Musterlösung Höhere Mathematik I/II Di. Aufgabe 1 (11 Punkte) Geben Sie die Matrixbeschreibung der Quadrik

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1 Aufgabe Punkte Geben Sie die Matrixbeschreibung der Quadrik {x R 3x 3x 8x x +x +4x +7 = 0} an Berechnen Sie die euklidische Normalform der Quadrik und ermitteln Sie die zugehörige Koordinatentransformation Bestimmen Sie anhand der Normalform die Gestalt der Quadrik Die Gleichung der Quadrik lautet x Ax+a x+c = 0 mit 3 4 A =, a =, c = Das charakteristische Polynom der Matrix A lautet 3 λ 3 λ 6 = λ und die Eigenwerte sind damit λ =, λ = Zur Bestimmung der Eigenvektoren ergeben sich die beiden Gleichungssysteme 4 0 v = v = 4 0 und daraus die Eigenvektoren v =, v = Die orthogonale Transformationsmatrix lautet also T = und diese transformiert den linearen Anteil der Gleichung auf ã = T a = 0 = 4 3 Dies ergibt die transformierte Gleichung und quadratische Ergänzung liefert y y + 4 y + 3 y +7 = 0 y y = 0

2 Die euklidische Normalform lautet demnach z z = 0 Da keine Konstante mehr addiert wird die für die euklidische Normalform auf zu normieren wäre, darf diese Gleichung auch mit multipliziert werden man erhält dann z z = 0 An Hand der Normalform ist die Quadrik leicht zu erkennen: es handelt sich um ein schneidendes Geradenpaar Die zugehörige Koordinatentransformation lautet z = T x+t = x+ 4 3 oder x = Tz t = Tz Tt = z 4 3 = z +

3 Aufgabe Punkte Berechnen Sie das Integral 4x +8x+6 x 3 +3x +4x+ dx Das Polynom im Nenner hat die Nullstelle Polynomdivision und Partialbruchzerlegung führt auf Also ergibt sich: 4x +8x+6 x 3 +3x +4x+ dx = 4x +8x+6 x 3 +3x +4x+ = x+ x +x+ + x+ x+ x +x+ dx+ x+ dx = [ lnx +x++ln x+ ] Hierbei steht im Zähler des ersten zu berechnenden Integrals die Ableitung des Nenners Auf den Betrag kann verzichtet werden, da x +x+ > x +x+ = x+ 0 gilt

4 Aufgabe 3 Punkte Mit Hilfe der Methode von Lagrange sollen die Minima und die Maxima der Funktion fx,y = x 4 + y 3 unter der Nebenbedingung x +y = bestimmt werden Nebenbedingung: gx,y = 0 für gx,y = x +y Die Multiplikatormethode nach Lagrange liefert die Bedingung gradfx,y+λgradgx,y = 0 Wir berechnen die Gradienten zu /4 gradfx,y = /3 x, gradgx,y = y Damit erhalten wir 4 = 0 3 = 0 x +y = 0 Für x = 0 oder y = 0 ergibt sich keine Lösung Deswegen dürfen wir die Gleichungen mit x bzw y multiplizieren: y 4 x 3 +λxy = 0, +λxy = 0, x +y = = { Kandidaten für Extremalstellen sind: Funktionswerte: P = y = 4x, { 3 x +y = = 3 3, 4, P =, 4 y = 4x, { 3 y = 4 x x = = x, 3 x = 9 fp =, fp =, Die Menge E = {x,y R x +y = } ist kompakt, und die Einschränkung f E der Funktion f auf E ist stetig Nach dem Satz vom Maximum und Minimum besitzt f E ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum auf E Diese müssen sich unter den eben bestimmten Kandidaten finden Offenbar liegt bei P ein Maximum vor, bei P dagegen ein Minimum

5 Aufgabe 4 4 Punkte Das Vektorfeld x +xy +y ze xy z f: R 3 R 3 : y z +x +xyze xy z z y x yze xy z besitzt ein Potential Berechnen Sie ein solches Ist U ein Potential von f, so muss gradu = f gelten Die Integration der ersten Komponente von f ergibt also [Ux,y,z] = f x,y,z dx = +xy +y ze xy z dx = +y ze xy z dx+y xe xy z dx [ ] [ ] x = e y +yz xy z +y y exy z y exy z dx [ ] [xe = e + y +yz ] xy z xy z e xy z dx [ ] [ ] = +yz +x e xy z y y exy z Es ergibt sich Ux,y,z = x+yze xy z +cy,z Wegen d dy Ux,y,z = z +x +xyze xy z + d }{{} dy cy,z =f x,y,z d Ux,y,z = y x yzexy z dz } {{ } =f 3 x,y,z folgt, dass c weder von y noch von z abhängt, demnach ist ein Potential Ux,y,z = x+yze xy z + d dz cy,z

6 Aufgabe Punkte a Gegeben sind die Vektoren v := und v := Bestimmen Sie die Matrix A R, die v als Eigenvektor zum Eigenwert und v als Eigenvektor zum Eigenwert besitzt A = b Für den Parameter α R ist die Matrix α B α := α gegeben Die Matrix B α besitzt: Genau einen reellen Eigenraum für α {, } Genau zwei reelle Eigenräume für α, Keinen reellen Eigenraum für α,,

7 Aufgabe 6 4 Punkte Tragen Sie in das Kästchen unterhalb der entsprechenden Reihe konvergent ein, falls die Reihe gegen eine reelle Zahl konvergiert Tragen Sie divergent ein, falls die Reihe nicht konvergiert n + n= n n + n n n= n= n n! n=0 3 n n n+ divergent konvergent konvergent divergent

8 Aufgabe 7 6 Punkte Berechnen Sie die folgenden Integrale: a x e x dx = [ ] 4 x x+e x b cosx +sinx dx = [arsinhsinx] c 4x 3 +0x +x+ dx = 4x + [ ] x +x