Der Kreissektor (Kreisausschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : Bogenlänge: b Sektor. Flächeinhalt:: ASektor

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Der Kreissektor (Kreisausschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : Bogenlänge: b Sektor. Flächeinhalt:: ASektor"

Transkript

1 Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / Die Kugel Volumen der Kugel: Oberfläche der Kugel: V O Kugel Kugel 4 πr 4πr Der Kreissektor (Kreisusschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : ϕ Bogenlänge: b Sektor π r 60 ϕ Flächeinhlt:: ASektor πr 60 Ds Bogenmß Ds Bogenmß eines Winkels ϕ ist die Länge des zugehörigen Bogens im Einheitskreis (Kreis mit Rdius ): ϕ π 60 Besondere Werte: 90 ˆ π ; 80 ˆ π; 70 ˆ π; 60 ˆ π Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / Sinus und Kosinus m Einheitskreis Liegt ein Punkt P uf dem Einheitskreis, so gilt für seine Koordinten: cosϕ ist der -Wert von P sinsϕ ist der y-wert von P. Beispiele: cos 60 cos00 cos0 cos 40 sin 45 sin5 sin 40 sin 00

2 Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / Sinusfunktion f()sin Kosinusfunktion f()cos - Definitionsmenge D IR - Definitionsmenge D IR - Wertemenge W [ ; ] - Wertemenge W [ ; ] - periodisch mit der Periode π - periodisch mit der Periode π sin sin( + kπ) mit k Z cos cos( + kπ) mit k Z - Sinuskurve ist punktsymmetrisch - Kosinuskurve ist chsensymmetrisch zum Ursprung zur y-achse Allgemeine Sinusfunktion Im Funktionsterm f() sin b c ( ( )) + d bewirkt! eine Streckung / Stuchung in y-richtung. Die Amplitude ist. Für <0 ist sie n der - Achse gespiegelt.! b eine Streckung / Stuchung in -Richtung, d.h. eine Veränderung der Periode: Die π Periodenlänge ist. b! c>0 (c<0) eine Verschiebung in -Richtung um c nch rechts (links).! d eine Verschiebung um in y-richtung Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / 4 π Beispiel: f ( ) sin( + π) + sin + + Den Grph der Funktion f erhält mn, indem mn die Sinuskurve ysin! um in in y-richtung streckt (Amplitude ist ), π! in -Richtung so stucht, dss die neue Periodenlänge π ist, π π! um c in -Richtung (um nch links) und! um d in y-richtung (nch oben) verschiebt.

3 Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / 5 Bedingte Whrscheinlichkeit ( B) ist die Whrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dss A eingetreten ist.! ( B) knn us dem Bumdigrmm bgelesen werden:! Mit Hilfe einer Vierfeldertfel knn B ( ) mit folgender Formel berechnet werden: A A B 7 0 B ! ( B) knn mit folgender Formel berechnet werden: ( ) ( ) ( B) und B A und B ( B) A 8 Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / 6 Lineres Wchstum Beispiel: In meinem Sprschwein sind 7. Jeden Mont werfe ich weitere hinein. Zu den nfänglichen 7 im Sprschwein kommen jeden Mont konstnt mehr dzu. Nch Monten befinden sich ml Euro im Sprschwein. Allgemein: Zum Anfngswert b kommt pro Einheit der konstnte Zuwchs d hinzu. Folgende linere Funktionsgleichung beschreibt den Bestnd y nch Einheiten: y b + d Der zugehörige Grph ist ein Gerde mit Achsenbschnitt b und Steigung d. Für d < 0 spricht mn von linerer Abnhme. y 7 + y +

4 Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / 7 Eponentielles Wchstum Beispiel: Die Zhl der Bkterien in einer Bkterienkultur mit nfngs 4 Bkterien wächst jeden Tg um 50%. Zu den nfänglichen 4 Bkterien kommen jeden Tg 50% zum jeweiligen Bestnd dzu. Nch Tgen befinden sich 4,5,5...,5 4,5 -ml Bkterien in der Bkterienkultur. Allgemein: b ist der Anfngswert. Der Zuwchs pro Einheit ist nicht mehr konstnt. Während jeder Einheit ändert sich der Bestnd um den gleichen Wchstumsfktor. Folgende Funktionsgleichung beschreibt den Bestnd y nch nch Einheiten: y 4,5 y b Für < spricht mn von eponentieller Abnhme. Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / 8 Eponentilfunktion f() b (>0,, b>0) - Definitionsmenge D IR - Wertemenge + W IR - Die -Achse ist Asymptote. - Der Grph schneidet die y-achse im Punkt P(0/b). - Mit wchsendem nehmen die Funktionswerte y für > zu (eponentielles Wchstum), für < b (eponentielle Abnhme). - Spiegelt mn den Grphen der Funktion f ( ) b n der y-achse, so erhält mn den Grphen der Funktion g ( ) b b.

5 Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / 9 Allgemeine Eponentilfunktion Im Funktionsterm f () b + d ( > 0 und ) bewirkt! b eine Streckung / Stuchung in y-richtung. Für b<0 ist sie n der -Achse gespiegelt.! d eine Verschiebung um d in y-richtung (wgrechte Asymptote: y d). + Beispiel: f () 6 Den Grph der Funktion f erhält mn, indem mn den Grph der Eponentilfunktion y 6! n der -Achse spiegelt und! nschließend um d in y-richtung (um nch unten) verschiebt. Der Grph der Funktion f ht die wgrechte Asymptote y. Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / 0 Der Logrithmus Die Lösung der Gleichung u (>0,, u>0) ist log u logrithmieren Beispiel: 6 log 6 4 potenzieren Umrechnungsformel log log0 u logu log7 u Beispiel: log 7, 77 (TR!) log log log 0 Rechenregeln Für >0,, u>0, v>0, r IR gilt: Beispiele: () log ( u v) log u + log v log 0+ log 0,8 log 0 0,8 log 6 u 5, () log ( ) v log u log v log 5, log, log ( ), log 7 r () log u r log u log log log 5, ( ) 4 ( ) 5

6 Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / Eponentilgleichungen Gleichungen, bei denen die Unbeknnte nur im Eponenten uftritt, heißen Eponentilgleichungen. Beispiele: () 4 : : log log, 5 log,5,70 () 0,5 log ( ),5 log log0,5 + log ( ) log 0 Anwendung der Potenzgesetze! log log log log log0,5 ( ) log log log0,5 + log ( log log) log0,5 + log log0,5 + log TR log ( 0,5 ) log 0 oder log 0 log log log log log 9 9 Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / Verhlten im Unendlichen I Konvergenz Die Funktion f konvergiert gegen die Zhl, wenn die Funktionswerte f ( ) für + ( ) der Zhl beliebig nhe kommen. " Die Funktion f kurz: lim + f Beispiel: f ( ) + ( ) ht für + ( ) den Grenzwert. ( ) lim f ( ) lim f + ( ) Der Grph ht die wgrechte Asymptote y

7 Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / Verhlten im Unendlichen II Bestimmte Divergenz Die Funktion f divergiert bestimmt, wenn die Funktionswerte f Unbestimmte Divergenz Die Funktion f divergiert unbestimmt, ( ) für wenn ihr Grph für + ( ) ( ) hin und her schwnkt, ohne einem bestimmten ( ) verschwinden. Wert beliebig nhe zu kommen. + ( ) nch oben + oder nch unten Beispiel: f ( ) Beispiel: f ( ) sin lim f + ( ) + lim + f ( ) eistiert nicht! Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / 4 Strtegien zum Untersuchen des Verhltens im Unendlichen Beispiel : Klmmere die höchste Potenz bei gnzrtionlen Funktionen us! & lim + lim + ) ( + lim ' * ( ) + ( ) 0 0 Der Summnd mit dem höchsten vorkommenden Eponenten bestimmt ds Verhlten im Unendlichen. Beispiel : Dividiere Zähler und Nenner durch die höchste Nennerpotenz bei Bruchfunktionen! 0 4 lim + + lim lim lim + + Beispiel : Vereinfche durch Kürzen usw. bei Bruchfunktionen! lim lim ( )( ) lim 0

8 Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / 5 Bestimmung der Nullstellen gnzrtionler Funktionen I Ein Term der Form n n + n n mit n 0 heißt Polynom n-ten Grdes. Eine Funktion, deren Funktionsterm ls Polynom geschrieben werden knn, nennt mn gnzrtionle Funktion. Beispiel : f( ) + Schritt : Systemtisches Errten einer Nullstelle Tipp: d f Die gnzzhligen Nullstellen eines Polynoms mit gnzzhligen Koeffizienten sind Teiler des konstnten Glieds 0 des Polynoms. ( ) 0 Schritt : Polynomdivision durch ( ) + ( ) : ( ) Schritt : Lösen der qudrtischen Gleichung 0 0 / ± ± Fktorisierte Form: f( ) ( ) ( ) ( +) ( ) oder / 0 ± 0 4 ± Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / 6 Bestimmung der Nullstellen gnzrtionler Funktionen II Beispiel : ( ) f( ) ( ) Substitution z z 0z z 9 ; z Resubstitution: z / ± z 9 / 4 ± Fktorisierte Form: f( ) ( ) ( ) ( +) ( + )

9 Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / 7 Bestimmung der Nullstellen gnzrtionler Funktionen III Beispiel : f() ( ) ( + ) Die Funktion f( ) besitzt nur bei eine Nullstelle. Hinweis: Ein gnzrtionle Funktion vom Grd n ht höchstens n Nullstellen. D der Linerfktor dreiml vorkommt, hndelt es sich um eine dreifche Nullstelle. Tritt in der vollständig fktorisierten Form eine Nullstelle i ungerdzhlig oft uf, wechselt f() - gerdzhlig oft uf, wechselt f() bei i ds Vorzeichen. bei i ds Vorzeichen nicht. Je häufiger die Nullstelle i uftritt, desto mehr schmiegt sich G f bei i n die -Achse n. Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / 8 Einfluss von Prmetern im Funktionsterm uf den Grphen Wir erhlten us dem Grphen G f der Funktion f den Grphen G g der Funktion g mit g( ) f( ) und > 0, indem wir G f in Richtung der y-achse mit dem Fktor strecken bzw. stuchen. g( ) f( b ) und b > 0, indem wir G f in Richtung der -Achse mit dem Fktor b strecken bzw. stuchen. g( ) f( c), indem wir G f in Richtung der -Achse um c verschieben. g( ) f( ) + d, indem wir G f in Richtung der y-achse um d verschieben. g( ) f( ), indem wir G f n der -Achse spiegeln. g( ) f( ), indem wir G f n der y-achse spiegeln. Hinweis: Eine Streckung z.b. in Richtung der y-achse mit dem Streckungsfktor knn ls Spiegelung n der -Achse und nschließende Streckung mit dem Streckungsfktor ufgefsst werden.

10 Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / 9 Symmetrie von Funktionsgrphen Der Grph einer Funktion f mit der Definitionsmenge D f ist - chsensymmetrisch zur y-achse, - punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für lle D f gilt: wenn für lle D f gilt: f ( ) f() f ( ) f()

360 2 r. 360 r2. α Bogenmaß. α 360. α 2π. 4 3 r3 V K. 4 r 2 O K

360 2 r. 360 r2. α Bogenmaß. α 360. α 2π. 4 3 r3 V K. 4 r 2 O K Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Kreis Länge eines Kreisbogens b 360 r r r b Fläche eines Kreissektors 360 r r r Bogenmß Bogenmß des Winkels : Umrechnungsformel: b α Bogenmß r α Bogenmß π α 360 Grdmß Kugel

Mehr

Die Kugel Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10. Definitionen und Regeln. Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π. Kugelvolumen: - 1 -

Die Kugel Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10. Definitionen und Regeln. Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π. Kugelvolumen: - 1 - 10.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Die Kugel Beispiele Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π r Kugelvolumen: V Kugel = 4 3 r³ π - 1 - 10. Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Kreissektor

Mehr

Grundwissen Mathematik 10. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

Grundwissen Mathematik 10. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele Themen Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Kreis beknnt us Klsse 8: U Kreis = 2 π r A Kreis = r 2 π Kreissektor Bogenlänge b Flächeninhlt Kreissektor: Die Länge b des Kreisbogens und der Flächeninhlt

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Trigonometrie Sinus und Kosinus

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Trigonometrie Sinus und Kosinus Gymnasium Neutraubling Grundwissen Mathematik 10. Jahrgangsstufe Wissen und Können Aufgaben, Beispiele und Erläuterungen 1. Bedingte Wahrscheinlichkeit Bezeichnungen: P(A): Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

Mehr

Kreissektoren und Bogenmaß

Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors = = 360 360 Das Bogenmaß eines Winkels ist

Mehr

Kreissektoren und Bogenmaß

Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors = 2 = 360 360 Das Bogenmaß eines Winkels ist

Mehr

Kreissektoren und Bogenmaß

Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens gilt für einen Kreissektor mit Fläche des Kreissektors Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des

Mehr

Grundwissen Klasse 10

Grundwissen Klasse 10 Grundwissen Klsse 0 I. Funktionen. Potenzfunktionen und gnzrtionle Funktionen (Mthehelfer : S.56-57) - Grphen von Potenzfunktionen mit gnzzhligen Eponenten zeichnen - Grphen von gnzrtionlen Funktionen

Mehr

Grundwissen. 10. Jahrgangsstufe. Mathematik

Grundwissen. 10. Jahrgangsstufe. Mathematik Grundwissen 10. Jahrgangsstufe Mathematik 1 Kreis und Kugel 1.1 Kreissektor und Bogenmaß Kreis Umfang U = π r=π d Flächeninhalt A=π r Kreissektor mit Mittelpunktswinkel α Bogenlänge b= α π r 360 Flächeninhalt

Mehr

Kreissektoren und Bogenmaß

Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens gilt für einen Kreissektor mit Fläche des Kreissektors Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des

Mehr

M Kreissektoren und Bogenmaß. Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Kreissektors mit Mittelpunktswinkel? Was versteht man unter dem Bogenmaß?

M Kreissektoren und Bogenmaß. Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Kreissektors mit Mittelpunktswinkel? Was versteht man unter dem Bogenmaß? M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? die Länge des Kreisbogens für einen Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius Kreissektors

Mehr

Grundwissen 10. Klasse G8

Grundwissen 10. Klasse G8 Leibniz-Gmnsium Altdorf Grundwissen 0. Klsse G8 Wissen / Können Aufgben und eispiele Lösungen I) Kreis und Kugel Die Kreiszhl ist eine irrtionle Zhl, lso ein unendlicher, nicht periodischer Dezimlbruch.

Mehr

fwg Kreissektoren und Bogenmaß Mittelpunktswinkel : Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis ( ): M 10.

fwg Kreissektoren und Bogenmaß Mittelpunktswinkel : Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis ( ): M 10. M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens gilt für einen Kreissektor mit Fläche des Kreissektors Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des

Mehr

WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse

WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse I. Kreiszahl 1. Kreis: Fläche des Kreissektors: = Länge des Kreisbogens: = Im Einheitskreis gilt: = 2 = 2. Kugel: Oberflächeninhalt: = 4 Volumen: = II. Geometrische

Mehr

4 r³π. MTG Grundwissen Mathematik 10. Klasse. 1 Der Kreis Umfang eines Kreises mit Radius r: u = 2 r π Fläche eines Kreises mit Radius r: A = r²π

4 r³π. MTG Grundwissen Mathematik 10. Klasse. 1 Der Kreis Umfang eines Kreises mit Radius r: u = 2 r π Fläche eines Kreises mit Radius r: A = r²π MTG Grundwissen Mathematik 0. Klasse Der Kreis Umfang eines Kreises mit Radius r: u = 2 r π Fläche eines Kreises mit Radius r: A = r²π. Der Kreissektor Bogenlänge eines Kreisessektors mit Radius r und

Mehr

M 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß

M 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius die Länge des Kreisbogens für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius den Flächeninhalt

Mehr

M 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß

M 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius die Länge des Kreisbogens für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius den Flächeninhalt

Mehr

Grundwissen. 10. Jahrgangsstufe. Mathematik

Grundwissen. 10. Jahrgangsstufe. Mathematik Grundwissen 0. Jahrgangsstufe Mathematik Kreis und Kugel. Kreissektor und Bogenmaß Kreis Umfang U π rπ d Flächeninhalt Aπ r Kreissektor mit Mittelpunktswinkel α Bogenlänge α π r 60 Flächeninhalt A α π

Mehr

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen

Mehr

1.Kreiszahl π 1.1.Kreis α Länge des Kreisbogens b = 2π 360 α

1.Kreiszahl π 1.1.Kreis α Länge des Kreisbogens b = 2π 360 α Grundwissen athematik 0.Klasse Gymnasium SOB.Kreiszahl..Kreis α Länge des Kreisbogens b r 360 α Fläche des Kreissektors A r 360 Das Bogenmaß b eines Winkels α ist die Länge der zugehörigen Bogenlänge b

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Trigonometrie Sinus und Kosinus

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Trigonometrie Sinus und Kosinus EvBG Grundwissen Mathematik 10. Jahrgangsstufe Wissen und Können Aufgaben, Beispiele und Erläuterungen Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Bedingte Wahrscheinlichkeit Bezeichnungen: P(A): Wahrscheinlichkeit

Mehr

Grundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α

Grundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α Grundwissen 0. Berechnungen an Kreis und Kugel a) Bogenmaß Beispiel: Gegeben ist ein Winkel α=50 ; dann gilt: b = b = π 50 0,8766 r r 360 Die (reelle) Zahl ist geeignet, die Größe eines Winkels anzugeben.

Mehr

Grundwissen 10. Klasse Mathematik. Berechne Umfang und Flächeninhalt des Spitzbogens mit Lösung: ( )

Grundwissen 10. Klasse Mathematik. Berechne Umfang und Flächeninhalt des Spitzbogens mit Lösung: ( ) 1.1 Der Kreis Der Kreis Umfang Flächeninhalt Der Kreissektor (Kreisausschnitt) mit Mittelpunktswinkel Bogenlänge Flächeninhalt Grundwissen 10. Klasse Mathematik Wie ändert sich der Flächeninhalt eines

Mehr

Kreis - Kugel Länge des Kreisbogens: Flächeninhalt des Kreissektors: Umrechnung ins Bogenmaß: α. α 360. b: Frequenz c: Phasenverschiebung 1,4 1,4 1,0

Kreis - Kugel Länge des Kreisbogens: Flächeninhalt des Kreissektors: Umrechnung ins Bogenmaß: α. α 360. b: Frequenz c: Phasenverschiebung 1,4 1,4 1,0 Wirsberg-Gmnasium Grundwissen Mathematik 0. Jahrgangsstufe Lerninhalte Fakten-Regeln-eispiele Kreis - Kugel Länge des Kreisbogens: Flächeninhalt des Kreissektors: Umrechnung ins ogenmaß: α b π r 0 α π

Mehr

Grundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben

Grundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben Grundwissen Mthemtik Klsse 9 Übungsufgben Rechnen mit Wurzeln:. Rdiziere so weit wie möglich! 7 8 b c d) e) ( b ) f) b c ( ) g) b b. Berechne! ( 8 8 )( 7 ) 7 9 9. Mche den Nenner rtionl und vereinfche

Mehr

Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse.

Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse. 1. Welche Idee steckt hinter dem Integrl? 2. Welche geometrische Bedeutung ht ds Integrl? 3. Wie erechnet mn ein Integrl? Aufsummieren unendlich vieler infinitesiml kleiner Beiträge, die lle die Form eines

Mehr

Grundwissen Mathematik 8

Grundwissen Mathematik 8 Grundwissen Mthemtik 8 Proportionle Zuordnung Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfchen der einen Größe ds gleiche Vielfche der nderen Größe, so heißt sie proportionle Zuordnung. Die

Mehr

Diese Funktion ist mein Typ!

Diese Funktion ist mein Typ! Diese Funktion ist mein Typ! Überblick über die wichtigsten Funktionstypen der 10.Jgst.: Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochen-rationale Funktionen Trigonometrische

Mehr

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele Themen Direkte Proportionlität Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Zwei Größen und y heißen direkt proportionl, wenn gilt: Zum k-fchen Wert von gehört der k-fche Wert von y; Der Quotient q = y ht für

Mehr

α π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel

α π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! Tipps zum Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10 Folgende Begriffe und Aufgaben solltest Du nach der 10. Klasse kennen und können: (Falls Du Lücken entdeckst,

Mehr

Kosinusfunktion: graphische Darstellung und Interpretation. 1-E Vorkurs, Mathematik

Kosinusfunktion: graphische Darstellung und Interpretation. 1-E Vorkurs, Mathematik Kosinusfunktion: graphische Darstellung und Interpretation 1-E Vorkurs, Mathematik Kosinusfunktion: Erklärung der Aufgabe 1 Aufgabe 1: Zeichnen Sie die trigonometrische Kosinusfunktion g (x) = a cos x.

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung

Mehr

3. Ganzrationale Funktionen

3. Ganzrationale Funktionen 3. Gnzrtionle Funktionen ) Definitionen und Beispiele Definition: Eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht ls Definitionsterm ein Polynom n-ten Grdes, d.h. y = f() = n n n-1 n-1 1 0. n 0, i ( i = 1, n)

Mehr

Funktionen. Kapitel 6. Reelle Funktion. Graph einer Funktion. Beispiel. Beispiel. Zeichnen eines Graphen. Bijektivität

Funktionen. Kapitel 6. Reelle Funktion. Graph einer Funktion. Beispiel. Beispiel. Zeichnen eines Graphen. Bijektivität Reelle Funktion Kpitel 6 Funktionen Reelle Funktionen sind Abbildungen, in denen sowohl die Definitionsmenge ls uch die Wertemenge Teilmengen von R üblicherweise Intervlle) sind. Bei reellen Funktionen

Mehr

Fachschaft Mathematik am Gymnasium Donauwörth

Fachschaft Mathematik am Gymnasium Donauwörth Algebr 7: Zusmmenfssen gleichrtiger Terne: ) 5x 7x 3 3x + 5x +8 b) 3u 9v [(3u 8w) (u + 9v)] c) Distributivgesetz: ) -0,4c (,5 3 c 0, c 3 ) b) 7u 5 3u (u 3) 5 (u 4u + ) Ausmultiplizieren von Klmmern: )

Mehr

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,

Mehr

Grundwissen Mathematik 8.Klasse Gymnasium SOB. Darstellung im Koordinatensystem: Der Kreisumfang ist direkt proportional zu seinem Radius.

Grundwissen Mathematik 8.Klasse Gymnasium SOB. Darstellung im Koordinatensystem: Der Kreisumfang ist direkt proportional zu seinem Radius. Gymso 1 Grundwissen Mthemtik 8.Klsse Gymnsium SOB 1.Funktionle Zusmmenhänge 1.1.Proportionlität Ändern sih ei einer Zuordnung die eiden Größen im gleihen Verhältnis, so spriht mn von einer direkten Proportionlität.

Mehr

Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel

Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Grundwissen für das Fach Mathematik Jahrgangsstufe 0 KREIS und KUGEL Bogenlänge rπα = 80 Das Verhältnis r πα = 80 heißt Bogenmaß, ist nur vom Mittelpunktswinkel α ahängig

Mehr

für beliebige Mengen A, B, C

für beliebige Mengen A, B, C 1.1 Mengenlehre A A A B B A A B B C A C für elieige Mengen A, B, C (Reflexivität) (Symmetrie) (Trnsitivität) (1) (2) (3) A B = B A A B = B A (Kommuttivgesetze) (4) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) (Assozitivgesetze)

Mehr

MTG Grundwissen Mathematik 10. Klasse

MTG Grundwissen Mathematik 10. Klasse MTG Grundwissen Mathematik 0. Klasse Der Kreis und der Kreissektor Umfang eines Kreises mit Radius r: u = r π Fläche eines Kreises mit Radius r: A = r²π. Der Kreissektor Bogenlänge eines Kreisessektors

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 5.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 5.1 .1 Dr. Jürgen Roth Fchbereich 6: Abteilung Didktik der Mthemtik Elemente der Algebr . Inhltsverzeichnis Elemente der Algebr & Argumenttionsgrundlgen, Gleichungen und Gleichungssysteme Qudrtische und Gleichungen

Mehr

1 Kurvendiskussion /40

1 Kurvendiskussion /40 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.

Mehr

r Oberflächeninhalt 1 Berechnungen am Kreis O 4r 1.1 Bogenmaß Das Bogenmaß x ist das zu gehörende Verhältnis Bogenlänge, also die 1.

r Oberflächeninhalt 1 Berechnungen am Kreis O 4r 1.1 Bogenmaß Das Bogenmaß x ist das zu gehörende Verhältnis Bogenlänge, also die 1. Grundwissen Mathematik 0 Berechnungen am Kreis. Bogenmaß Das Bogenmaß ist das zu gehörende Verhältnis Bogenlänge, also die Radius Zahl / r Umrechnungen: r r 0 30 45 60 90 360 0. Kreisteile Sektorfläche:.3

Mehr

Grundwissen Abitur Analysis

Grundwissen Abitur Analysis GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ mthem-technolog u sprchl Gmnsium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 9257 PEGNITZ FERNRUF 0924/48333 FAX 0924/2564 Grundwissen Abitur Anlsis Ws sind Potenzfunktion mit ntürlichen

Mehr

Ein Kluger denkt so viel, dass er keine Zeit zum Reden hat. Ein Dummer redet so viel, dass er keine Zeit zum Denken hat. (Anonym)

Ein Kluger denkt so viel, dass er keine Zeit zum Reden hat. Ein Dummer redet so viel, dass er keine Zeit zum Denken hat. (Anonym) Ein Kluger dent so viel, dss er eine Zeit zum Reden ht. Ein Dummer redet so viel, dss er eine Zeit zum Denen ht. (Anonym) 6 Gnzrtionle Funtionen 6 Gnzrtionle Funtionen Wir wollen nun uch Funtionen betrchten,

Mehr

Gebrochen-rationale Funktionen

Gebrochen-rationale Funktionen Definition Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, bei der sich im Zähler und Nenner eine ganzrationale Funktion (Polynom) befindet: Eigenschaften f(x) = g(x) h(x) Echt gebrochen-rationale

Mehr

Quadratische Gleichungen und Funktionen

Quadratische Gleichungen und Funktionen Qudrtische Gleichungen und Funktionen Bei einer udrtischen Gleichung kommt die Unbeknnte Vrible mindestens einml in der.potenz vor, ber in keiner höheren Potenz. b c udrtischer Anteil linerer Anteil konstnter

Mehr

Repetitionsaufgaben Logarithmusgleichungen

Repetitionsaufgaben Logarithmusgleichungen Kntonle Fchschft Mthemtik Repetitionsufgben Logrithmusgleichungen Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Repetition Logrithmen D) Logrithmusgleichungen 4 E) Aufgben mit Musterlösungen 5 A)

Mehr

Basiswissen 10. Klasse

Basiswissen 10. Klasse Basiswissen 10. Klasse 1. Berechnungen an Kreisen und Dreiecken r: Radius a: Mittelpunktswinkel As: Kreissektor b: Kreisbogen Erklärung: In einem Kreis mit Radius r legt der Mittelpunktswinkel a den Kreisbogen

Mehr

Exponential- und Logarithmusfunktion

Exponential- und Logarithmusfunktion Mthemtik I und II für Ingenieure (IAM) Version.3/..003.0.5 Eponentil- und Logrithmusfunktion Definition.0.0: Sei +, dnn ist die llgemeine Form einer Eponentilfunktion f: + gegeben durch die Funktionsgleichung

Mehr

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

Mehr

Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht

Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht Der Kosinussatz und der Sinussatz: Wenn in einem Dreieck nur zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind, oder nur die drei Seiten bekannt

Mehr

Funktionenlehre. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

Funktionenlehre. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard GRUNDWISSEN MATHEMATIK Funktionenlehre Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngmnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gmnasiums Gräfelfing J O H A N N

Mehr

Aufgaben zum Basiswissen 10. Klasse

Aufgaben zum Basiswissen 10. Klasse Aufgaben zum Basiswissen 10. Klasse 1. Berechnungen an Kreisen und Dreiecken 1. Aufgabe: In einem Kreis mit Radius r sei α ein Mittelpunktswinkel mit zugehörigem Kreisbogen der Länge b und Kreissektor

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 4.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 4.1 . Dr. Jürgen Roth Fchbereich 6: Abteilung Didktik der Mthemtik Elemente der Algebr . Inhltsverzeichnis Elemente der Algebr & Argumenttionsgrundlgen, Gleichungen und Gleichungssysteme Qudrtische und Gleichungen

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)

Mehr

Gebrochen-rationale Funktionen

Gebrochen-rationale Funktionen Definition Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, bei der sich im Nenner befindet. f() = a h() Beispiel 1: f() = 1 Beispiel 2: f() = 1 ² Definitionsbereich und Definitionslücken Bei einer

Mehr

Analysis 1. Einführung. 22. März Mathe-Squad GbR. Einführung 1

Analysis 1. Einführung. 22. März Mathe-Squad GbR. Einführung 1 Analysis 1 Einführung Mathe-Squad GbR 22. März 2017 Einführung 1 y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 910 2 x /* */ Einführung Allgemeines 2 Allgemeines Funktion f(x) bildet jeden

Mehr

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme Bruchterme und gebrochen rtionle Funktionen Der Quotient zweier Terme Es ist ist 3 : 4 3 und. 4 : 3 4 3 4 Dehnt mn die Bruchschreibweise uf Terme us, dnn erhält mn sog. Bruchteme. ² ( + ) : (3 + 4) + 3

Mehr

Überblick über die Winkelfunktionen Sinusfunktion

Überblick über die Winkelfunktionen Sinusfunktion Überblick über die Winkelfunktionen Sinusfunktion -x2 -x1 x1 x2 Die Funktion x sin x ; x ℝ heißt Sinusfunktion und ihr Graph Sinuskurve. Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch (blau in der Zeichnung) zum

Mehr

4. Mathematikschulaufgabe

4. Mathematikschulaufgabe Klsse 0. Schreibe folgende Terme ls Sinuswerte eines positiven spitzen Winkels: cos 4 b) sin 90 c) cos (-55 ) (Zwischenschritte ngeben!). Für welche Winkel ϕ mit 0 ϕ 60 gilt: (cosϕ b) sinϕ = )(cosϕ + )

Mehr

Grundwissen Mathematik 9

Grundwissen Mathematik 9 Grundwissen Mthemtik 9 Die binomischen Formeln ( + b) + b + b ( - b) - b + b ( + b) ( - b) - b Insbesondere benutzt mn die binomischen Formeln um Summen und Differenzen in Produkte umzuwndeln Die Qudrtwurzel

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Brückenkurs Mthemtik WS 0/ us und überrbeitet von B. Eng. Sevd Hppel und Dipl.Ing. Jun Rojs Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Inhltsverzeichnis Brüche, Potenzen und Wurzeln. Brüche..

Mehr

1 Lineare Funktionen. 1 Antiproportionale Funktionen

1 Lineare Funktionen. 1 Antiproportionale Funktionen Funktion Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der zu jeder Größe eines ersten Bereichs (Ein gabegröße) genau eine Größe eines zweiten Bereichs (Ausgabegröße) gehört. Eine Funktion wird durch eine Funktionsvorschrift

Mehr

Exponentialgleichungen 70 Exponentialgleichungen mit Ergebnissen und ausführlichen Lösungsweg

Exponentialgleichungen 70 Exponentialgleichungen mit Ergebnissen und ausführlichen Lösungsweg Übungen zum Kurs Eponentilgleichungen Eponentilgleichungen 70 Eponentilgleichungen mit Ergebnissen und usführlichen Lösungsweg 7.technisch verbesserte Auflge vom.09.007 (Sonderzeichen wurden teilweise

Mehr

R. Brinkmann Seite Brüche, Terme und lineare Funktionen zur Vorbereitung einer Klassenarbeit. b)

R. Brinkmann  Seite Brüche, Terme und lineare Funktionen zur Vorbereitung einer Klassenarbeit. b) R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 9.09.0 Lösungen Linere Funktionen VBKA I Brüche, Terme und linere Funktionen zur Vorbereitung einer Klssenrbeit E E ) + = 8 0 0 ) 5 5 = 6 b) 7 9 = 8 7 56 b) 5 :

Mehr

Uneigentliche Riemann-Integrale

Uneigentliche Riemann-Integrale Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:

Mehr

Gebrochenrationale Funktionen (Einführung)

Gebrochenrationale Funktionen (Einführung) Gebrochenrtionle Funktionen (Einführung) Ac Eine gebrochenrtionle Funktion R ist von der Form R(x) P(x) und Q(x) gnzrtionle Funktionen n-ten Grdes sind. P(x) Q(x), wobei Im Allgemeinen ht eine gebrochenrtionle

Mehr

Bei den Parabeln gibt es eine Grundfigur: Die Normalparabel, sie hat die

Bei den Parabeln gibt es eine Grundfigur: Die Normalparabel, sie hat die Die allgemeine Sinusfunktion Bei den Parabeln gibt es eine Grundfigur: Die Normalparabel, sie hat die Funktionsgleichung f(x) x. Aus ihr erzeugt man andere Parabeln, indem man den Funktionsterm verändert.

Mehr

Berufsmaturitätsprüfung 2012 Mathematik

Berufsmaturitätsprüfung 2012 Mathematik GIBB Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern Berufsmturitätsschule Berufsmturitätsprüfung 2012 Mthemtik Zeit: Hilfsmittel: Hinweise: Punkte: 180 Minuten Formel- und Tbellensmmlung ohne gelöste Beispiele,

Mehr

f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen.

f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen. Trnsformtionsstz von Sebstin üller Integrtion über Normlgebiete Allgemein knn mn im R n ein Normlgebiet wie folgt definieren: G : { R n 1 b, ϕ 1 ( 1 ) ψ 1 ( 1 ), ϕ ( 1, ) 3 ψ ( 1, ),... ϕ n 1 ( 1,...,

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester

Mehr

Grundwissen Seite 1 von 63 Klasse12

Grundwissen Seite 1 von 63 Klasse12 Grundwissen Seite von 6 Klsse M. Rpp 07 Eine Gleichung esteht us zwei Termen, die miteinnder durch ein Gleichheitszeichen verunden sind. + = - 7 Setzt mn für die Vrile eine Zhl in die Gleichung ein, so

Mehr

Anforderungsniveau Prüfungsteil Sachgebiet digitales Hilfsmittel erhöht B Analysis CAS

Anforderungsniveau Prüfungsteil Sachgebiet digitales Hilfsmittel erhöht B Analysis CAS Gemeinsme Abiturufgbenpools der Länder Aufgbensmmlung Aufgbe für ds Fch Mthemtik Kurzbeschreibung Anforderungsniveu Prüfungsteil Schgebiet digitles Hilfsmittel erhöht B Anlysis CAS 1 Aufgbe 1 Gegeben ist

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Qudrtische Funktionen Definition: Eine Funktion mit der Gleichung y = c (,, c R; 0) heißt qudrtische Funktion oder Funktion. Grdes. qudrtisches Glied;...lineres Glied; c...solutes Glied Der Grph einer

Mehr

1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen

1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen 1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen 1.2.1 Nullstellen Seien A und B Teilmengen von R und f : A B f : Df Wf eine Funktion. Eine Nullstelle der Funktion f ist ein 2 D f, für das f ( = 0 ist. (Eine

Mehr

Funktionenklassen. Einiges, was wir bisher über Funktionen gelernt haben kann auf alle Funktionen übertragen werden.

Funktionenklassen. Einiges, was wir bisher über Funktionen gelernt haben kann auf alle Funktionen übertragen werden. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0.0.008 Einführung: Funktionenklassen Bisher haben wir nur ganzrationale Funktionen kennen gelernt. Sie gehören zu der Klasse der Rationalen Funktionen. In der

Mehr

Analysis mit dem Voyage 1

Analysis mit dem Voyage 1 Anlysis mit dem Voyge 1 1. Kurvendiskussion Gegeben ist die Funktionschr Den Nenner erhält mn mit Hilfe der Funktion getdenom. Zeros liefert die Nullstellen des Nenners und dmit die Werte, die us dem Definitionsbereich

Mehr

mathphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2010 Mathematik 12 Nichttechnik - A II - Lösung

mathphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2010 Mathematik 12 Nichttechnik - A II - Lösung mthphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule Mthemtik Nichttechnik - A II - Lösung Teilufgbe. Der Grph G f einer gnzrtionlen Funktion f dritten Grdes besitzt den Extrempunkt E( / ), 7 schneidet

Mehr

Grundwissen 9. Klasse G8

Grundwissen 9. Klasse G8 Leibniz-Gymnsium Altdorf Grundwissen 9. Klsse G8 Wissen / Können Aufgben und Beispiele Lösungen I) Reelle Zhlen Für eine nichtnegtive Zhl heißt diejenige nichtnegtive Zhl, deren Qudrt ergibt, Qudrtwurzel

Mehr

5 DIFFERENZIALRECHNUNG EINFÜHRUNG

5 DIFFERENZIALRECHNUNG EINFÜHRUNG M /, Kap V Einführung in die Differenzialrechnung S 5 DIFFERENZIALRECHNUNG EINFÜHRUNG Zielvorgabe für die Kapitel 5 bis 55: Wir wollen folgende Begriffe definieren und deren Bedeutung verstehen: Differenzenquotient,

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung III

Differenzial- und Integralrechnung III Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in

Mehr

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken Übungsmteril 1 Berechnung von Flächeninhlten unter Kurvenstücken.1 Annäherung durch Rechtecke Um die Fläche zu berechnen, die zwischen dem Funktionsgrphen einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird,

Mehr

SBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c.

SBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c. SBP Mthe Grundkurs 2 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert

Mehr

Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen Eine Dokumentation von Sandro Antoniol Klasse 3f Mai 2003 Inhaltsverzeichnis: 1. Einleitung...3 2. Grundlagen...4 2.1. Symmetrieeigenschaften von Kurven...4 2.1.1. gerade Exponenten...4 2.1.2. ungerade

Mehr

Integralrechnung 29. f(x) dx = F (x) + C

Integralrechnung 29. f(x) dx = F (x) + C Integrlrechnung 9 5 Integrlrechnung 5. Ds unbestimmte Integrl Wird eine Funktion f bgeleitet, so erhält mn die Ableitungsfunktion f. Nun knn mn sich frgen, ob es einen Weg zurück gibt, d.h. ob mn us der

Mehr

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2 Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4

Mehr

Beispiel-Abiturprüfung

Beispiel-Abiturprüfung Mthemtik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Aufgbe nch

Mehr

7.9A. Nullstellensuche nach Newton

7.9A. Nullstellensuche nach Newton 7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren

Mehr

Trigonometrische Kurven / Funktionen

Trigonometrische Kurven / Funktionen Trigonometrische Kurven / Funktionen Teil Eigenschaften der Funktionen sin, cos und tan Verschiebung und Streckung von Sinuskurven Kurvendiskussion ohne Verwendung der Differenzialrechnung Geeignet ab

Mehr

Probeklausur Mathematik für Ingenieure C3

Probeklausur Mathematik für Ingenieure C3 Deprtment Mthemtik Dr. rer. nt. Lrs Schewe Mthis Sirvent Wintersemester 013/014 Probeklusur Mthemtik für Ingenieure C3 Anmerkungen zur Klusur: Die Arbeitszeit wird 90 Minuten betrgen. Sie können sämtliche

Mehr

Inhalt. Info zum Buch

Inhalt. Info zum Buch 4 Inhlt Info zum Buch A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln Potenzen mit gnzzhligen Exponenten 6 Normdrstellung von Zhlen 8 Polynomdivision 9 4 Wurzelterme 5 Der Zusmmenhng zwischen Potenzen und Wurzeln B

Mehr

Lösungen zum Pflichtteil (ohne GTR und Formelsammlung) Gebrochenrationale Funktionen

Lösungen zum Pflichtteil (ohne GTR und Formelsammlung) Gebrochenrationale Funktionen www.mthe-ufgben.com Lösungen zum Pflichtteil (ohne GTR und Formelsmmlung) Gebrochenrtionle Funktionen Aufgbe : ) wgr. Asymptote: y, b) wgr. Asymptote: y 0 senkr. Asymptote: x - mit VZW senkr. Asymptote:

Mehr

, a n 2. p(x) = a n x n + a n 1. x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0. reelles Polynom in der Variablen x vom Grad n. Man schreibt deg p(x) = n

, a n 2. p(x) = a n x n + a n 1. x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0. reelles Polynom in der Variablen x vom Grad n. Man schreibt deg p(x) = n . Graphen gebrochen rationaler Funktionen ==================================================================. Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II

KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Bestimme alle Winkel in [0 ; 360 ], die Lösungen der gegebenen Gleichung sind, und zeichne sie am Einheitskreis ein. 1) sin(α) = 0,4

Mehr

Funktionen-Katalog. I. Geraden. f(x) = 1 oder y = 1. x = 1. eine Gerade parallel zur x-achse. Gerade parallel zur y- Achse (keine Funktion) f(x) = - x

Funktionen-Katalog. I. Geraden. f(x) = 1 oder y = 1. x = 1. eine Gerade parallel zur x-achse. Gerade parallel zur y- Achse (keine Funktion) f(x) = - x Funktionen-Katalog I. Geraden II. Ganzrationale Funktion: Parabeln -ten Grades 3-ten Grades Parabeln höheren Grades III. Gebrochenrationale Funktionen: Asymptoten, Polstellen... IV. Eponentialfunktionen

Mehr

F u n k t i o n e n Zusammenfassung

F u n k t i o n e n Zusammenfassung F u n k t i o n e n Zusammenfassung Johann Carl Friedrich Gauss (*1777 in Braunschweig, 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Astronom und Physiker mit einem breit gefächerten Feld an Interessen.

Mehr

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 2 Wintersemester 2011/2012

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 2 Wintersemester 2011/2012 Prof. Dr. O. Junge, A. Bittrcher Zentrum Mthemtik - M3 Technische Universität München MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT Wintersemester / Tutorübungsufgben (3..-4..) Aufgbe T Seien R und α positiv. Die

Mehr

4 Die Integralfunktion*

4 Die Integralfunktion* Übungsmteril 1 Die Integrlfuntion* In den vorigen Kpiteln hben wir bereits ds unbestimmte und ds bestimmte Integrl und deren Eigenschften ennengelernt. Ersteres liefert die Menge der Stmmfuntionen einer

Mehr