Maschinenelemente I. Kapitel 2: Grundlagen der Berechnung. Inhalt :

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1 Maschinenelemente I 2 Grundlagen der Berechnung Maschinenelemente I Kapitel 2: Grundlagen der Berechnung Kapitel Inhalt : Inhalte 1 Einführung - Einführung u. Übersicht Maschinenelemente - Ziele u. Übersicht der Lehrveranstaltung 2 Grundlagen der Berechnung - Technische Modellbildung - Belastungsarten (äußere Lasten) und auftretende Spannungen - Werkstoffkennwerte - Statischer/Dynamischer Sicherheitsnachweis - Schweißnahtberechnung 3 Welle-Nabe-Verbindungen - Formschlüssigen Verbindungen (Passfeder) - Reibschlüssige Verbindungen (Pressverbindung) - Mischformen - Stoffschlüssige Verbindungen (Schweißen) 4 Schraubenverbindungen - Gewindearten - Schraubenverbindungen - Kräfte- und Verformungsverhältnisse - Berechnung - Konstruktion 5 Elastische Verbindungen (Federn) - Wirkprinzip - Anwendungen - Berechnung - Konstruktion Ausschließlich für den Gebrauch in Vorlesungen und Übungen! Für sonstigen Gebrauch sind die angegebenen Quellen heranzuziehen. 1

2 Maschinenelemente I 2 Grundlagen der Berechnung 2 Grundlagen der Berechnung 2.1 Technische Modellbildung 2.2 Belastungsarten (äußere Lasten) und auftretende Spannungen Belastungsanalyse Betriebs- / Anwendungsfaktoren Spezielle Druckbelastungen Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickbeanspruchung Elastische Knickung nach EULER ( > grenz) Unelastische Knickung nach TETMAJER ( < grenz) Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen 2.3 Beanspruchbarkeit Werkstoffkennwerte Werkstoffkennwerte bei statischer Belastung Werkstoffkennwerte bei dynamischer Belastung Plastische Reserve Konstruktionskennwerte Kerbwirkung Oberflächengüte Bauteilgröße Oberflächenverfestigung Weitere Einflüsse Berechnung des Gesamteinflussfaktors Ermittlung der Gestaltausschlagfestigkeit (Bauteilausschlagfestigkeit) 2.4 Sicherheitsnachweise Statischer Sicherheitsnachweis (vereinfacht) Dynamischer Sicherheitsnachweis Betriebsfestigkeitsnachweis 2

3 Maschinenelemente I 2 Grundlagen der Berechnung Im Verlauf einer Konstruktion ist zwischen der Dimensionierung in der Entwurfsphase und dem Festigkeitsnachweis in der Ausarbeitungsphase zu unterscheiden. Die Dimensionierung ermittelt in der Entwurfsphase grob die Abmessungen von Bauteilen (Maschinenelementen). Die zeitlich wirkenden Lasten bzw. die maximal zulässigen Verformungen (Betriebsbedingungen) sind dem Konstrukteur aus der Aufgabenstellung heraus bekannt. Gegebenenfalls wurden sie aus Versuchen abgeleitet. Die Entwurfsabmessungen werden stark vom Werkstoff beeinflusst, der für die Berechnung gewählt wurde. Die so ermittelten Bauteilmaße sind Grundlage für die weitere Konstruktion. In der abschließenden Ausarbeitungsphase einer Konstruktion ist die Bauteilgestaltung abgeschlossen; alle Fertigungszeichnungen liegen vor und ein Festigkeits- (oder Sicherheitsnachweis) für die gefährdeten Bauteile ist durchzuführen. Er belegt, dass das Bauteil / die Konstruktion unter Einbeziehung aller Einflussgrößen, der Abmessungen, der Werkstoffe, der notwendigen Sicherheiten ausreichende Lebensdauer bzw. ausreichende Festigkeit (Fließen, Bruch) usw. besitzt. 3

4 Maschinenelemente I 2 Grundlagen der Berechnung Allgemeiner Ablauf einer Bauteilauslegung: Pos. Aufgabe Lösung 1 Funktion : Torsionsmoment M t leiten 2 Lösungsprinzip : Technisches Modell/Technische Mechanik 3 Entwurf: Nach Werkstoffwahl wird der Wellendurchmesser d min überschlägig berechnet und ausgewählt 4 Gestaltung : Momenteneinleitung über Paßfederverbindung Übergangsradien Weiterleitung über Keilwellenverbindung Maschinenelemente DIN-Normen, VDI-Richtlinien 5 Festigkeitsrechnung : Für die Querschnitte A, B, C, D und E eine Festigkeitsberechnung durchführen (statische bzw. dynamische Beanspruchung). Nachweis positiv : Vollständige Gestaltung als technische Zeichnung. Nachweis negativ : Geometrie bzw. Werkstoff ändern und erneut Rechnen. 4

5 Maschinenelemente I 2 Grundlagen der Berechnung Einfaches Ablaufschema eines Sicherheitsnachweises 5

6 Festigkeitsrechnung 2.1 Technische Modellbildung Technische Modellbildung Technische Gebilde sind häufig komplexer Natur und können nur analysiert werden, indem man sie in einfache Strukturen fasst. Ziel der Abstraktion ist es zu erklären, wie die äußeren Lasten wirken welche Funktionen die Bauteile ausüben. Dazu werden Technische Modelle genutzt: Beispiel: Mech. Ersatzschaubild einer Kartoffelpresse Technisches Modell: Informationen für den Aufbau ( Dimensionierung, Entwurf) bzw. dem Nachrechnen ( Nachweis) Die auftretenden Lasten sind Kräfte und Momente (Biege-, Drehmomente). Punktlasten, (Zahnrad-, Lagerkräfte ) Linienlasten (Walzen von Materialien), Flächenlasten (Gas oder Fluide in Behältern) und Massenkräfte (Beschleunigen von Teilen ) Äußere Lasten sind zu jedem Zeitpunkt der Belastung im Gleichgewicht mit den inneren Lasten bzw. mit den sich daraus ergebenden Spannungen im Gleichgewicht (actio = reactio). 6

7 Festigkeitsrechnung 2.2 Belastungsarten (äußere Lasten) und auftretende Spannungen 7

8 Festigkeitsrechnung 2.2 Belastungsarten (äußere Lasten) und auftretende Spannungen Einzelbeanspruchungen Normalspannungen Schubspannungen Zug z Druck d Biegung b Schub/Scherung s Torsion t Spannungen [N/mm] = F z z A = F d d A b,max M = W b b s, m = Fs A s t,max = T W t Verformungen [mm] oder [ ] z = E = E d = E = E Durchbiegung f s,m = G t, max = G R = G Prinzipskizze F z Querschnitt A Länge F d M b Widerstandsmoment gegen Biegung W b F s F s Stiftquerschnitt A s T Radius R Länge Widerstandsmoment gegen Torsion W t F z F d M b T Zug/Druck Konstante Normalspannung über dem belasteten Querschnitt Biegung Höchste Biegenormalspannungen an der am weitest entfernten Randfaser; neutrale Faser: b = 0 Querkraftbiegung: Biegung durch "Kräfte" führt zusätzlich zur Schubbeanspruchung des Bauteils Erläuterungen Schub/Scherung Torsion Tabelle für W b Formel beschreibt nur die mittlere Schubspannung; real: Größte Spannung in der Mitte des Querschnitts wird häufig bei der Berechnung vernachlässigt; Ausnahme: Kurze Träger (Achszapfen), bei denen der Abstand der Krafteinleitung von der Einspannung unterhalb der Trägerabmessung bleibt, und damit der Einfluss der Schubspannung gegenüber den Biegespannung bei der Bauteilauslegung überwiegt. Größte Torsionsschubspannung am Außendurchmesser R, "Achse" spannungsfrei Tabelle für W t inklusive Näherung für nicht rotationssymmetrische Querschnitte 8

9 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Zug (Druck) Konstante Normalspannung über dem Querschnitt F z Jedes Werkstoffteilchen erfährt die "gleiche Beanspruchung" Werkstoff kann über den gesamten Querschnitt gleichmäßig bis hin zur Versagensgrenze ausgenutzt werden beste Werkstoffausnutzung Druck ("negativer Zug") Gefahr der Knickung + z F z Schub (Scherung) Parabolischer Verlauf der Schubspannungen größte Beanspruchung in der Mitte. Am "Rand" keine Belastung (Vor- F s vereinfacht s + F s teil bei zusammengesetzter Beanspruchung mit Torsion / Biegung!) schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt "mittenbetont" gestalten I. d. R. vereinfachte Berechnung mit mittlerer Schubspannung F s + F s real s, max bmax Biegung Größte Biegenormal- M y Druck spannung in der am weitest entfernten Randfaser (Zug und Druck) Werkstoffteilchen erfahren hier die größte Beanspruchung. Zug Keine Beanspruchung des Teilchenverbundes in der neutralen Faser schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen im beanspruchten Teil liegen und nicht "in der Mitte" + + bmax M y Torsion Größte Torsionsschubspannung am Außendurchmesser größte Beanspruchung des Teilchenverbunds Keine Belastung auf Werkstoffteilchen in der "Wellen -achse (Durchmesser Null) schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen auf entfernten Durchmessern liegen T t,max t,max T 9

10 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Zugbeanspruchung : Eine im Querschnittsschwerpunkt angreifende Normalkraft F verursacht eine in allen Punkten des Querschnitts wirkende konstante Normalspannung Z bzw. D. es gilt : Druckbeanspruchung : D D Z = F / A in [N/mm 2 ] D = F / A in [N/mm 2 ] mit : A : Querschnittsfläche [mm 2 ] F : Normalkraft [N] Konstante Normalspannung über dem Querschnitt Jedes Werkstoffteilchen erfährt die "gleiche Beanspruchung" Werkstoff kann über den gesamten Querschnitt gleichmäßig bis hin zur Versagensgrenze ausgenutzt werden beste Werkstoffausnutzung Druck ("negativer Zug") Gefahr der Knickung 10

11 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Normalspannungen und -dehnungen durch Zug Äußere Belastung F bewirkt innere Spannung F N = 2 A mm Linear-elastisches Werkstoffverhalten: Der Zugstab erfährt Längenänderung l bzw. eine auf die Ausgangslänge l bezogene Dehnung l 1 l l l = l = = E Hookesches Gesetz (Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung) = E Proportionalitätskonstante E in N/mm: Elastizitätsmodul Werkstoffkennwert 11

12 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Querkontraktion Gleichzeitig verringert sich der Durchmesser d. Bezogene Querdehnung (proportional zur Längsdehnung) q d1 d = = : Poissonzahl bzw. Querdehn- /Querkontraktionszahl d 12

13 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Zulässige Spannung zul : Plastischer Bereich wird in der Umformtechnik genutzt (z.b. Biegen) 15

14 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Zulässige Spannung zul : Zugversuch zur Ermittlung des Spannungsdehnungsdiagramm 16

15 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Gewaltbruch (Sprödbruch, Trennbruch) Zugbeanspruchte Schraube: Kerbwirkung im Gewinde Bruchfläche senkrecht zu Hauptnormalspannungen 17

16 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Dauerbruch (Ermüdungsbruch) A: Anriss D: Dauerbruch R: Rastlinien G: Gewaltbruch Belastungsspitzen führen (häufig zusammen mit Oberflächenfehlern) zum Anriss. Weitere Belastungsspitzen lassen den Riss fortschreiten (Kerbwirkung), der wirksame Querschnitt verringert sich. Beim Erreichen der kritischen Querschnittsfläche erfolgt Gewaltbruch. Das Verhältnis der Bruchflächen ist Hinweis auf die Größe der Überbelastung: Je größer die Belastungsspitze desto kleiner ist der Anteil des Anrisses und der Rastlinien gegenüber dem Anteil des Gewaltbruches Quelle: 18

17 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Übung 1.1: Gewicht/Zugspannung a) Was wiegen die beiden Stäbe? b) Welcher Stab hat die absolut größere Verlängerung (ohne Eigengewicht) Stahl 10x1000 1kN Alu 20x1000 1kN 1kN 1kN 19

18 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Übung 1.2: Gewicht/Zugspannung (Studenten) Sie lassen Draht (Alu und Stahl) von einer Rolle aus einem Hubschrauber hängen. Bei welcher Länge (ohne Dehnung) reißen die Drähte aufgrund ihres Eigengewichts ab? (g=konst.) S235: R m = 500 N/mm (R m entspricht max. ertragbare Spannung ) Alu: R m = 250 N/mm 21

19 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Zug (Druck) Konstante Normalspannung über dem Querschnitt F z Jedes Werkstoffteilchen erfährt die "gleiche Beanspruchung" Werkstoff kann über den gesamten Querschnitt gleichmäßig bis hin zur Versagensgrenze ausgenutzt werden beste Werkstoffausnutzung Druck ("negativer Zug") Gefahr der Knickung + z F z Schub (Scherung) Parabolischer Verlauf der Schubspannungen größte Beanspruchung in der Mitte. Am "Rand" keine Belastung (Vor- F s vereinfacht s + F s teil bei zusammengesetzter Beanspruchung mit Torsion / Biegung!) schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt "mittenbetont" gestalten I. d. R. vereinfachte Berechnung mit mittlerer Schubspannung F s + F s real s, max bmax Biegung Größte Biegenormal- M y Druck spannung in der am weitest entfernten Randfaser (Zug und Druck) Werkstoffteilchen erfahren hier die größte Beanspruchung. Zug Keine Beanspruchung des Teilchenverbundes in der neutralen Faser schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen im beanspruchten Teil liegen und nicht "in der Mitte" + + bmax M y Torsion Größte Torsionsschubspannung am Außendurchmesser größte Beanspruchung des Teilchenverbunds Keine Belastung auf Werkstoffteilchen in der "Wellen -achse (Durchmesser Null) schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen auf entfernten Durchmessern liegen T t,max t,max T 24

20 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. s Schub/Scherung s Schub (Scherung) s s s Anwendungsbeispiele s Schubspannungen: Die auftretenden Spannungen stehen nicht senkrecht auf der Fläche, sondern "liegen" auf der Fläche des Volumenelements. = F S A Beispiel: Schere F Beispiel: Blechstanzen 25

21 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Schub (Scherung) Versagensarten Wanderung von Versetzungen 26

22 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Zug (Druck) Konstante Normalspannung über dem Querschnitt F z Jedes Werkstoffteilchen erfährt die "gleiche Beanspruchung" Werkstoff kann über den gesamten Querschnitt gleichmäßig bis hin zur Versagensgrenze ausgenutzt werden beste Werkstoffausnutzung Druck ("negativer Zug") Gefahr der Knickung + z F z Schub (Scherung) Parabolischer Verlauf der Schubspannungen größte Beanspruchung in der Mitte. Am "Rand" keine Belastung (Vor- F s vereinfacht s + F s teil bei zusammengesetzter Beanspruchung mit Torsion / Biegung!) schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt "mittenbetont" gestalten I. d. R. vereinfachte Berechnung mit mittlerer Schubspannung F s + F s real s, max bmax Biegung Größte Biegenormal- M y Druck spannung in der am weitest entfernten Randfaser (Zug und Druck) Werkstoffteilchen erfahren hier die größte Beanspruchung. Zug Keine Beanspruchung des Teilchenverbundes in der neutralen Faser schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen im beanspruchten Teil liegen und nicht "in der Mitte" + + bmax M y Torsion Größte Torsionsschubspannung am Außendurchmesser größte Beanspruchung des Teilchenverbunds Keine Belastung auf Werkstoffteilchen in der "Wellen -achse (Durchmesser Null) schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen auf entfernten Durchmessern liegen T t,max t,max T 27

23 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Biegung bmax M y Druck M y + Zug + bmax Größte Biegenormalspannung in der am weitest entfernten Randfaser (Zug und Druck) Werkstoffteilchen erfahren hier die größte Beanspruchung. Keine Beanspruchung des Teilchenverbundes in der neutralen Faser schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen im beanspruchten Teil liegen und nicht "in der Mitte" 28

24 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Biegung Anwendungsbeispiele Biegung 29

25 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Biegung Biegebeanspruchung : - b max z Das Biegemoment M b ruft in dem Balken eine über den Querschnitt linear verteilte Biegespannung b (z) hervor. Dabei sind drei Bereiche zu unterscheiden: M b x M b z < 0 : b (z) > 0, Zugspannungen z = 0 : b (z) = 0, neutrale Faser + b max Z > 0 : b (z) < 0, Druckspannungen es gilt : mit : b (z) = M. b z I y in [N/mm 2 ] I y M b : Flächenträgheitsmoment [mm 4 ] : Biegemoment [Nmm] z : Randfaserabstand [mm] bx,max = M W by by W by = z I y max = 2I h y W by Widerstandsmoment gegen Biegung 30

26 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Biegung Maximale Biegespannung Zur Berechnung der max. Biegespannung an den Rändern wird das Widerstandsmoment W by gegen Biegung verwendet W by = z I y max = 2I h y bx,max = M W by by Je nach Vorzeichen (M by!) liegt eine Druck- bzw. Zugspannung vor. Die Schnittmomenten- verläufe sind daher sorgfältig über den Biegeträger (Welle, Achse o. ä.) zu bestimmen. linkes Schnittufer rechtes Schnittufer 31

27 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Biegung Biegung bei unsymmetrischem Querschnitt: Aufgabe : Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf der Biegespannungen über den gegebenen Balken mit unsymmetrischem Profil. z 1 z 2 32

28 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Wichtige Folgerungen zur Biegung Die maximale Biegespannung findet sich in der weitest entfernten Randfaser (von der Hauptträgheitsachse). In der neutralen Faser des Biegeträgers sind die Biegespannungen Null. Zur Berechnung der Biegespannungen werden axiale Flächenträgheitsmomente und Widerstandsmomente gegen Biegung verwendet, die von der Form des Biegequerschnitts abhängen. Zur korrekten Bestimmung der maximalen Biegemomente sind die Schnittmomentenverläufe über den Biegeträger zu ermitteln. Je größer das Widerstandsmoment gegen Biegung, um so kleiner ist die maximale Biegespannung. M bx 34

29 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Tabellen für gängige Rund-Querschnitte Biegung 35

30 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Tabellen für gängige Rechteck-Querschnitte Biegung 36

31 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Axiale Flächenträgheitsmomente - Berechnung Die neutrale Faser (Nulllinie) geht bei der geraden Biegung (konstantes Biegemoment über dem Träger) stets durch den Flächenschwerpunkt des Profils. Bei zusammengesetzten Profilen ist das Trägheitsmoment der Einzelprofile gemäß Satz von STEINER auf den Gesamtschwerpunkt umzurechnen, i. d. R. aber für gängige Trägerprofile aus Tabellen zu entnehmen! Satz von STEINER 37

32 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Relative Flächenträgheitsmomente gegen Biegung: Relative Flächenträgheitsmomente gegen Biegung (relative Biegesteife) für Querschnittsformen mit gleicher Fläche. Quelle: Müller, D.H.; Vorlesungsmanuskript - Festigkeitslehre, Uni Bremen 38

33 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. 39

34 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Übung 1.6: Gewicht/Biegespannung (a+b Studierende) 10kN a) Welche Masse hat ein 1m langes 35x35mm Stahlprofil? - Dichte aus Aufg. 1.1 b) Welche Masse hat ein 1m langes I100 Profil? 1m 10kN - Dichte aus Aufg m c) Wie groß sind die max. Spannungen bei dem belasteten quadratischen Profil mit 35 mm Kantenlänge und 1 m Länge (Eigengewicht vernachlässigen)? d) Wie groß sind die max. Spannungen bei dem belasteten I100 Träger und 1 m Länge (Eigengewicht vernachlässigen)? 40

35 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Zug (Druck) Konstante Normalspannung über dem Querschnitt F z Jedes Werkstoffteilchen erfährt die "gleiche Beanspruchung" Werkstoff kann über den gesamten Querschnitt gleichmäßig bis hin zur Versagensgrenze ausgenutzt werden beste Werkstoffausnutzung Druck ("negativer Zug") Gefahr der Knickung + z F z Schub (Scherung) Parabolischer Verlauf der Schubspannungen größte Beanspruchung in der Mitte. Am "Rand" keine Belastung (Vor- F s vereinfacht s + F s teil bei zusammengesetzter Beanspruchung mit Torsion / Biegung!) schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt "mittenbetont" gestalten I. d. R. vereinfachte Berechnung mit mittlerer Schubspannung F s + F s real s, max bmax Biegung Größte Biegenormal- M y Druck spannung in der am weitest entfernten Randfaser (Zug und Druck) Werkstoffteilchen erfahren hier die größte Beanspruchung. Zug Keine Beanspruchung des Teilchenverbundes in der neutralen Faser schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen im beanspruchten Teil liegen und nicht "in der Mitte" + + bmax M y Torsion Größte Torsionsschubspannung am Außendurchmesser größte Beanspruchung des Teilchenverbunds Keine Belastung auf Werkstoffteilchen in der "Wellen -achse (Durchmesser Null) schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen auf entfernten Durchmessern liegen T t,max t,max T 43

36 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Torsion t,max T T t,max Größte Torsionsschubspannung am Außendurchmesser größte Beanspruchung des Teilchenverbunds Keine Belastung auf Werkstoffteilchen in der "Wellen -achse (Durchmesser Null) schlechte Werkstoffausnutzung Querschnitt so gestalten, dass Teilchen auf entfernten Durchmessern liegen 44

37 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Torsion Anwendungsbeispiele Torsion 45

38 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Torsion Torsionsbeanspruchung: Ein Torsionsmoment M t, dessen Vektor in die Balkenachse fällt, verursacht im beanspruchten Querschnitt Schubspannungen. In kreisförmigen Querschnitten hat die Torsionsspannung t einen linearen Verlauf. es gilt : t (z) = M. t z I t in [N/mm 2 ] t,max = T W t mit : I t M t z : polares Trägheitsmoment [mm 4 ] : Torsionsmoment [Nmm] : Randfaserabstand [mm] Wt : Polares Widerstandsmoment 46

39 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Widerstandsmomente 47

40 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Die auf die Bauteile wirkenden Lasten können unregelmäßig schwanken und sind völlig unterschiedlich zu werten: Ein Elektromotor treibt ein Förderband für Autobatterien an. Betriebs- / Anwendungsfaktoren bei dynamischer Belastung Ein Verbrennungsmotor treibt einen Schredder für Äste bis Ø 6,5 cm. Höhere Schwankungen der Antriebsmomente (Verbrennungsmotor) oder der aufzubringenden Lasten (Stöße, Lastspitzen beim Schreddern) führen zu einer deutlich höheren Belastung der Antriebswelle (und anderer Elemente des Antriebsstrangs) als die angegebenen Nennlasten. Die tatsächliche Belastung wird durch auf Erfahrung beruhende Betriebs- oder Anwendungsfaktoren K A berücksichtigt: Dazu wird das Nenndrehmoment T n mit diesem Faktor K A multipliziert und ein äquivalentes Drehmoment T eq bzw. eine äquivalente Kraft F eq ermittelt. Sie ist Grundlage für die Auslegung (Dimensionierung) der Bauteile. => Die Antriebswelle des Elektromotors für das Förderband erhält somit einen kleineren Querschnitt als die Antriebswelle des Verbrennungsmotors für den Schredder. T = T = K T F = eq A n F eq = K A F n Do M2G 48

41 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Anhaltswerte nach DIN 3990 T1 Arbeitsweise Antriebsmaschine Getriebene Maschine gleichmäßig Elektromotor Dampfturbine, Gasturbine leichte Stöße wie gleichm.,aber größere, häufig Anfahrmomente mäßige Stöße Mehrzylinder- Verbrennungsmotor starke Stöße Einzylindermotor gleichmäßig z. B. Stromerzeuger, Gurtförderer, Plattenbänder. Förderschnecken, leichte Aufzüge, Elektrozüge, Vorschubantriebe von Werkzeugmaschinen, Lüfter, Turbogebläse, Turboverdichter, Rührer und Mischer für Stoffe mit gleich-mäßiger Dichte, Scheren, Pressen. Stanzen bei Auslegung nach max. Schnittmoment mäßige Stöße z. B. ungleichmäßig beschickte Gurtförderer, Hauptantrieb von Werkzeug-maschinen, schwere Aufzüge, Drehwerke von Kränen, Industrie- und Grubenlüfter, Kreiselpumpen. Rührer und Mischer für Stoffe mit unregelmäßiger Dichte, Kolbenpumpen mit mehreren Zylindern, Zuteilpumpen 1,0 1,1 1,25 1,5 1,25 1,35 1,5 1,75 mittlere Stöße z. B. Extruder für Gummi, Mischer mit unterbrochenem Betrieb (Gummi, Kunststoffe), Holzbearbeitung, Hubwerke, Einzylinder-Kolbenpumpen, Kugelmühlen 1.5 1,6 1,75 2,0 oder höher starke Stöße z. B. Bagger, schwere Kugelmühlen, Gummikneter, Brecher (Stein, Erz), Hüttenmaschinen, Ziegelpressen, Brikettpressen, Schälmaschinen, Rotary-Bohranlagen, Kaltbandwalzwerke 1,75 1,85 2,0 2,25 oder höher 49

42 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Belastungsanalyse Um Maschinenelemente und Bauteile korrekt auf ihre Sicherheit gegen Versagen berechnen zu können, müssen technische Modelle, technische Zeichnungen oder auch reale Bauteile daraufhin analysiert werden, welche Belastungsarten in welchem Querschnitt des Bauteils auftreten in welchem Belastungsfall die jeweilige Belastungsart (dyn., stat.) auftritt. Ohne die korrekte Analyse der Belastungsarten und Belastungsfälle ist eine fehlerlose Dimensionierung eines Maschinenelements oder Bauteils nicht möglich! Sie muss daher mit größter Sorgfalt erfolgen! Einige wesentliche Formeln zu Bestimmung von Momenten und Kräften sind aus der Physik heranzuziehen: (1) P = T Drehbewegung Zusammenhang zwischen Leistung P, Drehmoment T und Winkelgeschwindigkeit Beispiel: Antriebsstrang Torsionsbelastung einer Antriebswelle (2) = 2 n Drehbewegung Ermittlung der Winkelgeschwindigkeit aus der Drehzahl eines Antriebs (3) Drehbewegung Ermittlung der Umfangsgeschwindigkeit v aus der Winkelgeschwindigkeit und dem "Hebelarm" (Durchmesser) der Kreisbewegung v = d 2 Beispiel: Zahnrad Umfangsgeschwindigkeit einer Zahnflanke bei gegebener Drehzahl (4) P = F v Linearbewegung Zusammenhang zwischen Leistung, Kraft F und Geschwindigkeit Beispiel: Presse Notwendige Presskraft und Stempelgeschwindigkeit führt zur erforderlichen Leistung der Presse (5) M ( T ) = F d Torsions- oder Biegemoment Kraft x Hebelarm d/2 (je nach Wirkung M oder T) 2 Beispiel: Zahnrad Radialkräfte führen zu "Durchbiegung" der Welle (M) Umfangskräfte führen zur Übertragung eines Drehmoments (T) (6) d F 1 d F 2 Hebelgesetze (Momentengleichgewicht) Umrechnen von Kräften bei unterschiedlichen 1 = Hebelarmen (Durchmessern) ( M1 = M2) Beispiel: "Gar mächtig ist des Schlossers Kraft, wenn er mit dem Hebel schafft" 55

43 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Wesentliche Fragestellungen der (mechanischen) Belastungsanalyse (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Wo werden Kräfte und Momente (Dreh- und Biegemomente) in das Bauteil eingeleitet? Welche Belastungsarten verursachen diese äußeren Lasten im Bauteil? Welche Belastungsfälle treten auf? Darf der Schub bei Querkraftbiegung oder Scherung (wie i. d. R.) vernachlässigt werden? Beispiel: (a) F Wie unterscheidet sich Fall (a) und (b) im Biegemomentenverlauf und Querkraftverlauf? Wo ist der gefährdete Querschnitt? Warum führt eine Vernachlässigung des Querkraftschubs in Fall (b) zu einer falschen Auslegung des Bauteils? Der Einfluss der Schubspannung nimmt für kürzere "Träger" gegenüber den Biegespannungen zu (kleine Hebelarme!). Beispiele im Allgemeinen Maschinen sind querbelastete Wellen- oder Achszapfen! Entstehen ebene oder räumliche Belastungsfälle (insbesondere Wirkung der Momente)? Beachte, dass "antreibende Umfangskräfte" nicht nur Torsionsmomente (Drehmomente!), sondern auch Biegemomente hervorrufen! Wo sind Auflagerpunkte? Welchen Freiheitsgrad haben sie? Wie sind die Schnittmomentverläufe des Biegemoments, der Querkraft und der Torsion über dem Bauteil? Wo sind gefährdete Querschnitte (Kerben)? Welcher Punkt eines gefährdeten Querschnitts muss die größte Spannung ertragen (kritische Punkte)? Tritt die Biegung als Querkraftbiegung auf (s.o.)? l 5 (b) F (10) Sind Durchbiegungen, Stauchungen, Dehnungen oder Verdrillungen für die Bauteilfunktion gefährdend? 56

44 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Belastungsarten (äußere Lasten) und auftretende Spannungen 57

45 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Spezielle Druckbelastungen Flächenpressung p Hertzsche Pressung p Knickung Beulen Prinzipskizze F d F d F d F d F d F d Spannungen [N/mm] F d Fd p = A p F F d d Berechnung nach folgt Blatt 2.16 ff F d Berechnung nach Blatt 2.18 folgt ff "Schalentheorie" Erläuterungen Flächige Berührungen Projizierte Fläche A p in Lastrichtung siehe auch Blatt 2.14 ff bei der Berührung von Bauteilen Punkt- oder Linienberührung Elast. Verformung Abplattung Berührfläche Stabilitätsprobleme Unzulässige Verformungen führen zum Funktionsverlust (Versagen) Knickung elastisch oder unelastisch abhängig vom Schlankheitsgrad wird nicht in der Vorlesung behandelt 58

46 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Berechnungsgrundlagen Flächenpressung Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Treten Bauteile (Maschinenelemente) miteinander in Kontakt, treten an den Berührflächen Spannungen auf, die zum Versagen führen können. Berühren sich die Bauteile flächig, darf die auftretende Flächenpressung p vorh einen zulässigen Wert p zul nicht überschreiten. Vereinfacht wird von einer gleichmäßigen Lastverteilung ausgegangen, was sich in der Praxis bei der Anwendung tabellierter zulässiger Flächenpressungen p zul bewährt hat. F d p vorh = < Ap p zul F d Druckkraft = Presskraft A p (in Lastrichtung projizierte) Querschnittsfläche A P F d p vorh Zu beachten ist, dass zur Berechnung der Flächenpressung nur die in Lastrichtung projizierte Fläche A p anzusetzen ist. Diese kann deutlich kleiner als die Berührfläche werden ( hohe Flächenpressung)! Schiene (Länge > ) F d Im links dargestellten Beispiel steigt die Flächenpressung mit wachsendem Winkel an, da die projizierte "Berührbreite b" deutlich kleiner wird! b Wagen (Länge ) b F 2b d A p = 2b pvorh = < p zul 59

47 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Berechnungsgrundlagen Flächenpressung Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Beispiel entspricht der Berechnungsgrundlage für Bolzenverbindungen und Gleitlager: F d Rolle (Länge ) Zylindr. Halbschale (Länge > ) F d d A p = d pvorh = < p zul d p vorh Weitere Beispiele sind Nietverbindungen, Passfederverbindungen oder Kupplungs- oder Bremsbeläge usw. 60

48 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Berechnungsgrundlagen Flächenpressung: Zulässige Flächenpressung p zul Die zulässige Flächenpressung ist kein Werkstoffkennwert, sondern beruht auf Erfahrungswerten (je nach Einsatzfall). Werden die zulässigen Werte überschritten, können die Flächen durch örtliche Überbeanspruchung (Kantenpressung) duktile Werkstoffe deformieren (Wulstbildung) bzw. bei spröden Werkstoffen Stücke abplatzen, verschleißen, bei einigen Werkstoffkombinationen verschweißen. Die zulässige Flächenpressung p zul ist abhängig von der Werkstoffpaarung dem Belastungsfall. Der Belastungsfall unterscheidet nicht nur statisch und dynamisch, sondern auch Festsitz und Gleitsitz: Festsitz Gleitsitz - Mit Welle verstifteter Flansch - Gelenke (Bolzen verbindet Zugstange mit Gabel) - Unterlegscheibe bei einer Schraube - Lagerung von Rollen (Walzen) - Flächenpressung beim Gewinde einer Schraube - Gleitlager (Scharniere) Festsitze erlauben höhere Flächenpressungen als Gleitsitze. Für die Bemessung ist stets der zulässige Wert des schwächeren Bauteils heranzuziehen. Des weiteren wirken Temperaturen, Gleitgeschwindigkeiten etc. verändernd auf die zulässigen Werte. 61

49 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Berechnungsgrundlagen Flächenpressung: Zulässige Flächenpressung p zul Für die häufig zu bemessenden Bolzenverbindungen gilt a)für nicht gleitende Flächen: p zul = 0,35R m (konstante Last) p zul = 0,25R m (schwellende Last) b) Gleitsitze mit niedrigen Gleitgeschwindigkeiten je nach Schmierung und Werkstoffkombination: Richtwerte für die zulässige mittlere Flächenpressung (Lagerdruck) p zul bei niedrigen Gleitgeschwindigkeiten (z. B. Gelenke, Drehpunkte). p zul wird durch die Verschleißrate des Lagerwerkstoffes bestimmt. ( )-Werte gelten für kurzzeitige Lastspitzen. Bei Schwellbelastung gelten die 0,7-fachen Werte. Gleitpartner (Lager-Bolzenwerkstoff) 1 bei Trockenlauf (wartungsfrei) p zul [N/mm 2 ] - Bifo-Lager 2 / St 150 (600) - iglidur X 3 / St gehärtet iglidur G 13 / St gehärtet 80 - DU-Lager 4 / St 60 (140) - Sinterbronze mit Festschmierstoff / St 80 - Verbundlager (Laufschicht PTFE) / St 30 (150) - PA oder POM / St 20 - PE / St 10 - Sintereisen, ölgetränkt (Sint-B20) / St 8 bei Fremdschmierung p zul [N/mm 2 ] - Tokatbronze 5 / St St gehärtet / St gehärtet 25 - Cu-Sn-Pb-Legierung / St gehärtet 40 (100) - Cu-Sn-Pb-Legierung / St 20 - GG / St 5 - Pb-Sn-Legierung / St 3 (20) Erläuterungen: 1) Harte, geschliffene Bolzenoberfläche (R a ca. 0,4 m) günstig 2) Kunststoffbeschichtetes Stahlfolienlager (SKF, Schweinfurt) 3) Thermoplastische Legierung mit Fasern und Festschmierstoffen (igus GmbH, Bergisch Gladbach) 4) Auf Stahlrücken (Buchse, Band) aufgesinterte Zinnbronzeschicht; Hohlräume mit PTFE und Pb gefüllt (Karl Schmidt GmbH, Neckarsulm) 5) Mit Bleibronze beschichteter Stahl (Kugler Bimetal, Le Lignon/Genf) Für andere Einsatzfälle sind die Erfahrungswerte der Hersteller oder die der Fachliteratur heranzuziehen. aus Roloff/Matek: Maschinenelemente - Tabellen, 18. Aufl., Vieweg S

50 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Berechnungsbeispiel Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Weitere Anwendungsfälle: Schraubenverbindungen( Fläche unter Schraubenkopf u. Mutter) 63

51 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Spezielle Druckbelastungen Flächenpressung p Hertzsche Pressung p Knickung Beulen Prinzipskizze F d F d F d F d F d F d Spannungen [N/mm] F d Fd p = A p F F d d Berechnung nach folgt Blatt 2.16 ff F d Berechnung nach Blatt 2.18 folgt ff "Schalentheorie" Erläuterungen Flächige Berührungen Projizierte Fläche A p in Lastrichtung siehe auch Blatt 2.14 ff bei der Berührung von Bauteilen Punkt- oder Linienberührung Elast. Verformung Abplattung Berührfläche Stabilitätsprobleme Unzulässige Verformungen führen zum Funktionsverlust (Versagen) Knickung elastisch oder unelastisch abhängig vom Schlankheitsgrad wird nicht in der Vorlesung behandelt 64

52 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Berechnungsgrundlagen Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Berühren sich i. d. R. gekrümmte Bauteile (Maschinenelemente) nicht flächig, so tritt eine Punkt- oder Linienberührung auf. Theoretisch ist die Berührfläche Null und die Pressung damit unendlich groß. Real findet auf Grund der elastischen Eigenschaften der Werkstoffe eine Abplattung statt, die zu einer kreis- oder rechteckförmigen Kontaktfläche führt. Der Physiker Heinrich Hertz berechnete aus dem dreidimensionalen Spannungszustand, wie weit die Oberflächen abplatten. Wesentliche Voraussetzungen sind homogene, isotrope Körper und dass die Belastungen nur elastische Verformungen bewirken. Die größte Druckbeanspruchung tritt in der Mitte der Kontaktfläche auf; die größte Beanspruchung im Material aber unterhalb dieses Punktes. Von dort geht das Versagen aus: Material bricht aus der Oberfläche heraus ( Pittings, Grübchen). Die zulässige Flächenpressung ist je nach Einsatzfall über Versuche (Erfahrungswerte) ermittelt. Beispiele: Zahnradflanken, Wälzlager (Kugeln, Rollen), Kette mit Kettenrad, Rad-Schiene-Systeme 65

53 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Vorgehensweise Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung 66

54 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Berechnungsbeispiel Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung (Tutorium) 67

55 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Berechnungsbeispiel Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung 69

56 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Spezielle Druckbelastungen Flächenpressung p Hertzsche Pressung p Knickung Beulen Prinzipskizze F d F d F d F d F d F d Spannungen [N/mm] F d Fd p = A p F F d d Berechnung nach folgt Blatt 2.16 ff F d Berechnung nach Blatt 2.18 folgt ff "Schalentheorie" Erläuterungen Flächige Berührungen Projizierte Fläche A p in Lastrichtung siehe auch Blatt 2.14 ff bei der Berührung von Bauteilen Punkt- oder Linienberührung Elast. Verformung Abplattung Berührfläche Stabilitätsprobleme Unzulässige Verformungen führen zum Funktionsverlust (Versagen) Knickung elastisch oder unelastisch abhängig vom Schlankheitsgrad wird nicht in der Vorlesung behandelt 71

57 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Anwendungsbeispiele Knicken 72

58 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Wann tritt Knicken auf? Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung! 74

59 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung! 75

60 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung 76

61 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung F K Es gilt: 2 EI = L 2 K = L K i = I A i b, min 77

62 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Freie Knicklänge L K Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung Die freie Knicklänge L K wird abhängig von der Lagerung und Einspannung des Druckstabes (Knickfälle nach Euler) aus der Bauteillänge berechnet. Knickfälle nach EULER F K 2 EI = L 2 K Freie Knicklänge Eulersche Knickkraft Bei gleicher Bauteillänge ist die erforderliche Druckkraft zum Knicken im Fall I am kleinsten (größte Knickgefahr) und im Fall IV am größten (kleinste Knickgefahr)! L K F K = 2 LK = L = 2 L K 2 K = 2 EI = 2 EI F 2 K = 2 2 EI 2 4l l F K = 2 4 EI 2 F 2 l K = l nach Steinhilper, Sauer: Konstruktionselemente des Maschinenbaus. 6. Aufl. Springer 78

63 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Unelastische Knickung nach TETMAJER ( < grenz ) Die Knickspannung wird nach der TETMAJER-Gerade bestimmt: Die Werte a, b, c wurde für die unterschiedlichen Werkstoffe aus Versuchen ermittelt (siehe Tabelle unten). Eine Ausnahme ist Grauguss, bei dem der Knickspannungsverlauf annähernd durch eine Parabel statt einer Geraden beschrieben wird (siehe Tabelle unten). Knickspannungen im unelastischen Bereich: Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung = a b K Werkstoff E-Modul [N/mm] Grenzschlankheitsgrad grenz Gleichungen der Tetmajer- Geraden K [N/mm] Gusseisen K = ,053 2 S235JR K = 310 1,14 E295 und E K = 335 0,

64 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Unelastische Knickung nach TETMAJER ( < grenz ) Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung 81

65 Belastungsarten Zug/Druck Schub Biegung Torsion Mod. Druckbeanspr. Berechnungsbeispiel Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickung Knickung (Vorlesung) (Tutorium) Es gilt: = L K i i = I b, min A F K 2 EI = L 2 K = a b K 85

66 Maschinenelemente I Festigkeitsberechnung 2 Grundlagen der Berechnung 2.1 Technische Modellbildung 2.2 Belastungsarten (äußere Lasten) und auftretende Spannungen Belastungsanalyse Betriebs- / Anwendungsfaktoren Spezielle Druckbelastungen Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickbeanspruchung Elastische Knickung nach EULER ( > grenz) Unelastische Knickung nach TETMAJER ( < grenz) Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen 2.3 Beanspruchbarkeit Werkstoffkennwerte Werkstoffkennwerte bei statischer Belastung Werkstoffkennwerte bei dynamischer Belastung Plastische Reserve Konstruktionskennwerte Kerbwirkung Oberflächengüte Bauteilgröße Oberflächenverfestigung Weitere Einflüsse Berechnung des Gesamteinflussfaktors Ermittlung der Gestaltausschlagfestigkeit (Bauteilausschlagfestigkeit) 2.4 Sicherheitsnachweise Statischer Sicherheitsnachweis (vereinfacht) Dynamischer Sicherheitsnachweis Betriebsfestigkeitsnachweis 89

67 Festigkeitsrechnung 2.2 Belastungsarten (äußere Lasten) und auftretende Spannungen 90

68 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Zusammengesetzte Spannungen in der Praxis : Vergleichsspannungen Mehrachsiger Spannungszustand (Realität) Einachsiger Spannungszustand (Vergleichsspannung zur Berechnung) 91

69 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Treten mehrere Beanspruchungen in einem Bauteil gleichzeitig auf, so überlagern sich die Spannungen. Im Inneren des Bauteils baut sich ein mehrachsiger Spannungszustand auf. An einem Volumenelement des Bauteils können wirken: Normalspannungen (senkrecht zur Schnittfläche) durch Druck-, Zug- oder Biegebeanspruchung. Schubspannungen (auf der Schnittfläche) durch Scher- und Torsionsbeanspruchung bzw. durch das Auftreten von Querkräften bei der Biegung Schubspannungen und Normalspannungen sind aufgrund ihrer Wirkungen im Innern des Bauteils unbedingt auseinander zuhalten. Es dürfen aber Schubspannungen mit Schubspannungen und Normalspannungen mit Normalspannungen vektoriell addiert werden. 92

70 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Zusammengesetzte Normalspannungen: Supperpositionsprinzip : A F Gleichartige Spannungen addieren sich! M b N - b max - res max + = + b max + res max N = F / A b = M b / W res = N + b 93

71 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Zusammengesetzte Schubspannungen: Supperpositionsprinzip : A Q M t Gleichartige Spannungen addieren sich! s - t max - res max + = + t max + res max s = Q / A t = M t / W t res = s + t 94

72 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Zusammengesetzte Spannungen in der Praxis : Vergleichsspannungen Mehrachsiger Spannungszustand b t s N Vergleichsspannung Einachsiger Spannungszustand v 95

73 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Überlagerung von Spannungen Festigkeitshypothesen dienen dazu, die mehrachsigen Bauteilbeanspruchungen auf einen einachsigen Spannungszustand zurückzuführen, und so die Vergleichbarkeit zu Werkstoffkennwerten zu gewährleisten. Die auf die einachsige Beanspruchung zurückgerechnete Spannung heißt VERGLEICHSSPANNUNG Das Bauteil versagt, wenn die (statische oder dynamische) Vergleichsspannung oberhalb der Bemessungsgrenze liegt. Die Anwendung der Festigkeitshypothesen zur Berechnung der Vergleichsspannung erfolgt nach dem voraussichtlichen Versagen des Bauteils, das vom Werkstoffverhalten (auch bei unterschiedlichen Temperaturen) und der Beanspruchungsart abhängt: - (Haupt-)Normalspannungshypothese (NH): William Rankine (1861) - (Haupt-)Schubspannungshypothese (SH): Henri Tresca (1868) - Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH): Richard Edler von Mises (1913), Maxymilian Tytus Huber (1904) 96

74 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Festigkeitshypothesen Je nach Werkstoff, Wärmebehandlung, Art der Beanspruchung werden angepasste Hypothesen verwendet. Die drei im Maschinenbau gebräuchlichen Festigkeitshypothesen sind: Festigkeitshypothese Versagen unter Werkstoffe Vergleichsspannung (Haupt-) Normalspannungshypothese (NH) der größten Haupt- Normalspannung Für spröde Werkstoffe (Trennbruch), bei tiefen Temperaturen durch Versprödung auch duktile Werkstoffe ( + + ) v( NH) = 4 (Haupt-)Schubspannungshypothese nach TRESCA (SH) der größten Haupt- Schubspannung Für duktile Werkstoffe oder spröde Werkstoffe unter Druckbeanspruchung (Auftreten von Gleitbrüchen) 2 2 v ( SH ) = x + 4 xy Die GE-Hypothese ist für die meisten praktischen Fälle anwendbar. Gestaltänderungs energiehypothese nach v. MISES (GE) durch unzulässig hohe plastische Verformungen Beste Hypothese für zähe (fließfähige) Werkstoffe (Baustähle, Vergütungsstähle) und für Dauerbeanspruchung 2 2 v( GEH ) =

75 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Festigkeitshypothesen Brucharten und -verläufe Die Berechnung der Vergleichsspannung hängt vom zu erwartenden Bruchverhalten ab. Beispiel : Bruchfläche Quelle: nach Müller, D.H.; Vorlesungsmanuskript - Festigkeitslehre, Uni Bremen 98

76 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Schema zur Berechnung von Vergleichsspannungen 99

77 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Beanspruchungsbeispiele mit der GE-Hypothese: 100

78 Festigkeitsrechnung Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Übung: Vergleichsspannung (nach GEH) Hinweis: 2 2 v( GEH ) =

79 Maschinenelemente I Festigkeitsberechnung 2 Grundlagen der Berechnung 2.1 Technische Modellbildung 2.2 Belastungsarten (äußere Lasten) und auftretende Spannungen Belastungsanalyse Betriebs- / Anwendungsfaktoren Spezielle Druckbelastungen Flächenpressung Hertzsche Pressung Knickbeanspruchung Elastische Knickung nach EULER ( > grenz) Unelastische Knickung nach TETMAJER ( < grenz) Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen 2.3 Beanspruchbarkeit Werkstoffkennwerte Werkstoffkennwerte bei statischer Belastung Werkstoffkennwerte bei dynamischer Belastung Plastische Reserve Konstruktionskennwerte Kerbwirkung Oberflächengüte Bauteilgröße Oberflächenverfestigung Weitere Einflüsse Berechnung des Gesamteinflussfaktors Ermittlung der Gestaltausschlagfestigkeit (Bauteilausschlagfestigkeit) 2.4 Sicherheitsnachweise Statischer Sicherheitsnachweis (vereinfacht) Dynamischer Sicherheitsnachweis Betriebsfestigkeitsnachweis 103

80 Festigkeitsrechnung Beanspruchbarkeit 2.3 Beanspruchbarkeit Werkstoffkennwerte Werkstoffe sind mechanisch nur bis zu bestimmten inneren Spannungen belastbar. Ab diesen Werkstoffgrenzen tritt ein Versagen durch Bruch ein oder der Werkstoff verformt sich plastisch (Fließen), was zu einem Funktionsversagen führen kann. Im Allgemeinen Maschinenbau sind i. d. R. bereits plastische Verformungen zu vermeiden, sodass die Belastungen nur zu reversiblen Verformungen im elastischen Bereich ("Hookescher Bereich") führen dürfen (vgl. auch Abschnitt 2.3.2). Kräfte und Momente ziehen stets Verformungen nach sich! Die Größe der Verformungen werden durch die Werkstoffkennwerte Elastizitätsmodul und Schubmodul bestimmt. Die Einordnung des Werkstoffverhaltens erfolgt in zäh oder duktil, wenn erhebliche plastische (irreversible) Verformungen möglich sind. Der Werkstoff besitzt als Werkstoffkennwerte eine Fließ- oder Streckgrenze (Elastizitätsgrenze) und eine Bruchfestigkeit. Man spricht von gutmütigem" Werkstoffverhalten, da Schutzmaßnahmen möglich sind (Inspektion auf Verformungen)!) spröde, wenn nach keiner oder nur geringer plastischer Verformung ein sofortiger Bruch eintritt. Der Werkstoff hat keine Elastizitätsgrenze, sondern nur Bruchfestigkeiten. Im Versagensfall ist ein katastrophaler Schaden möglich; die Bauteile werden "mit höheren Sicherheiten" ausgelegt, um im Betrieb die inneren Spannungen möglichst fern von den Versagensspannungen zu halten. 104

81 Festigkeitsrechnung Beanspruchbarkeit Werkstoffkennwerte Zu allen Belastungsarten werden zur Ermittlung von Werkstoffkennwerten Normversuche durchgeführt ( vgl. Vorlesung Werkstoffkunde). Je nach Belastungsfall werden für eine zeitlich konstante Belastung (statische Last) Fließgrenzen (Index "F") und Bruchfestigkeiten (Index "m") für eine periodisch schwingende Last (dynamische Last) Ausschlagsfestigkeiten (Index "A", Darstellung in speziellen Diagrammen z. B. Smith- oder Haigh-Diagramm) ermittelt Werkstoffkennwerte bei statischer Belastung Der "klassische" Versuch der Werkstoffprüfung ist der Zugversuch nach DIN EN Die einachsige Beanspruchung kann nur quasistatisch aufgebracht werden, d. h. die Belastung wird sehr langsam "hochgefahren" (max. 10 N/mm s), um keine Effekte,w ie Verfestigung, während des Versuchs zu erhalten. Der Zugversuch liefert die "bekanntesten" Werkstoffkennwerte Zugfestigkeit R m und Streckgrenze R e (bzw. Dehngrenze R p0,2, die für ruhende Belastungen als Grundlage der Bemessungswerte von Bauteilen dienen. Zu anderen Belastungsarten werden die in der Tabelle (nächste Seite) aufgeführten statischen Werkstoffkennwerte ermittelt. Sind Werkstoffkennwerte nicht bekannt, so können zur Berechnung bei Stählen Ersatzwerte herangezogen werden. 105

82 Festigkeitsrechnung Beanspruchbarkeit Zugversuch Ermittlung von Werkstoffkennwerten bei statischer Belastung 106

83 Festigkeitsrechnung Beanspruchbarkeit Spannungs-Dehnungs-Diagramme verschiedener Werkstoffe 108

84 Festigkeitsrechnung Beanspruchbarkeit Werkstoffkennwerte für Beanspruchungen Belastungsart Bezeichnung Kennwert Ersatzwert bei Verwendung bei Stählen Versagen bei Streckgrenze R e - Verformung Zug 0,2% Dehngrenze R p0,2 - Verformung Zugfestigkeit R m - Bruch Druckfließgrenze R ed R e Verformung Druck 0,2% Stauchgrenze R p0,2d R p0,2 Verformung Druckfestigkeit R m d R m Bruch Biegefließgrenze bf R e Verformung Biegung 0,2% Biegedehngrenze b0,2 R p0,2 Verformung Biegefestigkeit bb R m Bruch Torsionsfließgrenze tf Verformung Torsion Torsionsdehngrenze t0,4 Verformung Torsionsfestigkeit tb Bruch Schub Scherfließgrenze sf Verformung Scherfestigkeit sb Bruch Hypothese 1 1) z. B. Torsionsfließgrenze Nach der GEH- Rp R p0,2 = 3 tf tf = 3 0,2 109

85 110

86 Festigkeitsrechnung Beanspruchbarkeit Werkstoffkennwerte von Baustählen Quelle: Niemann, Winter, Höhn: Maschinenelemente. Bd. 1., 3.Aufl. Springer Berlin 2005, S

87 Festigkeitsrechnung Beanspruchbarkeit Werkstoffkennwerte von Vergütungsstählen Quelle: Niemann, Winter, Höhn: Maschinenelemente. Bd. 1., 3.Aufl. Springer Berlin 2005, S

88 Festigkeitsrechnung Dynamische Belastung Werkstoffkennwerte bei dynamischer Belastung Bauteile in Maschinen und Anlagen unterliegen üblicherweise zeitlich veränderlichen Beanspruchungen, die sich aus einem statischen und dynamischen Anteil zusammensetzen. In der Realität sind diese zeitlichen Veränderungen der Beanspruchung zufällig und nicht periodisch wiederkehrend (harmonisch). Dennoch werden Werkstoffkennwerte mittels periodischem Verlauf der Beanspruchung ermittelt, da der Aufwand zu groß ist, den realen Belastungsverlauf auf einer Werkstoffprüfmaschine zu erzeugen. Grundsätzlich ist dies heute aber mit servohydraulischen Prüfeinrichtungen möglich. Grundbegriffe einer periodischen Schwingbeanspruchung o Oberspannung u Unterspannung m Mittelspannung ( statischer Anteil) m o + u = 2 a Spannungsausschlag oder amplitude ( dynamischer Anteil) o u a = o m = m u = 2 2 a Schwingbreite Spannungsverhältnis N Schwing- oder Lastspiel = u o Quelle: Roloff / Matek, Maschinenelemente, 18. Aufl. Vieweg, S