Kapitel 6. Exponentialfunktion

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kapitel 6. Exponentialfunktion"

Transkript

1 Kapitel 6. Exponentialfunktion 6.1. Potenzreihen In Kap. 4 haben wir Reihen ν=0 a ν studiert, wo die Glieder feste Zahlen sind. Die Summe solcher Reihen ist wieder eine Zahl, z.b. die Eulersche Zahl e. Nun erweitern wir unsere Überlegungen auf den Fall, wo die Glieder Funktionen sind. Dies wird uns erlauben, vielfältige neue Klassen von Funktionen zu produzieren. Wir beschränken uns dabei auf den wichtigsten Fall von Potenzreihen. Deren Theorie versteht man am besten, wenn man sie im Komplexen betrachtet. 1

2 Die Variable z steht im folgenden für eine komplexe Zahl. Definition. Es sei (a ν ) eine Folge komplexer Zahlen. Dann nennt man a ν z ν ν=0 eine Potenzreihe (mit Mittelpunkt 0). Allgemeiner ist a ν (z z 0 ) ν ν=0 eine Potenzreihe mit Mittelpunkt z 0 C. Für unsere theoretischen Erwägungen genügt es, Potenzreihen mit Mittelpunkt 0 zu betrachten. Man beachte, dass die Partialsummen s n (z) = n ν=0 a νz ν Polynomfunktionen sind. 2

3 Wir klären zuerst, auf welchem Bereich von Zahlen z die Potenzreihen konvergieren. Vage Anschauung: Wenn die Beträge a ν der Koeffizienten mit ν rasch klein werden, konvergiert die Reihe für ziemlich grosse z. Wenn die Beträge a ν mit ν rasch anwachsen, so wird die Reihe nur für sehr kleine z konvergieren. 3

4 Das genaue Konvergenzverhalten wird durch folgenden wichtigen Satz beschrieben. Satz. 1. Jede Potenzreihe ν=0 a νz ν besitzt einen wohlbestimmten Konvergenzradius ρ in [0, ] mit folgender Eigenschaft: Für z < ρ ist die Reihe absolut konvergent und für z > ρ divergent. 2. Der Konvergenzradius ρ hat den Wert ρ = lim a ν ν a ν+1 = 1 lim ν ν a ν, sofern diese Grenzwerte existieren. (Hier soll symbolisch 1/0 :=, 1/ := 0 gesetzt werden.) 4

5 Der offene Konvergenzbereich B ρ := {z C z < ρ} ist eine Kreisscheibe in der komplexen Zahlenebene mit Mittelpunkt 0 und Radius ρ. i IR C B ρ ρ 0 IR Abbildung 1: Konvergenzbereich von Potenzreihen. 5

6 Das Konvergenzverhalten auf dem Rand von B ρ kann vielfältig und kompliziert sein. Hierzu nur zwei einfache Beispiele. Beispiel. 1. Der Konvergenzradius der geometrischen Reihe ν=0 zν ist gleich ρ = 1. Die Reihe divergiert in allen Randpunkten z = Die Potenzreihe ν=0 zν ν 2 hat den Konvergenzradius ρ = lim ν ( ) 2 ν + 1 = 1. (In der Tat ist auch lim ν ν ν 2 = 1.) Die Reihe konvergiert in allen Randpunkten z = 1 nach dem Majorantenkriterium. ν 6

7 Potenzreihen stellen in ihrem Konvergenzbereich beliebig schöne Funktionen dar. Insbesondere sind sie stetig: Satz. Eine Potenzreihe ν=0 a νz ν definiert auf ihrem offenen Konvergenzbereich B ρ eine stetige Funktion: f : B ρ := {z C z < ρ} C, f(z) := a ν z ν. ν=0 7

8 Als unmittelbare Folgerung erhalten wir a 0 = f(0) = lim z 0 f(z). Aus dieser Beobachtung schliesst man induktiv ähnlich wie früher das folgende. Folgerung. (Identitätssatz für Potenzreihen) Eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius bestimmt ihre Koeffizienten eindeutig. 8

9 6.2. Exponentialfunktion Wir betrachten nun das wichtige Beispiel der Exponentialreihe z ν ν! = 1 + z + z2 2 + z3 6 + z Wegen ν=0 a ν a ν+1 = (ν + 1)! ν! besitzt sie den Konvergenzradius. Folgerung. Die Exponentialreihe definiert eine stetige Funktion genannt Exponentialfunktion. = ν + 1 (ν ) exp : C C, exp(z) = ν=0 z ν ν!, 9

10 Die Exponentialfunktion erfüllt eine fundamentale Identität oder Funktionalgleichung. Satz. (Funktionalgleichung) Für beliebige z 1, z 2 C gilt exp(z 1 + z 2 ) = exp(z 1 ) exp(z 2 ). 10

11 Offensichtlich hat die Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e zu tun: es gilt e = exp(1) = ν=0 1 ν!. Die Namensgebung der Exponentialfunktion wird nun auch verständlich. Satz. Für beliebiges rationales x = m/n Q, mit m, n Z und n > 0, gilt exp(x) = n e m = e m/n = e x. 11

12 Somit ist die Exponentialfunktion eine stetige Fortsetzung der zunächst nur für rationale x definierten Funktion x e x auf die ganz C. Naheliegenderweise definieren wir für z C und verwenden beide Schreibweisen. e z := exp(z) Die Funktionalgleichung erhält dann die folgende Form: e z 1+z 2 = e z1 e z 2. 12

13 Der nächste Satz beschreibt das Verhalten der Exponentialfunktion auf der reellen Achse. e y y = exp(x) 1 1 x Abbildung 2: Graph der reellen Exponentialfunktion. 13

14 Satz. 1. Die Exponentialfunktion bildet die reelle Achse R bijektiv und streng monoton auf die positive reelle Achse ]0, [ ab. Insbesondere gilt e x > 0 für x R und lim x ex = 0, lim x ex = 2. Die Exponentialfunktion wächst für x schneller als jede feste Potenz von x. D.h. für jedes feste n N gilt lim x e x x n =. 14

15 6.3. Logarithmusfunktion Nach dem vorangehenden Satz besitzt die Einschränkung von exp auf R eine Umkehrfunktion log := exp 1 : ]0, [ R, die man die (natürliche) Logarithmusfunktion nennt. 1 y y = log(x) 1 e x Abbildung 3: Graph der Logarithmusfunktion. 15

16 Es gilt also log(e x ) = x und e log y = y. Man schreibt auch oft auch ln statt log und spricht vom Logarithmus zur Basis e. Der folgende Satz fasst die wichtigsten Eigenschaften der Logarithmusfunktion zusammen. Er ist eine unmittelbare Konsequenz des vorigen Satzes über die reelle Exponentialfunktion und dem Satz über die Umkehrfunktion. Satz. Die Logarithmusfunktion bildet ]0, [ bijektiv und streng monoton auf R ab. Insbesondere gilt lim log y =, lim y 0 Ferner erfüllt log die Funktionalgleichung log y =. y log(y 1 y 2 ) = log y 1 + log y 2. 16

17 Mit Hilfe der Logarithmusfunktion können wir Potenzen a x für beliebiges reelles a > 0 und x R definieren. Für rationale x = m/n Q, mit m, n Z und n > 0 ist a x = a m n = n a m bereits erklärt. Mit der Funktionalgleichung von log folgt mit Induktion log a m = m log a. Damit schliesst man n log a m n = log(a m n ) n = log(a m ) = m log a, also log a m n = m n Für einen rationalen Exponenten x gilt deshalb a x = e x log a. log a. 17

18 Wir definieren nun einfach die Potenz a x für a > 0 und einen beliebigen reellen Exponenten x durch die Gleichung a x = e x log a. Man sieht leicht, dass die üblichen Regeln für das Rechnen mit Potenzen gültig bleiben. Satz. Für a, b > 0 und x, y R gilt: 1. log(a x ) = x log a, 2. a x+y = a x a y, 3. (a x ) y = a xy, 4. a x b x = (ab) x. 18

19 Man nennt die Funktion R ]0, [, x a x die Exponentialfunktion zur Basis a > 0. Die Funktion (0, ) ]0, [, t t α heisst (allgemeine) Potenzfunktion zum Exponenten α R. Offensichtlich sind beides stetige Funktionen. 19

20 Schliesslich halten wir noch eine Aussage über die Langsamkeit der Konvergenz gegen der Logarithmusfunktion fest. Satz. Für α > 0 gilt lim y log y = 0, lim yα y 0 yα log y = 0. In Worten: log y geht für y langsamer gegen als jede noch so kleine positive Potenz von y. Ferner geht log y für y 0 so langsam gegen, dass log y von jeder noch so kleinen positiven Potenz y α 0 kompensiert wird. 20

21 6.4. Winkelfunktionen Die Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die reelle Achse führte uns zu Logarithmus und allgemeiner Potenzfunktion. Wir werden sehen, dass sich aus der komplexen Exponentialfunktion auch die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus ableiten lassen. Dazu untersuchen wir die Exponentialfunktion auf der imaginäre Achse. Wegen der Stetigkeit der komplexen Konjugation gilt e z = lim n n ν=0 z ν ν! = lim n n ν=0 z ν ν! = ez. 21

22 Für reelles ϕ folgt deshalb e iϕ 2 = e iϕ e iϕ = e iϕ e iϕ = e 0 = 1, also e iϕ = 1, ϕ R. Die sogenannte cis-funktion cis : R C, ϕ e iϕ bildet daher R stetig in den Einheitskreis S 1 := {z C z = 1} der komplexen Ebene ab. 22

23 Zunächst definieren wir rein formal die auf R stetigen reellen Funktion Cosinus und Sinus durch cos ϕ := Re(e iϕ ) = eiϕ + e iϕ 2 sin ϕ := Im(e iϕ ) = eiϕ e iϕ. 2i Dies sind die berühmten Eulerschen Formeln; sie lassen sich zusammenfassen zu e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ, ϕ R. Wegen e iϕ = 1 gilt cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1, ϕ R. 23

24 Aus der Reihenentwicklung e iϕ = 1 + iϕ + i2 ϕ 2 2! + i3 ϕ 3 3! +... ergeben sich durch Trennung von Real- und Imaginärteil die für alle ϕ R konvergenten Potenzreihen cos ϕ = 1 ϕ2 2! + ϕ4 4! ϕ6 6! +..., sin ϕ = ϕ ϕ3 3! + ϕ5 5! ϕ7 7!

25 Die Kreiszahl Pi Unser Ziel ist der folgende fundamentale Satz: Satz. Es gibt eine wohlbestimmte reelle Zahl π mit 3 < π < 3.2, so dass cis das Intervall [0, 2π[ bijektiv und stetig auf den Einheitskreis S 1 abbildet. Ausserdem gilt cis(2π) = e 2πi = 1. Dass die im Satz auftretende Zahl π diejenige ist, die man aus dem Geometrieunterricht kennt, werden wir gleich sehen. Man beachte, dass die obige Gleichung die drei fundamentalen mathematischen Konstanten e, π und i = 1 auf erstaunlich einfache und elegante Weise verknüpft! 25

26 Wir schliessen, dass cis : R S 1 die Periode 2π hat: cis(ϕ + 2π) = cis(ϕ) für ϕ R. Dies sieht man sofort aus e i(ϕ+2π) = e iϕ e 2πi = e iϕ. 26

27 Beweis des Satzes 1. Wir zeigen zunächst, dass die Sinusfunktion auf ] 1, 1[ streng monoton wächst. Weil wir Ableitungen noch nicht besprochen haben, machen wir das zu Fuss mit der Reihenentwicklung von Sinus. 27

28 2. Für 0 < ϕ < 1 sind die Potenzreihen für Cosinus und Sinus alternierend: Das Leibnizsche Konvergenzkriterium liefert daher die Ungleichungen cos ϕ > 1 ϕ2 2 > 0, sin ϕ > ϕ ϕ3 6 > 0. Hieraus schliessen wir sin 3 4 < 1 2, sin 4 5 > 1 2. Wegen der Monotonie und dem Zwischenwertsatz gibt es genau eine reelle Zahl π mit 3 4 < π 4 < 4 5, sin π 4 = 1. 2 Es folgt dann cos π 4 = 1 2 und cis ( ± π ) 4 = 1 2 (1 ± i). 28

29 Durch Quadrieren von cis ( ± π ) 4 = 1 2 (1 ± i). erhalten wir die Formeln Ausserdem ist 3 < π < 3.2. e i π 2 = 1 2 (1 + i)2 = i, e iπ = 1, e 2πi = 1. 29

30 Mit dem Zwischenwertsatz folgt, dass cis das Intervall [ π 4, π 4 ] bijektiv auf den Viertelkreis mit Scheitel 1 abbildet. i 1/ 2 1+i 2-1 1/ i -i 2 Abbildung 4: Definition der Zahl π. 30

31 3. Um den Beweis zu vollenden, genügt es zu zeigen, dass cis das Intervall [ π 4, 3π 4 bijektiv auf den Viertelkreis mit Scheitel i abbildet ] ], [ 5π 4, 7π 4 ], [ 7π 4, 9π 4 ] bijektiv auf die Viertelkreise und analog die Intervalle [ 3π 4, 5π 4 mit den Scheiteln 1, i, 1 abbildet, wobei jedesmal der Intervallmittelpunkt in den Scheitel übergeht. Dies folgt aus der Beobachtung cis(t + π 2 ) = ei π 2 cis(t) = i cis(t) und aus der Tatsache, dass z iz eine Vierteldrehung in der komplexen Zahlenebene bewirkt. 31

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen.

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens

Mehr

lim Der Zwischenwertsatz besagt folgendes:

lim Der Zwischenwertsatz besagt folgendes: 2.3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 35 Wir stellen nun die wichtigsten Sätze über stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen zusammen. Wenn man sagt, eine Funktion f:[a,b] R, definiert

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen

Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Wir betrachten jetzt Funktionen zwischen geeigneten Punktmengen. Dazu wiederholen wir einige grundlegende Begriffe und Schreibweisen aus der Mengentheorie.

Mehr

Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 +

Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 + 8 Reihen 38 8 Reihen Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe a 0 + a + a 2 + zu bilden. Wir wollen nun erklären, was wir darunter verstehen wollen. Zunächst kann man die

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 25. Der große Umordnungssatz

Mathematik I. Vorlesung 25. Der große Umordnungssatz Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 009/010 Mathematik I Vorlesung 5 Der große Umordnungssatz Satz 5.1. (Großer Umordnungssatz) Es sei a i, i I, eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe

Mehr

Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele

Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele Ist (a n ) eine Folge von Zahlen, so heißt der formale Ausdruck a ν = a 0 + a 1 + a 2 +... eine Reihe; die einzelnen a ν sind die Glieder dieser Reihe. Um

Mehr

Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen

Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen Skript zur Analysis 1 Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen von Prof. Dr. J. Cleven Fachhochschule Dortmund Fachbereich Informatik Oktober 2003 2 Inhaltsverzeichnis 3 Stetigkeit und Grenzwerte

Mehr

27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen

27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen 136 IV. Unendliche Reihen und Taylor-Formel 27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen Lernziele: Konzepte: klein o - und groß O -Bedingungen Resultate: Taylor-Formel Kompetenzen: Bestimmung von Taylor-Reihen

Mehr

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten

Mehr

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. 2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es

Mehr

11. Folgen und Reihen.

11. Folgen und Reihen. - Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a

Mehr

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba.

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba. Die Eindeutigkeit nach Satz 3 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und () wegen Aussage (7) ergibt sich aus () und (6). 0 = log b = log b ( a a) = log b a +log ba. 3 Reihen 3. Konvergenz und Divergenz

Mehr

Analysis I. Vorlesung 16. Funktionenfolgen

Analysis I. Vorlesung 16. Funktionenfolgen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2014/2015 Analysis I Vorlesung 16 Funktionenfolgen Eine (vertikal gestauchte) Darstellung der ersten acht polynomialen Approximationen der reellen Exponentialfunktion

Mehr

8. Spezielle Funktionen

8. Spezielle Funktionen 94 Andreas Gathmann 8. Spezielle Funktionen Nachdem wir jetzt schon relativ viel allgemeine Theorie kennen gelernt haben, wollen wir diese nun anwenden, um einige bekannte spezielle Funktionen zu studieren

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 203/4 Blatt 20.0.204 Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag 4. a) Für a R betrachten wir die Funktion

Mehr

Vorlesung. Komplexe Zahlen

Vorlesung. Komplexe Zahlen Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems

Mehr

1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:

1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen: Klausur zur Analysis I svorschläge Universität Regensburg, Wintersemester 013/14 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dr. Mihaela Pilca 0.0.014, Bearbeitungszeit: 3 Stunden 1. Aufgabe [ Punte] Seien X, Y zwei nicht-leere

Mehr

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Häufig tauchen in der Mathematik Ausdrücke der Form lim f(x) auf. x x0 Derartigen Ausdrücken wollen wir jetzt eine präzise Bedeutung zuweisen. Definition. b = lim f(x) wenn

Mehr

Identitätssatz für Potenzreihen

Identitätssatz für Potenzreihen Identitätssatz für Potenzreihen Satz 3.56 Seien f (z) = a n z n und g(z) = b n z n zwei Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien R f > 0 und R g > 0. Gilt f (z) = g(z) für alle z mit 0 z < min{r f,

Mehr

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Prof. Dr. C. Portenier unter Mitarbeit von Michael Koch Marburg, Sommersemester 2005 Fassung vom

Mehr

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel 8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a

Mehr

4 Reihen und Finanzmathematik

4 Reihen und Finanzmathematik 4 Reihen und Finanzmathematik 4. Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

1 Übungen zu Mengen. Aufgaben zum Vorkurs B S. 1. Aufgabe 1: Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an:

1 Übungen zu Mengen. Aufgaben zum Vorkurs B S. 1. Aufgabe 1: Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: Aufgaben zum Vorkurs B S. 1 1 Übungen zu Mengen Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: A = {x N 0 < x < 4, 8} B = {t N t ist Teiler von 4} C = {z Z z ist positiv, durch 3 teilbar

Mehr

Stetigkeit von Funktionen

Stetigkeit von Funktionen 9 Stetigkeit von Funktionen Definition 9.1 : Sei D R oder C und f : D R, C. f stetig in a D : ε > 0 δ > 0 mit f(z) f(a) < ε für alle z D, z a < δ. f stetig auf D : f stetig in jedem Punkt a D. f(a) ε a

Mehr

MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik

MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik Fernstudium Guide Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik Version vom 05.02.2015 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der

Mehr

Komplexe Funktionen. für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg. Reiner Lauterbach. Universität Hamburg

Komplexe Funktionen. für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg. Reiner Lauterbach. Universität Hamburg Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg Reiner Lauterbach Universität Hamburg SS 2006 Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen

Mehr

Folgen und Reihen. Beschränkte Folge: Es gibt eine Zahl c = const.

Folgen und Reihen. Beschränkte Folge: Es gibt eine Zahl c = const. Folgen und Reihen Folgen: Def.: Eine Abbildung a N K, n a(n) := a n (K = R C) wird Zahlenfolge genannt. Sie heißt reelle (komplexe) Zahlenfolge, falls K = R(C) ist. Symbole: a n K: Elemente der Folge,

Mehr

n 1, n N \ {1}, 0 falls x = 0,

n 1, n N \ {1}, 0 falls x = 0, IV.1. Stetige Funktionen 77 IV. Stetigkeit IV.1. Stetige Funktionen Stetige Funktionen R R sind vielen sicher schon aus der Schule bekannt. Dort erwirbt man sich die naive Vorstellung, dass eine stetige

Mehr

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2 Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4

Mehr

22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen

22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 22.1 Sinus und Cosinus 22.3 Definition von 22.6 Sinus und Cosinus als eindeutige Lösungen eines Differentialgleichungssystems 22.7 Tangens

Mehr

Folgen und Reihen. Katharina Brazda 9. März 2007

Folgen und Reihen. Katharina Brazda 9. März 2007 Katharina Brazda 9. März 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2 1.1 Definition von Folgen - explizite und rekursive Darstellung.............. 2 1.2 Wachstumsverhalten von Folgen - Monotonie und Beschränktheit..........

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

2.6 Stetigkeit und Grenzwerte

2.6 Stetigkeit und Grenzwerte 2.6 Stetigkeit und Grenzwerte Anschaulich gesprochen ist eine Funktion stetig, wenn ihr Graph sich zeichnen lässt, ohne den Stift abzusetzen. Das ist natürlich keine präzise mathematische Definition und

Mehr

Exponentialfunktion, Logarithmus

Exponentialfunktion, Logarithmus Exponentialfunktion, Logarithmus. Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0 Bei Exponentialfunktionen ist die Basis konstant und der Exponent variabel... Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0. Sei

Mehr

Analysis I. 11. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 11. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 11. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden kursiv gedruckten) Begriffe. 1) Ein angeordneter Körper. ) Eine Folge in

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 14. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 1 Sommersemester 009 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe

Mehr

Partitionen II. 1 Geometrische Repräsentation von Partitionen

Partitionen II. 1 Geometrische Repräsentation von Partitionen Partitionen II Vortrag zum Seminar zur Höheren Funktionentheorie, 09.07.2008 Oliver Delpy In diesem Vortrag geht es um Partitionen, also um Aufteilung von natürlichen Zahlen in Summen. Er setzt den Vortrag

Mehr

x A, x / A x ist (nicht) Element von A. A B, A B A ist (nicht) Teilmenge von B. A B, A B A ist (nicht) echte Teilmenge von B.

x A, x / A x ist (nicht) Element von A. A B, A B A ist (nicht) Teilmenge von B. A B, A B A ist (nicht) echte Teilmenge von B. SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das Lernen mit Lernkarten

Mehr

Potenzen - Wurzeln - Logarithmen

Potenzen - Wurzeln - Logarithmen Potenzen - Wurzeln - Logarithmen Anna Geyer 4. Oktober 2006 1 Potenzrechnung Potenz Produkt mehrerer gleicher Faktoren 1.1 Definition (Potenz): (i) a n : a... a, n N, a R a... Basis n... Exponent od. Hochzahl

Mehr

Mathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen

Mathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender I Beispielklausur I mit en Dauer: Zwei volle Stunden + 10 Minuten Orientierung, in denen noch nicht geschrieben werden darf.

Mehr

2. Stetige lineare Funktionale

2. Stetige lineare Funktionale -21-2. Stetige lineare Funktionale Die am Ende von 1 angedeutete Eigenschaft, die ein lineares Funktional T : D(ú) 6 verallgemeinerten Funktion macht, ist die Stetigkeit von T in jedem n 0 0 D(ú). Wenn

Mehr

KAPITEL 9. Funktionenreihen

KAPITEL 9. Funktionenreihen KAPITEL 9 Funktionenreihen 9. TaylorReihen............................ 28 9.2 Potenzreihen............................ 223 9.3 Grenzfunktionen von Funktionenfolgen bzw. reihen........ 230 9.4 Anwendungen............................

Mehr

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS Funktionen. Evelina Erlacher 1 7. März 2007

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS Funktionen. Evelina Erlacher 1 7. März 2007 Workshops zur VO Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 007 Inhaltsverzeichnis Funktionen Evelina Erlacher 7. März 007 Der Funktionsbegriff Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen 3 Einige Typen

Mehr

Funktionalgleichungen

Funktionalgleichungen Funktionalgleichungen Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten www.mathe-seiten.de 10. Mai 2010 Funktionalgleichungen sind Gleichungen, mit denen Funktionen charakterisiert oder bestimmt werden können. In diesem

Mehr

Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit

Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit Reelle Zahlen sind ideale Objekte, die es uns ermöglichen, eine transparente und leistungsfähige Theorie aufzubauen. Ein Computer kann jedoch nur mit Approximationen

Mehr

Gesucht ist eine holomorphe oder meromorphe Funktion, die die Fakultäten interpoliert. z z + m 1 f(z +m+1) = ( 1)m 1

Gesucht ist eine holomorphe oder meromorphe Funktion, die die Fakultäten interpoliert. z z + m 1 f(z +m+1) = ( 1)m 1 23 3 Die Γ-Funktion Gesucht ist eine holomorphe oder meromorphe Funktion, die die Fakultäten interpoliert. f(n) = (n )! für n N. Das wird durch die Funktionalgleichung erreicht. Bemerkungen. f(z + ) =

Mehr

Stetigkeit. Kapitel 4. Stetigkeit. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

Stetigkeit. Kapitel 4. Stetigkeit. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543 Kapitel 4 Stetigkeit Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 254 / 543 Inhalt Inhalt 4 Stetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz Umkehrfunktionen

Mehr

Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung

Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung B. Schuster/ L. Frerick 9. Februar 200 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 5. Mengen und Zahlen................................ 5.. Mengen...................................

Mehr

Topologische Begriffe

Topologische Begriffe Kapitel 3 Topologische Begriffe 3.1 Inneres, Rand und Abschluss von Mengen Definition (innerer Punkt und Inneres). Sei (V, ) ein normierter Raum über K, und sei M V eine Menge. Ein Vektor v M heißt innerer

Mehr

Stichpunkte zum Abschnitt Analysis der Höheren Mathematik für Ingenieure I

Stichpunkte zum Abschnitt Analysis der Höheren Mathematik für Ingenieure I Stichpunkte zum Abschnitt Analysis der Höheren Mathematik für Ingenieure I Komplexe Zahlen Definition komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene, algebraische Form, trigonometrische Form, exponentielle

Mehr

7.8. Die Regel von l'hospital

7.8. Die Regel von l'hospital 7.8. Die Regel von l'hospital Der Marquis de l'hospital (sprich: lopital) war der erste Autor eines Buches über Infinitesimalrechnung (696) - allerdings basierte dieses Werk wesentlich auf den Ausführungen

Mehr

α π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel

α π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! Tipps zum Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10 Folgende Begriffe und Aufgaben solltest Du nach der 10. Klasse kennen und können: (Falls Du Lücken entdeckst,

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Die Taylorreihe einer Funktion

Die Taylorreihe einer Funktion Kapitel 6 Die Taylorreihe einer Funktion Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit Taylorreihen, Taylorpolynomen und der Restgliedabschätzung für Taylorpolynome. Die Taylorreihe einer reellen Funktion ist

Mehr

WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse

WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse I. Kreiszahl 1. Kreis: Fläche des Kreissektors: = Länge des Kreisbogens: = Im Einheitskreis gilt: = 2 = 2. Kugel: Oberflächeninhalt: = 4 Volumen: = II. Geometrische

Mehr

Die Kugel Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10. Definitionen und Regeln. Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π. Kugelvolumen: - 1 -

Die Kugel Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10. Definitionen und Regeln. Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π. Kugelvolumen: - 1 - 10.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Die Kugel Beispiele Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π r Kugelvolumen: V Kugel = 4 3 r³ π - 1 - 10. Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Kreissektor

Mehr

Grundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α

Grundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α Grundwissen 0. Berechnungen an Kreis und Kugel a) Bogenmaß Beispiel: Gegeben ist ein Winkel α=50 ; dann gilt: b = b = π 50 0,8766 r r 360 Die (reelle) Zahl ist geeignet, die Größe eines Winkels anzugeben.

Mehr

Biostatistik, Winter 2011/12

Biostatistik, Winter 2011/12 Biostatistik, Winter 2011/12 Summen, Exponentialfunktion, Ableitung Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 2. Vorlesung: 04.11.2011 1/46 Inhalt 1 Summen und Produkte Summenzeichen Produktzeichen

Mehr

Stetige Funktionen. Kapitel Grenzwerte von Funktionen

Stetige Funktionen. Kapitel Grenzwerte von Funktionen Kapitel 5 Stetige Funktionen 5.1 Grenzwerte von Funktionen In diesem Abschnitt soll der Grenzwertbegriff auf Funktionen erweitert werden. Im Unterschied zu den Gliedern einer Folge sind die Funktionswerte

Mehr

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f.

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f. Stetige Funktionen Abbildungen f : X Y, wobei X und Y strukturierte Mengen sind (wie z.b. Vektorräume oder metrische Räume), spielen eine zentrale Rolle in der Mathematik. In der Analysis sind Abbildungen

Mehr

Mathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2

Mathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2 Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Sommersemester 204 Technische Informatik Bachelor IT2 Vorlesung Mathematik 2 Mathematik 2 4. Übungsblatt - Lösung Differentialrechnung

Mehr

Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen

Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen 17. Januar 2013 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 1 Kapitel 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und C n -Funktionen Der

Mehr

2 Stetige Funktionen. 2.1 Grenzwerte von Funktionen. Definition Beispiel

2 Stetige Funktionen. 2.1 Grenzwerte von Funktionen. Definition Beispiel 2 Stetige Funktionen 2. Grenzwerte von Funktionen Definition Sei I R ein Intervall, a I ein innerer Punkt und f eine reellwertige Funktion, die auf I \ {a} (aber eventuell nicht in a) definiert ist. Wir

Mehr

4.7 Der Taylorsche Satz

4.7 Der Taylorsche Satz 288 4 Differenziation 4.7 Der Taylorsche Satz Die Differenzierbarkeit, also die Existenz der ersten Ableitung einer Funktion, erlaubt bekanntlich, diese Funktion lokal durch eine affine Funktion näherungsweise

Mehr

f : x 2 x f : x 1 Exponentialfunktion zur Basis a. Für alle Exponentialfunktionen gelten die Gleichungen (1) a x a y = a x+y (2) ax a y = ax y

f : x 2 x f : x 1 Exponentialfunktion zur Basis a. Für alle Exponentialfunktionen gelten die Gleichungen (1) a x a y = a x+y (2) ax a y = ax y 5. Die natürliche Exponentialfunktion und natürliche Logarithmusfunktion ================================================================== 5.1 Die natürliche Exponentialfunktion f : x 2 x f : x 1 2 x

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

MatheBasics Teil 4 Grundlagen der Mathematik

MatheBasics Teil 4 Grundlagen der Mathematik Fernstudium Guide Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft MatheBasics Teil 4 Grundlagen der Mathematik Version vom 02.11.2015 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der

Mehr

Konvergenz von Folgen

Konvergenz von Folgen 6 Konvergenz von Folgen Definition 6.1 Eine Folge in C (oder R) ist eine Abbildung f : N C (oder R). Schreibweise: (a n ) n N, (a n ), a 1, a 2... wobei a n = f(n). Beispiele: 1) (1 + 2 n ) n N, 3 2, 5

Mehr

Kapitel 3 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

Kapitel 3 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN Kapitel 3 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN Fassung vom 7. Juni 005 Mathematik II 69 3. Stetigkeit 3. Stetigkeit Die Untersuchung von stetigen Funktionen (Abbildungen) in der Analysis entspricht der von

Mehr

4.1. Grundlegende Definitionen. Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen. 4.2 Graphen von Funktionen

4.1. Grundlegende Definitionen. Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen. 4.2 Graphen von Funktionen 4.1. Grundlegende Definitionen Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 22./29. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt. (z) i f. 2xe (x2 +y 2) i2ye (x2 +y 2 ) 2

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt. (z) i f. 2xe (x2 +y 2) i2ye (x2 +y 2 ) 2 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6. MATHEMATIK Prof. Dr. Roland Speicher M.Sc. Tobias Mai Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 0 Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt (3

Mehr

Einführung in die Analysis

Einführung in die Analysis Ergänzungen zur Vorlesung Einführung in die Analysis Christian Schmeiser 1 Vorwort In dieser Vorlesung werden Grundbegriffe der Analysis wie Folgen und Reihen, Konvergenz und Vollständigkeit am Beispiel

Mehr

Die Weierstaÿ'sche -Funktion

Die Weierstaÿ'sche -Funktion Die Weierstaÿ'sche -Funktion Kapitel : Konstruktion Motivation: Ziel dieses Kapitels ist es ein möglichst einfaches Beispiel für eine elliptische Funktion zu nden.wir wissen bereits, dass keine elliptische

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

4 Reihen. s n = a 1 + a 2 + + a n = Die Folge (s n ) n N der Partialsummen heißt eine (unendliche) Reihe und wird auch als a k. k=1. )n N geschrieben.

4 Reihen. s n = a 1 + a 2 + + a n = Die Folge (s n ) n N der Partialsummen heißt eine (unendliche) Reihe und wird auch als a k. k=1. )n N geschrieben. 4 Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei (a k ) k N eine Folge. Wir definieren

Mehr

Aufgaben zum Vorkurs Mathematik für Natur- und Ingenieurwissenschaften. 1 Übungsblatt Mengen. Dr. Jörg Horst WS 2014/2015

Aufgaben zum Vorkurs Mathematik für Natur- und Ingenieurwissenschaften. 1 Übungsblatt Mengen. Dr. Jörg Horst WS 2014/2015 Dr. Jörg Horst WS 04/05 Aufgaben zum Vorkurs Mathematik für Natur- und Ingenieurwissenschaften Übungsblatt Mengen Aufgabe : Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: A = {x N 0 0 < x

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten

Mehr

1.1 Teilbarkeit, Primzahlen und Teilerfremdheit

1.1 Teilbarkeit, Primzahlen und Teilerfremdheit Kapitel Primzahlen Bevor wir uns allgemeineren Themen und Begriffen der Algebra zuwenden, wollen wir einige zugleich elementare und schöne Ideen aus der Theorie der Primzahlen zusammenstellen, da diese

Mehr

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2.1) Sei D R. a) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D,

Mehr

10. Klasse: Logarithmusfunktionen sind die Umkehrungen der Exponentialfunktionen. Umkehrungen beschreiben umgekehrte Zuordnungen.

10. Klasse: Logarithmusfunktionen sind die Umkehrungen der Exponentialfunktionen. Umkehrungen beschreiben umgekehrte Zuordnungen. IV Umkehrfunktion Umkehrbarkeit 0. Klasse: Logarithmusfunktionen sind die Umkehrungen der Eponentialfunktionen. Umkehrungen beschreiben umgekehrte Zuordnungen. f f -> 2 2 -> 2 -> - - -> 2 4 -> -> 4 Graphen

Mehr

2 Komplexe Funktionen

2 Komplexe Funktionen 2 Komplexe Funktionen Wir betrachten komplexwertige Funktionen f einer komplexen Variablen. 2.1 Begriff und geometrische Deutung Definition: Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Definitions-

Mehr

4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 92

4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 92 Kapitel 4 Funktionen und Stetigkeit In diesem Kapitel beginnen wir Funktionen f : Ê Ê systematisch zu untersuchen. Dazu bauen wir auf den Begriff des metrischen Raumes auf und erhalten offene und abgeschlossene

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 3.2 Konvergenzkriterien

Mehr

Komplexe Zahlen. Rainer Hauser. Januar 2015

Komplexe Zahlen. Rainer Hauser. Januar 2015 Komplexe Zahlen Rainer Hauser Januar 015 1 Einleitung 1.1 Zahlen und Operationen auf Zahlen Addiert man mit Eins als erster gegebener Zahl beginnend sukzessive Eins zu einer bereits gefundenen Zahl, so

Mehr

Zahlen und Gleichungen

Zahlen und Gleichungen Kapitel 2 Zahlen und Gleichungen 21 Reelle Zahlen Die Menge R der reellen Zahlen setzt sich zusammen aus den rationalen und den irrationalen Zahlen Die Mengen der natürlichen Zahlen N, der ganzen Zahlen

Mehr

Prof. Dr. Rolf Linn

Prof. Dr. Rolf Linn Prof. Dr. Rolf Linn 6.4.5 Übungsaufgaben zu Mathematik Analysis. Einführung. Gegeben seien die Punkte P=(;) und Q=(5;5). a) Berechnen Sie den Anstieg m der Verbindungsgeraden von P und Q. b) Berechnen

Mehr

Wertebereich der Funktion. Die Funktion f heißt

Wertebereich der Funktion. Die Funktion f heißt 18 1.4 Funktionen 1.4.1 Definitionen Definition 1.43: Eine Funktion f : D R ist eine Zuordnung f : x f(x) einer Zahl x D R zu einem Bildwert f(x) R. Der Punkt x heißt auch Urbild von f(x). Die Menge D

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathemati PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathemati für Informatier II (Sommersemester 00) Lösungen zu Aufgabenblatt

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 7

Aufgaben zu Kapitel 7 Aufgaben zu Kapitel 7 1 Aufgaben zu Kapitel 7 Verständnisfragen Aufgabe 7.1 Bestimmen Sie jeweils den größtmöglichen Definitionsbereich D R und das zugehörige Bild der Funktionen f : D R mit den folgenden

Mehr

Copyright, Page 1 of 5 Stetigkeit in

Copyright, Page 1 of 5 Stetigkeit in www.mathematik-netz.de Copyright, Page 1 of 5 Stetigkeit in Definition: (Stetigkeit) Sei ad, wobei D ist. Sei f eine Abbildung aus Abb(D,B) mit B und B. (i) f heißt stetig im Punkt a, wenn es zu jeder

Mehr

Die Exponentialfunktion. exp(x)

Die Exponentialfunktion. exp(x) Die Exponentialfunktion exp(x) Wir erinnern: Ist f : R R eine glatte Funktion, dann bezeichnet f (x) die Steigung von f im Punkt x. f (x) x x 0 x Wie sehen Funktionen aus mit 3 2 f f (x) = f(x) -3-2 -1

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Mathematik für Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Inhalt der Vorlesung 1. Gleichungen und Summen 2. Grundlagen der Funktionslehre 3. Rechnen mit Funktionen 4. Optimierung von Funktionen 5. Funktionen

Mehr

Primzahlen und die Riemannsche Vermutung

Primzahlen und die Riemannsche Vermutung Primzahlen und die Riemannsche Vermutung Benjamin Klopsch Mathematisches Institut Heinrich-Heine-Universität zu Düsseldorf Tag der Forschung November 2005 Untersuchung über die Häufigkeit der Primzahlen

Mehr

Definition: Differenzierbare Funktionen

Definition: Differenzierbare Funktionen Definition: Differenzierbare Funktionen 1/12 Definition. Sei f :]a, b[ R eine Funktion. Sie heißt an der Stelle ξ ]a, b[ differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert. f(ξ + h) f(ξ) lim h 0 h = lim x ξ

Mehr

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen 2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen (1) Affin-lineare Funktionen Eine Funktion f : R R heißt konstant, wenn ein c R mit f (x) = c für alle x R existiert linear, wenn es ein a R mit f (x) = ax für

Mehr

Multiplikation und Division in Polarform

Multiplikation und Division in Polarform Multiplikation und Division in Polarform 1-E1 1-E Multiplikation und Division in Polarform: Mathematisches Rüstzeug n m b b = b n+m bn bm = bn m ( b n )m = b n m Additionstheoreme: cos 1 = cos 1 cos sin

Mehr

Kapitel 7. Differentialrechnung

Kapitel 7. Differentialrechnung Kapitel 7. Differentialrechnung 7.1. Grundbegriffe Der Differentialquotient und das Integral sind die Kernbegriffe der Analysis. Auf ihnen fusst die mathematische Beschreibung der Naturvorgänge mittels

Mehr