Rglr ragirn stark, wnn sich di Rglgröß plötzlich vom Sollwrt ntfrnt Dr D-Antil hat in stabilisirnd Wirkung auf Rglkris mit Strckn höhrr Ordnung. Richtig ingstllt rgibt sich mit D-Antil wnigr Übrschwingn als bi inm rinn P-Rglr. Instabil Rglkris könnn untr Umständn mit inm D-Antil stabilisirt wrdn. Bispil: Führungsvrhaltn PT3, Ts = 5s bi w=1 x PTN t /s (gstrichlt: mit PD-Rglr mit K PR = 2, durchgzogn mit PD-Rglr mit K PR = 2, T D = 5s) Nachtil: wi bim P-Rglr gibt s in blibnd Rglabwichung. Praktischs Bispil: Schwbnd Kugl: b) Glichung im Zitbrich (Prinzip) KPR = P D P =K PR +T D d dt D In dr Praxis wird für das D-Glid in DT1-Glid gwählt. Warum? (Sih D0, DT1). TD

10 10 c) Sprungantwort Wgn ds D-Antils ist di Sprungantwort wnig aussagkräftig. Bi inm PD-Rglr mit rinm D0 würd im Momnt ds Sprungs (thortisch!) am Ausgang in Diracstoss rschinn, danach würd das Eingangssignal mit dm Faktor K PR vrstärkt rschinn. Bispil für = 1V, K PR = 2: 2V t Von dism Vrhaltn ist das Schaltzichn abglitt. Di Sprungantwort nthält kin Information übr T D! Bi inm PDT1-Rglr, wi r in dr Praxis vorkommt, wird dr Eingangssprung nicht unndlich hoch vrstärkt, sondrn nur mit dr Vorhaltvrstärkung V D. Dis wird rricht, indm vor odr hintr das D-Glid in Tifpass (PT1) gschaltt wird. So wird di Vrstärkung für hoh Frqunzn auf di Vorhaltvrstärkung bgrnzt. In dr Sprungantwort rgibt sich statt ds Diracstoßs in Nadlimpuls mit dr Zitkonstantn T. Dis ist di Zitkonstant ds Tifpasss (PT1). di Höh ds Pulss ist durch di Vorhaltvrstärkung dfinirt. Aufgab 10 Das folgnd Diagramm zigt di Sprungantwort ins PDT1-Rglrs bi inm Eingangssprung von 2V zum Zitpunkt t=1s. Bstimm daraus K PR, V D und T D. /V 10 9 PID t /s In dr Praxis ist diss Vrfahrn mist untauglich, da di Unsichrhitn bi dr Mssung ds Spitznwrts und dr Zitkonstantn zu fhlrbhafttn Wrtn für T D führn.

11 FELJC 2_PI_PD_PID_Rglr.odt 11 d) Anstigsantwort Wgn ds D-Antils ist s sinnvollr, statt dr Sprungantwort di Anstigsantwort aufzunhmn. Bispil für inn PD-Rglr mit rinm D-Antil: /V 4 2 /V t/s t/s Bi inm PDT1-Rglr siht di Sprungantwort ähnlich aus, wgn dr Vrzögrung ist abr dr Sprung am Anfang xponntill abgrundt mit dr Zitkonstantn T. Aufpassn: di Anstigsantwort ähnlt auf dn rstn Blick dr Sprungantwort ds PI-Rglrs, si stllt abr twas andrs dar! Aufgab 11 Zrlg di Kurv von in P- und D-Antil. Bstimm daraus di Paramtr K PR und T D ds Rglrs. Aufgab 12 Was würd sich am Diagramm ändrn, wnn dr Rglr inn 1.5x so starkn D-Antil hätt? ) Vorhaltzit Di Wirkung ds D-Antils wird durch T D bschribn. J größr T D, dsto stärkr dr D-Antil. Ähnlich wi bim PI-Rglr bnutzt man praktisch abr libr in Zit, di s rlaubt, di Wirkung von P- und D-Antil mitinandr zu vrglichn, di Vorhaltzit Tv. Di Vorhaltzit T V ist di Zit, di bi dr Anstigsantwort vrght, bis dr P-Antil di glich Wirkung wi dr D-Antil hat. Bacht: bim PI-Rglr ist dr P-Antil schnllr als dr I-Antil. Bim PD-Rglr ist dr P-Antil langsamr als dr D-Antil. Aufgab 13 Zichn T V im Diagramm in.

12 12 Aufgab 14 Lit aus dn Glichungn für PD-Rglr und Anstigsfunktion und dr Dfinition dr Vorhaltzit dn Zusammnhang zwischn T V, T D und K PR hr. Brchn T V und vrglich mit dm grafisch rmittltn Wrt. Ergbnis: T V = T D K PR f) Intraktionsfri Blockschaltung Di Grundglichung ds PD-Rglrs führt zu inr Blockschaltung bi dr man K PR und T D instlln kann: KPR =K PR +T D d dt P D TD Bi Industrirglrn möcht man abr K PR und T V instlln. Mit dr Bzihung T V = T D K PR kann man di Grundglichung umstlln und rhält so di intraktionsfri Struktur KPR =K PR (+T V d dt ) TD* In disr Schaltung ist di instllbar Diffrnzirzit TD* = T V di Vorhaltzit ds Rglrs. K PR und T V lassn sich intraktionsfri instlln.

13 FELJC 2_PI_PD_PID_Rglr.odt 13 g) Frqunzvrhaltn ds PD-Rglrs Bispil mit K PR = 4 und T V = 0.5s: A m p l i t u d n g a n g B t r a g v o n F f / H z P h a s n g a n g p h i / f / H z Bi tifn Frqunzn (langsam Ändrungn) ist di Vrstärkung ds Rglrs konstant und durch K PR = 4 bstimmt. In dism Brich gibt s kin Phasnvrschibung. Dr Rglr funktionirt als P-Rglr. Bi schnllr Ändrung dr Rglgröß hat man s mit hohn Frqunzantiln zu tun. Hir wird dr D-Antil wirksam, di Vrstärkung stigt mit zunhmndr Frqunz an. So kann dr Rglr stark auf schnll Ändrungn ragirn. In dism Brich ist di Phasndrhung nah an +90 (vorilnd). Bim PDT1-Rglr, wi r in dr Praxis vorkommt, stigt di Vrstärkung mit zunhmndr Frqunz nicht immr witr an, sondrn si wird auf di Vorhaltvrstärkung V D bgrnzt. Aufgab 15 Vrsuch dn Paramtr T V aus dm Boddiagramm zu rmittln.

14 14 h) Invrtirnd PD-Schaltung mit inm OPV Di folgnd Schaltung kann man für inn Rglr mit fstn Paramtrn bnutzn: C1 R2 IN R1 OUT Aufgab 16 Wi vrhält sich di obig Schaltung für langsam und schnll Ändrungn dr Eingangsspannung? Passt das zum PD-Rglr? Wovon hängn K PR und T V ab?

15 FELJC 2_PI_PD_PID_Rglr.odt PID-Rglr a) Vortil dr P-Antil ragirt schnll dr D-Antil ragirt stark bi schnlln Ändrungn dr Rglgröß und hat in stabilisirnd Wirkung auf Rglkris mit Strckn höhrr Ordnung. Dr I-Antil sorgt dafür, dass s kin blibnd Rglabwichung gibt. b) Glichung im Zitbrich (Prinzip) KPR P = P I D =K PR 1 dt T T D d I dt TI I TD D c) Intraktionsfri Blockschaltung Aus dr Forml für dn Frqunzgang mit T N und T V rgibt sich di intraktionsfri Blockschaltung, wi si bi Industrirglrn bnutzt wird. Hir müssn K PR, T N und T V unabhängig voninandr ingstllt wrdn könnn. Mit dn Bzihungn T N =K PR T I und T V = T D K PR wrdn und s rgibt sich di intraktionsfri PID-Struktur: kann di Grundglichung umgstllt TI* KPR =K PR (+ 1 T N dt+t V d dt ) TD*

16 16 Achtung: hir ist T N = T I * und T V = T D * d) Frqunzvrhaltn ins PID-Rglrs Bispil für in Boddiagramm: A m p l i t u d n g a n g B t r a g v o n F f / H z P h a s n g a n g p h i / f / H z Für tif Frqunzn (langsam Ändrungn) wirkt di Schaltung wi in I-Rglr, si hat hoh Vrstärkung. So kann dr I-Antil di Rglabwichung praktisch auf Null bringn, wnn gnügnd Zit zur Vrfügung stht. Für hoh Frqunzn (schnll Ändrungn) wirkt di Schaltung wi in D-Rglr, si hat hoh Vrstärkung. So kann dr D-Antil stark ragirn, wnn di Rglgröß schnll von ihrm Sollwrt abwicht. Für mittlr Frqunzn ist di Vrstärkung mhr odr wnigr durch dn P-Antil fstglgt und rlativ klin. Dis hat dn Vortil, dass dr Rglkris bi disn Frqunzn nicht zu Instabilität nigt.

17 FELJC 2_PI_PD_PID_Rglr.odt 17 ) Invrtirndr PID-Rglr mit inm OPV C1 C2 R2 u1 R1 u2 Dis Schaltung ist nur bi fstn Paramtrn anwndbar, da si nicht intraktionsfri ist. f) Intraktionsfrir PID-Rglr mit OPV Aufgab 17 Analsir di Schaltung. Bschrift Ein- und Ausgäng, di Signal innrhalb dr Schaltung und di Funktion dr Potntiomtr. Zichn in Blockschaltbild dr Schaltung.